Содержание
Введение ........................................................ 3
Глава 1. Тригонометрические полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках..........................28
1.1. Сведения из теории потенциала ...........................28
1.2. Тригонометрические полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля на нескольких отрезках, и комплексные Т-многочлены ... 32
1.3. Тригонометрические полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля на двух отрезках...........................................37
Глава 2. Экстремальные многочлены и рациональные функции на дугах окружности с нулями на этих дугах ...............49
2.1. Экстремальные полиномы на дугах окружности с нулями на этих дугах ...................................................49
2.2. Экстремальные рациональные функции на дугах окружности с нулями на этих дугах .........................................60
Глава 3. Многочлены и квазиполиномы с фиксированными коэффициентами, наименее уклоняющиеся от нуля на заданных множествах ......................................................69
3.1. Многочлены с фиксированными старшим и свободным коэффициентами, наименее уклоняющиеся от нуля на дуге окружности 69
3.2. Квазиполиномы, наименее уклоняющиеся от нуля на окружности 89
3.3. Задача аппроксимации комплексными многочленами с интерполяционным условием на двух отрезках.........................91
Литература ......................................................94
2
Введение
Актуальность темы.
Работа посвящена проблемам приближения многочленами и их обобщениями на замкнутых подмножествах единичной окружности. Один из важнейших кругов вопросов теории приближений на замкнутых множествах объединяется названием “полиномы и рациональные дроби, наименее уклоняющиеся от нуля” и берёт начало с мемуара П. Л. Чебышева “Теория механизмов, известных под названием параллелограммов”, представленного в Академию Паук I? 1853 году. Эта тематика занимала центральное место з теории приближении на начальном этапе её развития - этапе приближения индивидуальных функций посредством полиномов и рациональных дробей. П. Л. Чебышев нашёл точные решения ряда задач, но, поскольку число таких явных решений весьма невелико, в дальнейшем основное развитие теории приближений пошло по пути приближения классов функций различными методами, их сравнении между собой и т.д. (подробнее см., например, обзор [39]). Тем не менее, точные решения как классических, так и вновь возникающих задач, имеют, как правило, многочисленные приложения в различных областях. Назовём лишь некоторые из них: вычислительная математика, математическая физика, квантовая химия, электротехника, физика твёрдого тела, математическая статистика. Многочленам Чебышева посвящены монографии [31, 73], в каждой книге по теории приближений обязательно есть разделы с изложением их основных свойств. Сведения о разнообразных применениях их обобщений (многочленов Золотарёва, Ахиезера и др.) содержат обзоры [38, 54, 55, 58, 59, 64, 66, 79). Приведём более подробные сведения по поводу полиномов по чебышёвским системам, наименее уклоняющимся от нуля.
3
Рассматриваются “рациональные тригонометрические' функции вида
vn(<p) =
A cos yV + В sin + a>i cos (y - l) tp ■+■ ... + &[£] si ri (y - [y]) ip
N Є N; Л,Б Є M, /І2 + В2 ^ 0, — фиксированные числа;
— фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а < Ny положительный па заданной конечной системе отрезков
£ = [ai, а2] U ... U [аз/-1, а?2/],
ati <с*2< ... < Сі2і, 0 < <у2і - <4 < 2тг;
их алгебраические аналоги
xN + ах*’1 + ...-+-cN ,оч
Дм ’ ()
где Л(а;) — фиксированный действительный многочлен степенна < jV, положительный на Е С [—1,1].
П. Л. Чебышев [47, 48] нашёл дроби вида (2), наименее уклоняющиеся от нуля в равномерной норме на Е = [—1,1], в случаях А(х) = 1 и А(х) = Q2{x)y где Q{x) — многочлен; А. А. Марков [28] привёл другую форму решения
этой задачи, а также и более общего случая (Е = [—1,1 j, А — произволь-
ный положительный на Е многочлен степени, не превосходящей половины степени числителя), поэтому соответствующие функции называются функциями (дробями) Чебышева-Маркова. Следует отметить монографию [36], посвящённую теории этих рациональных функций, а также работу В. К. Дзя-дыка [56], в которой приводятся другие представления этих функций, через многочлены Чебышева.
Случай двух отрезков Е = [—l,a] U [/>,1], А(х) = 1 полностью решён
Н. И. Ахиезером в работах |49—52], Е — [—1, a]ü[6,1], А(х) = Q2(x)> где Q(x) — произвольный необращающийся в нуль наЕ многочлен, — A. J1. Лукашовым
4
в работе [16]. Найденное Н. И. Ахиезсром представление многочленов, наименее уклоняющихся от нуля на двух отрезках, зависит от геометрии системы отрезков. Полное описание решения распадается на несколько возможных форм представления, использующих либо эллиптические, либо автоморф-ные (в [52]) функции. Отметим, что в случае возможности использования эллиптических функций эти многочлены Ахиезера по сути совпадают с многочленами Золотарёва (см., например, [59]. где обсуждаются и другие близкие вопросы). Многочленам Золотарёва [10], т.е многочленам, наименее уклоняющимся от нуля на Е = [—1,1] в равномерной норме, с двумя фиксированными старшими коэффициентами, посвящена обширная литература (см., в частности, обзоры [54, 79]). Отметим здесь работы А. Б. Богатырёва [5] и В. А. Малышева [27], в которых был существенно развит и дополнен подход
Н. Н. Меймана [29, 30] и получено качественное описание решения существенно более общей задачи. Для А(х) = (а2 — .т2)~, [—1, —а] и [а, 1] дроби Чебышёва-Маркова были выписаны в эллиптических функциях в [60]. Кроме того. И. Я. Тырыгин [40] свёл построен не знакопостоянных многочленов, наименее уклоняющихся от пуля на двух отрезках, к нахождению многочленов, наименее уклоняющихся от нуля с весом на двух отрезках.
Перейдём к случаю Е = [а^ог] и ... и [021-1,021]. Мх) = 1* “Базовым” здесь является тот случай, когдаЕ — прообраз отрезка при полиномиальном отображении. Этот случай может быть охарактеризован в различных терминах (см., например, обзор [38]), и тогда для степеней вида N = пт, где п — степень полиномиального отображения, многочлены Чебышева весьма просто выражаются через обычные многочлены Чебышева и полином, осуществляющий упомянутое отображение (вариации на эту тему можно найти в [15, 74, 75, 77]). Вопрос эффективного нахождения “базового” случая, фактически подходящего для рассматриваемого множества Е и степени Лг, остаётся открытым до сих пор. Существенное продвижение в решении этого
вопроса получено в [4|, хотя оно применимо лишь при наличии дополнительной информации об искомом решении. Отмстим также работу [81], содержащую ряд результатов об асимптотиках многочленов Чебышева для общих компактов комплексной плоскости.
Тригонометрический аналог дробей Чебышёва-Маркова был найден впервые, по-видимому, в [76] (для 8 = [0,27г]). Случай I — 1, Л = 1 неявно содержится в [7, 8]. Случай / = 2, Л = 1 и 8, симметрично расположенного относительно 0, рассматривался в |14|; А. П. Петухов |32, 33] применил тригонометрические аналоги простейших вариантов многочленов Ахисзера для хаусдорфовоп аппроксимации. Характеризации “базового” случая в общей постановке для Л = 1 имеются в [70, 71]. Следует отметить, что для несимметрично расположенных отрезков формальное сведение к действительному алгебраическому случаю с помощью обычно применяемой замены cos<£ = х невозможно.
Полное описание решения задачи Чебышёва-Маркова на нескольких отрезках для фиксированного знаменателя, являющемся произвольным многочленом, степень которого меньше степени числителя, положительным на ОТОЙ системе отрезков, а также со знаменателем, представляющим собой квадратный корень из многочлена, положительного на выпуклой оболочке системы отрезков, дано в ряде работ А. Л. Лукашова [17-19, 61, 62], ставших частью его докторской диссертации. Там же получены представления решений аналога задачи Чебышёва-Маркова для тригонометрических полиномов на нескольких отрезках.
Вопросы приближения функций комплексного переменного получили свое развитие несколько позже, чем аналогичные вопросы для функций действительного переменного. Необходимые и достаточные условия того, что заданный полином был для непрерывной функций полиномом наилучідего приближения на ограниченном множестве, (аналог теоремы Чебышева об аль-
тернансе) получены А. Н. Колмогоровым [13] в 1948 году. В частном случае эта теорема была доказана Тонелли [80]. В форме, отличной от теоремы Колмогорова, но иногда более удобной для приложений, необходимые п достаточные условия указали в своих работах Е. Я. Ремез [34, 35], В. К. Иванов [11, 12], В. С. Впденский [б]. Этим и другим вопросам приближения функций комплексного переменного в равномерной метрике посвящены монографии В. И. Смирнова и 1-І. А. Лебедева [37], В. К. Дзядыка [9]; вопросы, связанные с интерполяцией и аппроксимацией рациональными функциями в комплексной области, рассматривались в монографии Дж. Л. Уолша [46].
Комплексные многочлены Золотарёва для чисто мнимых значений второго коэффициента р, р = г£, были найдены Р. Фройндом [57) при £ < 1. Тираном и Дэтеем [78] при 1 > 1. В работе [78] помимо указанного было также выписано решение задачи о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля на [—1,1] и удовлетворяющем дополнительному интерполяционному условию Р(И) = 1. Решение задачи о многочлене, наименее уклоняющемся от нуля на отрезке и удовлетворяющем общему интерполяционному условию Р(а) = 1, а Є С, дано в [82]. Ряд задач наилучшего приближения на компактных множествах комплексной плоскости был решен в работах Ф. Пе-херсторфера и его учеников [65, 67, 68, 70].
Известно, что полиномы Чебышева, пули которых расположены на фиксированном компакте комплексной плоскости, применяются, например, при изучении свойств его трансфпнптного диаметра, для оценки оптимальной ошибки экстраполяции с конечного множества целых функций из класса Винера [24]. Поэтому задачи о многочлене с фиксированным старшим коэффициентом, наименее уклоняющемся от нуля на нескольких дугах единичной окружности, нули которого расположены на этих дугах, и их рациональных аналогах весьма актуальны.
В работе И. В. Белякова [3] была рассмотрена задача наименьшего .уклоне-
ни я от нуля отображений Чебышева, свойства которых во многом повторяют свойства классических многочленов Чебышева, на дельтоиде (области Штейнера). В связи с этим представляют интерес аналоги таких отображений для рациональных функций с фиксированным знаменателем - так называемые квазиполиномы.
Цель работы.
Целью настоящей работы является решение следующих задач:
1. найти многочлен с фиксированным старшим коэффициентом, наименее уклоняющийся от нуля на нескольких дугах единичной окружности, нули которого расположены на этих дугах;
2. найти рациональную функцию с фиксированными знаменателем и старшим коэффициентом числителя, наименее уклоняющуюся от нуля на нескольких дугах окружности, с нулями на этих дугах;
3. найти многочлен с фиксированными старшим и свободным коэффициентами, наименее уклоняющийся от нуля на произвольной дуге окружности;
4. построить представляющий собой линейную комбинацию произведений Бляшке обобщённый полипом (квазиполином), наименее уклоняющийся от нуля на единичной окружности;
5. найти комплексный многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на двух отрезках и удовлетворяющий дополнительному интерполяционному условию.
Методы исследования.
При решении поставленных задач применяются общие методы функционального анализа, теории функции комплексного переменного, теории потенциала и теории приближений.
Научная новизна.
Все основные результаты являются новыми. В работе найден явный вид многочлена с фиксированным старшим коэффициентом, наименее уклоняю-
8
- Київ+380960830922