Введение
СОДЕРЖАНИЕ
3
Глава I. Инвариантные подпространства диссипативного оператора в конечномерном пространстве Понтрягина 13
§ 1. Пространства с индефинитной метрикой 13
§ 2. Структура невырожденных корневых подпространств,
инвариантных относительно диссипативного оператора 20 § 3. Максимальные семидефинитные подпространства, инвариантные относительно диссипативного оператора 30
Глава II. Подобие между максимальными диссипативными и сжимающими операторами в индефинитных пространствах и максимальными диссипативными операторами и сжатиями в гильбертовом пространстве 36
§ 1. Диссипативные операторы сжатия в пространстве Понтрягина 36
§ 2. Бисжимающие операторы в пространстве Крейна 58
Глава III. Задача Коши с диссипативным оператором в пространствах Крейна и Понтрягина 65
§ 1. Условия равномерной корректности задачи Коши 65
§ 2. Свойства разрешающих полугрупп задачи Коши 71
Литература 81
'>
Введение
Со знаменитой работы Понтрягина JI.C. [38] начинается интенсивное развитие теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Основные результаты этой теории освещены в целом ряде обзоров и монографий. Геометрия индефинитных пространств подробно рассмотрена в работе Гинзбурга Ю.П. и Иохвидова И.С. [18] и книге J. Bognar [5*2], теория операторов в этих пространствах в обзорах Иохвидова И.С. и Крейна М.Г. ([24], [25]), Азизова Т.Я. и Иохвидова И.С. ([5], [6]),. монографии Т. Ando ([47]), монографии Иохвидова И.С., Крейна М.Г. и Лангсра Г.К. ([57]), обзорной статье Лапгера Г.К. [58], монографии Азизова Т.Я. и Иохвидова И.С. [7]; приложения этой теории к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве и квантовой теории поля изложены в монографиях Далепкого Ю.Л. и Крейна М.Г. [20] и К. Надя [37], соответственно. Подчеркнем, что в приведенных работах речь идет о бесконечномерных абстрактных пространствах, в то время как линейные преобразования в конечномерных пространствах с индефинитной метрикой изучались еще в конце прошлого века (Фробениус), а интегральные тг самосопряженные (в современной терминологии) уравнения рассматривались в 30-е годы XX века (Крейн М.Г.). Интерес к ” конечномерной индефинитной теории'’ и ее приложениям наблюдается и в наши дни (см., например, монографию I. Gohberg, Р. Lancaster, L. Rodman [55]).
Видное место в связи с широкими возможностями для приложений занимает теория диссипативных операторов и связанных с ними преобразованием Кэли сжатий в индефинитных пространствах (в дальнейшем называемых ./--диссипативными операторами и /-сжатиями, соответственно). Матричной теории /-сжатий посвящена известная работа Потапова В.П. [39], породившая ныне целое направление в теории операторов в связи с приложениями к теории функций. Интерес к J-диссипативным операторам возник значительно позднее и их система-
з
тическое изучение началось с работ Азизова Т.Я. [1], Крейна М.Г. и Лангера Г.К. [28], хотя п связи с вопросами теории устойчивости они появились еще в монографии [20]. Существенный вклад в теорию /-диссипативных и /-сжимающих операторов и их приложений внесли указанные выше работы, а также работы Гинзбурга Ю.П. [15] , Бродского М.Д. [14], Крейна М.Г. и Шмульяна Ю.Л. ([31], [30]), Иохви-дова И.С. [23] , Шмульяна Ю.Л. [44] , Иохвидова Е.И. ([21] , совместно с Азизовым Т.Я. [4] ), Иохвидовых Е.И.и И.С. [22] , Хацкевича В.А. [42]. Костюченко А.Г. и Шпаликова A.A. [26] , Шпаликова A.A. ([45], [46]), Баскакова А.Г. и Юргеласа В.В. [13], Ran и Тегпгпе [62] , Temme [65] и многие другие. Подробнее о работах до 1984 г. см. библиографию в [6] и [7]. Отметим, что в исследовании операторов важным моментом является изучение его структуры. В частности, как известно, каждая матрица допускает .жордан о во разложение. Специфика этих разложений для ./-унитарных операторов изложена в учебнике Мальцева А.И. [34], для ./-самосопряженных операторов в монографии I. Gohberg, Р. Lancaster, L. Rodman [55] и статье Azizov T.Ya., P. Binding, .J. Bognar, В. Na-jinan [49] , для /-диссипативным операторов в работах Ran и Temme [62] и Temme [65] (в двух последних с частичным использованием наших результатов). Интересный аспект в связи с задачей Коши отмечен в работе Свиридюка Г.А.и Сухановой М.В. [40].
Кроме того, '‘индефинитный подход" оказался эффективным при отыскании классов операторов (и полугрупп операторов), подобных сжимающим операторам (и полугруппам сжатий) в гильбертовом пространстве.
В работе Sz.-Nagy [64] доказано, что каждая равномерно ограниченная группа операторов, действующих н гильбертовом пространстве, подобна группе унитарных операторов. Аналогичная гипотеза относительно полугрупп сжатий не подтвердилась (см. Foguel [54] и Fackel [59] ). Эта проблема (с дополнительными условиями на операторы, входящие в полугруппу) упоминалась в работе Р. Haimos [56] и получила
4
свое решение (отрицательное) в статье О. Р1к1ег [61] . Кроме этих работ, проблема подобия в последнее время получила широкое освещение в работах российских и зарубежных математиков: Гомилко А.М. [17], Маламуда М.М. [33], Набоко С.Н. [36], И. Ве1апЬеп№ [53].
В данной работе рассматриваются диссипативные, бисжимающие операторы и полугруппы, состоящие из бисжатий в пространствах с индефинитной метрикой, а так же задача Коши с диссипативным оператором в этих пространствах.
Цели настоящей работы:
1) Изучение жордановых базисов 3 диссипативных операторов и приложение полученных результатов к описанию максимальных семидефинитных подпространств;
2) Нахождение необходимых и достаточных условий подобий 7г* сжимающего (максимального -диссипативного) оператора в пространстве Понтрягина с к отрицательными квадратами некоторому сжимающему (максимальному диссипативному) оператору в гильбертовом пространстве.
3) Нахождение необходимых и достаточных условий подобия 3 би-сжимающего оператора, действующего в пространстве Крейна, некоторому сжатию в гильбертовом пространстве.
4) Изучение задачи Коши с /-диссипативным оператором в пространстве Крейна и установление достаточных условий, при которых разрешающие полугруппы этой задачи подобны полугруппам сжатий в гильбертовом пространстве (а их генератор соответственно диссипативному оператору в гильбертовом пространстве).
Методы исследования.
В работе используются методы линейной алгебры, связанные с построением жордановых базисов линейных операторов в конечномерном пространстве; методы спектральной теории операторов, действующих в индефинитных пространствах; методы построения решений днфферен-
циальных уравнений в гильбертовом пространстве, а так же некоторые полугрупповые методы.
11аучная новизна.
Основные результаты работы являются новыми. Из них можно выделить следующие:
1) Пост роено разложение жорданова базиса Я-диссииативного оператора, порождающее разложение пространства в прямую сумму невырожденных подпространств, инвариантных относительно этого оператора.
2) Доказаны новые необходимые и достаточные условия подобия тгк-сжимающего (максимального тг*-диссипативного) оператора некоторому сжимающему (максимальному диссипативному) оператору, действующему в гильбертовом пространстве;
3) Доказаны необходимые и достаточные условия подобия ./-бисжимающего оператора некоторому сжатию в гильбертовом пространстве;
4) Доказана равномерная корректность задачи Коши с максимальным диссипативным оператором в пространствах Крейна и Понтрягина.
5) Получены достаточные условия подобия равномерно ограниченной (Со)-полугруппы, состоящей из /-бисжатий, некоторой полугруппе сжатий в гильбертовом пространстве. В частности доказано, что любая равномерно ограниченная (Со)-полугруппа в П/: подобна некоторой полугруппе сжатий в гильбертовом пространстве.
Практическая и теоретическая значимость.
Работа носит теоретический характер.
Результаты диссертации могут найти применение в изучении вопросов подобия операторов, действующих в гильбертовом пространстве, операторам сжатия и в исследовании некоторых типов дифференциальных уравнений.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на IV Крымской осенней математической школе-симпозиуме гю спектральным и эволюционным за-
- Київ+380960830922