2
Содержание
Обозначения............................................. 3
Введение................................................ 10
Глава 1. Константа Джексона в пространстве Хя.ДК**) • 36
§ 1. Гармонический анализ Данкля........................ 36
§ 2. Оператор обобщенного сдвига и модуль непрерывности 44
§ 3. Непрерывность константы Джексона................... 49
§4. Константа Джексона Б(сВ^тВ*) ....................... 59
Глава 2. Задача Логана для целых функций в пространстве
Ьг ДГ1).......................................... 64
§ 1. Связь константы Джексона с задачей Логана.......... 64
§ 2. Некоторые экстремальные задачи для целых функций
со спектром в евклидовом шаре....................... 71
§ 3. Задача Логана для целых функций со спектром в
параллелепипеде..................................... 77
Глава 3. Константа Джексона в пространстве £2,<*(Т*) . 91
§ 1. Гармонический анализ в пространстве Ьг.аО^)........ 91
§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности 96
§ 3. Точное неравенство Джексона........................101
Список литературы.......................................114
Обозначения
3
N — множество натуральных чисел, Ъ — множество целых чисел, R — множество действительных чисел, С — множество комплексных чисел;
d £ N, Rd (Cd) — d-мерное действительное (комплексное) евклидово пространство;
supp / — носитель непрерывной функции / (наименьшее замкнутое множество, вне которого функция равна нулю);
Г(я) — гамма-функция, Л > -1/2, J\ (х) — функция Бесселя порядка Л, jx(x) = 2ЛГ(Л + 1)^^ — нормированная функция Бесселя;
• • • < <7л,—1 < <?л,о < 0 < <7л,1 < • • • — нули функции j\\
0(d) — группа ортогональных преобразований R ,
(та € 0(d) — отражение относительно гиперплоскости (а, ж) = 0;
Я = Я+ UЯ_ — разложение конечной системы корней Яс R \ {0} на положительную Я+ и отрицательную Я_ подсистемы;
G(R) С 0(d) — конечная группа отражений, порожденная системой корней Я;
к(а) : Я —> R+ — функция на Я, инвариантная относительно группы отражений G(R);
Vk(x) = Па€Л+ \(а>х)\2к{ос) ~ обобщенный степенной вес в Rd;
Ck = f e~lxb/2Vk(x)dx — константа Макдональда-Мета-Сельбср-
Rd
га;
dßk(x) = c^1Vk(x)dx — мера в Rd;
Lp,k(^d), 1 < p < oo — пространство измеримых по Лебегу на Rd
( \1/р
функций с конечной нормой ll/llp.fc = I f \f\vdßk I
\Rd )
L00(Rd) — пространство измеримых по Лебегу функций с конечной нормой ||/||оо = ess sup \f(x)\]
Сь(Kd), £(Md), 5(Rd) — пространства непрерывных ограниченных в Rd функций, бесконечно дифференцируемых функций, бесконечно
4
дифференцируемых и быстро убывающих к нулю функций соответственно;
г>,т - ^ + Е 3 -1 «
дХ’ а7^+ {а'Х)
— дифференциально-разностные операторы Данкля;
(I
А^/(а:) = ^/(®) “ лапласиан Данкля;
.7=1
€к(х, у) — обобщенная экспонента (решение системы £^/(х) =
= по7(*)| /(о) =!);
/*(у) = / /(х)ек{х, у)(1цк(х) — преобразование Данкля;
— подпространство в радиальных функций;
5**-1 = {х Е : |х|2 = 1} — единичная евклидова сфера в К**;
ад. = ^ — среднее значение обобщенного степенного
5^-1
веса по сфере 5й“1;
Л > —1/2, 6Л = 2АГ(Л 4-1) — нормировочная константа; 1/рл(К+), 1 < р < оо — пространство измеримых но Лебегу на
( \1/р функций С конечной нормой ||/||р,А = [ 1 / 1/1 РГ2Х+1(1г I ;
оо
Д$) = 6^ 1 f f(r)j\(rs)r2X+ldr — преобразование Ганкеля; о
V, U — выпуклые центрально-симметричные компактные тела в , \х\у^ \х\и — нормы в определяемые этими телами;
(л \1/р
\х\р = X) \ХАР I . 1 < Р < о°> Moo = max|xj| — ip-нормы в
V=» / 3
, Bj, — замкнутые единичные шары, определяемые этими нормами; -^'p,A:(CT'/)> 1<Р<2, сг>0 — класс целых в Cd функций / со спектром в aV (/ Е LPtkO&d) f|Ce,(RJ) и supp С aV);
£Р)а([0, а]) — класс четных целых в С функций / со спектром в [0,сг] (/Е Ьр>а(^+)ПС'ь(^+) и supp/С [0, <т]);
E(aV,f)2,k = inf{||/ - pllz.it : 9 в Eik(aV)}
— наилучшее приближение / € Ь2,к{классом Edk(aV)\
Eo(f)2,\ = inf{||/-0Ц2,а : <?€ ^2,л([0, сг])
— наилучшее приближение / Е Z/2,a (M-h) классом Е2,а([0,ст]);
rkf(x) = [^k(t1y)fk(y)ek(xiy)dnk(y)i t Е Md Rd
— оператор обобщенного сдвига в пространстве Ь2укЩа)]
v 1/2
v{rUJ)2,k = sup f 2 f(l - Reefc(t,y))|/fc(y)|2^ifc(y) I , r > 0
— модуль непрерывности функции / E Z/2,fc
w(T,/)2,A= sup ( 26a 1 f (I — jx{ts))\f(s)\ О<г<т \ J
00
2 _2A+1
1/2
— модуль непрерывности функции / E L2ja(^+);
D(*V,rUh,k; , e
— константа Джексона в пространстве L2,fc(®d);
£>(<7,т)2,Л =sup{ 2Л/,12’А i /е£2,Л(К+)}
I w(T, /)2,А J
— константа Джексона в пространстве L2)a(K+);
rd,fc(ffV. С/) = inf {г > 0 : Д(<тК, TU)2,k = 1/\/2}
6
— оптимальная точка или точка Черных в неравенстве Джексона;
4f,V) = sup{|x|v : Дх) > 0}
— радиус наименьшего шара но норме, определяемой телом V, вне которого действительная функция неположительна;
= :/€9Л,/^0}
— задача Логана для класса 9Я действительных функций;
М(U) — пространство регулярных борелевских действительных мер ц с носителем в С/, S+(U) — подмножество вероятностных мер; ук(х) = f e/c(x,t)dfi(t) — преобразование Данкля меры \i €
6 M(U);
Fk{U) — {Jlk : \x G 5+([/), \i — четная} — класс четных целых функций со спектром в U;
Wk'^(U) — класс четных целых функций / € Efk(U), для которых /(0) = 1 и (у) > 0 на Rd\
Wk(U) — класс четных целых функций / £ Е± k(U), для которых Д0) = 1 и /*(0) > 0;
A(Fg(U),V), A(W£'+(U),V), A(Wk(U), V) - задачи Логана для классов Fk(U), И^(СГ) соответственно;
л£ДМ2) = inf{A(/, B2d) : f е E?,fcM2d), /*(0) > 0}
— задача Логана I для евклидова шара;
A= inf{A(/,B2) : / е Eik{aDi), /*(0) = 0,
7к{у) > 0 в некоторой окрестности нуля}
— задача Логана II для евклидова шара;
Л£3(стВ%) = sup{/(0) : / € Etk{aB*), /(х) > 0 наН", /*(0) = 1}
7
— задача Фейера для евклидова шара;
A'f {аВІ) = sup{/*(0) : / Є C(Md), supp / С aBd,
/(0) = 1,/*(»)>(> на R*}
— задача Турана для евклидова шара;
Лi'\aBd2) = 8иР{/*(0) : / Є /(0) = 1,
/(*) < 0 (|*|2 > 1), /**(») > 0 на Rd}
— задача Дельсарта для евклидова шара;
Wd,a, а = (а\,... ,(id), (ij > 0 — класс целых в Cd функций экспоненциального типа а;
Td = (—7Г,7г]4 — d-мерный тор;
(I
а = (от,...,а<*) Є Rd, а > -1/2, vQ(x) = Yl |sinxj|2atJ+1
з=і
— периодический вес Якоби в Td;
dva(x) = vQ(x)dx — мера в Trf;
^2,a(Trf) — пространство измеримых по Лебегу на Td функций
( V/2
с конечной нормой 11/112,a = I f \f\2di/a ) и скалярным произведе-
V /
нием {f,g)a = / fgdva\ т d
Щ а(Т*) — подпространство L2ta(Td) четных по каждой переменной функций;
Pn*'a\t), о: > —1/2 — ортогональные многочлены на отрезке [—1,1] с весом Якоби (1 — £2)a, Рп°‘,а\ 1) = 1;
^n(x) = Pn(cosx) — четные тригонометрические полиномы порядка п Є Z+;
8
— полная ортогональная система обобщенных экспонент в 1*2,а(Т)\
<«(*) = Пе3(*і)> пегА
з=і
— полная ортогональная система обобщенных экспонент в І^аСП4*);
<(ж) = П ^ (хз)> теъ\
з=і
— полная ортогональная система в
Е 7пЄ%(х) — ряд Фурье функции / Є £2,а(Т'0;
п€2а
І'д = ^ я € |х^|(|х^| + 2а^' + 1) < Я2 ^ , Я > О
3=1
— ограниченное тело в
£я(/)2,а = ШЇ
/ - ]Г апе£
пе^я
2,а
— наилучшее приближение функции / 6 //2,аОГгі);
*£/(*) = £ Л,е“(іК(х), І€Т пег*
— оператор обобщенного сдвига в Ь2)а(Т*);
а = (аі,..., а^), 0 < < 7г, Па = П [-а^>аі] — параллелепипед
з=і
в
Т<*;
^і(5, })і,с = ^ир IJ (т‘ 1/(2/) - /(ж)|2)|г/=а. сМж)
\г<*
1/2
, (5 > О
9
— модуль непрерывности функции / Е 1/2.а(Т**);
т = (ть...,та) € Ат = {(^ть • ■. ,е<1гпа) : ^ = ±1}
— конечное подмножество в 2'*;
Т‘/(х) = £ *>“({) /„<(*)
пгб2^. ггбЛ
т
— оператор обобщенного сдвига в Ьо,с»(Т<2);
— модуль непрерывности функции / Е 1,2,0 (Xе*).
Введение
10
Общая характеристика работы
Диссертация посвящена решению многомерных экстремальных задач теории приближений и теории функций в пространствах с весом — задачи о точной константе Джексона в пространстве Li с весом и связанной с нею задачи Логана для целых функций.
Актуальность темы. Задача о точной константе в неравенстве Джексона (константе Джексона) между величиной наилучшего приближения и модулем непрерывности функции в пространстве Li является важной экстремальной задачей теории приближений. Первый точный результат для одномерного тора Т был получен Н.И. Черных [47] в 1967 году. Несмотря на кажущуюся простоту метрики Li и возможность явной записи элемента наилучшего приближения задача о константе Джексона оказалась весьма сложной и привлекла внимание многих математиков. Развитие тематики шло но пути расширения списка многообразий, на которых рассматривалось пространство Li и усложнения определения модуля непрерывности.
Точные неравенства Джексона были доказаны для многомерного тора (В.А. Юдин [51]), евклидова пространства Rd (И.И. Ибрагимов, Ф.Г. Насибов [23], В.Ю. Попов [42, 43], А.Г. Бабенко [4], A.B. Московский [37]), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж [15]), евклидовой сферы Sd~l (В.В. Арестов, В.Ю. Попов [1], В.Ю. Попов [44], А.Г. Бабенко [3]), проективных пространств (А.Г. Бабенко [5]).
Точные неравенства Джексона с к-м и более общими модулями непрерывности были доказаны Н.И. Черных [48], А.Г. Бабенко [3-5],
А.И. Козко, A.B. Рождественским [34], С.Н. Васильевым [11, 12], B.C. Балаганским [7] и другими математиками.
Константа Джексона, зависящая от приближающего подпространства и модуля непрерывности, имеет глобальный минимум. Если фиксировать приближающее подпространство, то интересной и сложной становится задача нахождения минимального значения аргумеи-
- Київ+380960830922