Обобщенные вариации в многозначном анализе

Содержание
Введение ........................................................... 4
I. Отображения ограниченной обобщенной вариации.................... 23
1. Классическая вариация но Жордану......................... 23
1.1. Основные свойства вариации........................ 23
1.2. Непрерывность и формулы для скачков .............. 27
1.3. Структурная теорема .............................. 34
1.4. Продолжение отображений........................... 43
1.5. Обобщенный принцип выбора Хелли................ 47
1.6. Отображения со значениями в ЛНП................ 51
1.7. Отображения конечной существенной вариации . 53
2. Обобщенная вариация но Риссу-Орличу...................... 59
2.1. Отображения ограниченной Ф-вариации............ 59
2.2. Отображения со значениями в ЛНП................ 67
2.3. Пространство С\гф(Е; X) .......................... 75
2.4. Метрические полугруппы отображении................ 83
3. Обобщенная вариация по Винеру-Янгу-Орличу................ 95
3.1. Основные свойства обобщенной вариации............. 95
3.2. Свойства непрерывности отображений............... 104
3.3. Пространство 111
3.4. Регуляризация отображений ....................... 121
II. Существование регулярных селекций............................. 124
4. Отображения с компактными значениями.................... 124
4.1. Селекции ограниченной вариации................... 124
4.2. Более регулярные селекции........................ 132
4.3. Представления многозначных отображений . . . 138
2
4.4. Мультиселекции ограниченной вариации........... 143
4.5. Селекции на произведении двух пространств ... 145
4.0. Функциональное включение/(0 €/'(<,/(0) • • • 149
5. Отображения с выпуклыми компактными образами . . . 155
5.1. Селекции со свойством /(*) 6 с^(0............ 155
5.2. Селекции относительно данного отображения . . 159
III. Липшицевы операторы суперпозиции.......................................... 166
6. Однозначные операторы суперпозиции................................... 166
6.1. Операторы в пространствах СУф(.Г;АГ) ........................ 166
6.2. Функциональное уравнение/(0 = /(0) • ■ • • 177
6.3. Операторы суперпозиции на од (7; А')......... 180
7. Многозначные операторы суперпозиции.................................. 184
7.1. Функциональное уравнение Иенсена............. 185
7.2. Операторы суперпозиции между классами С Уф . 190
7.3. Линейное функциональное включение ........................... 198
7.4. Операторы суперпозиции между классами . . 201
8. Отображения двух переменных.......................................... 204
8.1. Банахова алгебра ВУ(/д; К)................... 204
8.2. Операторы суперпозиции в ВУ(/£; К)........... 208
8.3. Некоторые обобщения.......................... 217
Литература .................................................................... 235
3
г
Введение
Диссертация посвящена решению проблем существования селекций многозначных отображений, решений функциональных включений и описания многозначных операторов суперпозиции в классах отображений ограниченной обобщенной вариации.
Функции ограниченной вариации играют фундаментальную роль в теории функций вещественной переменной и имеют важные приложения в других разделах математики (см. [4), [8], [15], [17], [21], [24], [27],
[37], [42], [51], [52], [53], [56], [71], [74], [90], [91], [93], [110], [115], [138],
[176]). Понятие вещественной функции ограниченной вариации на вещественной прямой М было введено К. Жорданом [128] в 1881 году в связи с признаком Дирихле сходимости рядов Фурье. Жордан также показал, что функция ограниченной вариации представима в виде разности двух неубывающих ограниченных функций. В 1905 году Дж. Витали [191] дал определение абсолютно непрерывной функции одной переменной, привел пример непрерывной функции ограниченной вариации, не являющейся абсолютно непрерывной, и предложил определение функции ограниченной вариации двух вещественных переменных. В различных контекстах функции ограниченной вариации изучали А. Лебег, Ш.Де Ля Валле-Пуссен, Г. Харди, Л.Томелли, Л.Чезари, Ф. Рисс, Н. Винер, Л. Янг и другие математики (подробнее см., например, [80, § 3.12]).
К настоящему времени теория однозначных функций (и отображений) ограниченной вариации, в той или иной мере обобщающая идеи Жордана и Витали, развивалась в нескольких направлениях. В зависимости от специфики вариации, области определения V и области значений П функций эти направления можно условно разделить следующим образом: (1) линейные вариации, где V = К" при п ^ 2 и 71 = К ([2], [11], [18], [22]. [34], [35], [36], [41], [60], [75], [76], [80], [124], [126], [141], [173], [197]; в работе [78] 71 есть метрическое пространство с дополнительными жесткими ограничениями); (й) линейные вариации, где Р = Ки 71 есть метрическое или нормированное пространство ([1], [9], [19], [60], [69], [79], [86], [87], [132], [166]); (ш) нелинейные вариации, где V — К и 71 = М ([33],
4
[38], [96], [102], [114], [115], [121], [144], [155], [178], [193], [195]); (iv) линейные вариации, где V = IR и 1Z = Rn, п ^ 1, причем функции трактуются как (некоторые новые) обобщенные функции ([65], [101], [103], [139]). Настоящая диссертация в целом относится к стыку направлений (ii) и (iii) и лишь слегка (при п = 2) затрагивает направление (i), при этом основное внимание уделяется многозначным отображениям.
Проблема существования селекций состоит в том, чтобы для данного многозначного отображения F, действующего из непустого множества Е в непустое множество А' (запись: F : Е =$ X), найти однозначное отображение f : Е —> X, удовлетворяющее условию: /(/) € F(t) для всех t € Е. Здесь многозначным отображением (или мультифункцией) называется правило F, ставящее в соответствие каждой точке t Е Е некоторое непустое подмножество F(t) С X — образ точки t или значение F в точке t, а отображение / с указанным свойством называется селекцией (селектором, сечением, ветвыо) отображения F. В силу аксиомы выбора любое многозначное отображение с непустыми значениями имеет хотя бы одну селекцию. Поэтому задача сводится к отысканию селекций, наследующих некоторые (или все) свойства многозначного отображения. Обычно эти свойства связаны с измеримостью, непрерывностью, дифференцируемостью и т.п. ([58], [82], [94], [125], [177]), что мотивируется спецификой проводимого исследования. В настоящей работе такими свойствами являются ограниченность (обобщенных) вариаций многозначного отображения относительно метрики Хаусдорфа в пространстве образов.
Основополагающие результаты о существовании измеримых селекций содержатся в работах Кастэна [92], Кастэна и Валадье [94] и Ку-ратовского и Рыль-Нарджевского [137]. В последней работе основная теорема гласит, что измеримое многозначное отображение F, действующее из измеримого пространства Е в полное сепарабельное метрическое пространство А' и имеющее замкнутые образы, обладает измеримой селекцией. Кастэн [92] показал, что так действующее многозначное отображение F измеримо тогда и только тогда, когда для него существует счетное число его измеримых селекций, поточечно плотное в образах F (представление Кастэна). Обзор результатов по измеримым селекциям
и подробная библиография содержатся в работе Вагнера [192]. Селекции со свойством Бэра получены в работах Чобана [66]—[68].
Наиболее известные результаты о существовании непрерывных селекций принадлежат Майклу [162]—[165]. Одна из теорем утверждает, что полунепрерывное снизу многозначное отображение на иаракомпакт-ном пространстве Е с замкнутыми выпуклыми образами из банахова пространства X имеет непрерывную селекцию. Подробная информация о теории непрерывных селекций, ее развитии и приложениях, отражена в работах Реповша. и Семенова [49], [177]. Влияние невыпуклости образов многозначного отображения на существование у него непрерывных селекций изучено Богатыревым |5], Гончаровым и Толстоноговым [16], Моисеевым [39] и Семеновым [55]. Универсальный подход к существованию измеримых и непрерывных селекций найден Магерлом [143]. Селекции отображений с разложимыми значениями изучались Толстоноговым [59] и Брессаном и Коломбо [89].
Существование непрерывных по Липшицу селекций для выпуклозначных отображений устанавливалось в работах Половинкина [48], Шварцмана [70], Обена и Челлины [82] и Доммиша [107], а дифференцируемых селекций — в работах Денчевой [106], Готье и Морчади [112] и Рокафеллара [179]. Основные факты о том, каким образом селекции сохраняют свойства измеримости, непрерывности по Липшицу и т. п., отражены в монографиях Обена [45] и Обена и Франковской [83].
Непрерывные и липшицевы селекции существуют для многозначных отображений, имеющих, как правило, выпуклые образы (см. также [183], [185]). Если образы не выпуклы, то в общем случае не приходится ожидать от селекций больших свойств, чем измеримость ([137]) или свойство Бэра ([67]). Действительно, в литературе известно множество примеров (Обен и Челлина [82], Хёрмес [122], Куика [136], Майкл [163]), когда непрерывное многозначное отображение на отрезке Е = [а, Ь) вещественной прямой К с компактными образами из круга в К2 или непрерывное по Липшицу отображение из Е = К3 в компактные подмножества шара из А' = Ш>3 не имеет ни одной непрерывной селекции. В настоящей работе будет показано, что для многозначного отображения
6
F ограниченной вариации из непустого подмножества Е С R в непустые компактные подмножества метрического пространства Л' селекции ограниченной вариации, проходящие через заданную точку графика Gr(F) = {(/,£) £ Е х X | х £ F(t)} отображения F, существуют всегда.
Пусть 0 ф Е С R и (;Y,d) — метрическое пространство с метрикой d. Отображение / : Е —> X называется липшицевым (запись: / £ Lip(£;A)), если конечна его (наименьшая) константа Липшица: = sup{ d{f(t),f(s))/\t - s|; t, s € E, t Ф s}. Отображение
f : E —> X называется абсолют.но непрерывным (запись: / £ АС(Е;Х)), если существует функция 6 : (0,оо) —> (0, со) такая, что для любого е > 0, любого п £ N и любого конечного набора точек {a»,6i}"=i С Е таких, что а 1 < b1 ^ а«2 < 62 ^ ^ < 6П1 из условия ]C"=i(^i “ а*) ^
вытекает, что d{f(bt), /(«0) ^ £• Более точно такое отображение / будем называть <$(•)-абсолютно непрерывными и, поскольку, вообще говоря, функция <$(•) зависит от /, будем также писать <$(•) = <$/(•)•
Отображение / : Е —> X называется отображением ограниченной (или конечной) вариации (запись: / £ BV(£; А)), если конечна его полная вариация по Жордану:
Г(/,Я) = Vd(f,E) = Sup£d(f(U), /(*_,));
£ 1 = 1
здесь и всюду ниже запись siip* означает, что супремум берется по всем разбиениям £ = {*г}™о множества Е, т. е. т £ N, {*<|>*Ъ— *т} С Е и ti-i < ti, i = 1, — т (Шварц [69, Гл.4, §9], Жордан [128]).
Хаусдорфово расстояние D ~ Dd между двумя непустыми подмножествами А и Б метрического пространства X определяется правилом:
D{A, В) = тах{е(Л, £),е(Л, Л)},
где е(А,В) = supr€Adist(х,В) и dist(х,В) — infy€# d(x, у). Хорошо известно (например, [91, Гл. II]), что D есть метрика, называемая метрикой Хаусдорфа (порожденной </), на множестве с (А') всех непустых компактных подмножеств X.
В работе [123] Хёрмес показал, что в случае, когда Е = [а, 6] и А* = Rn, любое многозначное отображение F £ Lip(£,;c(A)) имеет се-
7
лекцию / £ Lip(£; А), такую, что td(f,E) ^ £d(F,E), а также, что непрерывное отображение F : Е —> с(А) ограниченной вариации имеет непрерывную селекцию. Близкие результаты для липшицевых и абсолютно непрерывных отображений с выпуклыми и невыпуклыми компактными значениями получены в работах Гуричана и Костырко [117), Кикучи и Томита [130] и Ж у Кийи [174]. Результаты Хёрмеса обобщены Мордуховичем [40, § Д1 ] для банахова пространства X и отображения F с компактным графиком и Щлэнзаком [182* на общий случай, когда А' есть произвольное метрическое пространство. Опираясь на обобщение принципа выбора (компактности) Хелли для отображений ограниченной вариации, в работе [204] автором доказано, что многозначное отображение F £ BV(J5;c(AT)) имеет селекцию / £ ВV(Е;Х), такую, что V(i{f,E) ^ Vd(F,E). Этот результат был распространен на отображения ограниченной обобщенной вариации в смысле Рисса-Орлича и некоторые другие классы отображений в [198], [207], [199], [200], [210] и [206]. На основе уточнения принципа выбора Хелли в статьях [211], [88], [209] и [203] показано, что предположение о том, что А' — банахово пространство и график Gr(F) компактен, использованное в цитированных выше работах автора, излишне: достаточно, чтобы X было метрическим пространством (отметим, что Хёрмес и его последователи использовали теорему о компактности Арцела-Асколи).
В этой работе приводятся наиболее общие результаты о существовании селекций и мультиселекций ограниченной обобщенной вариации в предположении, что многозначное отображение F : Е X имеет областью определения произвольное непустое множество Е С R и принимает компактные значения в произвольном метрическом пространстве (A", d). Отсутствие структуры (кроме порядка) у множества Е играет решающую роль для установления селекций с конечной существенной вариацией (см. §1.7 и теорему 4.4 в §4.1).
Другими аспектами нашей теории являются существование решений ограниченной обобщенной вариации для некоторых классов функциональных включений и вложений, содержащих нелинейный оператор суперпозиции в правой части, и описание операторов суперпозиции, удо-
8
влетворяющих условию Липшица. Оператор суперпозиции (Немыцко-го) является «простейшим» нелинейным оператором (в терминологии [30, §17]), возникающим в различных разделах математики ([3], [6], [7], [28], [29], [32], [37], [43], [44], [61], [62], [72], [81], [105], [133], [134], [149], [160], [188], [189]). Изучение операторов суперпозиции, действующих в различных классах функций и отображений, представляет в последнее время тему повышенного интереса и важности. В литературе рассматривались в основном операторы суперпозиции на классах лип пищевых, гёльдеровых, интегрируемых функций и на пространствах Соболева. Нашей целыо является исследование операторов суперпозиции, в том числе и многозначных (ср. [147], [168], [129]), на классах отображений ограниченной (обобщенной) вариации одного и двух вещественных переменных.
Напомним некоторые результаты, известные для классических пространств функций одной переменной. Пусть / = (а, 6] С Ш — отрезок, К7 — алгебра всех функций / : I —* R с обычными поточечными операциями и h : I х R —»1R — данная функция двух переменных. Оператор суперпозиции Немыцкого Н = Tik : R7 —> IR7, порожденный функцией /г, определяется правилом:
= h(t, /(<)), / 6 R7, t € /;
функция h называется генератором оператора Н. Пусть 3(1) С К7 есть некоторое банахово функциональное пространство с нормой || • ||. Нас интересуют условия на генератор /г, при которых порожденный им оператор суперпозиции Н : 3(1) —► 3(1) является липшицевым, т. е. существует постоянная /г > 0 такая, что
l|W(/i) ~ Н(/2)|| < - /21| Для всех /ь /2 € В(1).
Оператор 'Н, удовлетворяющий последнему условию с ц < 1, тесно связан с решением функционального уравнения f(t) = h.(t,f(f.)), t € /, или f =z'Hf в операторной форме, относительно функции / € 3(1) при помощи классической теоремы Банаха о неподвижной точке. Так, например, если tel и h(t,x) = sin я, х £ К, то соответствующий оператор Н является липшицевым в пространстве непрерывных функций 3(1) = С(1)
9
с обычной равномерной нормой, а также в пространстве В(Г) = 7/(7) интегрируемых по Лебегу со степенью р ^ 1 функций с обычной интегральной нормой. В противоположность этому Матковски [150] доказал, что если B(I) = Lip(/) есть пространство липшицевых функций на 7 с обычной лишнидевой нормой, то из предположения о липшице-вости оператора суперпозиции Ti вытекает, что его генератор h имеет вид h(t,x) = ho(t) + hi(t)Xy t€lyx€ R, где hQ и hi — некоторые функции из Lip(/). Этот результат можно интерпретировать двояко: с одной стороны, множество липшицевых операторов суперпозиции на пространстве Lip(7) гораздо беднее, чем, скажем, на пространстве С(7), а с другой стороны, упомянутое выше функциональное уравнение нельзя решить в пространстве Lip(7) прямым применением теоремы Банаха, если генератор h зависит нелинейно от второй переменной (в этом случае следует привлечь теорему Шаудера о неподвижной точке, см. §6.2, или подобное более мощное средство).
Результат Матковского для однозначных липшицевых операторов суперпозиции и соответствующих функциональных уравнений был распространен на некоторые другие классы функций и отображений в работах [81], [135], [148], [151], [152], [153], [154], [158], [161], [188], [189] и работах автора [208], [205], [201], [202]. В случае многозначных липшицевых операторов суперпозиции имеются отдельные разрозненные результаты в основном для операторов, принимающих значения в липшицевых отображениях или отображениях ограниченной вариации по Жордану с компактными выпуклыми образами ([159], [160], [170], [184], [187], [196]). В работах автора [210], [211], [201], [206], [202] липшицевы многозначные операторы суперпозиции систематически изучены между классами отображений ограниченной обобщенной вариации одной и двух вещественных переменных с ограниченными замкнутыми выпуклыми образами, и хотя, как выясняется, класс таких операторов является «достаточно узким», получающиеся в многозначном случае результаты содержательны и представляют собой первый важный шаг для изучения более общих классов (однозначных и многозначных) операторов суперпозиции.
10
Переходим к изложению основных результатов диссертации.
В главе I (§§ 1-3) развивается теория отображений ограниченной обобщенной вариации одной вещественной переменной со значениями в метрическом пространстве в той степени, в которой она требуется для задач многозначного анализа. Главы II и III содержат приложения этой теории. В главе II (§§4-5) приводятся теоремы о селекциях ограниченной вариации и о решениях функциональных включений и вложений, а в главе III (§§6-8) дается полное описание (многозначных) липшицевых операторов суперпозиции между классами отображений ограниченной обобщенной вариации одного и двух вещественных переменных и решается линейное функциональное включение.
В § 1 устанавливаются некоторые новые и напоминаются известные результаты для отображений / G ВV(E;X) ограниченной по Жордану вариации, где 0 ^ Е С R п X — метрическое пространство с метрикой (I. В теореме 1.6 показано, что отображение / G BV(E;X) непрерывно справа в точке t G Е\ {sup£} или слева в точке t 6 Е\{mi Е} тогда и только тогда, когда его функция вариации (f(s) = V(f,E П (—со, s]), s G Е, обладает этим же свойством в точке t (так что / непрерывно на Е вне не более чем счетного подмножества Е). Это делается на основе формул для скачков, одна из которых приводится ниже: если t G Е есть предельная точка множеств Е П (—со, /] и Е П [£, ос), то
V'(/, Е) = V(f, E\t)+ lim d(f(t), f(s)) +
сЗ«—О
+ lim d(f(s), /(«))- lim d(f(b),f(a)).
Eis—1+0 Ela—t-0
Elb—d+0
В § 1.3 устанавливается следующая структурная теорема:
Теорема 1.11. Для / : Е —> X имеем: / G BV^A') тогда и только тогда, когда найдутся неубывающая ограниченная функция ç> : Е —» R и отображение g G Lip(J;A”) со свойством V(g,J П [a,b]) = b — а для
всех а, b G •/, а ^ Ь, где J = ДЕ) есть образ Е при функции д>, такие,
что f — Q о у на Е (в необходимом условии в качестве можно взять функцию вариации для /).
11
Отметим, что эта теорема верна для / £ Lip(Е\Х), когда Е ограничено, причем тогда функция вариации Для / обладает свойствами V? £ Lip(£;R) и ^|.|(9,Е) = £rf(/,jE), а также для / £ AC(2£;-V), когда Е компактно; в последнем случае для функции вариации <р имеем: £ АС(Е; R) и бу(') = Sf(-). В конце § 1.3 приводится алгебраический и топологический анализ конструкции отображения д (называемого натуральным) из теоремы 1.11.
В § 1.4 приведены результаты о продолжении отображений f : Е —>Х на всю прямую Ш с сохранением полной вариации, константы Липшица или абсолютной непрерывности, а в § 1.5 приведено следующее обобщение принципа выбора Хелли:
Теорема 1.16. Если Т С Xе есть бесконечное семейство отображений такое, что sup^ТУ{{, Е) < оо и при любом t £ Е множество {/(О I / € Е} предкомпактно в X, то Е содержит последовательность, которая поточечно на Е в метрике d сходится к некоторому отображению из BV(2?;A).
В примере 1.17 показано, что эта теорема носит точный характер.
В § 1.6 напоминаются некоторые сведения об отображениях со значениями в линейном нормированном пространстве (сокращенно, ЛНП), а в §1.7 рассматриваются отображения класса B\^SS(E;A’) конечной существенной вариации 14§(/, Е) со значениями в метрическом пространстве.
В § 2 изучаются отображения / : Е —* X ограниченной обобщенной вариации в смысле Рисса-Орлича. Обозначим через ЛГ семейство всех непрерывных выпуклых вниз функций Ф : ШН = [0. ос) —> таких, что
Ф(р) = 0 лишь при р = 0, а через — множество тех Ф £ Л', для которых Ф(р)/р = со (условие Орлича). Для Ф £ Af величина
/♦и, е)=sup £ ф _ t._
z i=1 V ч-ч-i /
)
называется полной Ф-вариацией / в смысле Рисса-Орлича. Положим В\ф(Е\Х) = {/:£—> X | Рф(/, Е) < оо}. Множество ВУФ(£; X) наиболее интересно в случае, когда Ф £ А^о, поскольку в противном случае оно совпадает с ВУ(Е\Х). Основные свойства величины Уф(/,Е)
12
собраны в предложении 2.1 (в частности, эта величина аддитивна по Е и полунепрерывна снизу по /), а в теореме 2.2 показано, что для / £ В Уф (Е;Х) с ограниченным Е справедлива структурная теорема 1.11, если в ней заменить символ BV на ВУф и дополнительно потребовать, чтобы р £ ВУф(£;Е); при этом для функции вариации p(t) = V(f,En(-oc,f]), t £ Е, отображения / £ ВУДЕ; А) имеем: Уф(р,Е) = Уф(/,Е). После изучения в §2.2 отображений / £ ВУф(/;Х), где / = [а, 6] и Л” — ЛНП, в следствии 2.6 доказывается следующее обобщение критериев Рисса [178] и Медведева [38]: если X — метрическое пространство, Ф £ Xf0о, / : / —> X и p(t) = V(f, [a, t]), t 6 /, то / € ВУФ(/;Х) р £ BV*(J;R) <=> р £ AC(/;R) и //Ф(И*)1)^ конечен, при этом Уф(/,/) = //Ф(|£У(/, [аД])|)<#. Этот результат позволяет выявить важность множеств ВУД/; X) каково бы ни было метри-ческое пространство X:
Теорема 2.8. АС([а, 6]; А') = U^a'oc ВУД[а, &]; X).
В силу нелинейности функции Ф £ Ко пространство ВУф(Е;Х) не инвариантно относительно эквивалентных метрик на А'. Поэтому в § 2.3 определяется новое пространство отображений ограниченной обобщенной Ф-вариации:
СУф(Е;Х) = U ВУФДЕ;Х),
А>0
где Фх(р) = Ф(р/А), р £ R+. Для / € GV*(E; X) тогда корректно определена величина (функционал типа Люксембурга-Накано-Орлича)
Рф(/,Е) = p<t>,d(f> Е) = inf {А > 0 | УФД/,Е) < 1},
называемая точной Ф-вариацией отображения /. Основные свойства этой величины отражены в лемме 2.11. Для отображений ограниченной обобщенной Ф-вариации f : Е —> X с ограниченным множеством Е справедлива структурная теорема 1.11, если в ней заменить символ ВУ на вУф и дополнительно потребовать, чтобы р £ GV*(E;IR); тогда для функции вариации p(t) = V(f, Е П (-ос ,<]), t £ Е. отображения / € СУФ(Е;Х) находим, что рф(р,Е) = рФ(/,Е).
13
Отметим, что введенные выше функциональные пространства для ограниченного Е и Ф £ Afc вложены друг в друга следующим образом:
Lip(Е\Х) С ВУФ(Е\Х) С вУФ(Е;Х) С АС(Е;Х) С BV(£;X) С BVess(£;A)
(предпоследнее вложение имеет место, когда Е компактно), при этом справедливы следующие аналоги неравенства Иенсена для вариаций:
V(f, Е) < \Е\Ф-' (К*(/, Е)/\Е\), / 6 BV*(S; X),
V(f,E)^(\E\)pM,E), / € GV*(Е;Х),
где |£| = sup Е - inf Е £ (0,оо) и и;Ф(/э) = рФ~1(1/р) для р > 0 (так что в силу условия Орлича ыФ(0) = limp_+o ьлДр) = 0 Для Ф £ А\»).
В теоремах 2.9 и 2.12 изучены вложения соответственно множеств ВУф(£; X) и СУф(£; X) для различных функций Ф £ АЛ Для Ф, Ф £ jV пишем Ф Ф, если найдутся постоянные С > 0 и ро > 0 такие, что Ф(р) ^ Ф(Ср) для всех р^ ро.
Теорема 2.12. Если Е ограничено и Ф Ф, то GVф(Е;Х) С GVy(E; X) и существует постоянная к = /с(Ф, Ф, |£/|) > 0 такая, что рФ(/, Е) ^ кръ(/,Е) для всех / £ СУФ(£;А'). Обратно, если I = [a,b], X — ЛНП и СУФ(7; X) С СУД7; Л'), то Ф ^ Ф.
Для ЛНП (А", || * ||) и фиксированной точки а £ Е на линейном пространстве СУФ(it; X) определим норму ||/||Ф = ||/(а)|| + Рф(/, Е), где / £ СЛ\\>(Е;Х ) и Ф £ АЛ Будем говорить, что тройка ЛНП ( X, У, Z) образует мультипликативную тройку, если найдется билинейное отображение М : А* хУ —► Z такое, что ||А7(д,?/)|| ^ |И|*|Ы| для всех х £ X и у £ У, где норма || • || вычислена в соответствующем пространстве. Для f : Е —* X и g : Е —* У положим ( fg)(t) = g{t)), t £ £\ В теореме 2.13
показано, что если £ ограничено, / £ G\%(E\X) и g £ СУФ(7Г;У), то /<7 £ G\$(E\Z) и имеет место неравенство ||/#||Ф ^ 7||/||ф|Ы|ф, где 7 = тах{1,2и;Ф(|£|)}; кроме того, если А — банахово пространство, то бУф(£; X) — также банахово пространство. Таким образом, если X есть банахова алгебра, то и СУФ(£; А) есть банахова алгебра.
С целью применения к многозначным отображениям в §2.4 изучаются метрические полугруппы отображений. Метрической полугруппой
14
называется тройка (А, с/, +). где (Л', +) есть аддитивная коммутативная полугруппа и (X, (I) есть метрическое пространство с метрикой г/, инвариантной относительно сдвигов. В §2.4.1 показано, что если (Л',с/,+) есть (полная) метрическая полугруппа и а Е Е, то множество СУФ(£; Л') является (полной) метрической полугруппой относительно поточечного сложения и метрики
В важном частном случае пространства ВУ(£;Л'), соответствующем Ф(р) = р, метрику с/Ф обозначаем через а ДФ^ — через Д^. В §2.4.2 множество Ыр(Е;Х) наделяется структурой метрической полугруппы, а в §2.4.3 устанавливаются отношения вложения 1лр(Е\Х) С ОУф(Е:Х) С ВУ(Е\Х) как метрических полугрупп.
В §3 изучаются отображения / : Е —► X ограниченной обобщенной вариации в смысле Вииера-Янга-Орлича, где, как обычно, 0 ф Е С К и (А\с1) — метрическое пространство. В этом случае важную роль играет множество Л’о тех функций Ф Е Л/*, для которых Нт^+о Ф(р)/р = О (условие Орлича в нуле). Если Ф Е АС то полная Ф-вариация отображения / в смысле Винера-Янга-Орлича определяется равенством
а множество всех отображений /, для которых Vф(/,£*) < оо, обозначается через Ъуф(Е\Х). Это множество, содержащее ВУ(£;А'), наиболее интересно в случае, когда Ф Е Л/о, поскольку для Ф Е Аг \ Ло оно совпадает с В\'(Е; X). Свойства величины уф(/, Е) собраны в предложении 3.4; среди важных свойств сохраняется полунепрерывность снизу по /, но нарушается аддитивность по Е. В отличие, скажем, от Уф(/, I) при Ф Е Лоо вычисление величины Уф(/,1) при Ф Е Л/о затруднено;
4- ДФ,<*(/,</),
где полуметрика ДФ^(/,^) определяется выражением
т
уФ(/,£)=8ирх:Ф(^/(<г). л*,..))),
* 1=1
15
в лемме 3.1 и предложении 3.3 приводятся случаи явного вычисления этой величины. Теорема З.б является аналогом структурной теоремы 1.11 для Ьуф(Е\Х); из нее вытекает теорема 3.7 о продолжении отображения / Є Ьуф(Е;Х) на все множество М.
В отличие от случая пространства ВУ(Е;Х) довольно сложно доказывается следующий результат из § 3.2:
Теорема 3.9. Отображение / Є Ьуф(Е;Х) непрерывно в точке І Є Е тогда и только тогда, когда функция <£>($) = уф(/, Е П (—оо,$]), 5 Є Е, непрерывна в этой точке (тем самым / непрерывно на Е за исключением не более чем счетного множества точек из Е).
По тем же соображениям, что и выше, определяется расширение множества Ъ\’ф(Е:Х) следующим образом:
gyф(E■,X)= У Ьуфд(£;Л'),
А>0
и для элемента / € gVф(£'; X) определяется его точная Ф-вариация:
р£(/,£)=Ы{А>0| уФд(/,£)<1}.
Основные свойства этой величины выявлены в лемме 3.17, что позволяет обобщить нашу теорему 1.16 (обобщенный принцип выбора Хелли) и теорему 1.3 из работы [167] на пространство gVф(Е\ X) (теорема 3.18).
В лемме 3.15 и теореме 3.19 изучены вложения соответственно множеств Ьуф(Е:Х) и gVф(Е',Х) для различных функций Ф Є АТ. Для Ф, Ф Є Аг пишем Ф ^ Ф, если Итвирр^о Ф(р)/Ф(Ср) < ос для некоторой постоянной С > 0. В теореме 3.19 показано, что если Ф ^Ф, то gvф(Е; Л") с gVф(£,; X) и найдется постоянная к = к(Ф, Ф) > 0 такая, что р%(ф>Е) < кр%(/,Е) для всех / Є 8уф(іГ;Л'), и обратно, если 1 - [а, 6], X — ЛНІІ и йУф(/;Л') С £у*(1; X), то Ф^Ф. Так же, как и выше, в теореме 3.20 показано, что если X есть банахова алгебра, то и ф(Е; X) есть банахова алгебра с нормой ||/||$ = ||/(а)|| + рф(/, Е)> где а Є Е.
Если (Худ, +) есть метрическая полугруппа, то множество £\ф(Е: X) превращается в метрическую полугруппу, если в нем ввести операцию поточечного сложения и метрику бф(/,</) = б(/(а),д(а)) 4- &% (і(/.д), где
16
полуметрика Дфопределяется как величина Дфд(/, #), если в ней вычеркнуть выражения - /,_ь
Параграф 3.4 иосиг вспомогательный характер. Пусть X — полное метрическое пространство, I = [а, Ь] и Ф Е Л/\ Обозначим через gv<J(/; АТ) подмножество в %\ф(1;Х), состоящее из тех отображений, которые непрерывны слева на полуинтервале (а, Ь]. Для отображения / Е $уф(1;Х) определим его левую регуляризацию /*:/—* X правилом: /*(/) = \\ms^t-o f(s) в X, если а < t ^ 6, и /*(а) = Нт^а+0/40 в • Основной результат (теорема 3.22) состоит в том, что если / Е g'\j>(/; А'), то Г Egvi(/;A).
В § 4 приводятся основные теоремы о существовании регулярных селекций и решений функциональных включений для многозначных отображений с компактными значениями. Если не оговорено противное, то считаем, что 0 ф Е С М и (Х,<1) — метрическое пространство. Главный результат §4.1, базирующийся на теореме 1.16, есть
Теорема 4.2 (о BV селекциях). Если F Е BV(£; с(Х)), t0 Е Е и х0 G А', то существует селекция { Е ВУ(Е;Х) отображения F такая, что Vd(f, Е) ^ Vd(F, Е) и d(xо, f(t0)) = dist(*o, F(to)).
Пример 4.3 показывает, что неравенство в этой теореме может нарушаться, если образы F(t) отображения F лишь ограничены и замкнуты. В теоремах 4.4 и 4.5 установлено, что результат теоремы 4.2 остается справедливым для отображений F из классов BV^ (для краткости опущено (Е;с(Х))), Lip, BVflC, АС, В\'Ф и GV<j>, где Ф Е Лд в этом случае «сохраняется» величина, характеризующая класс: например, если F Е BV^, то Vcss><i{f, Е) ^ VcssiD(F, Е), для F Е Lip находим, что < Cd(F,E), ..., а для F Е С\Ф имеем: < рф:0{Е,Е).
Неулучшаемость теоремы 4.2 представлена также в примере 4.7: существует непрерывное по Гёльдеру с любым показателем 7 Е (0,1) многозначное отображение F : [-1,1] —» c(R2) (и, значит, F имеет ограниченную р-вариацию в смысле Винера с р = 1/7), не имеющее непрерывных селекций и селекций ограниченной р- вариации при любом р ^ 1.
Параграф 4.3 посвящен описанию многозначных отображений ограниченной вариации типа представления Кастэна. Сформулируем один
17
из результатов в этом направлении (теорему 4.11(e)): многозначное отображение F : Е —> с(Х) на ограниченном множестве Е принадлежит классу G\^(E;c(X)), где Ф Е АЛ тогда и только тогда, когда существует функция Е С\ф(Е; R) и поточечно предкомпактиая последовательность С Lip(/; X), где <7 = <р(£) и supri6N 4*($п, .7) ^ 1, такие, что
F(t) есть замыкание в Л' множества {^(^(f))}^ для всех t € Е.
В § 4.4 и § 4.6 устанавливается существование мультиселекций и решений функциональных вложений ограниченной обобщенной вариации.
Теорема 4.18. Пусть F : Ехс(Х) —> с(Х) удовлетворяет условиям: (i) 3^ G BV(F;!R) м р Е [0,1) такие, что D(F(t, -4), F(s, jB)) ^ pD{A,B) для всех t,s Е Е и Л, В Е с(Х); (И) ЗЛТ : Е —+ с(Х) такое, что F(t,A) С 7i(0 öcct Л Е с(А). Тогда для любых t.0 Е F u £0 Е с(А) найдется X Е BV(F;c(A)) со свойствами: (a) £(£) С F(/,j£(*)) <?,гя всех f Е F; (b) Vr^(T,F) ^ V(ip,E)/( 1 - д); (с) D(X0,X(t0)) ^ е(Т0,F(*0,Т(М))- Если же Т0 таково, что То С F(£0,To)> то неравенство в (с) можно заменить на равенство X(to) = Тц
Эта теорема распространяется на другие классы отображений ограниченной обобщенной вариации и содержит в качестве частных случаев теорему 4.12 о существовании мультиселекций (когда F не зависит от второго аргумента) и теорему 4.16 о существовании решений функциональных включений (когда F : Е х X —> с(АГ)).
В § 4.5 доказана теорема 4.15 о существовании (в том числе непрерывных) селекций для многозначного отображения F : I х X —> с(У') двух переменных такого, что по первому аргументу (при фиксированном втором) оно принадлежит классу G\>(7;c(F)), Ф Е Лб», а по второму аргументу (при фиксированном первом) является полунепрерывным сверху на топологическом пространстве X.
В §5 уточняются селекционные теоремы из §4 в том случае, когда множество прибытия X имеет дополнительные структуры. Так, в теореме 5.1 показано, что если в предположениях теоремы 4.2 о BV селекциях X есть вещественное гильбертово пространство, сс(Л') обозначает семейство всех непустых компактных выпуклых подмножеств X, F Е BV(F;cc(A')), £0 Е Е и х0 лежит на границе dF(t0) множества
18
/4*0), то селекцию / Є ВУ(Е;Х) отображения Е можно дополнительно выбрать со свойствами: /(ґ) € дЕ{Ь) для всех і Є Е и /(*о) = з-'о- В теоремах 5.4 и 5.5 построены селекции относительно данного отображения у: если I = [а, 6], ^ Є 7, (А\ || • ||) — банахово пространство над Р., К С X — замкнутый выпуклый конус, Ф Є А/*«,, Е Є ОУФ(7; сс(Л')) и ;/ Є СтУф(/;/і), то і7 обладает селекцией / Є СУф(/;/і) такой, что АФ,</(??,/) ^ АФіГ(т?,А) и ||/;(/0) - /(МП = сНвфД/о), А(*0)).
Однозначные липшицевы операторы суперпозиции между ЛЫП ограниченной обобщенной вариации охарактеризованы в § 6. Основная цель этого параграфа состоит в том, чтобы уже в модельной ситуации выявить те трудности, которые встретятся в многозначном случае, и оценить ожидаемые результаты. Ниже утверждения сразу приводятся для многозначных операторов суперпозиции.
Если (У, || • ||) есть ЛНП над Е, то обозначим через сЬс(У) семейство всех непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств У
* ___________
с метрикой Хаусдорфа І). Для А, В Є сЬс(У) положим А 4- В = .4 4- В,
где А + В = {х у \ х £ А, у £ В} и А + В есть замыкание в У мно-
*
жества А 4- В. Тогда тройка (сЬс(У), £>, +) является метрической полугруппой. Если 7 = (а, 6], (X, || • ||) есть ЛНП с индуцированной метрикой сI, К С X есть выпуклый конус и Ф, Ф Є Л/\ то тройки (вУф(7; А'), с/Ф, 4-) и (СУф(/; сЬс(У)), 7)ф, -ь) также являются метрическими полугруппами.
Многозначный оператор Т : К —> сЬс(У) называется линейным, если он ^-аддитивен (т. е. Т(х 4- у) = Тх 4- Ту для всех х, у Є К) и неотрицательно однороден (т.е. Т(Хх) = ХТх для всех х Є К и Л Є В£+). Обозначим через ЦЛ';сЬс(У)) метрическую полугруппу всех линейных липшицевых многозначных операторов Т : К —* сЬс(У), наделенную метрикой если Г, 5 € Т(А';сЬс(У)), то
Вь(Т,Б) = вир БІТх 4- Эу,5х 4- Ту)/Ця - у||.
х,у£К,Хуіу
Для заданного многозначного отображения Н : 7 х А' —► сЬс(У) оператор 'Н : А'7 —» сЬс(У)7, определенный правилом = /А(7, /(/)),
£ Є 7, / : 7 —► А', называется оператором суперпозиции с генератором 7/.
Основной результат § 7.2 есть следующая
19
Теорема 7.3. Пусть Ф Е N, Ф Е Л^с м У — банахово пространство. Если
■Н 6 LiP(GV*(/;A');GV»(/;cbc(F))), (*)
то H(t, •) Е Lip(A';cbc(Y)) <?ая всех t £ I и существуют отображения Но £ GV*(/;cbc(Y)) и Я] : / —► L(A';cbc(Y)) со свойством ЯД*)х = [г»—» ЯД2)х] 6 GV*(/;cbc(Y)) всех х € А', такие, что
H(t,x) = H0(t) + H\(t)x, t£L x € K. (**)
Более того, если о условиях выше Ига,-.«, Ф_1(р)/Ф_1(/?) = 0, то H(t.,x) = H(t. 0) для всех t Е I и х Е К (т.. е. 'Н — постоянный операт.ор).
Обратно, если Ф^Ф, Я0 € GV*(7; cbc(Y)), Нх Е GV*(7; L(A';cbc(Y))) и генератор Я имеет вид (**), то оператор суперпозиции Н удовлетворяет условию (*).
Для липшицевых операторов суперпозиции между метрическими полугруппами типа %уф основной результат (теорема 7.6) сходен с приведенной теоремой, но следует ЯД,х) в (**) заменить на левую регуляризацию H*(t,x) по первой переменной.
На основе теоремы 7.3 при X = У и селекционных теорем относительно данного отображения из §5 в теореме 7.5 доказано существование решения / Е GV*(i;A') функционального включения вида ДО Е Яо(0 -I- ЯД0Д0* < € /, в случае, когда Я0 Е GV*(/;сс(А')), Я| Е GУф(/;£(А”;сс(АТ))) и max{l, 2илД|/|)} • (^(ЯДа))+p*,dl№)) < 1.
Чтобы показать, что развитые в диссертации методы исследования годятся не только для отображений одной вещественной переменной, в последнем §8 операторы суперпозиции рассматриваются на (модельном) пространстве отображений двух вещественных переменных, имеющих ограниченную вариацию в смысле Витали-Харди.
Пусть 1ьа = [аь&Д х [а2,Ь2] есть основной прямоугольник (область определения отображений), где а = (öba2), b = (bub2) Е Р.2, «i < 6Ь а-2 < 62, пусть (АГ, Я, -h) есть метрическая полугруппа и / : Iha —> X -заданное отображение. Смешанная разность / на подпрямоугольнике IУ = [а*!,7/Д х [х2,у2] с 1ьа есть величина:
cAfJx) = cd(f^x]f2) = d(Kf(xl,x2) + Д</ь2/2),Д**ьЫ + /(;Vi, х2)).
20
Для произвольных разбиений £ = {*,-}£0 отрезка [аь 61) и ;/ = {^}”_0 отрезка [а2, Ь2] положим /,д = [<,-_!, 1^] х з;), г = 1 ; = 1,..., п.
Тогда вторая вариация по Витали-Харди отображения / определяется правилом:
m п
г6>
ц(/^) = 8ир ££«*(/,/,„•),
1=1^=1
а полной вариацией / на называется величина:
Г^(/,/аь) = 1/(/(-)а2))[а1,61]) + У(/(а1,-).[«2,М) + '/2(/Ла)-
Полагаем ВУ(/^;Х) = {/ : 1ьа —> X | ТУ<*(/,/*) < оо}. В теореме 8.1 установлено, что пространство ВУ(/^;Е) является банаховой алгеброй с обычными поточечными операциями и нормой ||/|| = |/(а)| + ТУ\.\(/. 1^.), причем для /, д € ВУ(/£;К) имеет место неравенство ||/-</|| ^ 4||/|| • \\д\\.
Если (X, +) есть полная метрическая полугруппа, то для отобра-
жения / € ВУ(/^;А') определяем его левую-левую регуляризацию /* правилом:
Г(хих2) =
lim /(г/ь 2/2), если «і < ті ^ 61 и а2 < х2 ^ Ь2,
(У1 -У2Н(*1 -0,12-0)
lim /(г/ь у2), если а, < х, < bx и х2 = а2,
Ы »i/2 )—(«1 —0,02+0)
, lim /ІУі,Уї), если X! = а, и а2 < х2 < Ь2,
(уі -Уз)—*(ог +0.Х2-0)
v lim „ /(2/1,2/2), если г, = а, и х2 = а2.
(У 1 »Уг)“*(а1 +0,а2+0)
Следует отметить, что условие (г/ь 2/2) —і► (хі - 0,т2 — 0) означает, что (г/1,2/2) є /а6, г/1 < хь г/2 < *2 и (г/1,2/2) х2) В К2, и аналогично
для других трех пределов. Отображение / : 1ьа —> А' называется непрерывным слева-слева, если /*(тьт2) = /(хьт2) для всех Х\ Є (аьМ и х2 Є (а2,62]. Обозначим через ВУДТ^Х) подпространство в ВУ(/Д X) тех отображений, которые непрерывны слева-слева. Отметим, что (лемма 8.3) если / Є ВУ(/и6; А), то /• € ВУД706; X).
Для метрической полугруппы (А, б/, +) структура метрической полугруппы на ВУ(/<5; А') вводится следующим образом: операция сложения определяется поточечно, а метрика (1Ву определяется для отображений
21
Л 9 Є ВУ(/*; Л') по правилу: йВу{/,д) = д(/(а),$(а)) + Дві^(/,0>/£)і где &ВУ4ІІ,д,ІЇЇ) = Даі (/(•іа2)^(,»в2)) + А^(/(аь-),^(аь-)) + Д2(/, </,/„),
через Д^ДД*, а2), <7(*>а2)) обозначена величина Д1(*, вычисленная в метрике б/ для отображений / ь-> /($,а2) и і і—> р(<,а2) на отрезке [аі.бі], и аналогичный смысл имеет выражение Д£2 (♦,•)> а величина Д2(/,0,/„) находится по правилу (прямоугольники определены выше):
ш п
Дг (/,$,46) = вир
*.»7 г=1 ;=1
здесь супремум берется по всем разбиениям £ = {£,}™0 и 7/ — (5Л£=о отрезков [аі,6і] и [а2,62] соответственно, а значение д, 1%) на под-
прямоугольнике 1% = [ЯьУі] х [х2, */2] С есть
Д1;?’)=(7(/(®і^2) + /(уі,г/2) + </(*і>г/2) +5(2/1,22),
5(*і. 1’2) + 5(2/1, у2) + /(*1 ,Уг) + /(2/1 > *г)) • Основной результат для операторов суперпозиции есть
Теорема 8.10. Пусть (Л”, | • |) и (У, | • |) есть два ЛНП, К С X — выпуклый конус, Н : 1ьа х К —+ сЬс(У) и П есть оператор суперпозиции: (Я/)(х) = Я(х, /(х)) для х Є 1ьа и і : 1ьа-+ К.
Если У — вещественное банахово пространство и
Н Є ЬІР(В\-(/аь;Л'):ВУ(4ь;сЬс(У))),
те Я(х,-) Є Ьір(А’;сЬс(У)) для всех х Є 1% и найдутся два отображения Но Є ВУ*(/д;сЬс(У)) гг Ні : I* —> А(А';сЬс(У)), причем #і(-)гг Є ВУ’(/о;сЬс(У)) для всех и Є А\ такие, что Н*(х,и) = Яо(х) + Н\{х)и, х € /а6, гг Є Я, где Я*(х , гг) есть левая-левая регуляризация отображения х і—> Н(х, и), и Є А'.
Обратно, если Ні Є ВУ(/*; А(А';сЬс(У))), Я0 Є ВУ(/д;сЬс(У)) гг отображение Я действует по правилу Я(х, гг) = Я0(х) + Я^х^гг д;ія х Є /*, гг Є Л", тс/ И Є Ур(ВУ(4;Л-);ВУ(/‘;сЬс(У))).
В необходимом условии этой теоремы II* нельзя заменить на Я; соответствующий пример построен в теореме 8.6.
22
I. Отображения ограниченной обобщенной
вариации
В этой главе развивается теория отображений ограниченной обобщенной вариации одной вещественной переменной со значениями в метрическом пространстве в той степени, в которой она требуется для задач многозначного анализа, а также напоминаются некоторые известные результаты.
1. Классическая вариация по Жордану
1.1. Основные свойства вариации
Всюду ниже используются стандартные обозначения для числовых множеств М, 2, К. М+ и С соответственно натуральных (без нуля), целых, вещественных, неотрицательных и комплексных чисел. Для непустого множества £ С К и £, а, 6 Е £, а < 6, положим Е^ = {$ £ Е \ $ < /.}, Е* = {« 6 Г | ^ 5}, ^ = {5 6 ^ | а ^ 5 $ 6} и [а, 6] = Се-
мейство всех отображений / : Е —> Л' из Е в множество Л' обозначается через Xе, а образ / 6 Xе — через }{Е) = {/(2) | £ € Е}. Если (Л', (I) — метрическое пространство с метрикой & и / Е Xе, обозначим через оъс(/.Е) = зир{(/(/(£). /($)) | £, 5 Е Е] диаметр образа }{Е) или колебание / на множестве Е. Композиция д о : Е —► Л' двух отображений (р : Е —* «7 и д : .7 —* Л' определяется обычным образом: (д о ^)(£) = </(у>(£)) для всех t £ Е. Запись Р \= С) или С} =: Р означает, что выражение Р определено посредством выражения (].
Всюду ниже, если не оговорено противное, 0 ф Е С М и (X\(1) — метрическое пространство.
Пусть Т{Е) = {£ = {*(}£0 С Е | т € N. и, г = —
множество всех разбиений Е конечными упорядоченными наборами точек из Е. Для отображения / : Е -» X и разбиения £ = {£,}™0 Е Р(Е)
23