Оглавление
Введение ............................................................ 4
0. Торические многообразия и основные сведения о них 17
0.1. Определение симплициального торического
многообразия ................................................. 17
0.2. Однородные координаты на торических
многообразиях...................., 21
1. Формула Ботта в торических многообразиях и некоторые комбинаторные тождества 27
1.1. Формула Ботта в проективном
пространстве ................................................. 28
1.2. Формула Ботта в торическом многообразии.
Первая формулировка............................................29
1.3. Формула Ботта в торическом многообразии.
Вторая формулировка............................................38
1.4. Сравнение различных формул Ботта и
некоторые комбинаторные тождества .............................46
1.5. Вычисление эйлеровой характеристики
пучков с логарифмическими полюсами.............................51
2. Полиномы Гильберта-Эрхарта 54
2.1. Полиномы Гильберта-Эрхарта
и двойственность Серра ........................................54
2.2. Связь коэффициентов полинома Ер(и)
с индексами пересечений........................................60
2
3. Гиперповерхности общего положения и когомологическое
приведение дифференциальных форм 73
3.1. Гиперповерхности общего положения
в торической компактификации.................................73
3.2. Когомологическое приведение
(понижение порядка полюсов)..................................82
Заключение.......................................................86
Библиография ....................................................87
3
Введение
Проблемы, рассматриваемые в диссертации, лежат на стыке многомерного комплексного анализа, алгебраической геометрии и комбинаторики.
Вычисление интегралов от рациональных дифференциальных форм на комплексном многообразии X с полюсами на гиперповерхности V приводит к изучению групп когомологий дополнения Х\Б. Интерпретация этих групп когомологий как групп когомологий де Рама позволяет свести топологическую задачу к алгебраической благодаря фундаментальному результату А. Гротенди-ка. А именно, его так называемая ’’алгебраическая теорема де Рама” (см. [26]) утверждает, что когомологии неособого аффинного алгебраического многообразия могут быть вычислены по комплексу де Рама рациональных дифференциальных форм. Задача описания групп когомологий де Рама, т.е. задача нахождения размерности и рационального базиса этой группы является весьма актуальной и сложной.
Другой класс задач, связанный с когомологиями гиперповерхностей, состоит в изучении структуры групп когомологий Чеха пучков рациональных дифференциальных форм на многообразии с полюсами на гиперповерхности (дивизо-ре).
При вычислении когомологий квазиаффинных многообразий и при изучении пучков рациональных дифференциальных форм на многообразии возникает необходимость переходить к различным компактификациям. В последние годы большую популярность в качестве компактифицирующих многообразий получили торические многообразия (см. [14, б, 15]). Эти многообразия являются естественным обобщением как аффинного пространства С'1, так и проективного пространства РЛ. Понятие веера, кодирующего торическое многообразие, впервые появилось в работе М. Демазюра [22] при изучении действий алгебраических групп на рациональных многообразиях. Дальнейшее становление теории тори-чсских многообразий стимулировалось пионерскими работами А. Г. Хованского [13], В. И. Данилова [3], Д. Мамфорда и др. [36], Т. Ода [32] и другими. Торические многообразия составляют специальный класс: эти многообразия нормальны, они являются примерами многообразий Коэна-Маколея и все их особенности рациональны. Тем не менее, они являются хорошей ”тестовой площадкой” для многих общих теорий.
4
Простая комбинаторная структура торического многообразия позволяет формулировать и решать многие задачи алгебраической геометрии комбинаторным путём (например, Кушниренко и Бернштейном была решена задача об индексе пересечения дивизоров общего положения в торическом многообразии на языке смешанных объёмов Минковского многогранников Ныотона, см. [2]) и, наоборот, решать комбинаторные задачи с помощью алгебраической геометрии (например, доказательство гипотез Макмуллена относительно чисел вершин, рёбер, граней и т.д. выпуклого симплициального многогранника было предъявлено Стенли с использованием так называемой трудной теоремы Лефшепа для тори-ческих многообразий, см. [37]). Определение торического многообразия с помощью комбинаторного объекта - веера делает все вычисления более конкретными и служит хорошим источником примеров. Этот подход позволяет связать многие понятия алгебраической геометрии и анализа (пучки, циклы и т.д.) с понятиями элементарной геометрии (многогранники, конусы и т.д.).
В диссертации решаются следующие задачи: вычисление размерности групп когомологий полного симплициального торического многообразия с коэффициентами в пучке дифференциальных форм с полюсами на обильном дивизоре Картье, выяснение вопроса, в каких торических компактификациях пространства С7* заданная аффинная гиперповерхность пересекает трансверсально бесконечно удалённые дивизоры, и задача о понижении порядка полюса рациональной дифференциальной формы (задача когомологического приведения) на пеособом торическом многообразии.
Диссертация состоит из трёх глав и одной вводной главы. Опишем коротко содержание диссертации по главам.
В вводной главе приводится определение торического многообразия и однородных координат на торическом многообразии. Каждое торическое многообразие X = Х(Е) задаётся с помощью веера Е - набора выпуклых полиэдральных конусов в пространстве Я71. Конусу а € Е ставится в соответствие аффинное торическое многообразие иа, а всё многообразие X получается объединением IIа по всем конусам а € Е. Многообразие X является полным (компактным), если носитель веера Е совпадает со всем пространством И". Торическое многообразие X = Х(Е) называется симплициальным, если каждый конус о веера Е порождается линейно независимым набором векторов. Подобно тому, как проек-
5
тивное пространство Рп реализуется как множество классов последовательностей ненулевых комплексных чисел z\, ... ,zn+1 по отношению эквивалентности
(Z\ zn+x) ~ (AZi, ... ,Azn+i), А 6 С\{0},
полное симплициальное торическое многообразие X = X(Е) изоморфно фактору
Х(Е) = U(Z)/G( Е)
открытого в топологии Зарисского множества f/(E) = С^\Х(Е). где Z(Е) -объединение некоторых плоскостей в Cd по действию алгебраической группы G( Е).
В параграфе 0.2 приводится определение однородного координатного кольца многообразия X - кольца полиномов
S = S(E) = C[sb...,*]f
каждая переменная Zi которого сопоставлена целой образующей и,- и тор-инвариантному дивизору Д - образующей группы DivX дивизоров Вейля на многообразии X. Кольцо S градуировано по степеням. Под степенью монома zu = понимается соответствующий класс дивизора
' d .1 = 1
в группе Чжоу ЛП_1(Х) многообразия X.
Глава 1 посвящена выводу формулы, вычисляющей размерность групп когомологий Чеха пучка OFx{D) рациональных дифференциальных/>форм Зарисского на полном торическом многообразии X с полюсами на дивизоре Картье Д - формулы Ботта в торическом многообразии.
Обозначим размерность q-й группы когомологий когерентного пучка Т на полном многообразии X через
hq(X, Т) := dime Hq(X, Т).
Пусть Qpn(k) - пучок рациональных дифференциальных форм на проективном пространстве Рп с полюсами порядка к на гиперплоском сечении Рп. Известен следующий результат о когомологиях пучка Г2рП(/с) (см. [9], с. 13), сформулированный в параграфе 1.1.
6
Теорема 1.1. Формула Ботта в Рп Размерность гриппы когомологий НЧ(Р7\ ПрП(А;)) вычисляется по формулам:
В параграфе 1.2 приводится доказательство первого варианта обобщения формулы Вотта в торическом многообразии, являющейся обобщением формулы Ботта в Рп.
Напомним, что дивизором Картье В на многообразии X называется дивизор, который локально задан одним уравнением. Дивизор Картье О определяет обратимый пучок Ох(В) на X, сечения которого над аффинными частями многообразия X состоят из функций с полюсами на Б.
Пусть дивизор Картье представляется как сумма неприводимых тор-ин-вариантных дивизоров В = Х^=1 с Целыми коэффициентами.
Определение. Множество
называется опорным многогранником для пучка Ох (В).
Каждая грань Ра многогранника Р, соответствующая конусу о Є Е, определяется как пересечение опорных плоскостей к Р с нормальными векторами из конуса (—о).
Определение. Обратимый пучок Ь на X называется обильным., если некоторая его тензорная степень Ь®к (к > 0) порождается глобальными сечениями и даёт вло?кение X в проективное пространство Р(Я°(Х, Ь)).
1)
2) При к > 0
/?*(РП, Пррп(к)) =
Р = Рп ■= {т Є Кп : (ш, Оі) ^ -а,, г = I, ... , с/}
7
- Київ+380960830922