Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава I. ПОРОЖДАЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ 20 Раздел 1.1. Кольца, определяемые радиальными весами 20
§ 1.1.1. Основные определения и вспомогательные результаты 20
§ 1.1.2. Порождающие и их нулевые множества 28
§ 1.1.3. Порождающие идеалы, характеризуемые функцией
расстояния до нулевых множеств 33
Раздел 1.11. Кольца, определяемые весами, зависящими
от модулей переменных 41
§ 1.11.1. Основные определения 41
§ 1.11.2. Описание порождающих идеалов с помощью одномерных
характеристик нулевых множеств 45
§ 1.11.3. Описание порождающих идеалов с помощью многомерных
характеристик нулевых множеств 49
§ 1.11.4. Описание порождающих идеалов с помощью функции
расстояния до нулевых множеств 53
§ 1.И.5. Дифференциальные идеалы 57
Глава II. ПОРОЖДАЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ В
КОНКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 65
§ 11.1. Пространства, определяемые неубывающими и
невозрастающими весовыми системами 65
§ 11.2. Порождающие для пространств, определяемых
уточненным порядком 72
§ П.З. Порождающие для пространств целых функций с
оценкой индикатора 79
Глава III. ПРИЛОЖЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ СВЕРТКИ И СИСТЕМАМ
УРАВНЕНИЙ СВЕРТКИ 89
§ III.1. Оператор свертки в пространстве Н{С**) 89
2
§ III.2. Оператор р-свертки в р-выпуклых областях 95
Литература 99
3
ВВЕДЕНИЕ
Задача о характеризации всех конечнопорожденных идеалов в данном кольце, совпадающих со всем этим кольцом, исследовалась многими авторами в различных разделах алгебры и анализа и имеет ряд важных приложений (например, в теории уравнений типа свертки и теории интерполяции). В настоящей работе она будет исследоваться для весовых пространств целых в СЛ функций. Поэтому как саму ее постановку, так и краткую предысторию мы дадим, коснувшись лишь тех работ, которые имеют непосредственное отношение к теме диссертации, никоим образом не претендуя на полноту освещения всех направлений в ее исследовании.
Задача о порождающих заключается в следующем:
Пусть Е - некоторое кольцо целых в СЛ функций; ‘J = (/ь ..., fm)
- фиксированный набор ненулевых элементов из Е. Необходимо pern
шить вопрос о том, когда идеал Е[3] := {/ = Y^djfj : 9j € Е>
3=1
1 ^ j ^ т) с образующими Д,..., и совпадает со всем кольцом Е. Такие идеалы мы условимся в дальнейшем называть порождающими.
Задача о характеризации порождающих идеалов исследовалась А.Ф.Леонтьевым [17], В.В.Напалковым [20], А.Ю.Тимофеевым [23]— [25], [36), Ф.А.Шамояном [27], L.Carleson’oM [28], W.Hennekemper’oM [29], L.Hormander’oM [30], J.J.Kelleher’oM и В.А.ТауЬг’ом [31], [32),
H.Scoda [35). Начиная с работы [28], относящейся к кольцу аналитических ограниченных в единичном круге функций, условия, при которых система функций порождает конкретное кольцо целых функций,
4
даются через оценку снизу 1/1(3)| + • • • + |/т(^)| И, |17], [20], [23], [28], [30]—[35].
В [29] \'У.Неппекетрег рассмотрел кольцо всех целых в комплексной плоскости функций конечного порядка:
[оо,0)с:={/ € Я(С)| Зр > 0 ЗС > 0 : 1п|/(з)| ^ \г\р + С}.
Он показал, что [оо,0)с[5] совпадает с [оо,0)с тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие
Существует р > 0 такое, что при любом г € С хотя бы одна из функций набора 3* не обращается в нуль (1) в круге {гь € С| |гс — г\ < р~1 ехр(—|^|р)}.
Кроме того, там же установлено, что [оо, 0)с[9] = [эс,0)с тогда и только тогда, когда [оо, 0)с[2] - дифференциальный идеал, то есть, идеал, инвариантный относительно операции дифференцирования. Заметим, что условие \У.Неппекетрег а (1) эквивалентно такому:
Зр > 0 : 1п г ^ \г\р + р, Уг е С,
где <к(г) := Бир{с2 > 0| Эj (1 < ] < т) : /,(С) ф 0 при \£ - г\ < (I}.
Позже была сделана попытка получить аналогичные результаты для колец [р, 0]с всех целых в € функций минимального типа при порядке р (см. [24|, [36]) и [р,оо]с - всех целых в € функций, имеющих порядок не выше р ([25]). Но, как будет показано в диссертации, соответствующие результаты [24], [25], [36] ошибочны. Более того, будет установлено, что для этих колец характеризация в терминах функции с1?(г) невозможна. Других результатов в данном направлении нам неизвестно.
В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача об описании порождающих идеалов через нулевые множества их образующих в кольцах целых функций, задаваемых весовыми функциями,
5
подчиненными некоторым достаточно общим свойствам. В диссертации исследованы следующие ее аспекты:
• характеризация порождающих идеалов для колец целых функций многих переменных, определяемых радиальными весами и весами, зависящими от модулей переменных, в зависимости от распределения нулевых множеств их образующих;
• описание порождающих идеалов в этих кольцах через функцию расстояния до нулевых множеств образующих;
• выделение классов весов, для которых дифференциальные идеалы совпадают с порождающими;
• характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора;
• применение полученных результатов к задаче о факторизации оператора свертки и системам уравнений свертки.
Диссертация состоит из Введения и трех глав, первая глава разделяется на два раздела; в первой главе мы придерживаемся тройной нумерации параграфов (§ 1.1.3 - третий параграф раздела I главы I), определений, получаемых утверждений и формул (определение 1.1.1 - определение 1 раздела I главы I; теорема 1.11.3 - теорема 3 раздела II главы I; (1.11.1) - первая формула раздела II главы I); во второй и третьей главах - двойная нумерация параграфов (§ III.1 - первый параграф главы III) и тройная - пунктов, утверждений и формул (п. II.1.3 - третий пункт § 11.1; теорема Ш.2.2 - теорема 2 § III.2; (П.3.2) - вторая формула § II.3).
Остановимся на основных результатах работы.
Первая глава диссертационной работы состоит из двух разделов. В первом разделе рассматривается задача о характеризации порождающих идеалов в кольцах целых функций многих переменных с ростом, определяемым радиальными весами.
Определение 1.1.1. Непрерывная функция р : [0, ос) —> г0,оо) называется радиальной весовой функцией или радиальным весом, если она удовлетворяет следующим условиям:
(а) р(г) не убывает па [0,оо);
(0) In г = о(р(г)) при г -> эо;
(т) р(ехрг) выпукла на R.
Полагаем p(z) := p(\z\) для 2 G €jV, где \z\ - обычная евклидова норма в Cv. По р определим радиальное весовое пространство целых в СЛ функций
Ер := {/ € H(CN)\ 3С = C(f) € (0. оо) :
ln|/(*)|<p(*) + C, Vz е С'4'}.
Определение I.I.2. Будем говорить, что множество У радиальных весовых функций является радиальной весовой системой, если для любых pi G У и р2 G У найдутся р G У и А G (0, оо) такие, что
Р\ (2г) +p2(2r) ^ p(r) + Л
для всех г ^ 0.
В первом разделе главы I изучаются кольца вида Еу := (J Ер, где
ре9
У - радиальная весовая система.
В первом параграфе приводятся основные определения и вспомо-гательные результаты.
Во втором параграфе получен критерий, связывающий порождающие идеалы в кольце Еу с массивностью нулевых множеств их образующих:
Пусть / - целая в Сд’ отличная от тождественного нуля функция. При фиксированном С 6 £>i := {w Е CN : |ги| = 1} обозначим
через rifyX(t]() число нулей функции f(z + (и) одной комплексной
переменной и в круге {и € С : |и| ^ £}, I > 0. Введем следующую характеристику массивности нулевого множества функции / вблизи точки 2
г
ЛТД*; г) '=^ !<1а( ^1п<,
51 О
где дет - элемент площади поверхности сферы 5!, а <тдг - площадь в С* ^ Е2ЛГ. С целью упрощения записи полагаем М!{г) := \г\)
при 2^0; Д^(0) = 0, если /(0) ф 0 и №/(0) = оо, если /(0) = 0. Для набора У вводим
Щ{г) := тш{Щ(г) : 1 О < т}, г € С^.
Основным результатом данного параграфа является
Теорема 1.1.1. Пусть У - радиальная весовая система и У набор функций из Еу. Следующие условия эквивалентны:
(1) ЕуЩ = Еу;
(и)Эр€Э> ЗС€(0,оо)| %(*) ^ р(г) + С, V* € С*
В третьем параграфе при некоторых дополнительных ограничениях на радиальные весовые системы дано полное описание порождающих идеалов через функцию расстояния до нулевых множеств, которая проще и удобнее в применении, чем Л^(г):
Пусть Vf - нулевое множество целой в СЛ функции /, а df(z) расстояние от точки 2 € Сдг до Vу. Для набора У — (Д,..., /т) целых в СЛ функций определим
ду(г) := тах{<Д;(2) : 1 < у < ш}, 2 6 Су.
Определение 1.1.4. Будем говорить, что радиальная весовая система У является быстро изменяющейся, если для каждого р € У существуют д 6 У и С € (0, оо) такие, что
р2{г) 5$ д(г) + С
8
- Київ+380960830922