Интерполяция функциональных пространств классов Бесова и Лизоркина-Трибеля

Оглавление
Условные обозначения 8
Введение. 14
1 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И ЛИЗОРКИНА-ТРИБЕЛЯ. 32
1.1 Введение............................................... 32
1.1.1 Основные определения и обозначения............... 32
1.2 Интерполяция в классе банаховых пространств Бесова. . . 41
1.2.1 Известные случаи ................................ 41
1.2.2 Интерполяция пространств £„[ЬР]................. 42
1.2.3 Интерполяция пространств Бесова. Общий случай . 45
1.2.4 Интерполяция пространств класса ВЬ ............. 47
1.3 Квазинормированные пространства Бесова.................. 49
1.3.1 Проблема интерполяции квазинормировапиых пространств Бесова........................................ 49
1.3.2 Интерполяционная теорема для квазинормирован-
ных пространств Бесова........................... 50
1.4 Пространства ВЬ и их свойства.......................... 55
2
1.4.1 Основные свойства пространств ВЬ. Сопряженные
пространства ..................................... 55
1.4.2 Свойство лифтинга ................................ 57
1.5 Интерполяция в классе пространств Лизоркина-Трибеля . 58
1.5.1 Вложения между пространствами классов ВЬ и Ь 58
1.5.2 Интерполяция пространств Р£д...................... 02
1.5.3 Интерполяция пространств Бесова В*г с одинаковыми ...................................................... 64
1.5.4 Интерполяционная теорема со слабыми условиями
для пространств Лизоркина-Трибеля ................ 65
1.5.5 Интерполяция с участием пространств И7*, Ьр . 66
1.6 Теоремы вложения для пространств типа ВЬ........... 67
1.6.1 Вложения пространств на Я,,....................... 67
1.6.2 Пространства следов............................... 69
1.7 Контрпримеры к теории интерполяции функциональных
пространств.......................................... 73
1.7.1 Сравнение результатов интерполяции в классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля ..................... 73
1.7.2 Пространства Ь^д при разных к не совпадают ... 77
1.8 Выводы............................................... 79
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В КЛАССЕ ПРОСТРАНСТВ БЕСОВА В*, КОГДА ОДИН ИЗ ПАРАМЕТРОВ р РАВЕН БЕСКОНЕЧНОСТИ 80
2.1 Введение............................................. 80
2.1.1 Основные определения и обозначения................ 81
2.2 Интерполяционные теоремы................................ 83
2.2.1 Интерполяция в классах пространств Лизоркина-Трибеля и Бесова в случае бесконечного значения*
р................................................. 83
2.2.2 Интерполяционные теоремы для пространств Гельдера-Зигмунда, Ьшо. Лебега................................. 91
2.2.3 Интерполяция пространств. Бесова и Ьх........ 93
2.3 Выводы.................................................. 96
МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 98
3.1 Многомерная интерполяция. Метод з0(?.................... 98
3.1.1 Введение.......................................... 98
3.1.2 Реализация метода $0(? в классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля ...............................101
3.1.3 Билинейные операторы и тензорные произведения 111
3.1.4 Интегральные операторы в пространствах Бесова . 116
3.2 Метод Спарра............................................119
3.2.1 Основные определения..............................119
3.2.2 Интерполяция пространств Лизоркина-Трибеля. . . 124
3.2.3 Пространства Бесова...............................133
3.2.4 Связь между функторами Спарра и Петре......134
3.3 Выводы..................................................137
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ НОРМЫ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТЕЙ. ПРОБЛЕМА ВНУТРЕННЕГО ОПИСАНИЯ НОРМЫ ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОСТРАНСТВ
5
НА ОБЛАСТИ 138
4.1 Пространства гладких функций на окружности..............138
4.1.1 Введение ........................................138
4.1.2 Основные определения и обозначения...............140
4.1.3 Интерполяция пространств Ьр с весом..............143
4.1.4 Интерполяционные пространства ВЬ.................145
4.1.5 Эквивалентность интерполяционных норм............146
4.2 Интерполяционные пространства на областях. Проблема
внутреннего описания норм.......................153
4.2.1 Интерполяционные пространства на областях. . . . 153
4.2.2 Внутреннее описание нормы на области.............155
4.2.3 Случай к = 0.....................................170
4.2.4 Теорема вложения.................................171
4.3 Интерполяционные пространства аналитических функций
с дифференциально - разностной нормой...........176
4.3.1 Основные определения и обозначения...............177
4.3.2 Интерполяция пространств ЬР(Т), со, /х) 178
4.3.3 Сопряженные пространства ........................180
4.3.4 Интерполяция пространств (А*)....................181
4.4 Выводы..................................................185
5 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ БЕСОВА НА ОКРУЖНОСТИ И РАЦИОНАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ В НОРМАХ ВМО, Яр И Ьпс. 187
5.1 Пространства гладких функций на окружности..............187
6
5.1.1 Введение...................................187
5.1.2 Основные определения и обозначения.........189
5.2 Интерполяция с помощью К-метод а. Функторы (•, -)в,я • . 193
5.2.1 Интерполяционные пространства .....................193
5.2.2 Нормы пространств (В,В)$д в терминах последовательности сверток 195
5.2.3 Описание интерполяционных пространств........в.терминах потенциалов Грина 196
5.3 Интерполяционные методы...................................202
5.3.1 К-метод с симметричным параметром..........202
5.3.2 К-метод с функциональным параметром........207
5.4 Интерполяция банаховых структур с помощью К-метода с
функциональным параметром ................................212
5.4.1 Интерполяционные пространства .....................212
5.4.2 Интерполяция пространств Ьр................214
5.4.3 Пространства последовательностей. Интерполяционные пространства (^, Е)....................216
5.5 Интерполяция банаховых структур с помощью К-метода с
симметричным параметром...................................222
5.5.1 Интерполяционные пространства......................222
5.5.2 Интерполяция пространств Ьр с весом ...............223
5.5.3 Интерполяция пространств Ь8р с помощью метода
Беннетта .........................................223
7
5.5.4 Интерполяция пространств последовательностей £*
с помощью метода Беннетта .........................224
5.6 Интерполяция пространств Бесова В*(Т) и А*(Т).............226
5.6.1 Ретракты пространств Lp.............................226
5.6.2 Интерполяция К-методом с функциональным параметром ..................................................227
5.6.3 Интерполяция с помощью К-метода с симметричным параметром...........................................228
5.7 Пространства рациональной аппроксимации но норме В МО.228
5.7.1 Основные определения ...............................228
5.7.2 Пространства аналитических функций, которые являются пространствами рациональной аппроксимации .....................................................229
5.7.3 Пп - пространства...................................233
5.8 Рациональная аппроксимация по норме Нр....................237
5.8.1 Пространства аналитических функций..................237
5.9 Рациональная аппроксимация но норме 239
5.10 Аналитические пространства рациональной аппроксимации
241
5.10.1 Аппроксимация по нормам Нр и ВМОА .................241
5.11 Выводы....................................................243
Условные обозначения
Будем использовать следующие обозначения:
~ - знак эквивалентности двух норм (квазинорм);
□ - конец доказательства.
• V - атомическая мера с плотностью (а;) (мера атома равна а); (Ао,А-[)од - интерполяционные пространства К-метода (п.1.1.1);
(Ло3 А\)/,ц:К - интерполяционные пространства К-метода с функциональным параметром (и.5.3.2);
1М(Аъ М)!,ч-,к\\ '■= {а е Л0 + М : ||а||/,9;лг =
\\К^,а, Ао, Л])/(/(<) *11!‘‘)\ЬЧ\\ < оо} (п.5.1.2);
(■Я)9Л£рагг> (^)в,«.А-. (А)о,ъ.! - многомерные интерполяционные функто-ры метода Спарра (п.3.2.1);
Лр(Т) = Р(Вр(Т)) — пространства Бесова аналитических функций на окружности (п.4.3.2)
Ьтгю и В МО - неоднородное и однородные пространства функций ограниченной средней осциляции (п.2.1.1);
В- класс полумульти пли кати вных функций (п.5.3.2);
Врд(Яп) ~ пространство Бесова на Яп (п.1.1.1);
Вр(Т) - пространство Бесова на окружности (п.5.1.2);
Условные обозначения ^
ВЬр'£(Т)сг и А1/^(Т)<> - интерполяционные пространства с нормами в терминах квазианалитических продолжений (потенциалов Грина) (п.5.2.1) ВЬф^ и АЬфд - интерполяционные пространства, полученные с помощью метода с функциональным параметром (iг.5.4.1);
Ст - пространства дифференцируемых функций (п.2.1.1); dn(f) = distsMoif, Пп) (п.5.7.2);
D = {z G С : \z\ < 1} - единичный открытый круг;
ТУ - пространство распределений;
D'+ - пространство аналитических на Т функций:
D'+ = {/ = : |с„| = 0{п^), п -> 00,(0 = 0(f) < оо} (п.4.3.1);
п> О
Е, = € С : 1/2 < |(| < 2}, Е2 = {( € С : 1 < |(| < 2}, Е3 = {( € С :
1/2 < |£| < 1} - множества на комплексной плоскости (и.5.1.2);
(Esf)(t) = f(st), 0 < t < оо — оператор растяжения;
\\f\BLpq(G)\\W и ||/|Я£/р^(С)||^ - варианты «внутренней» нормы на области(п.4.2.2);
/•/2 - мера с плотностью /(я), определенная на множестве Е равенством
(/•м)(£)= / /(®)<М*);
J Е
f(t) := sup5>0/(£s)//(s) < оо Vi е (0, оо) (п.5.3.2);
(/)* (t) = inf {a : m(cr,/) < i} (или просто /*(£)) - невозрастающая равноизмеримая относительно меры /2 перестановка функции /(ж), где т(о,/) := /2({х : |/(х)| > сг}) (п.1.1.1);
Т~^ц> - обратное преобразование Фурье ;
\\f\B\\ - квазинорма пространства Е от функции /(подробнее п.1.1.1);
Условные обозначении
10
\\f\A°p(T)\\os = \\Г\Щ\\ при О < 5 < 1, 1 < V < оо,
\\f\Ap(T)\\os = H/l'WpH при — 1 < s < О, 1 < р < оо - нормы Освальда на пространствах Бесова аналитических функций (п.4.3.2);
/ е а№(Т) /' е LM(D, (1 - |.z|)1_b, (1 - |г|)-*-1т2)ПЕ>'+ при
0 < s < 1, 1 < р < оо;
\\f\A№(T)\\ = \\f\LM{D, (1 - |г|)>-‘,(1 - при 0 < s <
1, 1 < р < оо (п.4.3.2);
||/И&6)(Т)|| = \\f\LM(D, (1 - |2|)-ь,(1 - |2|)-fc-1m2)|| при -1 < s <
0, 1 < р < оо;
||/|<7[.Е]|| = ||\\f(x,y)\E(X)\\ |Сх(У)|| - смешанная квазинорма (п.1.1.1); Fp^(Rn) ~ пространство Лизоркииа-Трибеля (п.1.1.1);
Tf - преобразование Фурье функции / ;
Gs(Rn) - пространства Гельдера-Зигмунда (п.2.1.1);
h(s) := ||£s|| = supsa(Esf)/a(fy индикаторная функция нормы ст(п.5.3.1); Нр пространство бесселевых потенциалов (п.1.1.1);
7isp - пространство определенное равенствами: в случае а) при 0 < s <
1, 1 < р < оо
Ц; = D'+ П LP(D, (1 - \z\)1—^, т2); в случае б) при — 1 < s < 0. 1 < р < оо (п.4.3.2)
Щ = D'+ П L,,{D, (1 - |2|)-’-1/р, т2).
Hank - множество операторов Ганкеля (п.5.1.2). k-метод Беннетта(п.5.3.1);
Ah Aj) - К-функциоиал Питре (п. 1.1.1);
Услопныс обозначения
11
К(І, а, А) - К-функциоиал метода Спарра (п.3.2.1);
18ч - пространство с весом 2^,^' є Z+\
Ь - банахова структура (п. 1.1.1);
Ь1 - банахова структура ассоциированная с банаховой структурой Ь (п.1.4.1);
Ьр(Т>,си:Р) - пространства Ьр на множестве V с весом и и мерой /х или просто
Ьр(и) - пространство Ьр с весом
Ьр^(ш,р) - пространство Лоренца с весом ш и мерой /х (п.1.1.1);
Ьр^(Яп) и ВЬр^(Лп) - интерполяционные пространства (п.1.1.1); Ь^(СхК) - пространство двойных последовательностей (функций {срі^ }'-^п с нормой
II Ы№X ад“’ - Е (£
где Рп - лебегова мера на Рп, // - атомическая мера на Л/о с мерой атома равной 1, N = X или Л/о (п.4.2.2)
Ьф^(Е) - пространство с нормой \\/\Ьф^(Е)\\ := ^ШАІ(ЕіР-^\р^-^т2)\\ (п.5.4.1);
Ьб(Х) - пространство с симметричной нормой (п.5.3.1); га - мера Лебега на Т или на [0, оо); тпп - лебегова мера на Я„;
N - множество натуральных чисел;
Л/о = -АЛ и{0};
Р - проектор Рисса, определенный на ТУ равенством Р/ = /{п)гП
Условные обозначения
12
(п.5.1.2)
Qo = (—1; 1)п- единичный n-мерный куб; rn(f) = distBMOA{f, &„) (п.5.7.1).
RpQ - аппроксимационное пространство функций / е Нр с квазинормой
00 ^ V?
WfKiW = 11/1**11 + £(2’“Mf> W
. j=0
ll/KJI = 11/|яР|| + sup(2^>r.iy(/1 Н,)У при а > 0.0 < р: q < оо (п.5.8.1);
71п - множество рациональных функций на С с полюсами вне окружности Т, сумма кратностей которых (с учетом точки оо) не превосходит п (п.5.9);
S = 5(Яп) - пространство Шварца комплекснозначиых быетроу бывающих функций на Rn\
S' = S\Rn) - пространство всех умеренных распределений;
Т = {г 6 С : \z^ = 1} - единичная окружность на комплексной плоскости С;
Z (Z+) - множество целых (и неотрицательных чисел);
Z/v - множество целых чисел г Е [1, N];
Wp - пространство Соболева (п. 1.1.1);
а '= Нт5_ю (- logh(s)) / log s; ft '= lims_>0O (- log h(s)) / logs- индек-сы Бойда для симметричной нормы (п.5.3.1)
ajd= lim£-*+0o log /(<)/ log t, ftf '= lim(_>o log /(<)/ log t, —индексы Бойда для функций из В(н.5.3.2) ;
Am(y,E)f(x) := т,у GR^ae R^h €
Условные обозначения
13
Ri,E С G С Лц, тп G М[) при [х, х 4- ту] С Е и Дта(з/, E)f(x) := 0 при [ж, х 4- га?/] £ Е (п.4.2.2);
A-n(/i, E)f(x) = Дт(Ле\ Æ)/(x), i = 1,2,3..,п; где ег - единичный вектор г-ая координата которого равна 1, а остальные 0 (п.4.2.2); àim\f,x,t) = flj |A’n(tu,Gt)f(x)\du (п.4.2.2);
Лф - пространство последовательностей (п.5.4.3);
Лф- пространства Лоренца (п.4.3.2);
Аф(Х,си, у)- пространство Лоренца с весом (п.4.4.1); v - атомическая мера на Z+ (мера атома равна единице);
(<р)*- оператор, определенный равенствами p(Ç) := 11£| — 1 , <р*(0 :=
esssup|<p(A)| при |£ — А| < p(Ç)/2 и Ç £ С (и 5.1.2);
^e,Q((A',fc)fc=o,i)i=o1i ~ многомерный интерполяционый функтор (п.3.1.1); - множество рациональных функций на С с полюсами вне круга
def
clozD = {z G С : \z\ < 1}, сумма кратностей которых (с учетом точки оо) не превосходит п (п.5.7.2).
Введение.
Диссертация посвящена исследованию интерполяции в классах пространств Бесова Врд и Лизоркина-Трибеля Р*г Эти классы включают в себя многие из известных пространств, например, пространства Соболева, Никольского, Харди. Пространства Вр(1 и Рр(] используются при исследовании краевых задач для эллиптических уравнений, возникают как пространства следов в теоремах вложения. Пространства Бесова известны также своими аппроксимационными свойствами.
Несмотря па 'го что в книгах Берга и Лсфстрёма ( ВегйК X, Ьо^гбт Л.) [12| или Трибеля (ТпеЬе] И.) |52, 53) можно найти значительное количество формул интерполяции в классах пространств Врд и Г*(р теория интерполяции для данных классов пространств далека от завершения.
На первом этапе развития интерполяции линейных операторов в 20-х и 30-х годах XX века были получены первые интерполяционные теоремы Рисса-Торина (Шсвя М., ТЬопп в.О.) [ 123 ] , [ 126 | и Марцинкевича (Магст1ое\у1сг Л.) | 107 ] для пространств Ьр.
Следующий этап в развитии общей теории интерполяции линейных операторов приходится на 50-00 годы XX века. В этот период были разработаны разными авторами несколько общих методов интерполяции.
14
Введение
■ - - ■ — -■ ■---—---- — ■— ■■ .. 15
Например, Петре (Peetre J.) [114] были предложены К и J- методы интерполяции; Лионсом (Lions J.) и Петре - метод средних; Лионсом - метод следов; С.Г.Крейном - метод шкал | 26 ], | 27 ]; Кальдероном (Calderon
А.Р.) - «комплексные» методы. В дальнейшем окапалось, что многие из этих методов эквивалентны между собой. В настоящий момент, из перечисленных, чаще всего используются К и Л- методы Петре и комплексные методы Кальдерона. Применение методов Кальдерона и Петре в конкретных классах пространств чаще всего приводит к различным результатам.
Появление общих интерполяционных методов не означает, что получение интерполяционных теорем для данного класса пространств стало тривиальной задачей. Например, дли классов Бесова и Лизоркина-Трибеля первые результаты были получены в начале 60-х годов, но и сейчас теория интерполяции для этих пространств не может считаться законченной. Общая схема для интерполяции таких пространств была разработана Лионсом и Печре [100], Петре 1118] и другими авторами. Основную часть полученных ими результатов можно найти в книгах [12, 52, 53].
Применим интерполяционный функтор Петре (•, -)o,q к паре пространств Бесова Вр', г = 0, 1. Что получится в результате? «Классическая» теория интерполяции в классе Бесова, изложенная в книгах [12, 52, 53] не может дать ответ на этот вопрос в общем случае. Дело в том что класс пространств Бесова незамкнут относительно функторов Петре. Теория же описывает все известные частные случаи, когда иростран-
Введение
ства (В^}} Вр\)9г1 принадлежат классам В* или F*(] или их расширенным вариантам B*q^ или Bpjp. Будем называть частный случай пар пространств Бесова, когда это выполняется, «диагональным». Однако, вообще говоря, пространства (B*j, Щ\)9ч могут не принадлежать к этим классам. В диссертации дано описание интерполяционных пространств BLp'£ := (•#$}, Bp^Qqt где к - угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (1 /pijSi). Как следует из общей теории интерполяции, пространства класса BL «наследуют» полезные свойства пространств Бесова Вр. Например, они образуют систему, замкнутую относительно теорем вложения. Кроме того, они наследуют аппроксимационные свойства пространств Бесова. Поэтому среди пространств тина BL мы находим пространства рациональной аппроксимации по нормам ВМО, пространств Харди Нр и Loo.
В принципе, необходимый аппарат для описания пространств BLy* был разработан еще в 60-е годы. Однако, в те времена появление нового класса пространств выглядело не целесообразным, так как не было известно задач, которые оправдывали бы введение этого нового понятия. Вероятно поэтому, первые описания пространств типа BL, не включающихся в классы Бесова и Лизоркииа-Трибеля, были получены не специалистами по интерполяции, а математиками, занимающимися другими вопросами. Для пространств BLp{q'l(T) — [в]^у Вр{Рх)$# на окружности такие описания были получены В.В.Пеллером [46,47] и
В.В.Пеллером, С.В.Хрущевым [48] в терминах квазианалитических продолжений. Эти описания были получены в связи с задачей описания как
Впадение
17
можно более широкого класса пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО. Аналогичная задача решалась A.A.Пекарским [41] для пространств рациональной аппроксимации про норме Hv. В этом случае необходимо получить описание интерполяционного пространства типа
ВЬ%-Чг-\Т) =
Частные случаи интерполяции пространств Лизоркина-Трибеля - пары (^Lp, рассматривались Н.Я.Кругляком [32], Ю.А.Брудиым и II. Я. Кругл я ком [64].
Заметим, что в связи с задачами аппроксимации, в первую очередь представляет интерес интерполяция не пар пространств Бесова
Вр(р1)дуЯ, а интерполяция с участием пространств ВМО, L<*>, Нр. Например, для получения аппроксимационых пространств по норме ВМО
надо описать интерполяционые пространства [ВМО, В1(р' ) . Для че-
\ J о,q
бышевской аппроксимации надо описать интерполяционное пространство (Аоо, Bp\)0q- Для решения первой задачи базовым можно считать результат Петре (Peetre J.) и Свенсона (Svensson Е.) [119], которыми была доказана формула
(вмо, bsp\)0v = в;
в случае s = Qsit 1/р = 0/р\. Хотя в этом случае ответ получен только при значении параметра р = б/pi, однако, применяя теорему о реитерации, можно перейти к общему случаю. Описание интерполяционного пространства (Lг», -Яр})^ получено Ю.В.Нетрусовым [30].
В диссертации получены интерполяционные теоремы с участием про-
Введение
18
странств Бесова или Лизоркина-Трибеля с одной стороны, а с другой — Гельдера-Зигмуида, В МО, Лебега, L^.
Наряду с одномерными интерполяционными функторами Петре рядом авторов изучались многомерные интерполяционные функторы. Известны методы Спарра (Sparr G.) [124], Фернандеса (Fernandez D.L.) [83,84,85]. Можно упомянуть также работы И.А.Асекритовой [5G],
Н.Я.Кругляка, Малигранды ( Maligranda L.) [2|, Кобоша (Cobos F.) [75, 74. 73. 72], Цвикля (Cwikel М.) [77]. Нурсултаиова Е.Д. [39] и других |60, 66. 67, 69, 81, 82, 110, 111]
Заметим, что многомерные функторы в классах Бесова обладают более мягким действием в том смысле, что классы ВрЛ^д) замкнуты относительно многомерных функторов , но не замкнуты относительно обычных функторов Петре. Это позволяет получить в классах пространств Бесова интерполяционные теоремы, использующие слабые условия вида: Т : Bsp\ -> Реализация многомерных интерполяционных
методов в конкретных классах пространств вызывает1 большие трудности, чем реализация метода Петре. Известно, что единственный пример реализации метода Фернандеса в классе пространств со смешанной нормой оказался неточен. Соответствующие контрпримеры были приведены рядом авторов [111, 5G, 77, 141], в том числе и автором диссертации.
При реализации метода Петре очень полезна теорема о реитерации. Аналогичные теоремы известны и для метода Спарра (теоремы о стабильности по терминологии Спарра). При доказательстве теоремы о реитерации для метода Петре используется эквивалентность норм (•, m)otq,i< ~
Введение
19
(*> Совершенно аналогична ситуация в случае метода Спарра, за
исключением того обстоятельства, что интерполяционные нормы полученные с помощью К-метода и 7-метода не обязательно эквивалентны. Поэтому все теоремы о стабильности для метода Спарра доказаны им при дополнительном условии, что в данном классе пространств обе нормы эквивалентны. Несмотря на приведенный Спарром критерий эквивалентности, доказательство этого утверждения в конкретном классе пространств обычно является нетривиальной задачей. Серьезное продвижение в этом направлении было достигнуто И.А.Асекритовой и
Н.Я.Кругляком [58). Им удалось доказать эквивалентность интерполяционных норм полученных К и ,7 методами для банаховых структур и их рстрактов. Так как пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля являются ретрактами банаховых структур, то это позволило реализовать метод Спарра в данных классах пространств. В статье [57| И.Асекритовой,
Н.Кругляка, Малигранды, Николовой (№ко1оуа Ь.У.) и Перссона (Рсгзэоп Л.) получена интерполяционная теорема для метода Спарра, использующая слабые условия типа Т : 1,(1) Щоо(ооу Одновременно мною
был получен близкий результат [140| - интерполяционная теорема для пространств Бесова, использующая слабые условия вида Т :
рз
р,оо,(оо)-
В первых главах диссертации разработана теория интерполяции для пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля на В^. Однако, основные приложения пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля связаны с теоремами вложения, с теорией дифференциальных операторов на области. В прин-
Впадение
20
цине несложно перенести основные результаты с пространств на Rn на пространства па области. Однако при этом получаются нормы, в которых используются инфимумы норм от всевозможных продолжений данной функции через границу области. Интересно было бы получить внутреннее описание интерполяционной нормы, в котором не рассматриваются никакие продолжения функции через границу области. Для норм пространств на области естественно использовать дифференциально-разностные конструкции. Конкретный вид интерполяционной нормы зависит от вида нормы в исходном пространстве Бесова. В диссертации получены описания интерполяционных норм на базе конструкций Х.Трибеля [ 53, стр.132), О.В.Бесова [ 14 ) и Освальда (Oswald Р.) [ 112 ]. Получены описания «внутренних» интерполяционных норм для областей, удовлетворяющих условию конуса. Доказана теорема вложения.
В.В.Пеллср [40, 47, 42, 48) получил описания пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО. Аналогичные результаты были получены A.A.Пекарским [ 41 |, [ 43 ], [ 44 ), [ 45 ] для пространств рациональной аппроксимации по нормам пространств Нр и LПри этом В.В.Пеллср получил описание пространств В},[Рі (Т))о,я
на окружности в терминах квазианалитических продолжений. Так как апироксимационные свойства сохраняются при интерполяции, то этот результат позволил расширить класс пространств рациональной аппроксимации. В диссертации эти результаты усилены по следующим направлениям: 1) применяя интерполяционные функторы более общет вида, чем (•, •)яполучен более широкий класс пространств рациональной ап-
Введение
21
проксимации по норме В МО; 2) интерполируя соответствующие пространства, расширен класс пространств рациональной аппроксимации по нормам Нр и 3) получены более простые описания норм рациональной аппроксимации, чем нормы в терминах квазианалитических продолжений.
Основным недостатком результатов Б.В.Пеллера |46, 47, 42, 48] по опи-
кая сложность полученных конструкций норм в терминах квазианалитических продолжений. Обычное для интерполяции описание норм с помощью последовательности сверток также далеко от совершенства, так как не позволяет получить «внутреннее» описание интерполяционной нормы на области. Оптимальным было бы описание интерполяционной нормы с помощью дифференциально-разностной конструкции. В этом случае была бы достигнута наглядная связь меж,лу апнроксимационными свойствами и «степенью» непрерывности функции.
Для диагонального случая первые результаты такого типа для пространств Соболева были получены Лионсом ( Lions Л.)и Мадженесом ( Magenes Е.) [ 99 ] и Мадженесом [ 103 ]. Для многомерного анизотропного случая известны результаты О.В.Бесова | 14 ), [ 15 |. В диссертации приведены различные варианты интерполяционных норм этого типа на области с условием конуса в «недиагопальном» случае. Получено внутреннее описание интерполяционной нормы.
Переходя к характеристике диссертационной работы, отметим некоторые ее особенности.
санию интерполяционных пространств
является высо-
Впадение
22
Актуальность темы. При изучении пространств Бесова Bpq и Ли-зоркина - Трибеля Fpq широко применяется интерполяция линейных операторов. Так, например, в книге Трибеля (Triebei Н.) [52] дано си-стематческое изложение теории пространств Bpq и Fpv опирающееся на теорию интерполяции. В этой и других книгах можно найти соответствующие формулы для интерполяции в классах Bpq и Fpq, полученные в работах Лионса и Петре [100,118]. Однако проблема описания всех интерполяционных пространств (♦, ')o,q даже для самой простой пары (B^(Rn), В*'(Rn)) была решена только в так называемом «диагональном» случае (см. п.1.2.1). Необходимость изучения общего «недиагонального» случая была продемонстрирована в работах В.В.Псллсра и С.В.Хрущева [46-48]. Им удалось получить описание пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО на единичной окружности комплексной плоскости. Оказалось, что аппроксимационные пространства совпадают с пространствами Бесова Вр'р(Т). Так как аппроксима-циониыс свойства, как правило, сохраняются при интерполяции, то было бы естественным, проинтерполировав пару пространств этого типа, получить с помощью вещественного К-метода более широкий класс пространств рациональной аппроксимации. Однако, использование только формул интерполяции для диагонального случая привело бы нас снова к пространствам вида в}/р(Т)у т.е. никакого расширения класса аппрокси-мационных пространств не произошло бы. Поэтому В.В.Пеллером было проведено соответствующее исследование и получено описание интерполяционных пространств (Вр1}}°у Bl(Ih)otq в «недиагональном» случае. По-
Впадение
23
лучились пространства уже не принадлежащие к классам пространств Бесова или Лизоркина-Трибеля, но зато обладающими ап прокси маци-онными свойствами. Аналогичные результаты были получены А.А.Пекарским |41-45] для пространств рациональной аппроксимации по нормам пространств Нр и L. Однако в этом случае задача получения интерполяционных пространств для «иедиагональиого» случая не была решена. В связи с этими исследованиями возникают следующие задачи: 1) решить проблему интерполяции пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля в общем, «педиагональпом» случае; 2) применяя интерполяцию, расширить класс аппроксимационных пространств, изучавшимися
A.А.Пекарским; 3) расширить класс апироксимациониых пространств
B.В.Псллера за счет использования интерполяционных методов более общих но сравнению с традиционной версией К-мстода. Решению этих задач посвящены главы 1 и 5.
В последнее десятилетие появился ряд статей, в которых пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля интерполируются с помощью многомерных методов (см. |57.58,60Л42|). Как выяснилось, данные классы пространств замкнуты относительно функторов многомерных методов в отличие от функторов К-мстода. Это позволяет, например, получать интерполяционные теоремы со слабыми условиями. В то же время реализация многомерных методов в конкретных классах пространств обычно является очень сложной задачей. Для обычного К-метода очень полезна теорема о реитерации. Для ее доказательства используется эквивалентность К и J методов Петре. Спарр [124] предложил многомерный метод с анало-
Впадение
24
гами К и Л методов. Однако К и Л методы Спарра, вообще говоря не эквивалентны. Серьезный успех был достигнут в статье И.Асекритовой и И.Кругляка [58], в которой было показано, что К и Л методы Спарра эквивалентны в классах банаховых структур и их ретрактов, к которым относятся пространства ВрЯ и После этого И.Лсскритова,
Н.Кругляк и другие |57| и я [142] опубликовали одновременно статьи, в которых метод Спарра был реализован в классах пространств Вр(1 и В диссертации этому вопросу посвящена глава 3.
Наконец отметим, что все «классические» формулы интерполяции, которые описаны в книгах Берга И, Лёфстрема Й. 112] и Трибеля X. [52,53], относятся к случаю пространств на ГС,Х. В то же время пространства Бесова широко используются в теоремах вложения, в теории дифференциальных операторов. И здесь нас интересует в первую очередь случай пространств на области. В диссертации рассматривается интерполяция в «недиагональном» случае для пространств на области.
Цель работы заключается в исследовании интерполяции в классах функциональных пространств, в общем, в том числе «недиагональном» случае, изучении свойств интерполяционных пространств, описании широкого класса пространств рациональной аппроксимации по нормам ВМО,
Нр, Дэс.
Новизна полученных результатов. Основные результаты диссертации являются новыми. Впервые были получены интерполяционные теоре-мы, описывающие пространства {В%, В*р\)вл и Д8,1,,,)«,, в «недиа-
тональном» случае. Для частного случая интерполяции пространств