Емкости и поверхностные меры в бесконечномерных пространствах

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................. 1
1. Общая характеристика работы ........................ 1
2. Краткое содержание диссертации ..................... 4
3. Список публикаций автора............................ 10
1. Классы Соболева и емкости ............................. 11
1.1. Дифференцируемость мер............................ 11
1.2. Классы Соболева................................... 14
1.3. Емкости........................................... 19
1.4. Метод свертки..................................... 20
1.5. Плотность емкостей, порожденных классами Иг,р .... 23
1.6. Плотность емкостей, порожденных классами 1УГ,Р 28
2. Поверхностные меры .................................... 35
2.1. Абсолютная непрерывность образа меры на прямой ... 35
2.2. Поверхностные меры ............................... 39
2.3. Формула Осгроградского-Гаусса. '.................. 46
2.4. Метод локальных функций........................... 50
Список литературы ........................................ 61
ВВЕДЕНИЕ
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Соболевские классы функций играют важную роль в бесконечномерном анализе. Это связано с тем, что обычные определения дифференцируемости, обобщенные на бесконечномерный случай (дифференцируемость по Гато, Адам ару, Фреше) во многих задачах оказываются слишком жесткими условиями, накладываемыми на функции, и не охватывают нужные классы функций. Так, например, ненулевые функции с компактными носителями в бесконечномерном пространстве не могут быть даже непрерывными. Однако в геометрической теории меры и в теории случайных процессов часто возникает потребпость в построении функций, сосредоточенных на компактах и обладающих некоторыми свойствами дифференцируемости. Например, в [48], где описывается построение диффузии, ассоциированной с формой Дирихле
требуется плотность емкости С\ д, порожденной мерой /І, а в [32] при построении поверхностной меры в винеровском пространстве строятся функции с компактными носителями, сходящиеся к 1 по всем соболевским нормам.
Вопрос о плотности соболевских емкостей, порожденных радо-11 овской вероятностной мерой /д рассматривался во многих работах. Этот вопрос является принципиальным как для построения и изучения диффузионных процессов, так и для исследования поверхностных мор.
В случае при любой вероятностной мере плотность емкостей СГуР любого порядка очевидна. Кроме того, в [6] и [13] была
Туревеі Ъу -4д^5-ТеК
1
2
доказана плотность емкости С\# для меры Лебега на ограниченной достаточно регулярной области в М.п. Для гауссовских мер в бесконечномерном пространстве ответ также положителен (см. [32], [38]). Для негауссовских мер на сепарабельном банаховом пространстве плотность емкости Схо давно известна (см. [48]), для емкости С\,р при р ф 2 этот результат был обобщен М.Рёкнером и Б.Шмуландом в [54]. Случай г > 1 до сих пор не был рассмотрен.
Поверхностные меры в бесконечномерных пространствах представляют значительный интерес как для самой аналитической и геометрической теории меры, так и для ее приложений в нелинейном анализе и теории случайных процессов. В частности, они играют важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений относительно функций и мер (см. [16], [17]). Отметим, что оценки, связанные с поверхностными мерами в бесконечномерных пространствах, оказывыаются полезными при изучении предельных теорем для бесконечномерных случайных векторов, особенно при исследовании количественных характеристик типа скорости сходимости (см. [2], [14], [22], [23]). Аналитические методы, использующие поверхностные меры, эффективны и во многих качественных задачах, связанных с предельными теоремами (см. [7]).
Известны два подхода к построению поверхностных мер в бесконечномерных пространствах. Первый подход, восходящий к работе А.В.Скорохода [15] и существенно развитый в работах А.В.Угланова [16], [20], [21], основан на построении локальной поверх-постной меры на достаточно малых окрестностях точек поверхности. Этот метод работает для широкого класса пространств при минимальных требованиях па гладкость меры и поверхности. На основе конструкции поверхностной меры Угланова были обобщены на бесконечномерный случай классические формулы векторного анализа (см. [10], [11]). В.И.Богачев в работе [35] показал, что теорию Угланова можно модифицировать, применив идеи исчисления Маллявэна (которое появилось в [49] как новый метод доказательства гладкости мер).
Совершенно иной подход был предложен П.Маллявэном [49] и реализован в работе Э.Эро и 11.Маллявэна [32] для случая вине-ровской меры. В этом методе мера строится сразу на всей по-
3
верхности, а условия гладкости поверхности связаны не с геометрией объемлющего пространства, а с геометрией подпространства Камерона-Мартина, причем гладкость понимается в соболевском смысле; от функции, задающей поверхность, не требуется даже непрерывность. Однако этот метод до сих пор не был обобщен для негауссовских мер. Кроме того, в [32] на функцию, задающую поверхность, накладывается условие бесконечной дифференцируемости вдоль подпространства.
Дальнейшему развитию теории поверхностных мер были посвящены работы [10], [11], [31], [51]. Наконец, следует отметить, что идеи и методы, изложенные в настоящей работе применительно к линейным пространствам, эффективно работают и в более общей ситуации бесконечномерных многообразий, в частности, многие из доказанных здесь результатов переносятся на случай пространства конфигураций (см. [7], [33]).
Цель работы: изучить емкости, порожденные Соболевскими классами с негауссовскими мерами, и построить поверхностные меры на множествах уровня соболевских функций в негауссовском случае.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказана плотность емкостей Сг,р, г 6 М, р > 1, порожденных классами Соболева для произвольных радоновских вероятностных мер на локально выпуклых пространствах при довольно слабом ограничении на гильбертово ”касательное” подпространство Я. В случае г = 1 результат [54] обобщен на широкий класс локально выпуклых пространств без дополнительных ограничений па Я.
2. С помощью результатов о плотности соболевских емкостей разработана конструкция поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций на бесконечномерных пространствах с негауссовскими мерами при минимальных требованиях на гладкость мер и поверхностей. Для построенных мер выведен аналог формул ы Остроградского-Гаусса.
Методы исследования. В работе используется теория дифференцируемых мер, предложенная С.В.Фоминым, а также теория соболевских классов и емкостей; при изучении свойств образа ме-
4
ры применяется исчисление Маллявэна; кроме того, используются разные типы сходимости мер.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах геометрической теории меры, теории случайных процессов и теории дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерном пространстве.
Результаты и методы диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В.Ломоносова, С.-Петербургском государственном университете, Ярославском государственном университете, Математическом институте РАН им. В.А.Стеклова, Дальневосточном научном центре.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах ’’Бесконечномерный анализ и стохастика” под руководством профессора В.И.Богачева, на международном семинаре ’’Бесконечномерный стохастический анализ”, посвященном 95-летию со дня рождения А.II.Колмогорова (МГУ, июль 1998), и на семинаре по стохастическому анализу университета города Билефельда (Германия, сентябрь 1998).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приводится в конце введения.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 59 наименований. Общий объем работы — 65 страниц.
2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Первая глава посвящена соболевским классам функций и связанным с ними емкостям на бесконечногмерных пространствах. В первых трех ее разделах даются основные определения и элементарные результаты, используемые в дальнейшем.
Пусть X - локально выпуклое пространство; в него непрерывно вложено сепарабельное гильбертово пространство Я. Обозначим через (•; •) скалярное произведение в Я, через | • | - норму в Я.