СОДЕРЖАНИЕ
СТР.
ВВЕДЕНИЕ ........................................................ 4
ГЛАВА 1. АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОЕКТИВНЫХ СПЕКТРАХ (^-ПРОСТРАНСТВ...................................................19
1.1. Определение проективного спектра........................20
1.2. Коэффициентное пространство.............................22
1.3. Описание сопряженного к коэффициентному
пространству ........................................... 27
1.4. Оператор представления и сопряженный к нему .... 32
1.5. Критерий для абсолютно представляющих систем
подпространств в терминах разрешимости интерполяционных задач...................................33
1.6. Описание сопряженного к пределу проективного спектра . 37 .
1.7. Необходимое условие для абсолютно представляющих
систем подпространств в пределах (£^5)-спектров . . 42
1.8. Достаточное условие для абсолютно представляющих
систем подпространств в пределах (1)^5)-спектров . . 45
1.9. Следствия основных результатов для (.Ш^б^-прострапств . 51
1.10. Следствия основных результатов для приведенных
проективных пределов....................................56
1.11. Необходимое условие для абсолютно представляющих
систем подпространств в регулярных индуктивных пределах................................................59
1.12. Системы экспонент в пространстве целых
функций [1,+оо).........................................63
2
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.............................67
2.1. Пространства ультрадифференцируемых функций
типа Румье.........................................68
2.2. Пространства ультрадифференцируемых функций, задаваемые уточненным порядком.........................69
2.3. Критерий для абсолютно представляю]цих систем экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций................................................73
2.4. Вспомогательные результаты........................77
2.5. Построение примера абсолютно представляющей
системы экспонент..................................83
ГЛАВА 3. АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ПРОБНЫХ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.............................91
3.1. Пространства Т*п(С) пробных £}-ультрадифференцируемых
функций . . . ..................................92
3.2. Критерий для абсолютно представляющих систем
подпространств в пространствах %(£?)...............94
3.3. Построение абсолютно представляющих систем
подпространств в пространствах Т>п(С)..............96
3.4. Универсальные абсолютно представляющие системы
подпространств.....................................97
ЛИТЕРАТУРА................................................100
з
ВВЕДЕНИЕ
1. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [23|, рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, рядами экспонент. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), которая развивалась, главным образом, в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников.
Определение 1. (см. [11]) Последовательность иену левых эле-
ментов полного отделимого локально выпуклого пространства И называется АПС в Е, если любой элемент х Е И представим в виде суммы
абсолютно сходящегося к х по топологии И.
В цикле работ Ю. Ф. Коробейника [11]— [14], [16] были заложены основы теории АПС в локально выпуклых пространствах и разработан один из основополагающих методов их изучения, базирующийся на привлечении коэффициентных пространств и теории двойственности.
Впоследствии в [15] было введено более общее понятие абсолютно представляющей системы подпространств (АПСП).
Определение 2. Последовательность И. = (Нк)™-\ нетривиальных векторных подпространств полного отделимого локально выпуклого пространства Е называется АПСП в И, если любой элемент х € Е
ряда
оо
4
представим в виде суммы ряда
оо
х = ^х(к\ х(к)£Нк,к ёМ,
/;=1
абсолютно сходящегося к х по топологии Р.
В случае, когда Я* одномерны, понятия АПС и АПСП совпадают. Отметим, что аналог метода коэффициентных пространств применительно к АПСП был построен А. В. Абаниным в [2] для пространств Фреше и в [3] для (ЯЯ5)-простраиств.
Настоящая диссертация состоит из трех глав и посвящена дальнейшему развитию теории АПСП. Основные цели работы следующие:
— распространить метод коэффициентных пространств для случая АПСП в пределах проективных спектров (££?)-пространств;
получить критерий для АПСП в пределе (£)Я5)-спектра при дополнительных ограничениях на структуру системы подпространств;
— установить необходимые и достаточные условия того, что данная система экспонент является АПС в пространстве ультрадиффереициру-емых функций, задаваемом уточненным порядком. На их основе построить конкретный пример АПС экспонент в пространствах данного вида;
— дать описание АПСП, инвариантных относительно умножения на функцию, в пространствах пробных П-ультрадифференцируемых функций.
2. В первой главе диссертации рассматриваются системы подпространств в пределах проективных спектров (Ь^)-простраиств. Приводятся необходимые и достаточные условия того, что данная последовательность подпространств является АПСП в пределе (ЕРв)-спектра.
Дадим определение проективного спектра. Пусть каждое Ет — (ЬВ)~ пространство, то есть является внутренним индуктивным пределом ба-
5
наховых пространств (Ет,пЛ\ ' Цт,п)!£-1- Предположим, что заданы линейные непрерывные инъективные отображения г™+1 из Ет+\ в Ет. Положим
дела пространств Ет относительно отображений гт. Это пространство называют пределом проективного спектра £ = (#т> *т-ы)т=1- Спектр £ = (Ет, &т-и) называется приведенным, если для каждого т Е N множество 1тЕ плотно в Ет. Далее говорят, что £ = (£т,г™+1) является (И ЕЗ)-спектром, если Ет>п компактно (вполне непрерывно) вложено в Ет>п+1 Для всех т,п Е N. Напомним также, что внутренний индуктивный предел Е локально выпуклых пространств Еп (п Е М) называется регулярным, если каждое ограниченное множество в Е содержится в некотором Ед и ограничено по его топологии.
Рассмотрим последовательность И = нетривиальных вектор-
ных подпространств в Е, для которой гшНк вложено в пространство Ет% 1, замкнуто в нем (к, и
со
Рго/г: := X = (жт)~=1 £ Д Ет : хт = г%+1хт+ь Угп £ N
Обозначим через гт отображения проектирования из Рго]°£ в Ет, а через Е — пространство Рго]0£, наделенное топологией проективного пре-
для всех т, п Е N.
(1)
б
Основным объектом в теории АПСП выступает пространство
00 оо
Л:= П и Ат& с топологией рпц тс! Ат>п, где для га, п Е N
1П— 1 п=1 т 71
ОО 00
Лт,„ := { X = (*«)£, є П Ик ■■ ІІ^ІІт,„ := £ ІГ^Ік* < оо
к=1 к=1
_ со оо ^
Сопряженное с А пространство А := и П Ап,п наделяется тоноло-
771=1 71=1
гией іпсі рго] АГП'Пу где для всех га, п Є N
т
оо
Ат,п := < Ф = ЫГ=1 Є П Ш'т.п ■■
к=1
ЦФІІ
-:= ІгЧряїи; (іИ,г-6 А < “ Г
Здесь под (Я*)т,п понимается пространство, сопряженное с Нк с индуцированной из Ет}П нормой.
В общей теории АПС большое внимание уделено (в особенности отметим работу 113]) связи между АПС и разрешимостью некоторых интерполяционных задач. Следующий результат является критерием для АПСП в терминах разрешимости интерполяционных задач и представляет собой обобщение теоремы А* из [13|. Для его формулировки нам потребуется подпространство тех последовательностей из А, которые дают разложение нуля в Е
ЩН) :=
00
X = {х^=1 е А : £ х(к) = О У
Л=1
Теорема 1. Пусть Е улыпраборнологичсское пространство и као/сдое Ет — регулярный индуктивный предел. Последовательность П = (#*){£-! тогда и только тогда является АПСП в Е, когда выполнены два условия:
(г) однородная задача <р\нк — 0 (к = 1, 2,...) имеет только пулевое решение в Е'\
(гг) для любой последовательности Ф = (^)ь=1 £ для которой
со
<pk{%^) = 0 при всех X = G #(%), имеется такой
к=1
функционал (р € Е', что <р\пк = <pk (к G N).
Для получения функционального критерия для АПСП было дано удобное для использования описание сопряженного с Пространство Е' наделяется топологией ind Е*ь, где каждое Е*п — пространство Фре-
т
ше с набором преднорм
М\т,п ■■= sup : »"** 6 £».», X € s} , П 6 N.
Следующая теорема является необходимым условием для АПСП в пределах (DFS)-cMCKTpoB и представляет собой обобщение теоремы 3 из |14], необходимой части теоремы 7 из [14] и основных результатов работ [2] и [3).
Теорема 2. Пусть £ = (£Ш}г™+1) — приведенный (DFS)-спектр с Proj1£ = 0; a. последовательность ТС = (#*)£!х нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее гтНь С Em,i, подпространства imHк замкнуты в Ет>\ (к, т € N) и выполнено (1). Если 71 является АПСП в Е, то условие
Vmi 3т2 Уп2 3щ ЗС < оо : |М|^,„2 < СЦМяЛЦ,», (2)
справедливо для всех р Е Е', для которых |10Ияа)||ШьТ1 < оо при всех n Е N.
Обращение теоремы 2 было получено при дополнительном условии, что последовательность ТС распадается на две составляющие: «проективную» (#2/;-l)kLl И «индуктивную» (#2*)/£:1» ОТНОСИТСЛЬНО КОТОрЫХ предполагались выполненными условия:
8
- Київ+380960830922