Математические задачи ньютоновской аэродинамики

Оглавление
0.1 Введение....................................................... 4
0.1.1 Общая характеристика работы.............................. 4
0.1.2 Основные определения..................................... 8
0.1.3 Аэродинамическая задача Ньютона ........................ 12
0.1.4 Результаты главы 2 .................................... 15
0.1.5 Результаты главы 3 .................................... 17
0.1.6 Результаты главы 4 .................................... 20
0.1.7 Результаты главы 5 .................................... 22
0.1.8 Результаты главы 6 .................................... 24
0.1.9 Результаты главы 7 .................................... 28
0.2 Задача о наименьшем сопротивлении поступательно движущихся тел......................................................... 30
»
0.2.1 Множества, вписанные в цилиндр ....................... 31
0.2.2 Множества, модифицированные в окрестности границы . 38
0.2.3 Двумерная задача........................................ 41
0.3 Задача Ньютона в средах с ненулевой температурой............. 50
0.3.1 Вычисление сопротивления и постановка задачи минимизации 50
0.3.2 Вспомогательные задачи на минимум....................... 55
0.3.3 Решение задачи наименьшего сопротивления................ 65
0.3.4 Гауссовское распределение скоростей: точные решения . 76
0.3.5 Приложение А............................................ 81
0.3.6 Приложение В ...........................................100
0.4 О рассеянии в биллиардах......................................102
2
0.4.1 Рассеяние в двумерном случае............................104
0.4.2 Рассеяние на поверхности шероховатых тел...............122
0.5 Некоторые специальные задачи оптимального переноса массы . 141
0.5.1 Постановка задачи и формулировка результатов............141
0.5.2 Доказательство теоремы 0.5.1............................152
0.5.3 Примеры ................................................169
0.6 Задачи оптимизации усредненного сопротивления...................175
0.6.1 Двумерный случай........................................175
0.6.2 Случай высших размерностей..............................182
0.7 Эффект Магнуса и динамика вращающегося шероховатого диска 188
0.7.1 Описание эффекта и постановка задачи....................188
0.7.2 Сопротивление шероховатого диска........................194
0.7.3 Эффект Магнуса........................................ 202
0.7.4 Динамика шероховатого диска.............................208
0.7.5 Заключение и сравнение с предыдущими работами .... 212
«
3
0.1 Введение
0.1.1 Общая характеристика работы
В данной работе изложены результаты, относящиеся к аэродинамике тел, движущихся в сильно разреженной среде. Предполагается, что частицы среды не взаимодействуют между собой и абсолютно упруго взаимодействуют с поверхностью тела; эти допущения очень сильно упрощают аэродинамику и позволяют свести ее к ряду' чисто математических задач.
Впервые задача о наименьшем сопротивлении была поставлена Ньютоном в его книге |,Рппар1а"[40| для случая, когда тело поступательно движется в среде неподвижных частиц. Ньютон поставил задачу о нахождении формы тела, при которой сила сопротивления движению тела в среде минимальна, в классе выпуклых тел фиксированной длины и ширины, обладающих вращательной симметрией относительно оси, параллельной направлению движения.
Эта задача сводится к минимизации функционала /0*(1 + (рг2(г))~1гс1г в классе выпуклых неубывающих функций <р : [0, 1] -> [0, /ф Здесь график функции ^ = — р(у/х2 + у2) определяет верхнюю часть границы тела в подходящей системе координат (в которой движение происходит вверх, вдоль оси О г), а /г обозначает высоту тела. Ныотом описывает тело наименьшего сопротивления, но не даег никаких указаний на то, каким образом оно найдено. В настоящее время принято считать, что задача Ньютона послужила одним из истоков вариационного исчисления и даже оптимального управления [1).
Впоследствии математики неоднократно обращались к задаче Ньютона и ее модификациям. Как правило, модификации заключались в том, что задача минимизации указанного функционала рассматривалась в классах функций, отличных от ньютоновского. Так, в работе Лежандра [35| задача минимизации рассматривалась при условии постоянства длины графика функции / (а не ее амплитуды К).
В 1993 г. начался новый этап в изучении этой задачи. Буттаццо и Ка-воль (21) лоставлили вопрос о минимизации сопротивления в классе выпук-
4
лых (но обязательно осесимметричных) тел, вписанных в заданных прямой круговой цилиндр (скажем, радиуса 1 и высоты А). Он сводится к минимизации функционала ffQ(l + IV/^t,//)]2)“1 dxdy в классе выпуклых функций / : П —> [0, А], где П — единичный круг. Таким образом, от одномерной вариационной задачи перешли к задаче в двух измерениях, решение которой не найдено по сей день. Тем не менее в статьях [16, 19, 20, 34, 32] был получен ряд важных результатов. В частности, было доказано, что минимизирующая функция существует и не является радиально симметричной, а следовательно, наименьшее сопротивление меньше ньютоновского. Выли установлены некоторые свойства минимизирующей функции. Кроме того, было найдено решение в более узком классе функций, график которых есть выпуклое замыкание объединения единичной окружности в плоскости z — 0 и выпуклого множества в плоскости z = h [33).
В статье [21] был также поставлен вопрос о нахождении тела наименьшего сопротивления в различных классах нсвыпуклых тел. Значительные результаты в этом направлении были получены Комте и Лашан-Робером [24, 25, 26]. Некоторые задачи были ими с большой изобретательностью решены в предположении, что каждая частица среды испытывает не больше одного соударения с телом1. Без этого предположения, однако, вопрос о минимизации сопротивления невыпуклых тел некоторое время оставался открытым. Впоследствии стало ясно, что задачи такого рода следует решать с привлечением математической теории биллиардов. В настоящее время эта теория достигла высокого уровня развития; прекрасные обзоры по этой теории различной степени детализации и трудности можно найти в книгах [2, 3, 47, 48, 23). Детально изучены биллиарды внутри ограниченной области (к таким биллиардам можно свести и газ Лоренца); имеются результаты о биллиардах в неограниченных областях (к ним относятся и результаты по оценке числа соударений в системе конечного числа шаров) [8, 46). Однако, по-видимому, мало или совсем не изучался биллиард во внешности некоторой ограниченной области в евклидовом про-
I 1это услопис на форму тела получило название single impact assumption
5
странстве В^.2 Такай теория могла бы сыграть роль корпускулярного аналога теории волнового рассеяния на препятствии.
Еще одна математическая дисциплина, которая также оказалась тесно связанной с задачами о минимальном сопротивлении, — это задача Монжа-Канторови об оптимальном переносе массы. Она весьма динамично развивается начиная с середины 80-х гг. (см. книги и обзоры [44, 11, 50, 27)).
По-видимому, описание оптимального 'транспорта в явном виде может быть получено лишь в некоторых весьма редких случаях; тем не менее, представляет интерес выявление таких случаев и описание точных решений. (Ситуация здесь такая же, как и в теории интегрируемых динамических систем.) По сей день известно очень немного таких случаев. Отметим здесь статьи Мак-Кенпа [37] и Укельмана [49] в одномерной задаче и В. Л. Левина [5, 36, 6] в двумерной задаче. Мак-Кенн изучал задачу на прямой с четной функцией ценности, вогнутой на положительной полуоси. Укельман рассматривал функцию ценности с тремя интервалами выпуклости и начальное и конечное распределения массы, заданные лебеговой мерой на единичном отрезке. Левин рассматривал начальное распределение, заданное лебеговой мерой на некоторой фигуре на плоскости -- прямоугольнике, равностороннем треугольнике, квадрате, — и конечное распределение, полученное из начального некоторой изометрией: прямоугольник поворачивается вокруг центра на 90°; треугольник поворачивается вокруг центра на 60° или отражается относительно одной из своих сторон; квадрат поворачивается вокруг центра на 45°. Функция ценности равна расстоянию или квадрату расстояния между двумя точками.
Основной целью настоящей работы является решение следующих задач:
• Изучить задачи о наименьшем сопротивлении поступательно движущихся невыпуклых тел. Эти задачи являются обобщением аэродинамической задачи Ньютона; основная разница состоит в том, что частицы могут совершать многократные отражения от поверхности тела. Для нескольких естественных классов невыпуклых тел будет показано, что нижняя грань сопро-
23десь мы не касаемся теория так называемого внешнего биллиарда, в которой динамика определяется во-другому.
тивления равна нулю; таким образом, существуют ’’почти абсолютно обтекаемые” тела.
• Обобщить задачу Ныотона о наименьшем сопротивлении выпуклых осесимметричных тел на случай сред с тепловым движением частиц. Будет установлено существование оптимальных решений двух видов: ньютоноподобные тела и формы, полученные склейкой двух ныотоноподобных тел вдоль их задних торцов.
• Определить понятие шероховатого тела и описать биллиардное рассеяние на шероховатых и (в двумерном случае) невыпуклых телах.
• Получить точное решение задачи Монжа-Канторовича на прямой с нечетной и вогнутой на положительной полуоси функцией ценности и одинаковыми распределениями масс, а также точное решение одной задачи на сфере с функцией ценности, равной квадрату расстояния.
•1
• Применить полученные результаты о биллиардном рассеянии и о задачах Монжа-Канторовича к задачам о наименьшем и наибольшем сопротивлении движущихся и при этом медленно вращающихся (кувыркающихся) тел. Мы увидим, в частности, что сопротивление трехмерного выпуклого тела может быть увеличено самое большее вдвое и уменьшено самое большее па 3.05% с помощью нанесения рифления на его поверхность.
• Изучить силу, действующую на быстро вращающийся шероховатый диск, движущийся на плоскости в разреженной среде, а также динамику диска. Мы покажем, что сила не параллельна направлению движения диска, а имеет как параллельную, так и перпендикулярную составляющую, зависящие от характера шероховатости диска, то есть имеет место эффект Магнуса. Задача о нахождении всех допустимых значений силы, действующей на диск, будет сформулирована и решена как векторнозначная задача Монжа-Канторовича.
В работе систематически используются методы теории биллиардов (главы 2, 4, б). В задачах, связанных с изучением выпуклых тел, мы обращаемся к вариационным методам (глава 3). В главах 5 и 7 используются методы
оптимального транспорта массы.
В следующем разделе 0.1.2 определяются основные понятия и термины, которые будут затем использоваться на протяжении всей работы. В разделе 0.1.3 аэродинамическая задача Ньютона формулируется с помощью введенных нами терминов. В разделах 0.1.4 - 0.1.9 кратко излагаются основные результаты диссертации (главы 0.2 - 0.7).
0.1.2 Основные определения
Рассмотрим евклидово пространство Кг/, д > 2.
Определение 1.1 . Ограниченное множество в с кусочно-гладкой границей будем называть телом и обозначать буквой В. Выпуклым телом, как обычно, называется выпук/юе множество с непустой внутренностью. Выпуклые тела везде в дальнейшем предполагаются ограниченными и обозначаются буквой С.
Таким образом, согласно этому определению и вопреки физической интуиции, тело не обязано быть связным. Причина этого в том, что в значительной части излагаемых ниже результатов без этого условия можно обойтись. Когда мы все же нуждаемся в этом условии, мы говорим "связное тело".
Заметим также, что граница выпуклого тела не обязательно кусочно-гладкая; тем самым выпуклое тело не обязано быть телом.
Для регулярной точки £ Е ОС обозначим га(£) внешнюю единичную нормаль к ОС в точке £ и снабдим дС х 5</-1 мерой /х = рзс согласно с//х(£, и) = Ы(7г(0>г')1 (1£,(1уу где (•. •) обозначает скалярное произведение, а (16, и ду —
(д - 1)-мерные лебеговы меры на дС и 5'2“1, соответственно. Значение Ьц = Г(1~-)7г^1”</^2 есть нормировочная постоянная, выбранная так, что /х (дС х 5(/“1) 2\дС\. Это значение есть обратный объем ((I— 1)-мерного шара; в частности,
&2 = 1/2 и 63 = 1 /7Г. Определим измеримые пространства (дС х 5 *)± := {(£, у) Е дСхБ11"1 : ±{п(£).г>) > 0} с индуцированной на них мерой /х. Неформально выражаясь, (дСх5</-1)- и (дСГх5г,~1)+ есть, соответственно, множества частиц, влетающих и вылетающих из (7, а р измеряет (нормированное) ко-
личество влетевших или вылетевших частиц. Имеем /2 ((дС х 5^_1)±) = \дС\^ то есть количество как влетевших через ОС, так и вылетевших частиц равно площади поверхности тела С.
В дальнейшем мы будем также использовать обозначение (дС х А)± := {(£,г>) € дС х А : ±(п(£),г>) > 0}, где А С М'7 — некоторое множество.
Определим ннволютивное отображение X = Тс : {£,у) (£, -у) на дС х
5й“1; оно взаимно-однозначно отображает (дС х Б'1 1)_ на (дС х Б'1 *)+ и обратно.
Рассмотрим некоторое тело Б С С и биллиард в 1(/ \ Зададим отображение Тв,с : (£>■*') *-> ($в,с(Л'у)*ув.с(£*у)) межДУ подпространствами (<9С х Б**"1)- и (дС х 5с/_1)+ следующим образом.
Пусть (£,ц) € (дС х 5£/-1)-. Биллиардная частица начинает движение в точке £ со скоростью у, затем некоторое время движется внутри С\В1 совершая отражения от границы В (отражений может и не быть), и, наконец, снова пересекает дС в точке Св,с(^'у) со скоростью у% с(£. у) и покидает множество С (см. рис. 0.1.1). В частности, если £ также принадлежит регулярной точке дБ, то время пребывания частицы внутри С сводится к точке; в этом случае положим у) = £ а у%с($, у) = и - 2{п{£),у) гг(£).
Рис. 0.1.1: Биллиард в К* \ В.
Заданное таким образом отображение Тцус есть взаимно-однозначное соответствие между подмножествами полной меры пространств (дС х Бл~1)- и (дС х Б*~1)+. Кроме того, оно сохраняет меру \х и удовлетворяет соотношению Т^с = ТТв%сТ- Это отображение по существу определяет биллиардное рассеяние в Ег/ \ Б.
Заметим, что отображение v^c есть ограничение на (дС х Sd~l)~ отображения Уд, заданного на подмножестве полной меры пространства х Sd~l и определяющего скорость отраженной частицы, положение и скорость которой в любой момент t перед соударениями равны Ç-k-vt и v, соответственно. Отметим свойство трансляционной инвариантности функции v4-vr, v) = vîi(£'v) Для любого действительного т.
Мы будем рассматривать функционалы вида Rx[Tb,c\ — /(ycxsd-l)_c(y’ vb(^v)) Kn(?)j г’)1 dÇdx(v)t 1'Де X ~~~ некоторая борелевская вероятностная мера на S*-\ а с — некоторая (вообще говоря, векторная) непрерывная функция, с : Sd~l х Sd~l -> R", q > 1, удовлетворяющая условию c(v,v) = 0. Стало быть, функционал Д[2д/?] также принимает значения в М17.
Предложение 0.1.1. Пусть В С С\ и В С Со; тогда Пх[Тв,с:] = Ях[Тв,сь ]•
Доказательство. Обозначим (дС х 5,/-1)£ подмножество значений (Ç,w) Є (<9(7 х б’*1-1)- таких, что соответствующая биллиардная частица хотя бы раз отразится от дБ, и обозначим Tÿjç ограничение отображения Твус на (дС х Sd~1)?. Ограничение этого отображения на дополнительное подмножество оставляет вторую компоненту V неизменной, ТО есть Vji(Ç, v) = v.
Для любого (£,г>) Є (дС\ х Sd~*)? прямая £ + vt, і 6 I имеет непустое пересечение (одну ИЛИ две точки) С дС-2- Выберем из этого пересечения точку такую, что {С\у) Є (дС2 х Sd~1)-, и положим Tc,tc9M^v) :== (€/»г/)* Определенное таким образом отображение Тс1ус2,в • {дСi х 5t/'1)f (^С2 х 5rf~1)?
взаимно-однозначно и оставляет вторую компоненту v неизменной. Кроме того, оно удовлетворяет соотношению в = Ъг.СиВ и сохраняет меру
|(п(0»и}| ^ dx{v), какова бы ни была Наконец, справедливо
ПЪг = ÎTctf^TTg&TctfbB. (0.1.1)
В силу условия с(у, у) = 0 имеем
f Ф> v£(Ç,и)) |(n(Ç),w)| dÇdx(v).
Сделаем в этом интеграле замену переменных (£,'н) (Ç, г>) = 7сьс2,в(^}'у)-
Согласно (0.5.1), справедливо T^bCi(Ç.v) = ^Тс2,сх,в^Т^^(^у)} а учиты-
10
вая, что отображение ХТс*,Су,в% оставляет вторую компоненту у неизменной, получаем Vg(f,v) = у). Кроме того, справедливо |{п(£), г>)| d£dx(v) =
|(n(5),v)|dfdx(v)* Таким образом, имеем
ЯхР’ад] = [ ф, v)) |(та(|), г»)| d£ dx(v);
J(VC2x 6^"«)®
отсюда Ях[Тад] = Rx[Tb,c2}- □
В силу этого предложения, значение функционала Ях[Тв,с\ зависит только от В и не зависит от выбора объемлющего выпуклого тела С. Таким образом, мы вправе писать RX(B) вместо AJTac],
&х(В):= [ ф-.v^.v)) \{n(Z),v)\d£dx(v). (0.1.2)
J (dCxSd~1)-
Функционал 7? интерпретируется как сила сопротивления среды, действующая на тело, когда распределение падающих частиц по скоростям (в системе отсчета, связанной с телом) задается мерой х- Вид подынтегральной функции с определяется конкретной механической моделью, служащей прототипом для рассматриваемой задачи. Так, функция с(у,у+) = у — у+ соответствует случаю, когда на неподвижное тело налетает поток частиц, причем распределение скоростей в потоке задается мерой х* В этом случае Ях (0.1.2) есть сила давления потока на тело. Подынтегральное выражение у — Уц{£,у) пропорционально импульсу, который индивидуальная частица передает телу.
Функция с(и, г?+) = (ц—у+. у) соответствует случаю, когда на тело налетает поток параллельных частиц, причем направление потока выбирается случайно из sd-1 с распределением х- В этом случае значение Rx равно математическому ожиданию продольной компоненты силы давления потока. Подынтегральное выражение (у — г>5(£, у), у) пропорционально проекции импульса, переданного телу индивидуальной частицей, на направление потока.
Функции с других видов (как скалярные, так и векторнозпачные) рассматриваются в главе 7 в задачах оптимизации сопротивления быстро вращающихся шероховатых тел.
11
0.1.3 Аэродинамическая задача Ньютона
Здесь мы формулируем аэродинамическую задачу Ньютона и ее обобщения с помощью введенных выше понятий и терминов.
Рассмотрим трехмерный случай, d = 3, положим c(v,v+) = (v — v+,v) и обозначим SVo вероятностную меру на S'2, сосредоточенную в точке vq € S2. Функционал Rsvq определяет продольную компоненту силы сопротивления среды поступательному движению тела со скоростью — Vo (или, что то же самое, силы давления параллельного потока частиц, падающего со скоростью ■но на неподвижное тело).
Рассмотрим прямой круговой цилиндр Cj, высоты h и единичного радиуса в трехмерном евклидовом пространстве и единичный вектор цу, параллельный оси цилиндра. Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение Rsvq(B) в классе выпуклых тел В, содержащихся в цилиндре Си и касающихся всех его образующих.
Функционал Rsvq можно представить в удобной аналитической форме. Выберем ортонормированную систему координат Х\, Х2, .г*з таким образом, чтобы цилиндр принял вид Ch = {(а'ь Х2, х'з) : х\ 4- х\ < 1, —,h < Х3 < 0}, а вектор vq принял вид г>о = (0,0, —1). Верхняя часть поверхности В есть график функции -/д, где /д : Balli(O) —> [0, /1] — некоторая .выпуклая функция, a Bal!i(0) С К2 — единичный круг х\ 4- х\ < 1. С учетом (0.1.2), функционал Rs принимает вид
где £ = (жьа:2|0), а — двумерная лебегова мера. Учитывая, что каждая падающая на тело частица совершает от него ровно одно отражение, а зна-
чит, vg(£,г-о) = v0 + 2(1 4- \Vfri(x1,x2)\2) 1 • (-§£(®ь&2), -§£(®1,я2), *)> получаем, что R^{B) = 27Ц/в), где
Таким образом, задача о наименьшем сопротивлении принимает следующий
(0.1.3)
(0.1.4)
вид:
12
Задача 1. Найти МК(/) 6 классе выпуклых функций / : Ва11\{0) —> [0, Н].
Величина 7£(/д) имеет естественную физическую интерпретацию: это есть вертикальная компонента силы давления однородного потока невзаимодействующих частиц, падающих вертикально вниз на выпуклое тело В.
Задача о наименьшем сопротивлении была первоначально рассмотрена Ньютоном [40) в более узком классе выпуклых тел В, не только содержащихся в цилиндре С/, и касающихся его боковой поверхности, но и симметричных относительно вертикальной оси Ох3. В этом случае функция /д, определяющая верхнюю часть поверхности В, является радиальной: Фн{х\)х2) = <^в(г)> где г = у/х2 4- #2’ и задача принимает следующий вид:
Задача 2. Найти г 1 г(^г
4- у?'2(г)
в классе выпуклых неубывающих функций р> : [0, 1] -4 [0, /г].
(0.1.5)
Решение задачи 2 (представленное Ньютоном в геометрической форме и без доказательства) в современных обозначениях имеет следующий вид: ср(г) — 0 при 0 < г < г0, а при г() < г < 1 функция у? задается параметрически:
г == я (^з 2и 4- -)
“ , 1 < и < щ. Здесь гп = го (К) нахо-
^(г) = а(2и4+и2_1пМ_2) - -
дится из системы уравнений с неизвестными го и Но: ^ (1$ + 2по 4- ~) = 1, ^ Ир 4- Но — 1п щ — = Л, щ > 1. Краткое изложение и элементарное (для
школьников) решение задачи Ньютона можно найти в статье Тихомирова [9), а также в его книге [10]. Оптимальное тело Ньютона ограничено спереди и сзади плоскими круговыми торцами и напоминает усеченный конус со слегка раздутой боковой поверхностью. Довольно хорошее представление о его виде дает рисунок 1.3(а) (хотя он относится уже к движению в среде с положительной температурой). Угол, который боковая поверхность составляет с верхним торцом в точке излома, равен 45°.
Задача 1 интенсивно изучалась с начала 90-х гг. [10. 17,19, 21, 24, 25, 26, 32, 33, 34). Было доказано, что ее решение существует и не совпадает с радиаль-
13
ным решением Ньютона. Оно было получено численно в работе |32], но свойства решения до сих пор недостаточно хорошо поняты. С другой стороны, в [33) было аналитически найдено решение задачи inf/€®(Л) 7^(/) в промежуточном классе функций S)(/i)> который содержится в классе выпуклых функций на Balli(O), принимающих значения в [—/г., 0] и содержит класс выпуклых радиально симметричных функций из Balli(O) в (—Д, 0]. Каждая функция д <Е из этого класса имеет вид дк = }в{к)> ГДе К С Balli(O) — выпуклое двумерное множество, а есть верхняя часть поверхности множества
В этом выражении и всюду ниже Сопу обозначает выпуклую оболочку. Таким образом, множество В(К) есть выпуклая оболочка кругового основания ВаПх (0) х {—/г} и выпуклого множества К х {0}, содержащегося в горизонтальной ПЛОСКОСТИ ОХ\Х2.
Решение этой задачи при Ь = 2 изображено на рис. 0.1.2; множество К на этом рисунке есть горизонтальный отрезок с центром в начале координат.
Рис. 0.1.2: Выпуклое не осесимметричное тело из класса 2>(Л), имеющее наименьшее сопротивление.
В этой работе мы рассматриваем задачи оптимизации сопротивления в различных классах тел, как выпуклых, так и невыпуклых. Отражения частиц от невыпуклого тела являются, вообще говоря, многократными, поэтому невозможно воспользоваться простыми аналитическими формулами вроде (0.1.4) или (0.1.5) для вычисления сопротивления. Вместо этого мы изучаем билли-
В{К) = СотфВафСО) х {-/i}) U (К х {0})].
14
арды «о внешности тел и показываем, что в ряде случаев соответствующие задачи оптимизации могут быть сведены к специальным задачам об оптимальном транспорте массы.
0.1.4 Результаты главы 2
В случае, если х = й*, значение соответствующего функционала Л(цД£) в подходящей системе отсчета имеет вид
Система отсчета выбрана так, что вектор Уо имеет вид уд = (0,0,-1), а тело В содержится в полупространстве а*з < 0. В действительности тело содержится в достаточно большом цилиндре Ва11Г(0) х [—Я, 0], и интегрирование в (0.1.6) проводится по верхнему торцу этого цилиндра Ва11г(0) х {0}, в то время как вне этого торца г^(£, г0) = Уд и поэтому подынтегральная функция равна нулю.
В частном случае, когда с(у.у+) = (у-у+, у), интеграл (0.1.6) имеет непосредственный физический смысл: это есть сопротивление, среды поступательному движению тела со скоростью —у®.
Заметим, что, хотя функция у^ измерима на подмножестве полной меры пространства Е3 х 52, ее ограничение на подпространство нулевой меры у = уо может даже не быть определено. Поэтому мы дополнительно потребуем, чтобы ограничение функции уд на подпространство у = г>о было функцией, определенной почти всюду и измеримой относительно лебеговской меры на х (М. По существу это условие означает регулярность рассеяния частиц, падающих в направлении г?о- Предполагается, что оно выполнено для всех тел, рассматривающихся в этом подразделе.
В главе 0.2 мы рассматриваем обобщенную задачу Ньютона о теле наименьшего сопротивления; обобщение заключается в том, что минимум ищется в более широких классах, 'Р(Н) и 5(Л), невыпуклых тел, вписанных в данный цилиндр.
(0.1.6)
15
Обозначим V(h) класс связных (вообще говоря, невыпуклых) тел В, содержащихся в цилиндре С]х — Bali](0) х [—/г, 0] и таких, что ортогональная проекция В на плоскость Ох\х2 совпадает с кругом Balli(O). Этот класс обширнее, чем все рассматривавшиеся выше в разделе 0.1.3. Задача о наименьшем сопротивлении в этом классе имеет неожиданный ответ:
inf R6(B) = 0. (0.1.7)
B€'P(h) 10 4 ' V '
Таким образом, сопротивление тел, вписанных в заданный цилиндр, мооюет быть сделано сколь угодно малым.
Мы также рассматриваем класс S{h) связных тел, содержащихся в цилиндре Cft и содержащих по крайней мере одно его сечение Balli(O) х {с}, -/г < с < 0. Этот класс содержится в предыдущем. S(h) С V(h), но все еще обширнее, чем все рассматривавшиеся прежде. Ответ в этом классе таков же:
inf Rx (В) = 0. . (0.1.8)
B£S{h)
Наконец, мы рассматриваем класс В(К\,К2) связных тел В таких, что К\ С В С К2, где A'i и К2 — фиксированные выпуклые ограниченные тела в R3, удовлетворяющие условиям A'i С К2 и дК\ П дК2 — 0- Ответ здесь тот же самый:
inf R* (В) = 0. (0.1.9)
ВеВ(1\1.К2) 0
Результат (0.1.9) допускает следующую интерпретацию.
Любое выпуклое тело мооюет быть преобразовано в е-окрестности своей границы таким образом, что полученное в результате тело при двиоюепии в заданном направлении в среде покоящихся частиц будет испытывать сопротивление меньше е.
Здесь е > 0 — произвольное наперед заданное число.
Наконец, рассматривается задача минимизации для аналогов этих классов в двумерном случае, d — 2. Наименьшее значение сопротивления в этом случае всегда положительно; это значение найдено для c('t/, г?4*) = (v — г?1*, г>).
1G
0.1.5 Результаты главы 3
В главе 0.3 мы рассматриваем задачу о минимизации сопротивления в случае, когда имеется тепловое движение частиц среды. Она (как и классическая задача Ньютона) решается в классе выпуклых и осесимметричных тел фиксированной длины и ширины, поступательно движущихся в среде.
Хотя методы, использованные в этой главе, не являются принципиально новыми, в случае ненулевой температуры возникает гораздо большее разнообразие решений, нежели в исходной задаче Ньютона. В отличие от задачи Ньютона, здесь приходится учитывать состав среды: решение для случая однородного газа (а следовательно, содержащего молекулы одинаковой массы) не такое, как в случае газа, состоящего из нескольких однородных компонент и тем самым содержащего молекулы различной массы.
При d > 3 имеется два различных вида решений. Опишем их в случае d — 3; при d > 3 описание аналогично. Решение первого вида подобно решению классической задачи Ньютона: задняя часть его поверхности есть плоский диск, а передняя ее часть состоит из плоского диска меньшего размера посредине и строго выпуклой боковой поверхности. Заметим, что, в отличие от решения Ньютона, угол излома передней поверхности в граничных точках переднего диска, вообще говоря, не равен 135°.
Решение второго вида есть объединение двух тел, подобных решению Ньютона, "склеенных" задними частями своих поверхностей. Длина (вдоль направления движения) переднего тела всегда больше длины заднего "перевср-нутого"тела. Решения первого и второго вида реализуются, когда скорость V движения тела в среде больше или меньше некоторого критического значения Vc, соответственно. Эти решения изображены на Рис. 1.3(a) и на Рис. 1.3(b). Здесь и в дальнейшем подразумевается, что тело движется вертикально вверх.
При d = 2 классификация решений в некотором смысле более сложная. Существует пять видов решений (см. Рис. 1 4(a) - 1.4(e)):
(a) трапеция;
(b) равнобедренный треугольник;
17
(а) V = 1, А « 1.97 (Ь) V = 1, Л = 3.11
Рис. 0.1.3: Решения трехмерной задачи о движении тела со скоростью V в разреженном однородном одноатомном идеальном газе. Здесь средняя квадратичная скорость молекул газа равна 1. Рассматривается класс выпуклых тел вращения длины Лис максимальным поперечным сечением единичного радиуса.
(с) объединение треугольника и трапеции;
(с!) объединение двух равнобедренных треугольников;
(е) объединение двух треугольников и трапеции.
Решения (а) - (с!) реализуются для любых распределений скоростей теплового движения частиц в среде и для любых значений V; решение (е) рса.-лизуется лишь для некоторых. Можно сказать, что оптимальные формы (а) - (с1) реализуются уже в случае однородного одноатомного газа, в то время как форма (е) может возникнуть в случае, когда газ есть смесь по крайней мере двух однородных компонент. Построение решения (е) является достаточно сложной вычислительной задачей, которая к настоящему моменту не выполнена. Заметим также, что в двумерной задаче Ньютона (соответствующей случаю нулевой температуры) имеются только два вида оптимальных форм, соответствующих решениям (а) и (Ь).
В предельном случае, когда скорость тела велика по сравнению со средней скоростью теплового движения частиц, V —> +ехэ, оптимальная форма совпадает с решением классической задачи Ньютона. В другом предельном случае, когда скорость движения тела мала, V —>■ 0+, трехмерное оптимальное тело становится симметричным относительно плоскости, перпендикуляр-
18
(а) Л = 0.7
(с) Л = 6
(■)
((1) Л =
7.83
Рис. 0.1.4: Решения двумерной задачи. В случаях (а)-(с!) эти решения найдены численно для тела, движущегося в газе со скоростью V = 1; параметры газа такие же, что и на предыдущем рисунке 0.1.3. Рассматривается класс выпуклых тел, симметричных относительно вертикальной оси и вписанных в прямоугольник ширины 2 и высоты Л.
19
ной направлению движения, то есть является объединением двз'х одинаковых ныотоноподобных тел. При этом угол излома как передней, так и задней частей поверхности (в граничных точках переднего и заднего дисков) равен 51.8°. Двумерное же оптимальное тело есть, в зависимости от длины Н, одна из четырех фигур: (а) трапеция при 0 < /г < 1.272; (Ь) равнобедренный треугольник при /г = 1.272; (с) объединение равнобедренного треугольника и трапеции при 1.272 < к < 2.544; (б) ромб при к > 2.544. В случаях (а) - (с) угол наклона боковых сторон этих фигур к основанию равен 51.8°, а в случае (<1) превосходит это значение. Оптимальная форма наименьшего сопротивления, в пределе низкой скорости, является универсальной: она зависит только от длины тела к и не зависит от распределения скоростей частиц.
В однородном одноатомном идеальном газе скорости молекул распределены по гауссовскому закону. Предположим, что среднеквадратичная скорость молекул равна 1. тогда вид решения определяется двумя параметрами: скоростью тела V и его длиной /г. Мы численно определяем области в пространстве параметров, для которых реализуются различные виды решений; кроме того, для некоторых значений параметров находим форму оптимального тела и вычисляем соответствующее ему сопротивление. Эта работа проведена отдельно для двумерного и трехмерного случаев.
0.1.6 Результаты главы 4
Изложенные в главе 0.2 результаты о телах сколь угодно малого сопротивления получены при весьма ограничительных условиях; в частности, температура среды предполагается равной нулю и направление движения тела заранее задано. В связи с этим возникают новые вопросы об оптимизации сопротивления для тел, которые движутся не только поступательно, но и вращательно, а также для случая, когда невыпуклое тело движется в среде с ненулевой температурой. Многие из этих вопросов сводится к задаче изучения сопротивления, усредненного по континууму направлений. Эта задача, в свою очередь, требует предварительной работы по изучению биллиардного
20