Модельные подпространства пространств Харди: неравенства Бернштейна, системы воспроизводящих ядер, теоремы типа Берлинга-Мальявена

Глава 1
Введение
Теория модельных пространств представляет собой обширный и активно развивающийся раздел современного анализа. В важном частном (скалярном) случае модельные пространства определяют как /Г© = Н2 0 ЭН2, где Н2 - пространство Харди в единичном круге О (или в верхней полуплоскости С4*), а 0 - внутренняя функция. Согласно классической теореме
А. Берлинга подпространства Ке и только они инвариантны относительно оператора обратного сдвига в II2. Теория пространств /С© играет выдающуюся роль в современной теории операторов в гильбертовом пространстве и в комплексном анализе.
Становление теории модельных пространств относится к 1900-м годам, когда Б. Секефальви-Надь и Ч. Фойаш построили свой замечательный вариант спектральной теории - функциональную модель операторов сжатия в гильбертовом пространстве. Как оказалось, всякий оператор сжатия Т (то есть оператор, удовлетворящий условию ||Т|| < 1) такой, что последовательность {Тп}п>о поточечно сходится к нулю, может быть реализован как сужение оператора "кратного сдвига" на некоторое инвариантное подпространство оператора обратного сдвига. В простейшем варианте теории, когда I — Т*Т - оператор ранга 1, соответствующее подпространство совпадает с некоторым подпространством К© в скалярном пространстве Харди. Отсюда происходит ныне широко используемый термин модельное (под) пространство.
Одновременно, в конце 1950-х - начале 1960-х годов, Л. де Бранж создал теорию гильбертовых пространств целых функций. Эта теория позволила решить одну из важнейших задач математической физики, а именно обратную спектральную задачу для одномерных операторов Шредингера и двумерных канонических систем. Теория пространств де Бранжа тесно связана с теорией модельных пространств (а именно, имеется естественный унитарный изоморфизм между пространствами де Бранжа и модельными
2
Глапа 1. Введение
пространствами, порожденными мероморфными внутренними функциями).
Модельные пространства играют исключительно важную роль как в теории операторов, так и в комплексном анализе. В 1960-х годах они возникают в работах X. Шапиро, А. Шилдса, Н.К. Никольского о базисах Рисса (безусловных базисах) из ядер Коши в пространстве Н2 (соответственно в Нр). В 1970-е годы существенный вклад как в изучение аналитических свойств элементов модельных пространств, так и в теорию операторов на модельных пространствах, внесли работы П. Ахерна и Д. Кларка (существование граничных значений, меры Кларка), а позднее работы Д. Сарасона и У. Кома.
Теория модельных пространств стала одним из важнейших направлений деятельности ленинградской школы теории функций. Существенную роль в становлении теории модельных пространств сыграла монография Н.К. Никольского "Лекции об операторе сдвига", появившаяся в 1980 году. Значительные результаты в этой области были получены А.Б. Александровым,
В.И. Васюниным, А.Л. Вольбергом, С.Р. Треилем, K.M. Дьяконовым, А.Г. Полторацким. В работах Н.К. Никольского, С.В. Хрущева и Б.С. Павлова были получены важные результаты об описании базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных пространствах. Как частный случай их результаты содержат решение знаменитой задачи Пэли и Винера о базисах из экспонент.
В настоящее время теория модельных пространств представляет собой активно развивающуюся область операторно-ориентированной теории функций. Недавние продвижения в ней связаны с работами В.П. Хавина (в соавторстве с Дж. Машреги) о допустимых мажорантах для модельных пространств и с работами Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого о полноте систем воспроизводящих ядер и инъективности операторов Теплица. В первом цикле работ был предложен существенно новый подход к теореме Берлинга-Мальявена о мультипликаторе и доказаны теоремы о допустимых мажорантах для модельных пространств. В работах Макарова и Полторацкого построен аналог теории Берлиига-Мальявена, получены результаты о полноте систем воспроизводящих ядер, обобщающие теорему Берлинга-Мальявена о радиусе полноты для семейств экспонент, и рассмотрены приложения к вопросам полноты собственных функций операторов Шредингера.
Несмотря на успешное и активное развитие теории модельных пространств, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Одной из таких задач, является, например, описание мер Карлесона для модельных пространств, представляющее особый интерес в свете недавних работ Д. Сарасона. об усеченных операторах Теплица.
3
Другие нерешенные вопросы связаны с геометрическими свойствами систем воспроизводящих ядер - нет полного описания базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельном пространстве (и даже неизвестно, всегда ли существует базис Рисса из ядер), представляют интерес явные и легко проверяемые критерии полноты (т.с. описание множеств единственности), вопросы полноты систем, биортогональных системам воспроизводящих ядер, и возможность спектрального синтеза. Отметим, что для широкого класса операторов Шредингера имеется канонический изоморфизм (преобразование Вейля-Титчмарша), сопоставляющее данной спектральной задаче некоторое модельное пространство К©, причем собственным функциям отвечают воспроизводящие ядра в /<©. Таким образом, геометрические свойства систем воспроизводящих ядер представляют значительный интерес с точки зрения спектральной теории операторов Шредингера.
В диссертации получены новые результаты, относящиеся к теоретико-функциональным и геометрическим свойствам модельных пространств. Можно выделить следующие основные направления исследований:
— весовые неравенства Бернштейна для модельных пространств;
— приложения неравенств Бернштейна к теоремам вложения карлесо-новского типа;
— геометрические свойства систем воспроизводящих ядер (полнота, описание базисов Рисса и их устойчивость);
— допустимые мажоранты для модельных пространств, теоремы типа Верл и н га-М ал ья вена.
Между вышеназванными задачами имеется целый ряд внутренних связей. Неравенства Бернштейна будут применяться при доказательстве теорем вложения и результатов об устойчивости базисов, а задача о допустимых мажорантах тесно связана с вопросами единственности и полноты систем воспроизводящих ядер.
Общая черта вышеперечисленных исследований заключается в том, что рассматриваемые задачи естественным образом сводятся к вопросам теории сингулярных интегральных операторов, в частности, операторов Кальдерона-Зигмунда и их модификаций (в том числе весовых). Помимо методов теории сингулярных интегралов в работе существенно используются результаты и техника теории целых функций (функции вполне регулярного роста, различные варианты принципа Фрагмена-Линделефа), а также теории квазианалитических классов.
Диссертация состоит из десяти глав. Б настоящей главе (Введение) мы дадим подробный обзор диссертации по главам и приведем формулировки
А
Глава 1. Введение
всех основных результатов. Для удобства читателя и чтобы не перегружать текст внутренними ссылками, многие формулировки будут повторены далее в основном тексте. При этом во Введении мы указываем (в скобках) номе!) соответствующего утверждения в тексте диссертации. Нумерация всех утверждений и формул тройная (первое число - номер главы, второе число номер параграфа, третье число - номер утверждения/формулы в параграфе). Некоторые более длинные параграфы разбиты на подпараграфы, но на нумерации формул это не отражается.
1.1 Модельные пространства в круге и в полуплоскости
В этом параграфе мы дадим основные определения и краткий обзор важнейших свойств модельных пространств, которые нам понадобятся в дальнейшем.
1.1.1 Пространства Харди и внутренние функции
Диссертация целиком посвящена скалярной (не векторной) теории модельных пространств. Соответствующие модельные пространства будут пространствами аналитических функций в единичном круге или в полуплоскости.
Пусть В = [г е С : \г\ < 1} - единичный круг, а Т = {г € С : \г\ = 1} - единичная окружность. Обозначим символом т нормированную меру Лебега на Т. Пространством Харди Нр, 1 < р < оо, называют множество всех функций, аналитических в Ю> и таких, что
И/Ия» = аир / |/М1р<МС) < оо- (1-1-1)
0<г<1 Ут
Выражение в правой части определяет норму в пространстве Нр. Рассматривают также пространства Нр с 0 < р < 1, но всюду в дальнейшем мы считаем р > 1. Как обычно, символом Н°° мы будем обозначать пространство всех функций, аналитических и ограниченных в И>.
Хорошо известно, что всякая функция / из Нр имеет т-почти всюду конечные некасательные граничные значения, причем предельная функция / принадлежит пространству = 1/(ТГ,т) и Ц/Цн? = ||/||Р, где || • ||р -норма в //. В дальнейшем мы всегда будем отождествлять (и обозначать одним символом) функции из Нр и их некасательные следы на ТГ. При таком
1.1. Модельные пространства в круге и в полуплоскости
5
отождествлении мы можем рассматривать 11р как замкнутое подпространство пространства LP, причем Нр — {/ G Ьр : }{п) = 0, 77. < 0}, где
/(п) обозначает коэффициент Фурье функции / (отметим, что для р = 1 эквивалентность этих определений вытекает из глубокой теоремы братьев Риссов). В частности, Я2 = {f(z) = (с*) G в}.
Стандартные источники по теории пространств Харди - монографии [12, 28, 15], а также [37, 120]. В дальнейшем мы будем постоянно пользоваться внешне-внутренней факторизацией функций из пространств Харди. Особую роль в дальнейшем будут играть внутренние функции. Ограниченную аналитическую в Р функцию 0 называют внутренней, если |©| = 1 гтг-п.в. на Т в смысле некасательных граничных значений. Напомним, что всякая внутренняя функция 0 допускает факторизацию
0(г) = 7 B(z)I^(z), где 7 - комплексное число, равное по модулю единице,
вм-П^-гт*
1 ZnZ
91
- произведение Бляшке с нулями zn G В, и последовательность {zn} удовлетворяет условию Бляшке £n(l - \zn\) < 00 (мы считаем \zn\/Zn — 1, если zn = 0); сингулярную внутреннюю функцию Iопределяют формулой
1ф {z) = ехр ( - #(С)\ г € В,
где ф - конечная неотрицательная борелевская мера на Т, сингулярная относительно меры т.
Упомянем важный класс внутренних функций, который будет играть существенную роль в дальнейшем изложении. Внутреннюю функцию 0 будем называть одпокомпоиеитной, если множество
П(©,е) = {zeB: \e(z)\ <е}
связно для некоторого е G (0,1). Примерами однокомпонентных внутренних функций служат любое конечное произведение Бляшке, а также сингулярная внутренняя функция 0(z) = ехр (а§г0, а > 0, отвечающая точечной массе в точке Ç. Этот класс внутренних функций был введен У. Коном [76] и подробно исследован А.Б. Александровым [3. 4]; в дальнейшем, мы обсудим его свойства.
Определим теперь пространства Харди в верхней полуплоскости С+ = {z G С : lm z > 0}. Пространством Харди ЯР(С*') (мы будем иногда писать просто Нр, если из контекста ясно, что речь идет о пространствах в
6
Глава 1. Введение
полуплоскости) называют множество всех аналитических в С+ функций / таких, что
И/Ия* = sup [ |/(ж + iy)\pdx.
У>о JR
Функции из пространства Харди Нр имеют некасательные следы почти везде на R (относительно меры Лебега). В дальнейшем мы всегда отождествляем функцию и ее граничные значения, при таком отождествлении пространство Нр будет замкнутым подпространством пространства LP(R). Согласно теореме Пэли-Винсра пространство Я2 допускает эквивалентное определение в спектральных терминах:
Н2 = {fe L-{R) : T{J) = 0 п.в. на (-оо,0)} = ^“'(^(О.оо)),
где Т обозначает преобразование Фурье (в последнем равенстве мы рассматриваем Я2(0, оо) как подпространство в ^2(R), состоящее из функций, равных нулю почти везде на (—оо,0)).
Напомним также, что пространства Харди в D и в С+ связаны друг с другом посредством конформного отображения ги = полуплоскости на круг: функция / принадлежит пространству ЯР(Ю>), в том и только в том случае, когда функция где F(z) = /(|=|), принадлежит пространству ЯР(С+). »
1.1.2 Модельные пространства
Специально теории модельных пространств посвящены недавние монографии Н.К. Никольского [120, 121] и Дж. Симы и У. Росса [74]. Рассмотрим оператор сдвига S в пространстве Я2 в круге, (Sf)(z) = zf(z). Знаменитая теорема Берлинга (см. [15, 37, 120]) описывает подпространства пространства Харди, инвариантные относительно оператора S: замкнутое линейное подпространство X С Я2 S'-инвариантно тогда и только тогда, когда X = ©Я2 для некоторой внутренней функции © в круге.
Из теоремы Берлинга вытекает, что всякое подпространство в Я2, инвариантное относительно оператора обратного сдвига
(5*л w=/(г):/(0),
А/
имеет вид
Ке = Я2 © ©Я2
для некоторой внутренней функции ©. Следуя Н.К. Никольскому, мы будем называть подпространство /<е модельным подпространством пространства.
1.1. Модельные пространства, в круге и в полуплоскости
7
Харди (или просто модельным пространством). Подпространства называют также *-инвариантными подпространствами.
Мы будем также постоянно работать с аналогами модельных пространств в пространстве Яр, 1 < р < оо. Каждой внутренней функции 0 сопоставим
подпространство ___
1<Ъ = Нр П QHP
пространства. Яр, где Щ = {/ € Нр : /(0) = 0} = zHp. Иначе можно определить Kq, 1 < р < оо, как множество всех функций / из Нр таких, что
(/. 0.9) = I f 0.9 dm = 0 J т
для всех g € Я7, 1 /р + 1 /q = 1. Заметим, что Kq = Kq (в дальнейшем показатель 2 будем иногда опускать). Известно что для 1 < р < оо всякое замкнутое подпространство в JIP, инвариантное относительно оператора обратного сдвига 5*, имеет вид Kq для некоторой внутренней функции О (см. [12, Глава II] и |2]).
Модельные пространства играют выдающуюся роль как в теории операторов (в частности, в модели Надя-Фойаша для операторов сжатия в гильбертовом пространстве, см. [49, 37]), так и в теории функций (см. [37, 121, 101]). Приведем некоторые примеры модельных пространств. Пусть В - произведение Бляшке с различными нулями zn с кратностями та,
в{г) = ц(Ы.^±\Пп> геЮ.
W 1 - znZj
Тс
Тогда пространство Крв имеет простое геометрическое описание:
Крв = Span£P _Х_ :1<к< т„|,
то есть подпространство Крв совпадает с замыканием в Нр (или, что равносильно, в 1/(Т, т)) линейной оболочки простых дробей с полюсами соответствующих кратностей в точках \/zn. Эта связь была впервые отмечена Тумаркиным [51]. В частности, если В - конечное произведение Бляшке, то будет пространством рациональных функций с фиксированными полюсами вне замкнутого круга. Если B(z) = zn+1, то Крв = 'Рп ~ пространство всех полиномов степени не выше п с LP-нормой.
В случае O(z) = exp (ûfzx), а > 0, модельное пространство оказывается тесно связанным с пространством Пэли-Винера (см. следующий подпараграф).
8
Глава 1. Введение
Ортогональный проектор из II2 на подпространство Л© имеет вид Р©(/) = / — Р+(0/), где Р+ - проектор Рисса из Ь2 на Н2. Поскольку оператор Р+ ограничен также как оператор из ГР в Яр, 1 < р < оо, то Р© - ограниченный оператор из #р на К%.
Весьма существенную роль в дальнейшем будут играть воспроизводящие ядра модельных пространств. Функция
*(,) = 1Ж1 (1.1.2)
является воспроизводящим ядром, отвечающим точке Л 6 Р, то есть для всякой функции / G Ко имеем
ДА) = (/, *а> = [ ДС)Ш«МС). (1-1.3)
JT
Ясно, что &д G Ä'e и &д = Поскольку Агд G (1.1.3) остается
справедливым и для любой функции / G А@ при всех 1 < р < ос.
Болес того, интегральное представление (1.1.3) иногда можно распространить и на граничные точки Л G Т. Мы будем обозначать через ет(Э) так называемый спектр внутренней функции 0, то есть множество таких С, G Ш> U ТГ, что
lim inf 10(г)| = 0.
Иначе говоря, сг(0) - наименьшее замкнутое подмножество в DUT, содержащее нули zn и носитель меры ф. Хорошо известно, что 0, так же как
и всякий элемент пространства 7<@, допускает аналитическое продолжение через любую дугу, лежащую в множестве ТГ \ <т(0). Таким образом, равенство (1.1.3) справедливо и для произвольной точки Л G Т \ <т(0) для всех / G Kg, 1 < р < оо.
Наконец, равенство (1.1.3) может быть выполнено и в точках спектра функции 0 при некоторых дополнительных условиях его разреженности. Ахерн и Кларк [53) показали, что функция к\, Л G ТГ, принадлежит пространству /<© и выполнено равенство (1.1.3) в том и только в том случае, когда функция 0 имеет в точке Л некасательный предел 0(A) G ТГ и конечную угловую производную (под угловой производной мы понимаем Нт._л ~'гггх~Л" » гДе z стремится к А некасательным образом), что, в свою очередь, равносильно условию
1.1. Модельные пространства в круге л в полуплоскости
9
Даже в том случае, когда ТГ С сг(Э), функции из модельного пространства обладают дополнительными свойствами "почти аналитичности" на границе, а именно свойством псевдопродоло/симости (см. (37, Лекция II]): для всякой функции / 6 /<0 существует мероморфная в {\г\ > 1} функция / класса Неванлинны (то есть частное двух ограниченных в {\г\ > 1} аналитических функций) такая, что / = / п.в. на ТГ в смысле граничных значений. Действительно, из определения модельных пространств вытекает, что п.в. на Т имеет место равенство / = гЭд для некоторой функции д £ Нр. Тогда функция
'■«-К8®)"'®' м>1-
будет искомым псевдопродолжением. Заметим также, что отображение / *-> г©/ будет изометрическим изоморфизмом (инволюцией) пространства (понимаемого как замкнутое подпространство в Ьр) на себя.
1.1.3 Модельные пространства в верхней полуплоскости
Рассмотрим изометрическую полугруппу сдвигов (5г)(>о в пространстве £2(0, оо),
№/)(*) *5 *’ / € £г(0,оо).
[О, .т <
Подпространства в Ь2(0, оо), инвариантные относительно действия полугруппы (5У*>о, были описаны П.Д. Лаксом (см. [37]). Применяя преобразование Фурье, мы переходим к эквивалентной задаче об описании подпространств в пространстве Харди #2(С+), инвариантных относительно действия полугруппы (£/*)<>о, где (£Л/)(ж) = еих/(х); всякое такое подпространство имеет вид
К% = Я2 © 0Я2,
где 0 - некоторая внутренняя функция в верхней полуплоскости (т.е. ограниченная аналитическая функция, равная по модулю единице почти везде на М). Пространство К% или просто Я© мы будем называть модельным пространством в полуплоскости.
Напомним, что всякая внутренняя функция © в верхней полуплоскости допускает (с точностью до унимодулярной константы) факторизацию на произведение Бляшке В и сингулярную внутреннюю функцию
10
Глава 1. Введение
где а > 0, нули гп еС+ удовлетворяют условию £п(1 4- |^п|2)-1 Іпі2п < оо, еШп = \г~ 4 1|/(<г2 + 1) (считаем ега" = 1 при 2П = і) подобраны так, чтобы обеспечивать сходимость произведения, а ф - борелевская мера на К, сингулярная относительно меры Лебега и такая, что /н(£2 + 1 )-1<#(£) < оо. Спектр внутренней функции в полуплоскости определяется аналогично случаю круга как наименьшее замкнутое подмножество в С+ иЕи {оо}, содержащее нули 2П и носитель меры ф (если а > 0, то мы также считаем, что оо Є <т(©)). Функция 0, так же как и всякий элемент пространства Кдопускає']* аналитическое продолжение через любой интервал, содержащийся вЕ\сг(0).
Мы рассмотрим также /А шкалу модельных пространств: для 1 < р < оо положим
Обсудим некоторые важные для нас примеры модельных пространств. Если 6(2) = ехр(гог), а > 0, то пространство К® по существу совпадает с пространством Пэли-Винера. Напомним, что пространством Пэли-Винера Р\У£, 1 < р <.оо, называют множество всех целых функций экспоненциального типа не выше а, сужение которых на вещественную прямую принадлежит /,Р(Е); но теореме Пэли и Винера, РУ/а = Р№2 = а, а)).
Если 0(2) = ехр(га2), а > 0. то К£ = ехр(га2/2)РИ^у2.
Если В - произведение Бляшке с нулями 2П с кратностями тп, то Кв, 1 < р < оо. совпадает с замыканием в линейной оболочки дро-
бей (2 — 2п)_/г, 1 < к < тп. Особый интерес представляет случай, когда \гп\ —> оо, то есть нули не имеют точек сгущения на вещественной прямой. В этом случае К© состоит из мероморфных функций с фиксированными полюсами. Пространство К& при этом оказывается канонически изоморфно некоторому пространству де Бранжа, см. следующий подпараграф.
Воспроизводящее ядро пространства /<©, отвечающее точке Л е С+, имеет вид
Тогда к\ £ К&, ц > 1, и интегральное представление /(А) = /(Ь)к\(Ь)си
справедливо для всякой функции / е 1 < р < ос. Согласно теореме Ахерна и Кларка [53] кх € К® доя х € Е тогда и только тогда, когда существует конечная угловая производная 0'(ж) функции 0 в точке ж, т.е. когда
кр = ІР п ©ЯР.
і_ 1 - Є(Л)Є(г)
27г г-Х
№1 = а + х;
п
1.1. Модельные пространства в круге и в полуплоскости
11
1.1.4 Модельные пространства и пространства де Бранжа
Пусть целая функция Е удовлетворяет условию
Множество таких функций, известное как класс Эрмита-Билера обозначим через ИВ. Примером функций из класса Эрмита-Билера служат Е(г) = ехр(—ш), а > 0, а также любое произведение рода нуль с нулями в нижней полуплоскости.
С каждой функцией Е Е ИВ канонически свяжем пространство де Брапо/са И(Е)} состоящее из всех целых функций Е таких, что функции Б/Е и Е7 Е принадлежат пространству Харди #2(С+) (здесь и всюду далее Б^(г) = Е(г)). Скалярное произведение, превращающее И(Е) в гильбертово пространство, задается формулой
Теория пространств И(Е), построенная Л. де Бранжем [70], имеет важные приложения в математической физике (см. [127]). В то же время, пространства де Бранжа представляют большой интерес с точки зрения теории функций [115, 122, 117, 33, 103, 103]. Как частный случай пространства де Бранжа включают в себя пространство Пэли- Винера PWa (этот случай отвечает функции E(z) — схр(—iaz), а > 0).
Пространства де Бранжа оказываются тесно связанными с модельными пространствами К& в #2(С'Ь), порожденными мероморфными внутренними функциями. Если целая функция Е удовлетворяет условию (1.1.8), то функция ©я = Е*/Е будет внутренней, и оператор Е i—> Е/Е унитарно отображает пространство И(Е) на К&Е. Обратно, всякая внутренняя функция 0, мероморфная во всей комплексной плоскости, имеет вид Е*/Е для некоторой функции Е из класса Эрмита-Билера (см. [98, Lemma 2.1]).
Если функция 0 мероморфна в С, то существует возрастающая дифференцируемая функция tp на R такая, что S(t) = expt E IR. Функцию p, непрерывную возрастающую ветвь аргумента функции 0 на 1R, будем, следуя Л. де Вранжу, называть фазовой функцией для 0. Отметим, что
1.1.5 Меры Кларка и ортогональные базисы из воспроизводящих ядер
Ортогональные базисы из воспроизводящих ядер в пространствах Н{Е) появились в работах Л. де Бранжа (см. [70]). В более общем контексте модель-
(1.1.8)
V'(t) = le'COI-
12
Глава J. Впадение
ных пространств Ко они были открыты в работе Д.Н. Кларка [75]. Сформулируем соответствующие результаты для случаев круга и полуплоскости.
Очевидно, для всякого а Є Т функция “Ц имеет в Ю> положительную вещественную часть. Следовательно, существует сингулярная мера а« на Т такая, что
а 4- 0(<г)
Re
а-©(*) = /îbw^’ геЛ (1Л'9)
Меру aQ называют мерой Кларка. В статье [75] показано, что меры аа представляют собой спектральные меры семейства унитарных одномерных возмущений оператора сдвига S, а также что для всякой функции / є Ко, непрерывной в DUT, имеет место равенство \\/\\ьц<та) = Il/Из- Позднее А.Г. Полторацкий [46] доказал, что всякая функция / Є Ко имеет некасательные граничные значения <7а-п.в., и, таким образом, вложение пространства Ко в Ь2(сга) будет унитарным оператором. Отметим, что 0 = 0: <та-п.в.
В частности, если мера сга дискретна, то есть <та = 5Dna^C.,> гДе Сп Є Т, a ôç обозначает единичную точечную нагрузку в точке С, то система воспроизводящих ядер {kçn} будет ортогональным базисом в Kq\ в частности, е Kq то есть !0'(Сп)| < оо. Отмстим, что все меры Кларка дискретны, если спектр ст(0) ПТ не более чем счетен. '1
Меры Кларка для полуплоскости определяют аналогично: в этом случае для любого а Є Т найдутся число ра > 0 и сингулярная мера сга на R такие, что
& — O(-Z) 7Г У к Є ~ z\
Если мера Кларка сга дискретна, сга = о»Ап, то система воспроизводящих ядер {А*п} будет ортогональным базисом в Ко при условии, что ра = 0. Отметим, что ра> 0 в том и только в том случае, когда функция g —0 принадлежит Я2, что может быть справедливо для не более чем одного a G Т (или ни для какого).
Пусть 0 - мероморфная внутренняя функция с фазовой функцией кр (этот случай был рассмотрен де Бранжем [70]). Тогда все меры Кларка дискретны, и мы можем найти точки tn (носитель меры Кларка), решая уравнение
ip(tn) = arga + 2тm, п є Z.
В частности, если <d(z) = ехр(27гг,г), то <p(t) = 2тгt, и (для а — 1) 1п = n, п G Z, будет арифметической прогрессией, отвечающей стандартному ортогональному базису s?n£r~"' пространства Пэли-Винера PWn.
1.2. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств
13
1.2 Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств
1.2.1 Исторический обзор
Классическая оценка для максимума модуля производной полинома была получена С.Н. Бернштейном: если р - алгебраический полином степени не выше п, то ||р'II£<*>(!■) < 77||р||£оо(т)’ Впоследствии неравенствами типа Бернштейна стали называть оценки вида
ll/'IU < c\\f\\Y, fex,
где X и У - некоторые нормированные функциональные пространства. Неравенствам типа Бернштейна посвящена обширная литература, и хоть сколько-нибудь полный обзор вряд ли возможен. Мы остановимся на двух вариантах неравенств типа Бернштейна, наиболее близких к теме диссертации - неравенства Бернштейна для рациональных функций с фиксированными полюсами и для целых функций экспоненциального типа.
Неравенства Бернштейна для рациональных функций изучались в работах Е.П. Долженко [20], В.И. Данченко (18), A.A. Пекарского [43], В.В. Пеллера [44] для различных функциональных пространств (пространства Харди-Соболева, Харди-Бесова, пространство В МО А). Подробные обзоры неравенств для производных рациональных функций можно найти в работах A.A. Гончара [13], В.Н. Русака [47] и в монографии П. Борвейна и Т. Эрдейи [64]. Как правило, рассматриваются оценки вида
Il/Il* <0(п) ИЛЬ /етгп,
где 77т, - пространство всех правильных рациональных функций со степенью знаменателя не выше п и с полюсами в {\z\ > 1}, X и Y - некоторые нормированные пространства аналитических в круге функций, а ф - некоторая возрастающая (часто степенная) функция. Таким образом, для данной пары функциональных пространств X и У представляет интерес зависимость нормы оператора дифференцирования, действующего из (7Zn, j| • \\х) в К, от степени п. Типичные примеры таких оценок - неравенства Е.П. Долженко [20]
II/IIя; < cmll/IU \\f\\By < /еКп,
где Hl - пространство Харди-Соболсва, а В)р - пространство Харди-Бесова. Подобные неравенства оказываются важным инструментом при решении обратных задач рациональной аппроксимации (13, 47, 43].
14
Глава I. Введение
В диссертации будут рассматриваться оценки производных в модельных подпространствах пространства Харди в круге и в полуплоскости, и, в частности, в пространствах КвУ где В - произведение Бляшке, то есть для функций, допускающих аппроксимацию рациональными функциями с фиксированными полюсами. При этом интересен случай бесконечных произведений Бляшке, и, поэтому, необходимо получить оценки, зависящие не от степени рациональной функции, а от некоторых характеристик распределения нулей.
Одно из первых неравенств такого рода было получено М.Б. Левиным [30, 31]. Мы сформулируем его не в максимальной общности. Пусть 0 -внутренняя функция в круге. Если для некоторой точки С Є Т функция 0 имеет некасательный предел 0(С) Є Т в точке С и |0'(С)| < ос (см. формулу
(1.1.4)), то для всякой функции / € Ко* производная /'(С) существует в смысле некасательных граничных значений и
В частности, если 0 - произведение Бляшке с нулями 2П, то неравенство (1.2.1) принимает вид
Для случая рациональных функций (случай конечного произведения Бляшке) неравенство (1.2.1) было получено также В.Н. Русаком [47], а много позднее псрсоткрыто (и обобщено) П. Борвсйном и Т. Эрдейи [64. 65] и другими авторами (см. [112]). В работе В.Н. Дубинина и С.И. Калмыкова [21] было получено далеко идущее обобщение неравенства (1.2.1), дающее поточечные оценки производных рациональных функций с фиксированными полюсами на более общих (чем окружность) множествах в терминах функции Грина.
Другое близкое к нашей теме направление - неравенства Бернштейна для целых функций экспоненциального типа. Классическим результатом в этом направлении, послужившим основой для многочисленных обобщений, является неравенство Бернштейна для пространства Пэли -Винера Р\¥£ (см. §1.1): если 1 < р < оо, то
(для 1 < р < оо см., например, монографию С.М. Никольского [38], случай р = оо подробно разобран в [29, 111, 10]). Для р = оо неравенство (1.2.2) было доказано также С.Н. Бернштейном. Интересный подход к этой задаче с точки зрения теории операторов предложен Е.А. Гориным [10, 14].
І/ЧОІ < 1©'(01 • и/н»
(1.2.2)
1.2. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств
15
Следующее красивое и глубокое обобщение неравенства Бернштейна для случая р = оо было получено Б.Я. Левиным [29, 10]. Пусть целая функция Е порядка 1 удовлетворяет неравенству (1.1.8). Если / - целая функция экспоненциального типа такая, что
max[|/(z)|, |/(z)|] < \E(z)\, z e C+,
TO
тах[|Л*)1,1ГЮ1]<|#(*)1, ^C+.
Другие обобщения неравенства Бернштейна для целых функций можно найти, например, в [124, 125, 136].
K.M. Дьяконов [23, 84] исследовал неравенства Бернштейна для модельных пространств Kq в верхней полуплоскости. Им получены обобщения неравенства (1.2.2) для пространств Пэли-Вииера PWP (фактически, для Kq при 0(z) = exp(гаг)) на случай более общих модельных пространств. В [23] показано, что дифференцирование действует как ограниченный оператор из I<q в Lp(R) при 1 < р < оо, то есть, имеет место неравенство Бернштейна
\\f'\\p<C(p,e)\\f\\p, / е Кр&, (1.2.3)
тогда и только тогда, когда 0' € Я°°(С+). П]>и этом константу в неравенстве (1.2.3) можно взять вида С^ЦО'Цоо. В [84] доказано, что оператор дифференцирования из Kq в Lp(R) компактен в том и только в том случае, когда 0' е Co(R), где С0{Щ - пространство непрерывных на R функций с нулевыми пределами в ±оо.
1.2.2 Основные результаты Главы 2
Наша цель - получить оценки, аналогичные неравенству (1.2.3), но применимые к более общим (произвольным) внутренним функциям. Поскольку производная внутренней функции может, вообще говоря, не принадлежать даже классу Неванлинны, необходимо рассмотреть весовые неравенства для производных внутри (а не на границе) области. Преимущество весовых оценок состоит в том, что вес будет компенсировать возможный рост элементов пространства К£ и их производных около границы. Отметим, что неравенство Бернштейна для обычных 1Лнорм, то есть ||/'||7> < ^Ц/Hp, выполняется для модельного пространства Kq в круге тогда и только тогда, когда оно конечномерно, и, таким образом, 0 - конечное произведение Бляшке. Поэтому идея рассматривать весовые неравенства Бернштейна (с 11 исправляющим" весом) представляется еще более естественной, когда мы работаем с пространствами в круге.
16
Глава I. Введение
Напомним, что для гб0и1<р<х мы имеем
/(-г) = [ /(r)fc.-(r) rfm(r), / є (1.2.4)
где кг - воспроизводящее ядро пространства К@, отвечающее точке 2бВ. Аналогичное представление имеет место и для тг-й производной,
/(п)(г) = [ rnf(r)(kz(r))n+l dm(r), f є Kg. (1.2.5)
Это вытекает из того факта, что д(т) = (1 — тг)плЛ — (кг(т))п+1 £ 0Я°°.
Интегральные представления (1.2.4)—(1.2.5) могут быть распространены на некоторые точки г = ( на единичной окружности Т. Хорошо известно, что всякая функция из допускает аналитическое продолжение через любую дугу, лежащую в множестве Т \ <т(0), и, таким образом, равенства
(1.2.4)-(1.2.5) выполняются для всех 2 = ( £ Т\<т(0). Граничное поведение в точках спектра - вопрос более тонкий, и ответ зависит от “плотности” спектра вблизи данной точки. Для ( € Ї положим
Тогда, согласно результатам Ахерна и Кларка [53J и Кона [77], производная имеет конечный некасательный предел в точке С для всякой функции / £ Kq тогда и только тогда, когда 5(п.и)9(С) < оо; в этом случае А;"*1 £ и равенство (1.2.5) выполнено и для 2 = (. Величина So совпадает с модулем угловой производной функции 0 в точке ( (см. §1.1).
Напомним, что конечную борелевскую меру р в замкнутом круге BUT называют мерой Карлесона, если найдется константа М > 0 такая, что
для всякой дуги / С Т. Здесь и всюду в дальнейшем мы обозначаем через |/| длину дуги I, а через 3(1) - квадрат Карлесона,
S(I) = {z = реі<р Є BUT : eiv £ /, 1 - (2тг)“1|/| <P< 1}. (1.2.7)
Класс мер Карлесона обозначим символом С\ для меры р £ С обозначим Мр наименьшую константу М в неравенстве (1.2.6). Классическая теорема Карлесона утверждает, что Нр С Ьр(р) для некоторого (любого) р > 0 тогда и только тогда, когда р £ С.
Один из основных результатов Главы 2 - весовое неравенство Бернштейна вида ||/'ги||і>М < С||/||р, которое имеет место для произвольной внутренней функции 0 и для мер вида юр, где р - мера Карлесона, а вес ю&)
д(<?(/)) < М\1\
(1.2.6)
1.2. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств
17
зависит от нормы ядра А£+1 в Ьч (то есть, фактически, от нормы функционала / / 6 К£). Положим
Мы считаем = оо и гир,п(0 = О, как только Ç е ТГ и S(n+i)g(0 = оо;
таким образом, произведение f^(z)wPtn(z) корректно определено для всех feKg,zeD UT.
Теорема 1.2.1. (2.1.1) Пусть fi G С, 1 < р < оо. Тогда оператор
имеет слабый тип (р, р) как оператор, действующий из в (//,), и
Чтобы применять теорему 1.2.1, необходимо получить эффективные оценки для участвующих весов, то есть для норм воспроизводящих ядер. Для р = 2 имеется явная формула:
и ИМ! = !®;(С)1> С ^ Т. Асимптотически точные неравенства для норм воспроизводящих ядер известны для случая однокомпонентных функций 0 ([4], см. неравенство (2.3.5)). Мы также свяжем вес гиР}П с геометрическими свойствами множеств уровня функции © (см. следствие 2.2.7). Для £ £ Т положим 4(С) = (С, П(0,О)- Тогда
(мы пишем д < Н. если д < СН для некоторой положительной константы С и всех допустимых значений переменных).
Сформулируем следствия основной теоремы 1.2.1. Первое из них показывает, что на границе рост производных функций из контролируется расстоянием до множества уровня.
Следствие 1.2.2. (2.1.2) Пусть е е (0,1), 1 < р < оо. Тогда
СTp,nf)(z) = &4z)Wp,n(z)
<%(0<™РЛ0, сет
(1.2.9)
18 Глава, 1. Введение
Еще одна из оценок нормы воспроизводящего ядра (см. лемму 2.3.1) приводит к следующему неравенству типа Бернштейна для функций из К$:
Следствие 1.2.3. (2.1.3) Для р,г 6 (1,оо), г > р, п 6 N и ц. 6 С гшеет место неравенство
[ \&ч*)\г < с(р,г,п,ц)\\т, / е кгв.
1 (1 -1©(2)1)-^
(1.2.10)
Можно сравнить неравенство (1.2.10) с хорошо известным неравенством для производных функций из Нг (здесь (1А(г) - двумерная мера Лебега в круге):
[ !/<">(*)|г(1 - \z\rdAiz) < С(г,п)\\/\\г, / € 1Г.
У©
В силу дополнительных свойств аналитичности (псевдопродолжимости) элементов модельного пространства, мы имеем более сильное неравенство с неограниченным весом (1 — |в(з)|)-(^+^" и с произвольной мерой Карлесона.
Неравенство (1.2.10) допускает дальнейшие уточнения, если мы рассмотрим специальные классы внутренних функций. Пусть в - однокомпонентная внутренняя функция. Тогда граничный спектр <т(0) ПТ имеет нулевую меру Лебега [1]; таким образом, п-я производная /^(0 корректно определена для почти всех СеТ.
Следствие 1.2.4. (2.1.4) Пусть 0 - однокомпонентная внутренняя функция, 1 < р < оо. Тогда
I |/Сл)(2!)|Р (гпей|)ртф(г)" / е кв’ (1-211)
для всякой меры р Е С, и, в частности,
||/(п) • |©Т1р < С{е,р,п)\\/\\Р, /екрв. (1.2.12)
Замечание 1.2.5. 1. Следует сравнить неравенство (1.2.12) в следствии
1.2.4 (при п = 1) с принадлежащим М.Б. Левину неравенством (1.2.1) для £°°-норм. Отметим также, что применяя интегральные представления для производных, можно дать очень короткое доказательство неравенства (1.2.1). В самом деле, /'(С) = /тт/(т)^(т) с/т(т), и, следовательно, 1/401 < Н/НооНМг = И/11оо|0'(С)|. Заметим, также, что неравенство (1.2.1) выполнено для произвольной (не обязательно однокомпонентной) внутренней функции, в то время как в неравенстве (1.2.12) от условия однокомпо-нентности отказаться нельзя (см. примеры 2.5.5 и замечание 3.1.3).
1.3. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств в С4" 19
2. Пример 2.5.5 показывает, что показатель в определении веса wpд в определенном смысле точен.
В §2.5 приведены результаты для модельных пространств в полуплоскости, аналогичные теореме 1.2.1. Эти результаты существенно обобщают неравенство (1.2.3). Если 0' € то легко видеть (см. §3.2), что
snpx€a \\kl'\q < оо, откуда вес wPti ограничен снизу на Ш. Дальнейшие обобщения неравенства Дьяконова получены в §3.1 - §3.2 Главы 3.
1.3 Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств в С1
В Главе 3 рассмотрен еще один тин неравенств Бернштейна (для модельных пространств), отличных от неравенств из Главы 2. А именно, рассмотрим неравенства с весами вида |0'|_а, т.е.
ИЛе'Пр < с\\пР, / 6 Kg. (1.3.1)
Мы показали в следствии 1.2.4, что для случая однокомпонентных внутренних функций неравенство (1.3.1) выполнено при а = —1. Нельзя ожидать, что подобное неравенство будет верно для произвольных (даже мероморф-ных) внутренних функций. Однако неравенства вида (1.3.1) верны для класса внутренних функций с ограниченной производной. Преимущество таких неравенств в явной и естественной форме весов. Одной из мотиваций для изучения именно таких весов служит для нас их роль в теореме K.M. Дьяконова об ограниченности и компактности оператора дифференцирования в 1<Ъ (см. §1.2).
Будем считать, что 0 - мероморфная внутренняя функция. Напомним, что в этом случае 0 имеет вид B(z) = exp(iaz)B(z), где а > 0, а В -мероморфное произведение Бляшке.
Теорема 1.3.1. (3.1.1) Пусть 0 - меромо]уфная внутренняя функция такая, что 0' е 1 < р < оо и Ö е (0,1/2). Тогда
/l/'Wlpie'Wr,,+^<^-1lie'lli+*ll/ll?. feKl (1.3.2)
./ R
где константа С зависит только от р.
Показатель р - \ точен: для всякого р € (1,оо) найдется такая внутренняя функция, что левая часть в неравенстве (1.3.2) не допускает оценки сверху через ||/|5jJ при Ö < 0 (можно, например, взять конечное произведение Бляшке или произведение Бляшке с очень редкими нулями).
20
Глива 1. Введение
Очевидно, неравенство (1.3.2) существенно сильнее неравенства Дьяконова Wf'Wp < СЦб'НооН/Цр, / Є Kq, поскольку возможно, что infR |0'| = 0 или даже 0' Є Co(R) (напомним, что Со(М) обозначает пространство непрерывных на R функций с нулевым пределом в бесконечности). Отметим, что неравенство (1.3.2) является новым и представляет интерес даже для случая пространств Кпорожденных конечными произведениями Бляшке, т.е. для рациональных функций с фиксированными полюсами. Из теоремы 1.3.1 нетрудно вывести достаточность условия 0х Є 6о(И) в теореме Дьяконова о компактности оператора дифференцирования (см. следствие 3.1.4).
В §3.2 получены близкие оценки для случая произведений Бляшке с нулями, отделенными от вещественной оси (теорема 3.2.1).
Параграф 3.3 посвящен свойствам оператора дифференцирования в модельных подпространствах в Я1. В статье [23] K.M. Дьяконов поставил задачу описать модельные пространства Kq в полуплоскости, имеющие следующие свойства, аналогичные свойствам пространств Пэли-Винера:
(1) А"| С К% при q > р > 1;
(2) оператор дифференцирования V : f і—► /' ограничен как оператор из Kl в ЩR), т.е. ||/'||р < С\\/\|„, / Є Kl.
Для р > 1 Дьяконов [23] (см., также, [22, 84]) получил полный ответ: вложение в условии (1) (для некоторого q <р) равносильно ограниченности оператора V и равносильно условию 0х Є L°°(R). Для случая р = 1 в работах [22, 23] было показано, что из условия 0х Є L°°(R) следует, что свойства
(1) и (2) выполнены. Обратное утверждение было доказано, однако, только при некоторых дополнительных ограничениях (см. теорему 3.3.2).
В связи с этим в [23] был поставлен следующий вопрос: необходимо ли условие 0х Є L°°(R) для вложения Kq С Kq, q > 1, или для ограпичеюю-сти оператора дифференцирования в Kq ?
Оказывается, в общем случае ответ отрицателен.
Теорема 1.3.2. (3.3.3) Существует произведение Бляшке В, такое, что Kß С К*§ и оператор V ограничен из Кв о L1(R), но В' £ L°°(R).
Доказательство теоремы 1.3.2 основано на конструкции пространства К& обладающего базисом из рациональных функций, эквивалентным базису в Для этого мы рассмотрим произведения Бляшке с экспоненциально редкими нулями, и элементы соответствующего базиса будут иметь "почти непересекающиеся" носители. При этом будут выполнены свойства (1) и
(2), по нули не будут отделены от К, и, значит, В' L°°(R). Будут получены также некоторые условия, необходимые для ограниченности оператора
1.3. Неравенства типа Берштейна для модельных пространств в С+
21
дифференцирования в В частности, условие В' G L°° оказывается необходимым, если нули отделены от вещественной прямой, т.е. infn \mzn > О (см. теорему 3.3.10).
В §3.4 мы рассмотрим связь ограниченности и компактности операторов дифференцирования с теоремой П. Кусиса о внутренней компактности. П. Кусис [104] рассмотрел следующую задачу: описать подпространства Е в L2(0, оо) такие, что для всякого h > 0 подпространство Е инвариантно относительно оператора сдвига 7д,
Thf(t) = /(1 + К), / Є L2(0;оо), t > 0.
и оператор Th компактен в Е. Такие подпространства Е называют внутренне-компатстными.
Пусть Л = {An}, Xn = fin 4- iisn, - последовательность различных комплексных чисел из верхней полуплоскости С+ с кратностями т-п G N. Обозначим через £(Л) замкнутую линейную оболочку функций
ßA= tj~l exp{-i\nt), 1 <j< rrin,
в пространстве Zr(0,oo). Кусис [104] показал, что подпространство Е в /,2(0.оо) внутренне-компактно тогда и только тогда, когда оно имеет вид £(Л) для некоторой последовательности Л с кратностями тп такой, что
lim - Vn = 0. (1.3.3)
! І^°°ПГ ! “І
Более короткое доказательство этой теоремы было предложено ГІ.Д. Лаксом [110].
Если мы обозначим через В произведение Бляшке с нулями Ап и кратностями тп, то условие (1.3.3), очевидно, совпадет с условием В' G Co(R) -критерием компактности оператора дифференцирования в модельном пространстве К в [84]. В связи с этим возникла естественная задача: установить связь между результатами Кусиса и Дьяконова, и в частности, вывести результат Кусиса о внутренне-компактиых подмножествах из теоремы Дьяконова.
В §3.4 показано, что теорема Кусиса действительно непосредственно следует из компактности оператора дифференцирования. Содержательно новый результат состоит в том, что условие В' G L°°(E) также можно выразить в терминах операторов сдвига 7\ в пространстве £(Л). Отмстим, что операторы сдвига всегда ограничены, и, таким образом, ограниченность оператора V влечет некоторые дополнительные свойства операторов Th.
22
Глава 1. Введение
Теорема 1.3.3. (3.4-8) Пусть Л = {Лп}, где \п Є <С+, пусть тп Є N, и пусть В - произведение Бляшке с нулями \п и кратностями тп. Следующие утверждения равносильны:
1. В' Є
2. оператор V ограничен как оператор из К в в Л2 (К);
3. найдется к > 0 такое, что ЦТ/^л)!! < 1-
1.4 Теоремы вложения карлесоновского типа для модельных пространств
Известная теорема вложения Карлесоиа описывает меры р. в замкнутом круге В U Т, для которых имеет место вложение пространства Харди Нр в U\p) [12, 28, 37): вложение Нр С Lp{p) имеет место для некоторого (любого) р > О тогда и только тогда, когда р е С, то есть р - мера Карлесоиа (см. (1.2.6)). Впоследствии, вложения карлесоновского типа были изучены для целого ряда пространств аналитических функций (пространства Бергмана, Баргманна-Фока).
Известно также, что вложение Нр С Ьр(р) компактно тогда и только тогда, когда р - исчезающая мера Карлесоиа, то есть
lim _ о (1.4.1)
М-о 1Л
(см. [123]; некоторые обобщения можно найти в статье [61]).
В 1982 году У. Кон [76] поставил (в частном случае р = 2) следующую задачу: для данных внутренней функции 0 и показателя р > 1 описать борелевские меры р в замкнутом круге Б> U Т такие, что пространство вложено в U){р) или таких, что вложение компактно. Несмотря на целый ряд интересных частичных результатов, вопрос остается открытым. Вложение Kq С Ьр(р) равносильно оценке
||/Ьм < C\\f\\p, / е Kg. (1.4.2)
Множество мер р с вышеуказанным свойством мы обозначим через С’р(0).
Очевидно, С С Ср(0). Можно ожидать, что множество мер Ср(0) будет существенно зависеть от геометрических свойств функции 0. В настоящее время множество Ср(0) полностью описан только для некоторых специальных классов внутренних функций, и, прежде всего, для однокомпонентных
1.4. Теоремы вложении для модельных пространств
23
внутренних функций. Кон [76) показал, что в том случае, когда © - однокомпонентная, достаточно проверить неравенство (1.4.2) для воспроизводящих ядер пространства А©. Недавно, Ф.Л. Назаров и А.Л. Вольберг [119] показали, что в общем случае это неверно.
Геометрическое условие на меру р, достаточное для вложения пространства А© в Ьр(р), принадлежит А.Л. Вольбергу и С.Р. Треплю [11]: вложение /<© С Ьр{р) имеет место, если найдется е е (0,1) такое, что //(£(/)) < С\1\ для всех квадратов 5(/), удовлетворяющих условию
5(/)пП(©,£)
Таким образом, достаточно проверить условие Карлесона (1.2.6) только для квадратов, пересекающих множество уровня. Обозначим через (7(0) класс мер, удовлетворяющих условию теоремы Вольберга-Треиля для некоторого г е (0,1). Александров [4] показал, что условие р Е £(©) необходимо (то есть Ср(0) = С(©)) тогда и только тогда, когда 0 - однокомпонентиая. Более того, если 0 не является однокомпонентной функцией, то класс Ср(О), р > 0, существенно зависит от показателя р (в отличие от классической теоремы Карлесона). Некоторые другие теоремы вложения были получены в статьях [4, 78, 82], компактность вложений рассматривалась в [78, 137, 73].
Особый интерес представляет случай, когда р. = “ дискретная
мера; тогда вложение равносильно свойству Бесселя (см. §1.6) для системы воспроизводящих ядер {к\п}. Даже частный случай, когда р - мера на единичной окружности, представляет большой интерес. В отличие от вложений всего пространства Нр (отметим, что меры Карлесона на Т - это меры с ограниченной плотностью относительно меры Лебега га), класс СР(В) при р > 1 всегда содержит нетривиальные примеры сингулярных мер на Т; в частности, для р = 2, меры Кларка [75], для которых вложение А© С Ь2(р) изометрично. С другой стороны, если р = ют, где ги е Ь2{Т), то проблема вложения оказывается связанной со свойствами усеченного оператора Теплица = Р@(гг/) [78, 129]. В настоящее время идет интенсивное изучение усеченных операторов Теплица, инициированное работой Д. Сарасона [129].
Мы рассмотрим подход к теоремам вложения, основанный па неравенствах Бернштейна для пространств А©, полученых в Главе 2. Этот подход позволит нам получить существенно новые теоремы вложения, обобщающие теорему Вольберга-Треиля и результаты Кона, а также результаты о компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам Шаттена-фон Неймана. Теорема вложения 1.4.1 дает наиболее общее из известных на данный момент условие, достаточное для ограниченности или компактности вложения.
24
Глава 1. Введение
Квадратом со стороной длины к в единичном круге мы будем называть множество вида
в(ко, 0о, Л) = : Ы) — р < До, 0о < 0 < 0о + Д},
2тг
где До € (0,1], 0о 6 К и 0 < Д < 27гД0. Мы будем обозначать через 7(5) внешнюю сторону квадрата 5, то есть 7(5) = {кое'* : фо < Ф < Фо + к). Заметим, что это определение содержит как частные случаи карлесоновы квадраты (1.2.7) (они отвечают Д0 = 1) и диадические квадраты (4.4.1), которые будут введены в §4.4.
Пусть {5*}&<=га - последовательность квадратов в О и Т, пусть 7* обозначает внешнюю сторону квадрата 5*, и пусть 6д обозначает меру Лебега на дуге 7д.. Предположим, что 1 < г < р} а квадраты 5/. удовлетворяют следующим двум условиям: мера является мерой Карлесона, и
вир IЛ1 • 1КЧ|£,(Л) < оо, (1.4.3)
к
г
где гог(г) = гиг,\{г) = ||А;?||г/+\ 1 /г + 1/г7 = 1, - вес из неравенства Бернштейна из §2.1. Иначе говоря, последовательность квадратов {5*} достаточно редкая, а их размеры контролируются неравенством (1.4.3).
Теорема 1.4.1. (4-1-1) Пусть семейство квадратов {3\-}кем удовлетворяет условию (1.4.3), и пусть р - борелевская мера на ЦьЗь* Тогда
(г) если /а (5*) < С|Л|, то ре Ср(0);
(И) если, к тому о/се, /а(5&) = о(|7/.|), к —> оо, то вложение с ^(р) компактно.
Заметим, что, как и в теореме Вольберга-Треиля, мы рассматриваем меры с условием Карлесона для специального класса достаточно больших квадратов. Однако квадраты в теореме 1.4.1 могут быть существенно больше. В частности, если р 6 С(0), то р = р\ 4- р->, где мера р\ удовлетворяет условиям теоремы 1.4.1 (г) для всех р > 1 и г € (1,р) (при некотором выборе семейства квадратов {5*.}), в то время, как ро 6 С (см. предложение 4.2.3).
Одно из следствий теоремы 1.4.1 - геометрическое условие, достаточное для компактности вложения, аналогичное теореме Вольберга- Треиля. Теперь нам достаточно проверить "условие исчезновения" (1.4.1) только для квадратов, пересекающих множество уровня. В случае однокомпонентных функций это условие оказывается также и необходимым.
1.4. Теоремы вложения для модельных пространств
25
Теорема 1.4.2. (4-1.2) Пусть 1 < р < оо, пусть р - бореяевская мера в OUT и пусть е £ (0,1). Тогда условие (г) влечет за собой условие (гг), где (г) для всякого г/ > 0 найдется 8 > 0 такое, что p(S(I))/\I\ < г], как только |/| < 8 и S(I) П Q(0,e) ^ 0;
(гг) вложение пространства /<@ в Lv{p) компактно.
Если внутренняя функция 0 одиокомпонситпая, то верно и обратное: из условия (гг) следует (г).
Импликация (и)=>(г) для однокомпонентных внутренних функций была доказана Дж. Симой и А. Мейтсоном в статье [73], где был задан вопрос о достаточности условия (г). Теорема 1.4.2 дает положительный ответ на этот вопрос. Также в статье [73] было предложено другое "условие исчезновения" меры /а, достаточное для компактности вложения 7<@ С Ер(р) для всех р > 0. Мы покажем (предложение 4.3.1), что это условие влечет за собой условие (г) теоремы 1.4.2 (таким образом, мы отвечаем на еще один вопрос, заданный в [73]).
В §4.4—§4.5 мы изучаем принадлежность оператора вложения Зц : К% —► L2(р), Jhf = /, идеалам Шаттена-фон Неймана <5Г. Мы дадим полное описание таких мер р для случая однокомпонентной внутренней функций 0 и г > 1. Для е £ (0.1) мы рассмотрим разбиение типа Уитни множества Т \ <т(0) в объединение дуг Н со свойством
(подробное описание см. в параграфе §4.2, лемма 4.2.4). Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 1.4.3. (4-1-3) Пусть р - бореяевская мера такая, что зиррр С У/, 5(4). Предполооісим, что для некоторого г > 0
Через 1?п,т мы обозначим элементы стандартного диадического разбиения круга (см. (4.4.1)). Имеет место следующее необходимое условие.
Теорема 1.4.4. (4-1-4) Пусть е £ (0,1). Если Зр £ 5Г, г > 1, то
dist (4,Q(0,£)) х |4|
(1.4.4)
Тогда £ Sr и ||JJ,||£r < Ш1г(д).
(1.4.5)
Я,,.тлП(е,£)-/0
26
Глава І. Введение
Для однокомпонентных внутренних функций верны утверждения, обратные теоремам 1.4.3 и 1.4.4; в этом случае мы получим полное описание вложений класса 5г, г > 1.
Теорема 1.4.5. (4.1.5) Пусть © - однокомпонентная внутренняя функция, и пусть [ь - борелевская мера па В и (Т\ст(0)). Тогда оператор вложения Пц принадлежит идеалу <5>г. г > 1, в том и только в том случае, когда мера /і удовлетворяет условиям (1.4-4) и (1-4-6) для всякого є Є (0,1).
Наши условия, сформулированные в терминах диадического разбиения круга, аналогичны теореме Д. Люкинга [113], описывающей вложения класса <5>г всего пространства Харди, а также результатам О.Г. Парфенова [41, 42). Дальнейшее обсуждение см. в §4.4—§4.5.
1.5 Неравенства Бернштейна и теоремы вложения для пространств де Бранжа-Ровняка
В Главе 5 мы распространим результаты Глав 2 и 4 на более широкий класс пространств аналитических функций, а именно на пространства де Бранжа-Ровняка. Пусть р є Т°°(М). Обозначим через оператор Теплица в Н2 = #2(СЬ) с символом р,
ТгрІ = Р+(ір/), / ЄН2.
Если р Є 7^°°(М), ІМІоо < 1, то пространство де Бранжа-Ровняка Н{р), порожденное функцией р, определяют как множество всех функций из II2, принадлежащих образу оператора (I — Т^Тр)1!2 (где I - тождественный оператор в II2). Скалярное произведение, относительно которого Н(р) будет гильбертовым пространством, определим как
(а - ад1'2/, (/ - ад1/2<? >*> = </, о)2,
где },д € Я2©Кег (/ —ТрТр)1!2. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что р = Ь - аналитическая функция из замкнутого единичного шара пространства Н°°. В этом случае, если мы положим
к, _ 1-Щ „ е С., (1.5.1)
ш х — со
то Є Н(ф) и (/,/£)& = 27Гг/{са) для всех / Є Ті{Ь). Иначе говоря, Н{Ь) -пространство с воспроизводящим ядром.