Оглавление
Введение 3
Орторекурсивные разложения.................................... 5
Неортогональные всплески...................................... 7
Цель работы................................................... 8
Структура и основные результаты работы........................ 9
1 О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам 15
1.1 Обобщенные орторекурсивные разложения................... 15
1.2 Виды рекурсивных разложений по всплескам................ 19
1.3 Теоремы о сходимости разложений......................... 23
1.4 Доказательство теорем о сходимости орторекурсивных разложений с конечными пачками.................................. 30
1.5 Доказательство теорем о сходимости рекурсивных разложений других видов........................................... 37
1.6 Доказательство теоремы о сходимости рекурсивного разложения по системе Ф......................................... 40
1.7 Упорядоченные орторекурсивные коэффициенты...............42
2 О расходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам 46
2.1 Формулировка теоремы о расходимости..................... 46
2.2 Орторекурсивное разложение в пространстве последовательностей .................................................. 47
2.3 Вспомогательное конечномерное орторекурсивное разложение ......................................................... 49
2.4 Доказательство теоремы о расходимости................... 51
Зо
3 Об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к вычислительной погрешности 54
3.1 Об устойчивости орторекурсивных разложений в гильбертовом пространстве к вычислительной погрешности .... 54
3.2 Об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к вычислительной погрешности ... 55
4 О скорости сходимости орторекурсивных разложений по
неортогональным всплескам 57
4.1 Формулировка теоремы о скорости сходимости..............57
4.2 Оценка скорости сходимости для обобщенных орторекурсивных разложений.......................................... 58
4.3 Доказательство теоремы о скорости сходимости............62
4.4 Примеры оценок скорости сходимости .....................62
5 Дополнения 65
5.1 Рекурсивные разложения в гильбертовом пространстве . . 65
5.2 Критерий переполненной орторекурсивной системы разложения ..................................................... 66
5.3 О неортогональных всплесках в пространстве Ь2(МП) .... 68
Введение
Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться еще в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д’Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов (см. [1], [б], [7]), так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам (см., например, |4|, [5]).
В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом рассматриваемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением Н,ьН выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система {е3У]ш1, где 3 — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств Н), или бесконечность, и работа ведется не с самим элементом /, а с его разложением в ряд Фурье по системе {е3У]я1, то есть рядом где /3 = (/,е,)/(б„е<7). Этот
ряд сходится к элементу /, и в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частичную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.
Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности,
3
то есть разности между элементом и частичной суммой разложения, а также так называемое свойство оперативности ("оп-1те"свойство). Последнее свойство заключается в том, что если точность, с которой /У-ая частичная сумма приближает разлагаемый элемент, не является приемлемой, то для получения следующего приближения — (.Ы + 1)-й частичной суммы — достаточно вычислить еще один коэффициент, не производя пересчет уже вычисленных коэффициентов. Свойство оперативности позволяет, в частности, параллельно осуществлять разложение и передавать уже вычисленные коэффициенты.
Вместе с тем. ортогональные разложения обладают свойствами, которые с точки зрения практических приложений являются отрицательными. Во-первых, условие ортогональности является очень жестким условием на систему, значительно сужающим класс систем, по которым осуществляется разложение. Во-вторых, ортогональные разложения принципиально не позволяют корректировать погрешности, возникающие в вычислении коэффициентов: для любой числовой последовательности {сЛ/=1, ОТЛИЧНОЙ ОТ последовательности {/,};=! коэффициентов Фурье элемента / по ортогональной системе ряд ]Г^=] с,-е,- либо расхо-
дится, либо сходится к элементу, отличному от /.
В связи с вышесказанным, возникает актуальная задача определить процесс разложения, наследующий положительные свойства ортогональных разложений, но не обладающий приведенными выше отрицательными с точки зрения практики свойствами. Такие разложения, получившие название орторекурсивных, изучаются в настоящей работе.
Особенностью разложения в тригонометрический ряд Фурье или преобразования Фурье является отсутствие временной локализации — они позволяю'!* получить частотную характеристику сигнала на всем рассматриваемом (конечном в случае ряда Фурье или бесконечном в случае преобразования Фурье) интервале времени. На практике часто используется преобразование Фурье с окном, но оно также обеспечивает ограниченную локализацию по времени, определяемую шириной окна (см. [5, §1-2]).
В качестве альтернативы преобразованию Фурье в 80-х гг. XX века появились всплески (другое название — вейвлеты) — системы функций, хорошо локализованных по времени и частоте. Они вызвали новую волну математических исследований (отметим книги [2, 5, 14, 15, 16, 20] и [7. гл. 7]) и, наряду с преобразованием Фурье, стали аппаратом цифровой
4
обработки сигналов. Однако разложениям в счетные ортогональные системы всплесков присущи все недостатки ортогональных разложений. В частности, порождающая функция системы всплесков часто задается достаточно сложными выражениями (например, всплески Добеши, Мейера и др.). В связи с этим естественно рассмотрение систем неортогональных всплесков, где порождающая функция может быть выбрана произвольно из достаточно широкого класса функций.
В настоящей работе рассматриваются ортореку реи вные разложения по нсортогональным всплескам.
Орторекурсивные разложения
Орторекурсивные разложения были предложены Т. П. Лукашенко в работах [10, 11]. Этот способ разложения в случае ортогональной системы дает в точности ряд Фурье разлагаемого элемента по этой системе. Приведем определение и некоторые свойства орторекурсивных разложений.
Определение 1. Пусть Н — гильбертово пространство над полем Е или С, {^1^! — система ненулевых элементов Н. Для произвольного
элемента / € Н определим коэффициенты разложения {/7}>?=] следующим образом:
1) положим
! _ (/•«!).
Л - м7 ’
2) если ужо определены /ь ..., /п, ТО положим
( (гя(/)) ^л-и)
~ 1!еп+1||2 ’
где г„(/) = / - },е,.
Коэффициенты будем называть орторекурсивпыми коэффициентами Фурье элемента / по системе (для ортогональной си-
стемы они совпадают с обычными коэффициентами Фурье), а формальный ряд ?зе) ~~ орторекурсивным рядом Фурье элемента / по системе {е;};=1.
5
- Київ+380960830922