СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................. 3
Глава 1. ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ § 1.1. История изучения весовых интегральных
неравенств на монотонных функциях ................ 25
§ 1.2. Некоторые двусторонние неравенства Харди
на конусах монотонных функций .................... 32
§ 1.3. Некоторые модификации неравенств Харди
на конусах монотонных функций .................... 54
§ 1.4. Неравенства для интегральных операторов с ядрами
Ойнарова на конусе невозрастающих функций ........ 61
Глава 2. ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ КВАЗИВОГНУТЫХ ФУНКЦИЙ § 2.1. Исследование интегральных неравенств на конусе
квазивогнутых функций. Основные результаты ...... 74
§ 2.2. Ограниченность максимального оператора
в Г-пространствах Лоренца ....................... 80
§ 2.3. Ограниченность двойственного оператора
Харди в Г-пространствах Лоренца .................. 91
Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ В Г-ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ КЛАССИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 3.1. Критерии ограниченности преобразования Гильберта,
действующего между Г-пространствами Лоренца ... 105 § 3.2. Критерии ограниченности потенциалов Рисса,
действующих между Г—пространствами Лоренца ______ 112
ЛИТЕРАТУРА .............................................. 121
Зу
ВВЕДЕНИЕ
Задачи характеризации неравенств Харди для различных классов функций составляют значительную часть области классического анализа, посвященной исследованию интегральных и дифференциальных неравенств.
Неравенство Харди впервые возникло в дискретной форме в ходе попыток Г.Х. Харди доказать неравенство Гильберта. Он начал работу над этой задачей в 1915 г., и только в 1925 г. получил неравенство в интегральной форме - в том виде, в котором мы привыкли его видеть. Он сформулировал свой результат следующим образом: Пусть /(.т) >0, р > I, / интегрируема на любом конечном, интервале из промежутка (0, X) и }р интегрируема па интервале (0, сю). Тогда выполняется неравенство
Нужно заметить, что Г.Х. Харди был не единственным математиком, который занимался изучением этого неравенства. М. Рисс, Э. Ландау, Д. Пойа также занимались исследованием данного вопроса.
Рассмотрим классическое пространство Лебега 1р[а.,Ь,и), 0 < р < оо, состоящее из всех неотрицательных измеримых функций, таких что
Здесь и(х) > 0— весовая функция. Весовое интегральное неравенство типа Харди в пространстве Лебега имеет вид
ь
при 0 < р < оо и
или« := е888ир|/(я)| < оо.
а<х<Ь
(0.0.1)
-3-
где —оо < а < b < оо, 0 < q < эо, 1 < р < ос, u,v- измеримые функции, положительные почти всюду на (а, Ь). Задача характеризации данного неравенства состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, накладываемых на весовые функции для выполнения неравенства. Такие критерии для различных значений параметров р и q были получены в работах |1], [9|, [27], [37], |42], |48|, |49|, [52], [59], [62], [63], (64], [68], [74], [75].
В случае произвольных сг—конечных мер неравенство имееет вид
( I ( I fudx] v(x)dp(x)\ <с([ fpwdv\ . (0.0.2)
\J[aJb) \J[a,x) / ) \J[aM /
Наиболее полный результат для случаев двух (когда Л = и) и трех различных мер был получен Д.В. Прохоровым в статье [6]. Заметим, что критерий для случая трех различных мер содержит разложение Лебега меры vy в то время как в случае \ — и критерий имеет более привычную и удобную в использовании интегральную форму.
Подобные неравенства можно рассматривать не только в весовых пространствах Лебега. Рассмотрим, к примеру, пространства А, представленные Г.Г. Лоренцом в его работе [45]. Для измеримой функции / определим невозрастающую перестановку
/*(t) := inf {у > 0 : Af{y) < (} ,
где А/— функция распределения
А/(у) := mes {х G X : |/(х)| > у} .
Пространство Лоренца Av(w), 0 < р < оо, состоит из всех измеримых функций, таких что
ИЛ1я.*= (jT(/Ww(0*)' <00.
- 4 -
Необходимость исследовать ограниченность различных операторов, действующих в пространствах Лоренца, привела к изучению неравенств на конусе невозрастающих функций. Проиллюстрируем это на примере максимального оператора Харди-Литтлвуда
(Mf)(x):= supr^r f \f{z)\dz, x Є R*,
X&Q |ц/| Jq
где Q— куб в пространстве Rn, стороны которого параллельны координатным осям, a |Q|— его мера Лебега. Хорошо известно, что
f г(s)ds, t> 0 (0.0.3)
£ J о
(см., например, |15|). Таким образом, задача, характеризации весовых функций и и щ для которых оператор
М : Ар(г;) —> Ая{и), 0 < р, q < оо,
ограничен, эквивалентна задаче характеризации весовых функций?/ и ?>, для которых оператор Харди
f{s)ds, t > 0,
Ï J о
ограничен из Lr{v) в Ьп(и), 0 < р, q < оо, на конусе неотрицательных убывающих функций. Это означает, что задача сводится к нахождению условий на весовые функции, для которых неравенство Харди
ІГ G Іf(s)ds)9 u{t)dt)я -c {Г nt)v(t)dt] ’ (oo-4)
выполняется для всех убывающих функций / > 0.
Это неравенство принципиально отличается от неравенства на множестве неотрицательных функций, поскольку оно имеет смысл для всех положительных значений параметров р и q, и изучение данного неравенства, как правило, разделяется на 4 случая: (I) 1 < р < q < оо;
- 5 -
(II) 0 < (] < р < оо, р > 1; (III) 0 < р < д. О < р < 1 и (IV)
О < д < р < 1.
Указанная задача рассматривалась многими авторами. Один из первых результатов был получен Д. Бойдом [26| в 1967 г. Он получил необходимое и достаточное условие на весовую функцию ге, для которой неравенство ||#/||/)и) < Д||/||р,ш выполняется для всех функций О < / I - В 1990 г. этот же частный случай для 1 < р = < оо и
и(Ь) = у(Ь) был охарактеризован М. Ариньо и Б. Мукенхауптом в работе [13|. Их результат был обобщен Е. Сойером в статье |58| на более общий случай различных весовых функций у и ги и различных параметров 1 < р. д < оо. Данная статья важна еще и потому, что в ней, в ходе решения задачи характеризации ограниченности максимального оператора в пространствах Л, автор ввел понятие Г—пространств Лоренца. Г-пространство Лоренца состоит из всех измеримых функций /, таких что
или := (^°° (гш^ту < оо,
где /**(х) := £ /|0;к| /*(*)А. Изучение Г—пространств и их свойств приобрело актуальность после появления данной статьи, хотя такие пространства и ранее появлялись в работах других авторов (А.П.Кальдерон, Р.А.Хант и др.).
Многочисленные работы, посвященные неравенствам на конусах монотонных функций, включают [8], |20], |22], [23], [28], [29|, [33], [35], [36], [38], [39], [41], [42], [51], [55], [60], [61], [66], [67], |68], [70] и многие другие.
Неравенства с произвольными мерами на монотонных функциях были рассмотрены в работах [391 и [61].
Более общим классом являются неравенства с интегральными операторами.
В данной работе рассматриваются неравенства для интегральных
-6-
операторов Вольтсрра. Они имеют форму
где 0 < р, q < оо,
Kf(x):= / k(z,y)f(y)dv(y)
(0.0.6)
А, д и V— положительные а—конечные меры Борсля на R+ := [0, оо). Более того, мы рассматривем измеримое ядро к(х,у) > 0, удовлетворяющее условию Ойнарова, т.е. существует константа D > 1, для которой выполняется
D 1(к( х, z) -I- k(zt у)) < к(ху у) < D(k(x, z) + k(z, у))ух> z>y.
(0.0.7)
Изучение неравенств для операторов Вольтерра и других более общих операторов с заданным неотрицательным ядром к:(ху t) началось с исследования оператора Римана-Лиувилля. В частности, неравенство
изучалось многими авторами. В. Д. Степанов получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы выполнялось неравенство (0.0.8), и чтобы оператор (0.0.9) был компактным, в случае оператора Римана-Лиувилля с ядром
для 1 < р, (/ < оо (см., например, [72], [10], |11|).
Примерно в это же время Ф. X. Мартин-Рейес и Э. Сойер [47] различными методами охарактеризовали (0.0.8) при 1 < р < у < ос для
-7-
(0.0.8)
где
(0.0.9)
класса интегральных операторов, заданного как
#*/(*) '= [ Ф /(*)<**>
./М \*/
где 0 : (0,1) -> (0,оо)— невозрастающая функция, удовлетворяющая условию ф(аЬ) < 1) (ф(а) + 0(6)) для всех 0 < а, 6 < 1.
Аналогичные критерии были получены В.Д. Степановым (| 12], |73|) для оператора свертки Вольтерра вида
для случаев 1<р<б/<оои1<<7<р<оо, с Дг—условием на ядро. В работе [73] им рассмотрен оператор с ядром к, удовлетворяющим следующим условиям:
(I) к(х) > 0 не убывает на (0,оо),
(II) к(х + у) < П (Афт) + к(у)) для всех т, у € (0, оо).
В 1991 г. С. Блум и Р. Керман |25| получили критерии, при которых (0.0.8) выполняется для операторов (0.0.9) при I<P<<31<00B предположении, что выполнено не только условие (0.0.7), но также к(х. у) > 0 для 0 < у < х. и ядро к(х,у) одновременно не убывает по х и не возрастает по у. Они рассматривали ядра ф(х,у) на П£+ х М+ со следующими свойствами:
0) Ф(х*у) > 0 при х > у,
(11) ф(х,у) не убывает по х и не возравстает по у,
(ш) Ф(:X. у) « ф(х} г) + ф[гу у) при у < г < х.
В 1993 г. Р. Ойнаров [4] представил окончательную форму условия для ядра к и доказал соответствующие необходимые условия для неравенства (0.0.8) с оператором вида (0.0.9). Это следующее условие: к(х,у) > 0 для х > у. и существует константа П > 0, такая что выполняется (0.0.7). Э го условие обычно называют условием Ойнарова.
(0.0.10)
-8-
В 1999 г. К. Лай [44] получил характеризацию неравенства (0.0.8), (0.0.9), которая имеет иную форму, включая случай 0<<7<1<р< ос.
Неравенство (0.0.5) с произвольными мерами Бореля рассматривалось частично в работах |49|, [50|, в дискретной форме в работах 116], 117], [18], а для трех различных мер - в [6]. Полная характеризация неравенства (0.0.5) для операторов с ядрами Ойнарова в случае 1 < р, q < оо была получена Д.В. Прохоровым в [56].
Неравенства типа (0.0.5) для оператора (0.0.б) на конусах монотонных функций изучались не так интенсивно, как классические неравенства Харди.
Весовые неравенства Харди на конусах монотонных функций рассматривались в [29], [30], [70]. В частности, в работе [70| был в явном виде описан ряд операторов и найдены критерии ограниченности максимального оператора Харди-Литтлвуда в пространстве Лоренца Гр(г>). В [551 некоторые классические результаты для неравенств типа Харди, в частности, результаты, полученные в |61], были обобщены на случай интегральных операторов Вольтерра с ядрами, удовлетворяющими некоторым уловиям монотонности. Более того, были показаны некоторые эквиввалентности между неравенствами на множестве неотрицательных и на множестве невозрастающих функций для различных типов интегральных операторов.
Помимо монотонных функций, имеет смысл также рассматривать функции, удовлетворяющие условию квазимонотонности. Функция f(x) называется квазимонотонной, если для некоторого а € R функция f(x)xa не возрастает или не убывает. Особый интерес представляют функции, удовлетворяющие одновременно двум разным условиям квазиминотонности. Различные типы неравенств на множествах таких функций были рассмотрены в работах [22], [23], [46], [53].
-9-
Частным случаем функции, удовлетворяющей двум разным условиям квазимонотонности, является такая функция u(t), что u{t) не убывает. а не возрастает. Такие функции называются квазивогнутыми, поскольку было доказано, что они эквивалентны вогнутым функциям.
Изучение вогнутых и квазивогнутых функций имеет большое значение, т.к. многие центральные объекты гармонического анализа, теории интерполяции, теории операторов и других областей математики обладают свойством квази вогнутости. Приведем несколько примеров таких объектов:
(i) Мы уже упоминали оператор /**(£) = j Jjot] f*(s)ds, который участвует в описании нормы функции f(t) в пространствах Лоренца Г. Несложно увидеть, что функция квазивогнута.
(ii) Другой пример - К—функционал Петре
K(t,x\A0,Ax) = inf (llzolU + t||xi|U,),
где (ylo,,4i)- банаховы пространства, 0 < I < ос и х G Ло + А\. Известно (см. [24]), что К также является к ваз и во гнуты м.
(iii) Модуль непрерывности
W = Wp.m(t, /) = sup \\A%f\\L
)h\<t
где
m
k=0
не убывает, что также можно рассматривать как частный случай квазивогнутости.
(iv) Фундаментальная функция фх(Ь) = Нх^Нх» гДе перестановочно-инвариантное банахово функциональное пространство над рс-зонантным пространством с мерой (R, д), Е— подмножество R, такое что д(Ь’) = t, также обладает свойством квазивогнутости (см., например, [21]).
- 10-
- Київ+380960830922