Оглавление
Введение....................................................... 3
1. Ортоподобные системы............................ 7
2. Обобщенные ортоподобные системы................. АО
3. Цель работы..................................... 18
4. Обзор литературы................................ 19
5. Основные результаты............................. 27
Глава 1. Ортоподобные системы в пространстве Ь2........... 41
§ 1.1 Ортогонализация продолжением на более широкое
множество........................................ 41
§ 1.2 Существование подсистем сходимости почти всюду . . 49
§ 1.3 О перестановках рядов по обобщённым ортоподобным
системам......................................... 58
Глава 2. Коэффициенты и разложения //-функций по ортоподобным системам 64
§ 2.1 Постановка задачи............................... 64
§ 2.2 Оценки типа Хаусдорфа - Юнга - Рисса и Харди -
Литтлвуда - Изли................................. 67
§ 2.3 Другие оценки ...................................... 76
Глава 3. //-функции и отдельные классы ортоподобных
систем..................................................... 83
§ 3.1 Оценки для дискретных систем.................... 83
§ 3.2 Оценки для интегрального всплескового преобразования 90
§ 3.3 Оценки для преобразования Габора................ 98
Литература...................................................102
2
Введение
Отправной точкой настоящего исследования можно считать тригонометрическую систему {е,п*}п€£, х € (—7г,тг], всевозможные свойства которой обстоятельно изучались (см., например., [3], [11], [12], [45], [46]), а историю её можно начинать с работ- Эйлера и Даламбера о колебании струны и Фурье о распространении тепла. Взяв за основу дальнейшего обобщения свойство ортогональности функций системы, мы перейдем в весьма богатую теорию ортогональных рядов (см., на-пример, [1], [15], [17]).
Оттолкнувшись от равенства Парсеваля
х
!1Л1! = ^Х1/п12.Л> = I<Ь,/€£»[-*, х],
придём к понятию фрейма, т. е. такой системы {е,Ап*}пег, Ап 6 С, на (“7>тЬ что существуют числа 0 < А В < оо, для которых выполнено
7
А||/||| ^ £|//(ф-ап1^Г < вц/11
пб2 _
7
при всех / 6 £2[—7>7] [51, с. 343). Это понятие тут же обобщается на случай произвольного гильбертова пространства Н [51, с. 358], [6. с. 99], [34, с. 67]: семейство {(/?„} элементов Я называется фреймом в Я, если найдутся такие 0 < А. В < оо, что для любого / € Я справедливы оценки
п
Для всякого фрейма существует двойственный ему фрейм {^}, с помощью которого можно восстановить / ПО {(/, (рп)}: / =
(см., напр., [б, с. 101-104]). Фрейм называется жёстким [6, с. 99], если А = В, т. е.
1Ш1н = ^£|(/,у«)12- (0-1)
п
Тогда упрощается и восстановление
/ = ^£(/,Уп)у„. (0-2)
п
Рлопгчмглтта г»тї и'ч (П О) о г»^^л»пл Гг;п1 ГТООПОИМ Х^ГУП 'УП! /"Ь'П'ГГ* Ґ\ОҐ\*1П МЫ
і. ІІ * */ ^ іу. ІУ ^ Ж» |Уи»ии 1 V/ Х 1 ^14,1 * ^ \At\S \А • ¥%Л*Г Чгг^л * %**¥*%•
Жёсткими фреймами являются все ортонормированные базисы (01 ГБ) гильбертовых пространств, т. е. полные в них ортонормированные системы (ПОНС), но не все жёсткие фреймы являются ОНБ. Приведём простой (даже конечномерный) пример из [6, с. 100]: Н = С2 или Е2,
Уі = (0,1), Уг = (-^,-5), Уз = (^,-|), А. здесь равно 3/2. Фрей-мы и, особенно, жёсткие фреймы обладают свойствами, сходными со свойствами ортонормированных систем (ОНО), — см., например, [51, с. 358-359], [б, с. 100-105].
Преобразование Фурье
оо
(.77) (А) = ~ / Пх)е~іх*с1х , А Є К,
—ОО
задаваемое системой функций {сгЛг}лєш: — континуальным аналогом обычной (дискретной) тригонометрической системы, обладает хорошо известными свойствами !|/||2 = Ц^/Цг (равенство Планшерсля) и
оо
/(т) = -д= f (Т/)(Х)сгХх ёX (восстановление в Ь2(1&)). От него ведёт
—оо
своё происхождение окопное преобразование Фурье или преобразование Габора (см. [52], [б, с. 71], [34, с. 60-61], [20], [54, с. 317]). Для д Є £2(Е), ||<?|І2 > 0, полагаем дм^[х) — е'ихд(х — б) (функции, называемые иногда когерентными состояниями), а само преобразование задаётся формулой
оо
(Гг/)(у,/г) = у /{х)дШхк(х)сіх.
— ОО
4
Для преобразования Габора справедливы (при всех / € Ь2(Щ) формулы сохранения энергии (нормы)
оо оо
||/|||=2^1//|(Г'/)("’Л)|2<Й<1" (0'3)
-оо -оо
и восстановления в Ь2
ОО ОО
;=2ет/ I(0.4)
-оо -оо
л
где внешний интеграл понимается как 1пп Г .
Д—►+оо_^д
Посмотрев на систему функций {уа?,л}ы,ЛеШ как на совокупность, полученную из одной функции д действием некоторого семейства унитарных операторов, и заменив умножение на емх сжатием/растяжением вдоль действительной оси, придём к другой интересной конструкции. Назовём функцию ф 6 1/2(М) всплеском (иногда базовым всплеском), если она удовлетворяет условию допустимости
0 < с, а 2. / иу ал = 2, / Л < оо, (0.5)
о о
и обозначим
Семейство {^п,б}бек,а>о задаст интегральное всплесковое преобразование (ИВП) или непрерывное вейвлет-преобразование (см. [55], [6, с. 58], [34, с. 63], [20], [54, с. 325]) в виде скалярного произведения изучаемой функции / на функции этого семейства:
оо
{1МФ1){а,Ь)= ! /(х)фа,ь(х)Лх,
—со
т. е. аналогично случаям ОНС. фреймов, обычного и оконного преобразований Фурье. Для ИВП также имеют место сохранение энергии —
5
аналог формул (0.1), (0.3), равенства Парсеваля и Планшереля,
оо оо
. 11/111 = ^/ / \{ЩІ)(а.Ь)\ЧЬ^ (0.6)
0 —оо
и іЛвосстановление — аналог формул (0.2) и (0.4)
оо оо
f = fr f I(ЩП(а,Ь)фа^Ь^ (0.7)
0 —оо
оо
где внешний интеграл понимается как lim /.
£
Упомянем и двумерное ИВП (см. [6, с. 71], [47, с. 325]). Пусть а > 0, Ь £ R2, 0 £ Т = [0, 2-7г), г о — поворот в плоскости на угол 0, т. е.
(cos0 — sin 0 А sin# COS0 j
Далее, пусть функция ф £ L'2(R2) удовлетворяет условию
0 < Сф = (2тг)2 J j ldk < оо.1) (0.8)
Соответствующая система функций
'J’aAbW = 0Г1Ф{0ГХТ^(Х- Ь)) задаёт преобразование
(W*f)(a,e,b) =Ц j{x)iTJS)dx,
IR2
которое при всех / £ L2(R2) обладает свойствами
00
В/И = щ/J ff \(Wlf)(a,e,b)\2dbd9^ (0.9)
0 Т R2
**3десь преобразование Фурье, конечно, двумерное.
6
и
со
/=£// //(^/)(“.^)tAi"5' (o-io)
О Г К2
Проведя дискретизацию семейства Wv}teK,a>(h т- е- ограничившись значениями а = а™, т е Z, «о > 1, и b = п&оа™, 7«, тг 6 Z, бо > О, получим дискретные вейвлет-системы 2^»(а0ШЖ — ^6o)}m,neZ (в
частности {2~т'2ф(2~ГГ1х - tt)}m,n€Z> каковой вид имеет, например, система Хаара). Эти семейства при подходящем выборе ф оказываются ортонормированными базисами (базисами всплесков) или фреймами (фреймами всплесков или фрсймлетами).
Различные ОНО (тригонометрическая, Уолша, Хаара, Радемахера, мультипликативные), базисы и фреймы всплесков, базисы экспонент, преобразования Фурье и Габора, интегральные всплесковые преобразования, находят широкое применение в решении многих вопросов теории функций, геометрии, статистики, математической физики, обработки и анализа сигналов, изображений и временных рядов различного происхождения (гео- и астрофизического, медицинского, метеорологического и т. п.), в частности томографии, см. об этом, напр., [2], [4], [б], [7], [33), [34], [35], [47], [48] и указанную в них литературу.
1. Ортоподобные системы
Общим свойством объектов, о которых шла речь выше (ортогональных базисов, жёстких фреймов, систем функций, определяющих ИВГ1 или оконное преобразование Фурье), является наличие формулы восстановления в L2 ((0.2), (0.4), (0.7), (0.10)) представляемой функции / но её коэффициентам Фурье относительно соответствующей системы, т. е. скалярным произведениям / и функций системы. Это наблюдение подводит нас к следующему замечательному определению, принадлежащему Т. П. Лукашенко (1996), оно впервые появилось в [21] и подробнее изучалось в [22], [23], [24].
Определение 1. Пусть П — пространство со счетноаддитивной неотрицательной, знакопеременной или комплекснозначной мерой р (см. [5, с. 109-116]), Я —действительное или комплексное гильбертово пространство. Система Ф = элементов Я называется систе-
мой разложения, подобной ортогональной, с мерой р (ортоподобиой
7
системой разложения), если
(0.11)
для любого / из Я, где /ш = (/, <^), а интеграл — собственный или несобственный интеграл Лебега от функции со значениями в Я, причем в последнем случае есть такое исчерпывание {П*}^ пространства (все О;, измеримы, и к С П*+1 для А: € N и иПл = ^Ь1ТЬ может зависящее от / и называемое подходящшг для /, что функция /ы<ры интегрируема по Лебегу на П* и
Именно ортоподобные, а также обобщённые ортоподоб-ные (см. ниже) системы являются объектами нашего исследования.
Прежде всего покажем, что под это определение действительно подпадают указанные выше системы, для чего перечислим соответствующие варианты выбора П, Я, и т. п.
1) Если взять Н = 1&;*, к 6 М, П = {1,2,... ,&}, д({п}) = 1 (> 0) для любого п Е 11, то получим определение конечной ортоподобиой системы, среди таковых содержатся все ортонормированиые (соотв., ортогональные2^) базисы ^-мерного евклидова пространства.
2) Если в качестве Я взять произвольное гильбертово пространство, Г2 = М, д({п}) = 1 для любого п £ 11, а исчерпывающими множествами выбрать 11г, = {1,... ,п}, то получим ортоподобные системы которые будем называть дискретньши. Это и будут
жёсткие фреймы (с. 4), среди которых окажутся полные ортонор-мированные системы (ПОНС) в Я, т. е. ортонормированиые базисы (ОНБ). Здесь интегралы по П становятся рядами, функции от со — последовательностями, а сходимость рядов обычная, т. е.
оо п
X) О'п^п = Иш X) Положив д({гс}) = рп > 0, получим класс
П=1 п-уоо;=|
‘^Здссь, как и в след, пункте, для ортогональной ненормированой системы {<л>} следует положить ^({п}) = \\ч>п\\й2-
8
- Київ+380960830922