ВВЕДЕНИЕ
Отправной точкой в исследовании представляющих свойств систем сжатий и сдвигов функций (или систем функций-всплесков') следует считать работы А. Хаара [1 - 4]. В этих работах, в связи с проблематикой теории ортогональных рядов, Хааром была построена система функций, занявшая впоследствии видное место в террии представления функций рядами и сравнимая по оказанному воздействию на развитие теории функций с тригонометрической системой. Система Хаара, как известно, имеет вид
{1, 2*/2х(2*7 - у')}, где параметр к пробегает все неотрицательные целые
числа, параметр у принимает значения 0,2к -1, функция 1 тождественно равна единице на отрезке [0, 1] и, наконец, функция %(/) задаётся равенством
1
х(')=
1,гє[0, -),
-иєфі),
О, і і [0,1).
Здесь имеется различие по сравнению с определением, данным Хааром: в точках разрыва функции системы Хаара, согласно классическому опреде-
1 Согласно широко распространённой, но окончательно не установившейся терминологии, всплеском называют функцию, система сжатий и сдвигов которой обладает теми или иными свойствами (как правило, образует ортонормированный базис).
з
Фо(*) =
лению, задаются иначе. Такое различие весьма существенно при рассмотрении рядов Фурье-Хаара от непрерывных функций (см. ПЛ. Ульянов [5]), но, очевидно, это различие не оказывает никакого влияния на свойства системы Хаара в пространствах с интегральной метрикой.
Отметим следующие хорошо известные свойства системы Хаара: эта система ортонормирована на отрезке [0, 1] (Хаар [2]), является базисом в любом пространстве Lp[0,1], 1 < р < оо (Шаудер[6]), причём при 1 < р < оо -
безусловным базисом (Марцинкевич [7]). Дальнейшие свойства системы Хаара отражены в обзорной статье Б. И. Голубова [8].
Другой классической системой сжатий и сдвигов является система Фабера-Шаудера {1, /, ф0 (2kt - у)}, порождаемая функцией
l-|l-2f|, tє[0,1],
О, t г [О,1].
В работе Шаудера [9] было введено понятие базиса функционального пространства и показано, что система функций {1, /, ф0 (2^/ — у')} (среди других систем определённого типа) образует базис пространства непрерывных функций С[0,1]. Как заметил Б. И. Голубов [8], задолго до Шаудера по
существу тот же результат был получен Фабером [10]. Из дальнейших результатов о свойствах системы Фабера-Шаудера упомянем работы Чисель-ского [11], П. J1. Ульянова [12, 13] и Т. Н. Сабуровой [14].
Следующие примеры систем функций, подобных системам Хаара и Фабера-Шаудера, были рассмотрены K.M. Шайдуковым [15]. Именно, в работе [15] показано, что системы функций {1,/,ср,(2*/-у)}, / = 1,2, образуют базис пространства С[0, 1], где
1-(і-2г)2, <є[0,1],
0, t г [0,1],
Фі(0=
4
и ф2 (/) = (ф! (/))2. Затем в работе 3. А. Чантурия [16] были получены условия базисности в пространстве С [0,1] общих систем функций вида {1,/, ф(2*/-у)}, где ф(г) - непрерывная функция с носителем на отрезке
Г1 1 Г* ^
Т. е. ф - + / = Ф — /
^2 ) 12 )
> и
удовлетворяющая условию (р
< Л
— =1. Условия базисности в [16] сформу-
2,
лированы в терминах второй разности функции ср(г):
Д^ф(/) = <р(*)-2<р(/ + /?) + ф(/ + 2И\ Л>0, Q<t<t + 2h<\. Результаты 3. А. Чантурия были обобщены Т. Н. Сабуровой [17, 18], где условия базисности системы {1, /, ф(2*Г - у)} в пространстве С[0,1] получены в терминах коэффициентов функции ф(/) по элементам системы Фа-бера-Шаудера. В работах Т. Н. Сабуровой [19-23] продолжены исследования различных свойств систем сжатий и сдвигов непрерывных функций, названных системами типа Фабера-Шаудера. Отметим, что в целом для работ [15 - 23] характерно рассмотрение систем сжатий и сдвигов только непрерывных функций и изучение свойств таких систем в пространстве С[0,1].
Подход к обобщению систем Хаара и Фабера-Шаудера, развитый в работах 3. А. Чантурия и Т. Н. Сабуровой, находит параллели в теории тригонометрических рядов, где на определённом этапе возникла необходимость рассмотрения систем функций вида {ф(нх)}. Такие системы являются естественным обобщением тригонометрической системы. Их изучение связано, в первую очередь, с работами Е. М. Никишина [24 - 27] и предшествующими им работами Каца, Салема, Зигмунда [28], К. Ф. Ма-лявко [29, 30] и В. Ф. Гапошкииа [31, 32]. Системы сжатий и сдвигов
5
функций вида {1, 2*/2<р(2kt-j)} и {1,/, ф(2kt- j)} являются столь же естественным обобщением систем Хаара и Фабера-Шаудера соответственно.
Другой подход к обобщению системы Хаара связан с исследованием "инвариантных относительно целых сдвигов подпространств" (shift-invariant subspaces), чья проблематика включает в себя, в частности, кратномасштабный анализ (multiresolution analysis) и теорию всплесков (wavelets). Этот подход изначально основан на том замечании, что семейство функций
Xkj(t)=2knx[2kt-j\ j,keZ, образует ортонормированный базис в пространстве L2(R). Здесь, по-прежнему, %{t) - функция, порождающая систему Хаара. Семейство {%к у} также называют системой Хаара, а её обобщения вида
<pkJ(t)=2k,2<p{2kt-j), j,keZ,
называют семейством функций-всплесков. Как уже отмечалось, часто в определение всплеска включают дополнительные требования, причём наиболее распространённым является следующее: семейство {(р* у } - ортонормированный базис в L2{R). Первые примеры таких всплесков, обладающих в отличие от системы Хаара теми или иными свойствами гладкости, были построены в работах следующих авторов: Stromberg [33], Meyer [34], Battle [35], Lemarie [36] и Daubechies [37]. Эти и большинство других конструкций всплесков основаны на кратномасштабном анализе (см. Ма1-lat [38], Lemarie [39], Auscher [40], Daubechies [41, 42], а также И.Я. Новиков, С. Б. Стечкин [43]). Исследование свойств систем {(р* .} сжатий и
сдвигов функций ср(^), заданных на числовой прямой (или на евклидовом
пространстве R'1), не замыкается в рамках кратномасштабного анализа и теории всплесков. В качестве примера укажем на вопросы приближения посредством "инвариантных относительно целых сдвигов подпространств"
6
(см., например, de Boor, DeVore, Ron [44]) и представления посредством сжатий и сдвигов функций (Filippov, Oswald [45]). В целом для работ [33 -45] характерно изучение свойств систем сжатий и сдвигов функций в пространстве L2(r) с обобщениями на случай Lp[Rn). Здесь следует отметить, что рассматриваемые в работах Cohen, Daubechies, Vial [46], Cohen, Daubechies, Jawerth, Vial [47] и Andersson, Hall, Jawerth, Peters [48] "всплески на интервале" и "всплески на замкнутом множестве" не являются системами сжатий и сдвигов функций.
Перейдём теперь к разъяснению содержания и структуры диссертационной работы и укажем как на сравнительные отличия данной работы от работ, связанных с проблематикой систем типа Фабера-Шаудера и теории всплесков, так и на то влияние работ 3. А. Чантурия [16], Т. Н. Сабуровой [17, 18, 23] и В. И. Филиппова, П. Освальда [45], которые испытывал автор в ходе работы над диссертацией.
В главе 1 вводится и изучается структура мультисдвига в гильбертовом пространстве, теснейшим образом связанная с системами сжатий и сдвигов функций и являющаяся одним из возможных обобщений хорошо известного в функциональном анализе и теории функций оператора (одностороннего) сдвига.
Определение. Пусть V0 и Vl - изометрические операторы в гильбертовом пространстве Н. Будем говорить, что {V0,Vy} - мультисдвиг, если существует вектор ееН такой, что семейство векторов {Ущ... Vaj( е: к > 0, av = 0 или 1,1 < v < к} образует ортонормированный базис в Н.
Непосредственно связанные с системами сжатий и сдвигов функций изометрические операторы
У0 ср(0= 21/2<р(21), Vj <р(/)= 21/2ф(2ґ -1),
образуют мультисдвиг в #=£5 [0,1] - подпространстве пространства Ь2[0,1], состоящем из функций ф(г), имеющих носитель на отрезке [0, 1J и равный нулю интеграл на этом отрезке:
і
supp ф с [0,1], ф є Zo [0,1], = 0.
о
В самом деле, индукцией по к = 0,1,, нетрудно доказать соотношение
Уа,... ф(/)=2*/2ф(2АГ -у)= (г),
к , _
где 7=Xav2 V ' двоичное разложение, av=0 или 1,
v = l
1 <v<k, j = 0,...,2к -1. В частности, если %{f) - функция, порождающая систему Хаара, то {Vai ... Vakx(t)} - система Хаара (без постоянной 1), образующая ортонормированный базис в Н = l\ [0,1].
Таким образом, вопрос о представляющих свойствах в пространстве /^[0,1] систем {1, Ф*>у-(0Ь J = 0,..., 2к -1; к- 0,1,... сжатий и сдвигов
функции ф(г), принадлежащей пространству Н = 1%[0,1], увязывается с исследованием свойств структуры мультисдвига. Это является самым принципиальным моментом, отличающим настоящую работу от проблематики систем типа Фабера-Шаудера и теории всплесков.
Один из основных результатов главы 1 - это теорема факторизации операторов, перестановочных с мультисдвигом. Для того, чтобы сформулировать эту' теорему, нам потребуются следующие обозначения и определения.
Обозначим через Н0 линейную оболочку векторов еа = Уа] ...Уи,е,
а = («Xj,..., а*) є {0,1}*, к > 0. Очевидно, что Н0 - линейное многообразие, плотное в Н. Для всякого вектора f є И определим (не обязательно офа-ниченный) линейный оператор ß(/). Именно, для
8
И = Т,саеа
ПОЛОЖИМ
еС/>=5>«/«.
Здесь /а=уа1 ...Уак/,а = (а[,...,ак)е{0,\}к, к> О и са - числовые ко-эффициенты. Область определения оператора 0(/) содержит, но меньшей мере, многообразие Я0. Ясно, что оператор £>(/) перестановочен с мультисдвигом, т. е. 2(Ж = У< е(/), / = 0,1. Обратно, если линейный оператор заданный на линейном многообразии Я0, перестановочен с мультисдвигом, то 0 = 0(/) Для вектора / = ()е.
Функцию2 ф е Я назовём внутренней, если семейство {фа =Ка1 ... Иа^ф: а = (а!,..., аА)е{0,1}*, к> 0} ортонормированное. Ясно, что внутренние функции характеризуются следующим свойством: б(ф) - изометрический оператор в Я.
Функцию Г еН назовём внешней, если семейство
...Ка^:а = (а1,...,а,)е{0,1}*, &>0} полное в Я. Ясно, что внешние функции характеризуются следующим свойством: образ (2(Р)Н плотен в Я.
ТЕОРЕМА А. Для любого ненулевого вектора / е Я справедливо разложение
е(/)= е(ф)е(П
где ф - внутренняя функция, Р - внешняя функция. При этом функция ф (также как и Р) определяется однозначно, с точностью до постоянного мноэ/сителя, модуль которого равен единице.
2 Слово "функция" употреблено здесь как синоним слова "вектор". Никакой конкретной реализации пространства Я можно не предполагать.
- Київ+380960830922