2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение............................................................ 3
Глава 1.............................................................16
§1. Характеристика Т (г, (р$).......................................16
§2. Функция іро.....................................................32
§3. Формулировка теоремы и ее доказательство........................35
Глава II............................................................46
§0. Введение и формулировка результата..............................46
§1. Начало доказательства...........................................47
§2. Окончание доказательства........................................58
Список литературы .................................................66
3
Введение
Актуальность темы. Связь между поведением коэффициентов Тейлора аналитической в единичном круге В функции и её убыванием на радиусе является одним из существенных вопросов теории аналитических функций. Например, если речь идёт о возможной максимальной скорости убывания па [ОД] аналитической в В функции с редкими коэффициентами, то начало этих исследований было положено в работе Л. Шварца 1943 г. |1]. Дальнейшее развитие относится к работам И. Хиршмаиа и Дж. Дженкинса [2] и Дж.М. Андерсона 1976 года [3]. В работах Л. Шварца и И. Хиршмаиа и Дж.Дженкинса рассматривались не степенные ряды, а ряды из экспонент с естественным обобщением убывания но радиусу, а в работе Дж. М. Андерсона изучались лакунарные по Адамару степенные ряды и выяснялась возможная скорость их убывания на радиусе (0,1).
Утверждения Л. Шварца, И.-Хиршмаиа - Дж. Дженкинса имеют вид теорем единственности для рядов из экспонент: если количество показателей с ненулевыми коэффициентами на промежутке [О, А] растёт медленнее А, то сумма соответствующего ряда при х —► -1-0 не может иметь быстроубывающую мажоранту. Возможный порядок убывания (точнее, порядок убывания логарифма мажоранты) указывается в этих работах точно. Работа Дж.М.
\ [
1,
4
Андерсона посвящена ситуации, при которой количество показателей с ненулевыми показателями растёт не быстрее Clog А; получающийся результат опять имеет вид теоремы единственности. Возможная минимальная мажоранта имеет в таком случае меньший порядок убывания, чем в теоремах Л. Шварца и И. Хир-шмана- Дж. Дженкинса, в которых логарифм мажоранты имеет степенной характер роста при х —> -ЬО. Опыт применения различных теорем единственности в анализе показывает, что, чем точнее теорема единственности, тем более сильные применения она может находить. В связи с упоминаемыми результатами Л. Шварца, И. Хиршмана - Дж. Дженкинса было принципиально важно, возможно ли указать минимальную мажоранту ряда из редких экспонент (или степенного ряда с редкими показателями) более точно, чем только указание порядка роста логарифма этой мажоранты.
Действительно, H.A. Широкову [4], гл. 3, удалось уточнить формулировку указанной теоремы единственности. Если п* > Акр , то при р > 2 для степенного ряда
в [4| была получена оценка логарифма мажоранты с точностью до наилучшей постоянной. Наилучшая мажоранта логарифма модуля (иными словами, самая точная теорема единственности) при
оо
(+)
5
1 < p < 2 при указанном предположении была получена в работе Ф.Л. Назарова и H.A. Широкова [11].
Оставался невыясненным вопрос, насколько существенным для точной формулировки теоремы единственности вышеприведённого типа является применённое в работах Ф.Л. Назарова и H.A. Широкова ограничение на редкость показателей п/:. В данной диссертации выясняется, что диапазон ограничений на показатели, позволяющий предполагать получение оценок с наилучшей постоянной, может быть существенно расширен. Именно. предполагается, что для степенного ряда (+) выполнено щ > Akp(\og(k + 2))6, к > 0, 2 < р < оо, b - вещественное. Это потребовало привлечения новых соображений, рассмотрения новых функций и асимптотик.
В работе H.A. Широкова [4], гл. 3, была приведена также теорема единственности о степенных рядах, в которой сопоставлялись возможные мажоранты для величины коэффициентов и для значений ряда на радиусе (0,1). Мажоранта для коэффициентов при этом фактически предполагалась лишь начиная с некоторого номера. Понятно, что нетривиальные теоремы единственности возникают лишь тогда, когда отсутствуют примеры степенных рядов, удовлетворяющих нужному ограничению убывания на радиусе и являющихся полиномами. Например, полиномы
I
6
(1 — х)А при любом натуральном N не должны удовлетворять соответствующим ограничениям.
Следовательно, как это и было описано в |4], гл. 3, если рассматривать мажоранту для f(x) вида
Cie-c\\og(i-x)\^ (*)
то функция f(x) может быть полиномом (1 — x)N, все коэффициенты которого с номера N 4-1 равны нулю.
Если же степенной ряд f(x) убывает быстрее, чем в (*), например, если справедлива оценка |/(х)| < С\ exp (—С\ log(l — х)|Л) с некоторыми С, Ci > О, Л > 1, то в |4], гл. 3, обнаружено, что
оо
у коэффициентов этого степенного ряда f(x) = Е СпХП не мо-
71=0
жет быть слишком малой мажоранты для коэффициентов. Именно, если |cn| < С/2 ехр(—С/ у/ть) с некоторыми постоянными С2ч С' > 0, то / = 0. Выражение С V~N при этом оказывалось в определённом смысле неулучшаемым: для всякого р, 0 < р < как оказалось, можно подобрать степенной ряд /р(х), fp(x) ф 0,
ОС
с радиусом сходимости 1, fp(x) = Сп,Рхп такой, что
71=0
|/р(х)| < Cip exp (-Ср| log(l - .т)|А) (* *)
с некоторыми С\р, Ср > 0, Л > 1, но при этом
IC^I < С2рехр (-СУ) (* * *)
- Київ+380960830922