Гиперболические полугруппы операторов. Оценки параметров экспоненциальной дихотомии

Оглавление
Список обозначений 3
Введение 5
1 Основные понятия и используемые результаты 17 §1.1 Некоторые сведения из теории полугрупп операторов 17 §1.2 Некоторые сведения из теории полугрупп разностных
операторов ...................................... 25
2 Классы гиперболических полугрупп операторов и уравнение Ляпунова. 30
§2.1 О разрешимости уравнения Ляпунова................ 30
§2.2 Теорема М.Г. Крейна для генераторов некоторых классов полугрупп операторов. Разрешимость уравнения Ляпунова как необходимое и достаточное условие гиперболичности полугруппы операторов................. 41
3 Оценки параметров экспоненциальной дихотомии однопараметрических полугрупп и групп операторов 54
§3.1 Оценки функции Грниа. построенной по гиперболической полугруппе операторов............................ 54
§3.2 Оценки функции Грина, построенной по гиперболической группе операторов................................ 68
4 О числовой области генератора полугруппы операторов 78
2
Список обозначений
N - множество натуральных чисел; г£ - множество целых чисел;
Ъ+ = {п € Ъ : п > 0};
К - множество вещественных чисел;
= {* € К : і > 0};
Т = {АєС:|А| = 1}- единичная окружность; 3 - одно из множеств: К*, К;
Ла = {(С.5 )€ЗхЗ:$<і};
С - множество комплексных чисел;
Сп = С х ... х С;
Н - комплексное гильбертово пространство;
Ноіп(7і\л7І2) - банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на Н\ со значениями в
ЕпдН = Нот{Н>Н) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Н\
I - тождественный оператор в любом из рассматриваемых пространств;
||Л|| - норма оператора А Є Нот(Ні. Но)',
п раз
ПГ:
О = £>(Л) - область определении оператора А : О(А) С Н\ —♦
С(Л) - график оператора Л : £*(Л) С Н\ —> ТЇ2\
КегА - ядро оператора Л : £>(Л) С Н\ —>
/тпЛ - образ оператора Л : Г>(Л) С їїі -»
р(Л) - резольвентное множество оператора Л : £>(Л) СН —* 'Н:
Л(-} А) : р(Л) —► ЕпсІН - резольвента оператора Л : £(Л) С Ті —*
сг(Л) = С \ р(Л) - спектр оператора Л: г (Л) - спектральный радиус оператора Л;
^ : Дз —> ЕпсІН - семейство эволюционных операторов.
4
Введение
Пусть Н - комплексное гильбертово пространство. ЕпвН - банахова. алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Н. Рассматривается полугруппа Т : 5£+ —» ЕпбН класса Со с генератором (инфннитезнмальным оператором) А : И (А) с Н —> Н. С помощью полугруппы Т описываются решения (как классические, так и слабые) дифференциального уравнения
х = Ах. (1)
Полугруппа операторов Т : —♦ ЕпсУН называется гиперболи-
ческой (пли допускающей экспоненциальную дихотомию), если спектр <т(Г(1)) оператора Г(1) обладает свойством
а(Г(1))р|Т = 0, (2)
где Т = {Л Є С : |А| = 1} - единичная окружность.
Таким образом,
<7(Т( 1)) = <7ы\^)ст0и(у (3)
где сгііи = {Л Є <т(Т{ 1)) : |Л| < 1} и аш = {А € а(Т( 1)) : |Л| > 1}. Если (уоиі — Й? то полугруппа Т является экспоненциально устой-
5
чивой. т.е. существуют постоянные М > 1 II (л) < 0 такие, что
||Г(0|| < Меш\Р> 0. (4)
Для А £ ЕпсШ в монографии [25] было установлено, что гиперболичность полугруппы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора И7 £ ЕпсШ такого, что Л равномерно ^-диссипативен, т.е. Л'И7 + IVА = Р <С 0, где символ Р «С 0 означает равномерную отрицательность оператора Р е ЕпсШ. 13 этом случае оператор И7 определяет квадратичную функцию Ляпунова Ь : Н —> К, Ь(и) = (и, и)н- = (Wu.li) такую, что функция £ Ь(и(£),и(Ь)) монотонно убывает для каждого решения и : Е —► Н дифференциального уравнения х — Ах.
В статьях [63].|64] были сделаны попытки перенести результаты М. Г. Крейна для генераторов ннфшштезпмальиых полугрупп операторов класса Со- Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.
В диссертации [19] результаты теоремы Крейна были распространены ка гиперболические группы операторов. Таким образом, является актуальной тема распространения теоремы Крейна на полугруппы операторов (которые состоят из необратимых операторов). В диссертации приведены два класа полугрупп, для которых результаты теоремы Крейна верны, а также доказаны соответствующие теоремы. Таким образом, используя уравнение Ляпунова, получены критерии проверки гиперболичности некоторых классов полугрупп операторов.
Разработке эффективно проверяемых критериев экспопсици-
альной дихотомии и методов оценки параметров экспоненциальной дихотомии для систем с постоянной матрицей были посвящены работы С.К. Годунова [23|, А.Я. Булгакова [17]. Ю.М. Неченуренко [36], [37}. В случае бесконечномерного пространства Н соответствующих результатов получено не было. Актуальность получения оценок тесно связана с приложениями к уравнениям в частных производных. Возникающие сложности получения таких оценок в случае бесконечномерного пространства связаны с неограниченностью оператора А. В цитируемой монографии [23], как правило, получаемые оценки использовали величину ||А)|.
Для получения оценок в диссертации используются следующие величины
7(4) вир ||Я(гА,/1)11,
А€Й
эир [ ||Я(гА. ,4)о;||2сБ\,
И<1 2?Г {
Л
и(А-) = 5ир / ||Д(1Л, А*М2ёХ,
Цх||<1 2тг./
к(Т) = зир ||Г(0И,
0<?<1
а также числовая область генератора .4 гиперболической полугруппы операторов Т.
В связи с использованием числовой области генератора полугруппы операторов возникает актуальный вопрос: всегда ли числовая область генератора сильно непрерывной полугруппы операторов ограничена? В диссертации строится пример полугруппы, для кото-
7