Оглавление
Введение 2
1 Бесконечномерные гамильтоновы и лаграижевы системы
со связями 19
1.1 Основные понятия и обозначения......................... 20
1.2 Некоторые сведения из теории банаховых пространств . . 23
1.3 Построение СГД для лагранжевой системы с неголоном-
ными связями........................................... 28
1.3.1 Обобщенное преобразование Лежандра............... 28
1.3.2 Построение обобщенного преобразования Лежандра 30
1.3.3 Построение СГД................................... 33
1.4 Соответствие между лагранжевыми и гамильтоновыми системами со связями ......................................... 37
2 Процедура выявления связей 45
2.1 Процедура выявления связей............................. 45
2.2 Классификация связей................................... 50
3 Гипотеза Дирака 60
3.1 Конечномерные системы Гамильтона-Дирака................ 61
3.2 Формулировка гипотезы Дирака........................... 65
3.3 Вспомогательные результаты............................. 66
3.4 Доказательство гипотезы Дирака......................... 71
1
Введение
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются математические задачи, связанные с гамильтоновой динамикой бесконечномерных систем Гамильтона- Дирака (СГД), фазовыми пространствами которых являются бесконечномерные рефлексивные банаховы пространства. Систематическое развитие теории СГД началось с работы [18] П. Дирака, который называл их обобщенными гамильтоновыми системами; сейчас их чаще всего называют гамильтоновыми системами со связями. Используемое здесь название впервые появилось в работе [64] С. Альбеверио и
О.Г. Смолянова. Оно кажется более подходящим, поскольку название ’’гамильтоновы системы со связями” ассоциируется с лагранжевыми системами со связями, тогда как в действительности СГД соответствуют лагранжевым системам с вырожденными лагранжианами (при этом, если гамильтониан СГД нсвырожден, то соответствующая лагранжева. система не имеет связей), и. соответственно, лагранжевы системы со связями и с невырожденными лагранжианами соответствуют обычным гамильтоновым системам с вырожденными гамильтонианами.
В диссертации получено описание соответствия между СГД и лагранжевыми системами (со связями) и исследована бесконечномерная процедура выявления связей. В частности, определено обобщенное преобразование Лежандра и исследованы его свойства, на основе обобщенного преобразования Лежандра построено соответствие между СГД и лагранжевыми системами, выяснены условия его существования и взаимной однозначности. Кроме того, для конечномерных СГД получено новое доказательство гипотезы Дирака; это доказательство применимо к классу СГД значительно более широкому, чем ранее известные доказательства.
Лагранжевы системы, введенные в конце восемнадцатого века, стали первым формализованным средством описания классических динамических систем. Гамильтонов формализм появился спустя примерно пятьдесят лет (в 1835 году), сейчас это хорошо развитая теория, имеющая большое число приложений (см. [6б|, (67] - [69], [83]). Класс СГД являет-
2
Введение
3
ся естественным расширением класса гамильтоновых систем. Хотя переход от гамильтоновых систем к СГД формально аналогичен переходу от лагранжевых систем к лагранжевым системам со связями, эти последние и СГД описывают совершенно различные аспекты динамики. СГД описывают такие динамические системы, которые имеют вырожденные лагранжианы. В связи с тем, что лагранжианы классических динамических систем невырождены, для их описания достаточно гамильтонова формализма. Именно поэтому теория СГД появилась лишь спустя примерно сто лет после появления гамильтоновой динамики, когда возникла необходимость работать с бесконечномерными динамическими системами — полями (сами поля появились, конечно, намного раньше). Уже первая модель поля, описывающая электромагнитное поле, имела вырожденный лагранжиан, т. е. описывалась СГД.
По-видимому, впервые переход от вырожденных лагранжевых систем к СГД был рассмотрен ехце в работе [54] Л. Розен фол ьда, в своей следующей работе [55] он использовал этот переход для квантования поля. Основателем же теории СГД считается П. Дирак, который первым в своей статье 118] изложил основы конечномерной обобщенной гамильтоновой динамики. Окончательную форму дираковский формализм СГД приобрел в его книге [20]; в ней же Дирак сформулировал свою гипотезу: все связи первого рода являются генераторами преобразований, не связанных с изменением физического состояния. Спустя год после работы Дирака [18] в статье [1] Д. Андерсона и П. Бергмана была построена ко-вариантная теория поля с квадратичным лагранжианом и конечным числом связей в каждой точке фазового пространства (естественным примером является электромагнитное поле). От аналогичных более ранних работ она отличалась тем, что ноля в ней рассматривались уже в рамках развитого Дираком формализма СГД. Эта работа положила начало теории бесконечномерных СГД, поэтому в случае полевых моделей процедуру выявления связей Дирака часто называют процедурой выявления связей Дирака Бергмана.
Одним из важнейших приложений гамильтонова формализма является его использование в процедуре квантования. Конечно, классическую динамическую систему можно квантовать и в лагранжевой формулировке (это может быть полезным, например, при квантовании реляти-
Введение
4
вистской модели), но классический подход к квантованию (каноническое квантование), фактически принадлежащий П. Дираку (см. [22]) и аксиоматизированный Фон Нейманом в 1930 году (см. |48]), использует гамильтонову формулировку. Именно задача квантования вырожденных лагранжевых систем привела П. Дирака к созданию обобщенной гамильтоновой динамики, и до конца семидесятых годов дираковский формализм СГД использовался, главным образом, только в качестве удобного инструмента для квантования. Тогда наибольшее развитие получил подход [7], известный сейчас как ВК8Т квантование (ср. [3], [4]). Аббревиатура ВШГГ составлена из первых букв фамилий авторов этого метода квантования: С. Беччи, А. Руэ, Р. Стора, И.В. Тютин. Отметим, что работы И.В. Тюти на в этом направлении предшествовали работам С. Беччи, А. Руэ и Р. Сторы, однако долгое время были неизвестны на западе. Обзоры различных подходов к квантованию СГД можно найти в работах [35] М. Энно. [38] М. Энно и С. Тейтелбаума, статьях [53] и [59].
Только с появлением теорий с массивными векторными нолями, моделями суперструн и суперсимметрии возникла необходимость в более детальном изучении внутренних свойств СГД. Подробные обзоры теории СГД, а также большое количество ссылок на другие работы можно найти в работах [34] А. Хансона, Т. Регжа и С. Тейтелбаума и [61] К. Сандермейера. Главной спецификой почти всех работ, посвященных СГД, является их физический уровень строгости. Причем это касается не только прикладных работ в этой области, но и базы теории, которая была заложена П. Дираком только для конечномерных систем. Поскольку большая часть работ выполняется именно в рамках дираковского формализма СГД, их авторы, изучая поля, на самом деле исследуют лишь конечномерные системы. Таким образом, математическая теория бесконечномерных СГД фактически отсутствует. Среди немногих работ в этой области отметим серию статей О.Г. Смоляиова с соавторами (уже цитируемая выше работа [64] и др.), некоторые затронутые там вопросы более подробно исследуются в диссертации. Для полноты обзора отметим также работу [41] О. Крупковой, в которой подробно изложена математическая теория конечномерных СГД. В этой работе используется новый подход, совершенно отличный от классического (дираковского). Здесь теория СГД излагается на языке дифференциальной геометрии: СГД за-
Введение
5
даются на специальных накрытиях фазового пространства — пространствах струй, а процедура выявления связей переформулирована в терминах векторных и ковекторных полей на пространствах струй. Этот подход является сейчас наиболее общим, он позволил провести процедуру выявления связей для тех СГД, для которых ранее это было невозможно. Среди результатов можно отметить обобщение теорем Нетер на случай вырожденных лагранжевых систем, исследование первых интегралов и решений уравнений движения для СГД и пр. Обширная библиография в конце этой работы свидетельствует о большом интересе, проявляемом сейчас математиками к теории СГД.
Одной из частных задач, возникающих в рамках теории СГД, является доказательство гипотезы Дирака. Сейчас ужо известно (см. |11)), что гипотеза Дирака неверна в применении ко всем СГД. Заметим, что сам П. Дирак не нашел контрпримера, хотя их построение не является сложной задачей (см. ([12], [25], [60] и др.). По-видимому, он искал контрпример среди физически интересных моделей СГД, но в то время (50 - 60-ые гг.) почти все такие СГД имели только невырожденные связи первого рода, т.е. гипотеза была для них справедливой. Сейчас модели стали сложнее, появились теории общего вида (например, модели суперструи), на фоне которых построенные контрпримеры уже не выглядят такими искусственными. Поэтому задача полного описания класса СГД, для которого справедлива гипотеза Дирак, является сейчас достаточно актуальной. Важность гипотезы Дирака состоит ещё в том, что она задаёт нетривиальное разбиение множества всех СГД на два подмножества: СГД, удовлетворяющие этой гипотезе и не удовлетворяющие. Главный вопрос, который здесь возникает и ответ на который ещё не получен, имеет ли это разбиение какой-либо физический смысл (для моделей, описывающих некоторые физические процессы), или оно обусловлено только математическими причинами. Другой вопрос, имеющий непосредственное отношение к первому, связан с природой различий между обычными связями первого рода и исключительными связями (т.е. связями первого рода, генерирующими канонические преобразования, не сохраняющие физического состояния СГД). Эти вопросы часто обсуждаются в литературе по СГД (см., например, М. Готе [31] или Р. Сугано и Т. Кимура [60]). Интересный общий результат получен в работе [16] Н.П. Читая, С.А. Го-
- Київ+380960830922