Весовые оценки интегральных операторов с переменной областью интегрирования

Оглавление
Введение 3
1 Предварительные сведения 16
1.1 Ограниченность и компактность в весовых пространствах Лебега интегральных операторов
Вольтерра................................................ 16
1.2 Весовые оценки интегральных операторов
на монотонных функциях................................... 33
2 Интегральные операторы с переменной
областью интегрирования 35
2.1 Постановка задачи
Блочно-диагональный метод . . . ........................ 35
2.2 Операторы с ядром Ойнарова..........■..................... 39
2.3 Операторы типа Харди .................................... 46
2.4 Теоремы вложения типа Соболева........................... 56
2.5 Операторы типа Харди на монотонных функциях.............. 62
3 Оценки интегралов Римана-Лиувилля 68
3.1 Оценки на монотонных функциях............................ 69
3.2 Характеризация неравенств
на кусочно-монотонных функциях........................... 73
Литература 85
2
Введение
Значительный прогресс последних двадцати лет в теории интегральных операторов связан с изучением свойств операторов Вольтерра вида
в весовых пространствах Лебега.
Кроме самостоятельного значения эти преобразования играют существенную роль в различных приложениях к спектральной теории операторов, интегральным и дифференциальным уравнениям, вложениям пространств Соболева.
При исследовании операторов (1) главным вопросом является поиск критериев их ограниченности и компактности, при этом качество критериев играет определяющую роль при решении дальнейших задач, связанных с оценками характеристических чисел и приложениями. Наглядным примером в этом отношении является исследование оператора (1) при к(х,у) = р(х) ^ 0, предпринятое в рамках спектральной теории уравнения Штурма-Лиувилля (см., например, [4]). Эти результаты, берущие начало в работах Г.Харди и Дж. Литтльвуда [15], начиная с 70-х годов XX века, обобщались многими авторами, достигнув в определенном направлении максимальной общности на классе ядер Ойпарово, когда к(х,у) ^ 0 и
0~1к(х,у) ^ к(х,г) + к(г,у) < Ок(х,у), Ь^х^г^у^а, (2)
где константа Г) ^ 1 не зависит от а;, у, К данному классу, в частности.
3
о)
относятся ядра операторов Римана-Лиувилля к{х,у) = (х — у)% 1 при а ^
1. Однако, при 0 < а < 1 эти ядра не удовлетворяют условию (2). В связи с этим в диссертации рассматриваются две задачи. Первая состоит в нахождении критерия ограниченности и компактности для операторов вида
содержащих (1) как частный случай. При этом ядро удовлетворяет модифицированному условию (2), а граничные функции а(х) и Ь(х) такие, что
(1) а(х) и Ь(х) непрерывны и строго возрастают наЕ+;
Вторая задача посвящена нахождению критерия ограниченности в весовых нормах Лебега для дробного оператора Римана-Лиувилля на полуоси
В общем случае этот вопрос пока остается открытым. Мы даем в качестве '’приближенного решения’1 критерии выполнения весовых оценок на более узких, чем все пространство Лебега, классах монотонных или кусочно-мо-нотонных функций. Найденное решение справедливо для всех а > 0.
Перейдем в точной постановке задач и подробному изложению результатов диссертации.
Пусть 0 < р ^ оо, —оо ^ а < b ^ сю,
( (/>(z)|pdz)’, 0 < р < оо,
т,= '
ess sup \f{x)\, р=оо.
У я€[а,6]
Обозначим р' = р/(р - 1) при 0<р<ооир/ = оо при р = 1. Для фиксированной почти всюду конечной и измеримой по Лебегу на [а, 6]
4
(3)
(іі) а(х) < Ь(х) для любого х Є (0, оо), а(0) = 6(0) = 0, (4)
а(ос) = 6(ос) = оо.
О < а < 1.
(5)
весовой функции V определим весовое пространство Лебега Щ[а,Ь\ как совокупность всех измеримых на [а,Ь] функций / таких, что \\/\\р,у' — И/^Нр <
оо. Если а = 0 и Ъ = оо, будем обозначать = Ц[0,оо]. Предположим также, что вес и локально суммируем на [а, Ь] со степенью р, а вес 1/г^— локально суммируем на [а,Ь] со степенью р'. Не ограничивая общности, будем считать весовые функции неотрицательными.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы.
Первая глава содержит необходимые сведения о рассматриваемых классах интегральных операторов. В частности, в §1.1 мы даем новое доказательство критерия ограниченности оператора (1) с ядром из класса Ойнаро-ва из Ц, в Цц при 1 < р, ц < оо. В §1.2 приведены критерии ограниченности интегральных операторов на классе монотонных функций.
Во второй главе рассматривается оператор (3). При этом, в §2.1 приведена история вопроса и излагается суть блочно-диагонального метода, с помощью которого мы находим критерии ограниченности и компактности оператора (3) и двойственного ему оператора
Основной результат §2.2 содержится в следующей теореме, где случай 1 < д < р < -оо является новым, а при 1 < р < у < оо мы дополняем результат
А. Гогатишвили и И. Лэнга [22].
Теорема 1. Пусть 1 < р ^ д < оо. Тогда
К/{х) =
5
где
-p'
7
Oçt \îj/ rb(s)
kq(a{t),x)wq(x)dx I I v
8 ) yJ a(t)
( С \* ( fb{8) ' -W A\: = sup Ai(s) = sup sup [ I wq ) I I kv (xyt)v p(x)dx ,
s>0 s>0 e<t<a_1(b(e)) \Js ) a{t) J
причем К компактен, если и только если Ао + А\ < ос и Птя_>о ^i(s) = lime_)oo A;(s) = О, i = 0,1.
Если 1 < q < p < оо, 1/r = l/q — 1/p, то
A)b, g)
E (bm + Bh + + BJU)
^ Mpai)
L k
где
x)wQ(x)dx j (
*«(£*+1)
r
7
г1
-У „-У
Bk,2= W?) y/( kr\x,t)v *(x)dx ) wq(t)dt ] ,
'Kfr+l) / Г&+1 \ ï / /*<
ft,3=( / ( / ) ( / v
Ь(Ы V^b-4«)
£*+1 / rZk+1
га4
*b(t) \7
kp (x9t)v~^ (x)dx ) u>g(t)cft I , F*(fc) /
причем: Л” компактен тогда и только тогда, когда
[ЕДЗи + + ^,з + 5м)Р < оо. Здесь последовательность точек
{&}*єг С (0, ос) такова, что £0 = 1? & = (я“1 о6)*(1), А; є й.
Нетрудно заметить, что функционалы, задействованные в оценках нормы оператора К в Теореме 1, имеют громоздкий характер, особенно при д < р.
6
Поэтому параграф 2.3 посвящен важному случаю, когда к(х,у) = 1. Здесь мы получаем критерии ограниченности и компактности, которые качественно отличаются от аналогичных результатов предыдущего параграфа, представляя собой полный аналог известных теорем Мукенхаупта и Мазьи-Рози-на. Наш подход базируется на понятии фарватер-функции.
Определение 1. Для заданных граничных функций а{х) и 6(х), удовлетворяющих условиям (4), числа р Є (1,оо) и весовой функции у(х) такой, что 0 < у(х) < оо для п.в. х Є К+, а степени ир{х) и у~р\х) локально суммируемы на определим фарватер-функцию а(х) такую, что а(х) < а(х) < Цх) и
Основной результат §2.3 и Главы 2 состоит в следующем утверждении. Теорема 2. Пустпь задай оператор Н вида
Тогда при 1 < р д < оо для нормы оператора II имеет место оценка
для любого х Є К+.
гЬ(х)
н/(х) = / 1(у)<1у-
(7)
Оа(х)
аі(р,<і)Аа < ||ЯЦ«-иі ^ а3(р,?)Ат
где
і
Ап: = эир Аа (і) = вир
*>0 *>0
причем 11 : —>■ компактен, если и только если Аа < оо и
ІІШе^О Ао(І) = ІІШ^оо Лг(*) = 0.
0<с/<р<оо, р> 1, 1/г = !/(/— 1/р, то
7
Мр, я)в<? < ||яі1ія-иг < /Зз(р»
7