Оглавление
Введение......................................... 3
Глава I Переходные функции и решение обратных задач для некоторых классов операторов Штурма-Лиуви лля............................. 18
§1. Описание семейства переходных функций для операторов класса 5................................ 18
§2. Другое описание переходных функций и обратная
задача.................................... 31
§3. Обратная задача для одного класса операторов на отрезке со спектром п2.......................... 45
Глава II Спектральные разложения и прямая задача для операторов с потенциалами — экспоненциальными суммами....................... 58
§4. Спектральные теоремы для потенциалов — сумм
рядов из экспонент........................ 58
§5. Спектральные теоремы для потенциалов — конечных сумм экспонент.............................. 73
§6. Решение уравнения Кортевега-де Фриза с начальным потенциалом сепх............................ 88
Литература...................................... 96
2
Введение.
Спектральная теория дифференциальных операторов в настоящее время является важным разделом общей спектральной теории операторов и активно развивается различными математическими школами. В этой области получены фундаментальные результаты, которые находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики.
Начало этой теории в случае сингулярного оператора Штурма-Лиувилля было положено в работах Г. Вейля и нашло дальнейшее развитие в работах Э.Ч. Титчмарша [1]. Другие подходы при изучении спектральных свойств дифференциальных операторов были разработаны Б.М. Левитаном, А. Плейелем, С. Минакшисундарамом,
А.Г. Костюченко, В.А. Ильиным и др. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов (обыкновенных и в частных производных) дан в [2], там же можно найти подробную библиографию вышеуказанных авторов.
Одной из важных классических задач математической физики является задача о вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. Достаточно упомянуть её роль в использовании метода Фурье для приближённого решения классических краевых задач в частных производных и в задачах теории устойчивости. Естественно, что проблеме вычисления первых собственных чисел посвящены исследования многих математиков.
Наиболее употребительный метод её решения основан на хорошо известных равенствах, связывающих итерированные функции Грина рассматриваемой задачи и её собственные значения:
Одно из наиболее глубоких исследований в этом направлении принадлежит A.A. Дородницыну [3]. Суть метода проста: обрываем в
з
(0.1)
равенствах (0.1) ряды до слагаемых с номером N и берём N 4- 1 первое равенство. Решаем полученную конечную систему и получаем приближённые значения собственных чисел, тем более точные, чем большее N взято.
С созданием теории регуляризованных следов И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном [4] в 1953 г. и результатами И.М. Гельфанда [5], Л.А. Дикого [6], а также с появлением фундаментальной работы
В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [7] в распоряжении математиков появились новые соотношения на собственные числа операторов
регуляризованные следы к-го порядка:
со
£(А кп-Ап(к)) = В(к)- к = 1,2,...; (0.2)
п=о
здесь Ап(к) — отрезок асимптотического разложения А* по степеням п такой, что обеспечена абсолютная сходимость ряда (но, вообще говоря, не обязательно минимальный из таких фрагментов асимптотического разложения), а В (к) — сумма этого ряда, собственно и называемая &-ым регуляризованным следом. Эти равенства важны и интересны из-за того, что и Ап(к), и В (к) выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения и краевых условий и их вычисление вполне может быть алгоритмизировано [8].
В связи с этим И.М. Гельфанд и Л.А. Дикий [9] предложили в 1957 г. новый метод приближённого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля: аналогично схеме использования системы (0.1) удержать в системе (0.2) частные суммы рядов до /V-го слагаемого в N + 1-м регуляризованном следе и полученную приближённую систему решить, найдя некоторые приближения к собственным числам задачи. В [9] сделано конкретное вычисление для уравнения Матье по указанной схеме и получены значения трёх первых собственных чисел, верные в третьем знаке после запятой. Однако в [9] данный метод не обоснован: никаких оценок при переходе от рядов к их частным суммам сделано не было.
В 1995 г. С.А. Шкарин [10] доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определённого вида и, в частности, для систем вида (0.2) из его результатов следует, что если в системе регуляризованных следов (0.2) числа А„ считать неизвестными и решать эту систему относительно А„, то у (0.2) существует континуум решений, причём мы можем заранее совершенно произвольно задать любое конечное число (различных) собственных чисел и всегда суще-
4
ствуют решения с этими заданными числами. Таким образом, было показано, что метод приближённого вычисления первых собственных чисел с помощью системы регуляризованных следов в трактовке U.M. Гельфанда и Л.А. Дикого не может быть реализован.
В.А. Садовничий и В.Е. Подольский [11] определяют и исследуют класс S операторов Штурма-Лиувилля, для которых система регуляризованных следов однозначно определяет все их собственные числа и позволяет приближённо вычислять первые. Этот класс описывается следующим образом: пусть
— оператор Штурма-Лиувилля на полуоси х > 0, причём д(х) 6 С°°[0;+оо), и пусть <р(х, Л) — решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными 9(0,Л) = 1;у?'(0, А) = /т. Хорошо известно, что р(х, Л) имеет при А —» ос асимптотическое разложение
Коэффициенты этого разложения не зависят от А, и поэтому разложение (0.5) зависит только от (і(х) и коэффициента /?.
Оператор (0.3)-(0.4) называется принадлежащим классу 5, если асимптотическое разложение (0.5) таково, что лишь конечное число коэффициентов /?Д.т) отлично от тождественного нуля на полуоси.
Доказательство приводимых ниже утверждений работы [11] есть в [12]. Эти утверждения таковы:
1) принадлежность оператора классу 5 эквивалентна тождественному равенству нулю на рассматриваемом интервале коэффициента разложения (0.5) Щ(х) хотя бы для одного /,
2) последний ненулевой коэффициент разложения (0.5) имеет не-
чётный номер,
3) я{х) — мероморфная во всей плоскости функция.
Далее, известно [13], что оператор (0.3)-(0.4) связан преобразованием подобия с оператором —у" = Ат/, у'(0) = 0, причём подобие
-у" + я(х)у = Ьу
у'(0) - %(0) = 0
(0.3)
(0.4)
(0.5)
5
осуществляется оператором вида / 4-А’, где К — интегральный оператор с треугольным ядром К(х,у), 0 < у < х. В частности,
q(x) = 2—К(х, я), h = К(0,0), ах
X
<р(х, А) = cos у/\х 4- f K(x,t) cos VXt.dt. (0.6)
о
Для операторов рассматриваемого класса К(х,у) есть полином по второй переменной по чётным степеням.
Со всяким оператором ИІтурма-Лиувилля связана его переходная функция обратной задачи Ф(х)>х Є [0;4-ос). Интегральное уравнение Гельфанда-Левитана связывает Ф(х) и К(х, у):
X
К(х, у) + F(x, у) 4- [ К(х, t)F(t, у) dt = 0, 0 < у < .г*, (0.7)
о
здесь F(x,y) = \(Ф(х + у) + Ф(\х - 2/1)).
Используя только интегральное уравнение (0.7), можно получить [12] уравнения вида
MikJF(x,y)) + d'ikJ^ У) + f K(x,t)Mn,y(F(t,y))dt = 0,
оу '
где 71%,у. А* Є N — некоторое дифференциальное выражение порядка 2содержащее производные только чётного порядка только по у с постоянными коэффициентами. Совокупность этих уравнений точно описывает переходные функции всех операторов класса S: Ф(х) является переходной функцией обратной задачи для некоторого оператора класса 5 тогда и только тогда, когда для некоторого натурального к Ми>£(Ф(х)) = 0.
Принимая во внимание то, что для операторов класса 5 функция К(х,у) есть полином по второй переменной по четным степеням:
К(х,у) = Ё qm(x)y2™ (для некоторого фиксированного А-), можно,
»rj=0
зная функцию Ф(ж), найти коэффициенты этого полинома и тем самым, воспользовавшись формулами (0.6), явно решить обратную задачу для операторов рассматриваемого класса.
В числе доказанных свойств этого класса операторов есть следующее: этот класс плотен в множестве всех операторов Штурма-Лиувилля с потенциалом из в смысле операторной нормы. Эти два результата образуют метод приближённого вычисления первых
6
собственных чисел любого оператора с потенциалом из Ну. сначала мы должны приблизить рассматриваемый оператор с точностью до є/‘2 оператором из класса 5 и затем уже для построенного приближающего оператора найти с точностью до є/2 первые собственные числа. Таким образом, собственные числа исходного оператора найдём с точностью до є.
Остановимся подробно на результатах первой главы. В первой теореме первого параграфа в предположении бесконечной дифференцируемости потенциала найден явный вид дифференциального выражения М-^к.у для любого к.
Теорема 1.1. Пусть задан оператор (0.3)-(0.4) с бесконечно дифференцируемым на полуоси потенциалом у(х). Тогда для. любого натурального к будут иметь место следующие уравнения:
иу т= 1 р= 1 Іь>2.-,;'р>0 '=1 °У
г ,, , £ 5
V і Ч Г),'“
Іі+І2+”*+ір=т Р
4....+^=т р р)2к-2т р(* .л \
* XП«|ц-)(0)ааД-||)1д-о.
о »=1 °У
Во второй теореме описано семейство переходных функций обратной задачи для операторов Штурма-Лиувилля на положительной полуоси класса 5.
Теорема 1.2. Пусть для, оператора (0.3)-(0.4) из класса. 5 оператор преобразования таков, что
дп'К(х,у) _ дуК ~ 9
к-1
то есть К(х, у) = Е Цт(%)у2т- Тогда переходная функция обратите О
ной задачи имеет следующий вид:
ОС 1 к—\
*(*) = Е уї Е
/=0 < ■ г*—О
(\1/2)-г їп1+т2+-+пір=[//2]-г р ті
Е (-і)р Е П Е(-і)’х
^ Р=1 т,,т2.Шр=1,2,...,/: г— I Я= 1
Л +І2+—+І<»=т» q к—г-1 ( / Іі+І2+'"+і?=< q
х Л П Оу.-І 4- £ XX”1)* X П ^2д-1 I х
;ьІ2,..-.^>о *=1 \<7=1 д*1.......із...і^>о і=і
Р/2]—г-1 п?1Ч-гп2+ - +г»р=[//2]-г-/ р ггц
х Е (-1)" Е ПЕН'х
р=1 гг?1,т2,...,тр=1,2,...Д* 1=1 <7=1
;'ь;2,--л>о »=1 /
г<9е Со,Сь ..С2к-1 — произвольные комплексные константы.
Во втором параграфе мы находим другое описание семейства переходных функций для операторов класса 5: установлено, что если асимптотика функции р(х, Л) обрывается после слагаемого с коэффициентом Я-2к-{(х)^ то функция Ф(х) имеет вид:
где числа Л>2/— 1 и П21 определяются из равенств (2.1) и (2.2).
Далее на основе формулы для Ф(х) даётся явное описание ядер операторов преобразования для операторов класса 5: доказывается следующая
Теорема 1.3. Пусть оператор Штурма-Лиувилля (0.3)-(0.\), принадлежащий классу 5, таков, что асимптотическое разложение функции <р(х, \) обрывается, после слагаемого
где числа Д>/_1 и Ди определяются из равенств (2.1) и (2.2).
Тогда справедливо следующее выражение для ядра К(х,у) опера-т ор а пр е о бр аз о в ания:
к
ф(х) = Т,(П21-1в«х + Е>21е-«х)
и пусть
к
г>т=0,к—\
- Київ+380960830922