ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.................................................... 3
Глава I. Наилучшие квадратурные формулы для классов функций малой гладкости на конечном отрезке и полуоси
§1.1. Классы функций. Общая постановка экстремальной задачи
отыскания наилучших весовых квадратурных формул.......19
1.1.0. Классы функций......................................19
1.1.1. Постановка задач и..................................20
§1.2. Оптимизация весовых квадратурных формул для классов
функции малой гладкости...............................23
§1.3. Об одной наилучшей по коэффициентам квадратурной формуле типа Маркова для класса Яш[—1; 1] 36
§1.4. Оптимизация приближённого вычисления интегралов от быс-
троосцилирующнх функций на классе функций Н*'\0; 1] . : . . 44 §1.5. О наилучших квадратурных формулах с весом для функций,
заданных на положительной полуоси.....................52
Глава II. Экстремальные задачи для весовых кубатурных
формул.................................................56
§2.1. Постановка задач. Классы функций.....................56
§2.2. Наилучшие кубатурные формулы с весом для класса функций
61
§2.3. Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом
для класса функций Яи,1>ц'2(<3) 72
§2.4. О наилучших весовых кубатурных формулах для классов
функций 1 <р < оо........................80
Литература.................................................83
Д—
Введение
Одной из наиболее важных задач численного анализа является задача нахождения наилучших квадратурных формул для заданного класса функций. Указанная задача для соболсвских классов функций с ограниченной старшей производной в пространстве Ьр[а,Ь], 1 < р < оо полностью решена в работах А.А.Жснсыкбасва [16] и Б.Д.Боянова [7].
Существенный вклад в решение этой задачи для различных классов функций также внесли Н.П.Корнейчук [21], В.П.Моторный [32], А.АЛигун
[31], М.И.Лешш [27.28], Н.Е.Лушпай [29,30], В.Ф.Бабенко [2,4] и др.
Основные результаты этой теории полученные до 1979 г. подытожены И.П.Корнейчуком и приведены в добавлении к монографии С.М.Никольского [33] „Квадратурные формулы“- М.:Наука, 1979 г. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешённых вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных формул и иаилучших кубатурных формул для интегралов с фиксированными особенностями на отрезке интегрирования.
Последние задачи естественным образом возникают при оптимизации приближённого интегрирования сингулярных интегральных уравнений.
Пусть для вычисления интеграла
№ /(£) - произвольная функция из некоторого класса функций, #(£) > 0 заданная весовая функция, применена квадратурная формула
где Р = {р*}£=1 - вектор коэффициентов, Т = {£*. : а < £ 1 < *2 < ••• < £п < Ь} - вектор узлов, а Рп(/;я) •= Рп(/;д;Р,Т) - погрешность формулы (0.0.1) на функции /(£).
ь
J ?(*)/(*)<&>
а
Ь
(0.0.1)
з
Если Ш - некоторый класс функций /(£), заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а,/;], то через
обозначим верхнюю грань погрешности квадратурной формулы (0.0.1) на классе Ш. Очевидно, что если весовая функция д(і) задала, то верхняя грань (0.0.2) на данном классе функций зависит только от выбора Р = {р*}£=1 и Т = {£а})!=1. В связи с этим в теории квадратур возникает задача построения квадратурных формул вида (0.0.1), имеющих па данном классе функций ШЇ наименьшую оценку остатка при фиксированных узлах или при произвольных узлах и коэффициентах, то есть требуется найти следующие величины
Квадратурная формула (0.0.1), для которой выполняется равенство (0.0.3), называется иаилучшей по коэффициентам при фиксированных узлах или оптимальной квадратурной формулой в смысле Сарда [41], а квадратурные формулы для которых выполняется равенство (0.0.4), называются наилучшими или оптимальными в смысле С.М.Никольского [33] для класса 9Л.
В предлагаемой диссертационной работе рассматриваются вопросы построения квадратурных формул вида (0.0.1) и решаются задачи (0.0.3) и (0.0.4) для некоторых классов функций малой гладкости.
Цслыо данной работы является:
1. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданным весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и на полуоси.
Л„(ШI;д, Р,Т) = зир{|Л„(/;<?; Р,Т)| : / є ОТ} =
(0.0.2)
£п(ОТ; д, Т) = Ш Я„(ОТ;9; Р, Т), £п(Ш,д)= ЫК^Ш-д-Р,Т).
(0.0.3)
(0.0.4)
4
2. Найти наилучшис по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами.
3. Найти наилучшис квадратурные и кубатурные формулы типа Маркова для интегралов от быстроосцнллирующих функций классов, задаваемых модулями непрерывности.
4. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченными по норме пространства Ь\[0, оо) старшей производной.
5. Найти наилучшие кубатурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшой частной производной.
В работе используются современные методы функционального анализа, методы исследования экстремальных задач нахождении квадратурных и кубатурпых формул, а также метод Н.П.Корнейчука [21] оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.
В диссертационной работе:
1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и на полуоси.
2. Найдены наилучшис по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.
3. Найдены паилучшие квадратурные и кубатурные формулы тина Маркова для интегралов от быстроосцнллирующих функций для классов функций малой гладкости.
4. Найдены наилучшис квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченной по норме пространства Ь^О.оо) старшей
5
производной.
5. Найдены наилучшие кубатурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшей частной производной.
Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 54 наименований и занимает 87 страниц машинописного текста. В диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
Приводим краткое содержание работы с указанием основных результатов. Во введении приводится краткая характеристика изучаемой : проблемы и основные результаты диссертационной работы.
Рассматриваются следующие классы функций: С[а, Ь] - множество •• непрерывных функций на отрезке [л, 6]; С^[а, 5] - множество функций f(x), у которых fW(t) в С[а, Ц; W(r)H“{a, Ь] (г = 0,1,2,... ; И^Нш[ау 6] = Я "[а, 6])
- множество функций f(t) G С^г~1Цаг 6] (г G N), у которых существует кусочно-непрерывная производная r-го порядка /^(2), удовлетворяющая условию
где u(t) - заданный модуль непрерывности. В случае uj(t) = ta, 0 < et < 1 — это класс функций, у которых г-я производная удовлетворяет условию Гёльдера порядка, a; W^Lp[a,b] (1 < р < оо;г = 0,1,2,... ; W^Lp[a, 6] = Ьр[а, 6]) - класс функций /(£)> у которых производная f(r~l\t) абсолютнонепрерывна, f(r\t) € Lv[ayb\ и удовлстворяст условию
ll/(r)IU„ =
с
- Київ+380960830922