Оглавление
Введение 3
1 Случай приближения многочленами 16
1.0 К— и Е-функционалы и почти оптимальные разложения...................... 16
1.1 Описание алгоритмов и основные результаты........................... 19
1.2 Доказательство теоремы 1....................................... 30
1.3 Доказательство теоремы 2............................................... 35
1.4 Доказательство теоремы 3 ............................................. 40
1.5 Доказательство теоремы 4............................................... 43
1.6 Доказательство теоремы 5....................................... 48
1.7 Доказательство теоремы 0............................................... 51
1.8 Доказательство теоремы 7............................................... 55
1.9 Дополнение 1............................................................... 57
1.10 Дополнение 2.............................................................. 61
1.11 Дополнение 3.............................................................. 65
2 Случай ’’приближения нулем” 70
2.1 Описание алгоритма спуска и основные результаты............................ 70
2.2 Доказательство теоремы И............................................... 79
2.3 Доказательство теоремы 12.............................................. 83
2.4 Доказательство теоремы 13.............................................. 84
2.5 Доказательство теоремы 14.............................................. 91
2.С Доказательство теоремы 15.............................................. 97
2.7 Доказательство теоремы 16..............................................101
2.8 Доказательство теоремы 17 105
2.9 Доказательство теоремы 18 108
2.10 Доказательство теоремы 19..............................................116
2.11 Дополнение 1..............................................................124
2.12 Дополнение 2..............................................................126
Литература 130
2
Введение.
Цель настоящей работы'состоит в том, чтобы продемонстрировать возможность использования вещественной интерполяции для установления оптимальных и почти оптимальных свойств дискретных алгоритмов и тем самым расширить область применения вещественной интерполяции. В работе это осуществляется на примере важных и самих по себе адаптивных алгоритмов диадической кусочно-полиномиальной аппроксимации в Lp{Qo), где Q0 = (0,l]w - единичный куб в R".
Обычно в теории интерполяции задается пара банаховых пространств X = (А'0. АЦ и для этой нары требуется найти К—функционал и вычислить интерполяционные пространства При этом вычисление К—функционала, как правило, требует нахождения почти оптимальных разложений х — т0(<) 4- Х\ (/), причем почти оптимальность понимается как справедливость неравенства
1Ы*)1к+ <ll*iWII*. < cK(t,x-Xо,Л-.), t > О, (1)
где константа с не зависит от х и I.
В предлагаемом подходе задача ставится по-другому. Для всех х из некоторого пространства Л'о и всех t > 0 задан алгоритм А построения яЦг) и нужно подобрать такое пространство At, чтобы разложение
х = (х — Х\ (£)) 4- яЦО
было почти оптимальным в смысле /С-функционала, то есть чтобы выполнялось (1).
Таким образом, главным становится Fie вычисление К—функционала, а нахождение но заданному алгоритму второго пространства пары. Эта задача в работе осуществляется на примере адаптивных диадических алгоритмов кусочно-полиномиальной аппроксимации.
К сожалению, понятие почти оптимальности в смысле К—функционала не совсем наглядно. Более естественным представляется понятие почти оптимальности в аппроксима-ционном смысле, или в смысле Е-функционала. Пусть некоторый алгоритм .4 строит по элементу х € Хо и t > 0 элемент xi(t) нз Х\. Алгоритм А мы будем называть почти оптимальным (в аппроксимационном смысле, или в смысле Е—функционала), если элемент хЦ/), находясь в шаре радиуса C\t пространства Х\ приближает "не. хуже”, чем элементы из шара радиуса c2t того же пространства. Другими словами, алгоритм является почти оптимальным, если существуют такие константы С\, с2 и с, не зависящие от х и /, что IkiWIU, < Oil и
lk“*i(f)IUe <с inf \\х- д\\Хо = сЕ{о^Х]ХиХ0).
94MlX|<<4(
3
Следует отметить, что из почти оптимальности алгоритма А в аплроксимационном смысле следует почти оптимальность разложения х — (х - х''(<)) + х< (£) в смысле АГ-функцнонала пары (Х0, А’]). А именно, выполняется неравенство (см. параграф 0 гл.
1):
II®-*1(011x0 + *(0Н*1(0Нх, < сК(з(1),х\Х^ХО,
где 5(0 = \\х-ХхШхйЬ‘
Пусть / принадлежит Ьр{(20). Мы рассмотрим семейство алгоритмов Ап аппроксимации /, зависящих от параметра а 6 II. Конструкции существенно различные для сх > 0 и о < 0.
В случае а > 0 алгоритм будем называть алгоритмом спуска., так как идет последовательный переход от больших диадических кубов к меньшим. В основе алгоритмов спуска лежат построения из глубоких работ анализа: конструкция Кальдерона - Зигмунда (возникающая при построении гак называемого разложения Кальдерона - Зигмунда) и конструкция кусочно-полиномиальной аппроксимации, предложенная в работе Бирмана Соломина [3] для аппроксимации функций из пространства Соболева.
При а < 0 алгоритмы представляют собой дискретные аналоги алгоритмов из [ 15}. В случае а < 0 осуществляется последовательный переход от меньших диадических кубов (начиная с некоторого уровня) к большим. Поэтому это семейство алгоритмов мы будем называть алгоритмами подъема.
Особый интерес представляет собой случай а = 0, в котором фактически речь идет о классической задаче аппроксимации функции / С Ьр с точностью до е кусочно-полиномиальной функцией с минимальным количеством полиномиальных ступенек. Отличие рассматриваемой задачи от классической состоит в том, что мы под кусочно-полиноми-альлыми функциями понимаем функции д вида д = £д3хя,- 9$ £ с возможно пере-
3
секающимися диад и четкими кубами Здесь и всюду далее Д- обозначает пространство алгебраических многочленов степени < к — 1, к > 1.
Всюду ниже /£• е Рк обозначает полином наилучшего приближения / в £Р(Ф) (1 < р < +оо). то есть
Через .0((2о) обозначим множество диадических подкубов исходного куба С}о. Множество диадических кубов из £>($0) можно изобразить в виде дерева (по включению меньших кубов в большие); при этом один уровень этого дерева образуется одинаковыми но размеру диадическими кубами.
Опуская детали, изложим основные результаты работы.
Алгоритм спуска и результаты, связанные с ним
Пусть / Є Ьр(0о)> 1 < р < +°о, и а > 0 фиксированы. В этом случае алгоритм А0 (см. параграф 1 гл. 1) для произвольного числа
4
j її f II/ ?Qo \'ijp(Qo)
t>WJ - jQq ІІМСо) -------------|Q^------
отбирает ’максимальные” кубы Qi, для которых выполняется
jgja/p 11^“ ^' I ) >
На основе этих кубов {<&} строится аппроксимирующая функция ft как
ft = Yj ffS'XQi + fXQo\bQr
i
Отбор кубов Qt осуществляется последовательным спуском от куба Qu по дереву диади-ческих разбиений вниз.
Для формулировки результата положим
т -ею. г
i
Как мы увидим ниже, если в качестве пространства Л'0 взять Lp{Qo), то для алгоритма Л с, : / -> ft в качестве второго пространства пары естественно взять пространство 13к(а,р), определяемое полунормой
Отметим, что если о = 1,А = 1 ир = 1, пространство Вк(сх,р) совпадает с хорошо известным пространством - днадическим В МО. Также хорошо известно ((18)), что пространство Lip а может быть определено как пространство функций, для которых
SUP 1+2-------------------< 00•
II/ -
"q юг
и верхняя грань берется по всем кубам Q С Q0. Отсюда следует, что пространство Вк{а.р) при 1 < а < 1 + £, к ~ I и р = I является диадическим аналогом пространства Lip а, где
<7 = п(о — 1).
Приведем теперь основной результат для алгоритма спуска в случае приближения многочленами.
Теорема 1 (о почти оптимальности алгоритма спуска). Имеет место оценка:
П/-Л1к«>о)<с> .. inf ...,11/ - »Ik(во)'
5
При этом справедливы следующие неравенства:
1- ^ 2і,
г. її/ - /«Им«.» 2 ъчту/г,
Л II/ - ЛНадм > і(Л’М)1^.
Константы с\ и сч зависят от п и а и не зависят от р. / и £.
Величина N(1) - важная характеристика набора кубов, конструируемого алгоритмом спуска. Оказывается, что с помощью этой величины можно оценить К—функционал К{г,1\1;р($о),Вк{(у,р)). А именно, при і > ||/ - }'$\\іущ0) верна эквивалентность (см. теорему 3)
К((Щ))1* /; 1Р{Яо), В*(а, р)) » (2)
Таким образом, из неравенств 1) и 2) теоремы 1 следует, что разложение / = (/—Л)+/« является почти оптимальным в смысле /<-функционала нары (£р(<Эо)>#*(<*,р)), НО не ДЛЯ £, а ДЛЯ (Аг(*))1/>-
Теорема 1 представляет собой уточнение эквивалентности (2). Как видно из теоремы 1, конструируемая алгоритмом спуска функция оказывается почти оптимальной еще и в аппроксимационном смысле она приближает функцию / в Ьр{(2о) "не хуже", чем функции из шара радиуса і/2 пространства Вк(а, р) и при этом сама находится в шаре радиуса 2/, того же пространства.
Иначе говоря, разложение і- = /< -Ь (/ - /<) является почти оптимальным в аипрокси-мационном смысле, или в смысле 27-функционала дчя пары {В1:(а,р), £,>(<?о})-
Рассмотрим теперь алгоритм спуска в особом случае ’’приближения нулем”. В этом случае, в отличие от остального, диапазон изменений а ограничен интервалом (0,1].
Пусть / є 1>(<г0), 1 < р < -+00, и а > 0 фиксированы. В этом случае алгоритм для произвольного числа
і > 11/!1м<?о) =
строит функцию Зі и, следовательно, разложение / = /, + (/- /,).
Механизм построения /£ очень похож на построение функции /І в случае приближения полиномами. Собственно, сама структура этих алгоритмов спуска одна и та же; различие лишь в величине, на основе сравнения которой с фиксированным # конструируется набор кубов и строится функция /*. Мы последовательно, спускаясь вниз от куба <2о по дереву диадических разбиений выбираем ’’максимальные” кубы (3, такие, что
ЩТррШьіОі) >*•
б
Положим
Л - /Х<1о\и<2(-Введем пространство Ь^ р с помощью нормы
||Л^:=АР||||1чв'
В частном случае, если а = 1 и р = 1, пространство Ц^р совладает с известным пространством Ьъс^о). При 0 < а < 1 пространство Ь%.р является диадическим аналогом пространства Морри Мр,а (4|. Напомним, что функция / принадлежит Мро, если выполняется
8цр < оо.
о |ОТ*
Здесь точная верхняя грань берется по всем (не обязательно диадическим) кубам С] С фп и —п < а < 0. Таким образом, при 0 < а < 1 пространство действительно является диадическим аналогом пространства ИР<1Т, где а — —пси.
Замечание. Отметим также, что если а > 1, то пространство вырождается (в этом случае оно содержит только функцию, равную почти всюду 0). Поэтому все результаты для случая ’’приближения нулем” имеют смысл только при 0 < о < 1.
Приведенные выше теорема 1 и эквивалентность (2) для случая приближения многочленами остаются верными и для случая ’’приближения нулем”; при этом вместо В,:(сх.р) естественно возникает пространство Ц^ р.
В силу того, что величина N(1), фигурирующая в формуле для К-функционала (2), строится с помощью алгоритма, то встает вопрос об инвариантной, то есть но зависящей от алгоритма, формуле дня К-фуикционала.
В случае пространств /^ и ВМО имеют место два классических результата для К-функционалов пар (/.[, Ьх) и (£ь ВМО). А именно, если /’ - невозрастаюшуая перестановка функции /, то верны эквивалентности
АГ(<,/;Хч,£оо)« *(М/)Ч*) (3)
и
*-((,/; ВМО) »«(/#}*(*), (4)
где [М/) и -- соответственно максимальная функция Харди - Литлвуда и шарп-максимальная функция.
Оказывается, что в случае 0 < а < 1 можно указать аналогичные формулы, в которых вместо перестановки.но мере Лебега приходится брать перестановку по некоторой
7
специально конструируемой, ’’внешней” диад и ческой мере. Для формулировки результата введем максимальные функции
Определение. Пусть о. фиксировано, 0 < о < 1. Пусть П С Q0. Положим
М(П):=^Е1^Г.
Здесь Qk е D(Q0).
Отметим, что указанная величина обладает следующими свойствами.
1. Пусть Г2] С Q-2- Тогда ц(С1\) < /ДП2).
т
2.
t= 1
з. О < p(Q) < 1.
Можно привести пример, показывающий, что введенная "мера” не является аддитивной. что не позволяет ее рассматривать как полноценную меру.
Определение. Определим диадическую перестановку функции / формулой
/b(t):= sup inf \j{x)\.
Следует сказать, что обычная невозрастающая перестановка функции / может также определяться аналогичным способом (см., например, |15|).
Ниже приведены результаты, которые показывают, что /Г-функционалы пар (£p(Qo)> Вк(а, р)) и (Lp(Qo), могут быть оценены с помощью величии )д(<) и
именно, если 0 < t < 1 и 0 < а < 1, то верны эквивалентности (см.
теорему 13)
« K(t''rj-,Lp{Qa), L%,), t'/p(/a#)b(i)»/<(<1/р. /; M<W. в*(“.р)),
8
то есть справедливы естественные аналоги классических неравенств (3) и (4).
К сожалению, эти соотношения имеют место для 0 < о < 1. Для а > 1 в работах (15], (16] предложено использовать понятие Д,-характеристик и и получен такой результат:
■ K(tl/P, /; ip, (5)
где а — 1 + ^ и о е (0,1). При этом величина Fa{JY{t) определяется как
Fa(f)'(t) = sup (inf ІІ'/ ~,^>]ІМ0>), (6)
I Q\a/P
где верхняя грань берется по всем наборам непсресекающихся кубов 7г (не обязательно диадических), для которых
W. = Е ш* > »• (?)
<?€*
Оказывается, что если ввести величину F£(f)*(t) как
/- f II/ ”
,4—)
(здесь верхняя грань берется по всем наборам 7г непересекаюшихся диадических кубов, для которых выполняется (7)), то верна
Теорема 4. Пусть о > 0 и 0 < f < 1. Тогда справедлива эквивалентность
K(tUr, /; Lp{Qo),Bk(a,P)) «tl'p(ff(f);m
Замечание В работе [15] в ситуации 0 < а < 1 методы не работали. Теорема 4
показывает, что в днадическом случае результат справедлив дня всех положительных а.
Таким образом, имеет место аналог формулы (5) и в днадическом случае. Одной из неприятностей формулы (б) является то, что в определении верхняя грань берется по всевозможным наборам непересекаюшихся кубов тг, удовлетворяющим (7). Оказывается, в днадическом случае этой неприятности можно избежать.
Всюду далее под укладкой 7г будем понимать набор {£*} Є O(Q0) такой, что если і / j, то внутренности кубов Qi и Qj не пересекаются.
Таким образом, укладка представляет собой набор непересекаюшихся диадических кубов из D(Q0).
Следуя работе [15], а-емкостью набора кубов {Q*} будем называть величину
KQJIa-Еі^Г
Qi
9
Всюду далее через |тг|а будем обозначать а-емкость укладки т.
Пусть Г - некоторое семейство диадичееких кубов.
Мы называем поверхностными кубами семейства диадичееких кубов Г такие кубы из Т, что Ор не содержится ни в каком другом кубе из Т. Набор различных поверхностных кубов семейства кубов Т всегда образует укладку. Говоря об укладке из поверхностных кубов, мы всегда имеем в виду укладку, состоящую из всех поверхностных кубов.
Определение. Пусть Т = {(2 Л некоторое семейство диадичееких кубов, и пусть
{£$?} ~ соответствующая семейству Т укладка поверхностных кубов.
Определим "меру” семейства Т как
„(Г)=„(Ш):=£ |<ЭГГ
к
Покажем, как строится диадическая перестановка (-Р{ф))4(<) в случае приближения полиномами.
Для любого с > 0 определим семейство диадичееких кубов Тс как
Т,-{«.} = {<?: - СіІЗД) > с].
Рассмотрим функцию распределения
Мс) := КТС).
Можно показать, что введенная таким образом функция распределения будет неиозраста-ющей функцией (см. параграф 1 гл.1).
По аналогии с обычной невозрастающей перестановкой функции / обозначим через (2?(ф))*(/) функцию из 11+ в 11+ такую, что ^(0))»{е)(с) = *МС)» (^(Ф))*Ю непрерывна справа и не возрастает. Функция (/'’($))*(*) может быгь выражена следующей формулой:
(П«))*(0 - *«р{с = ЦЗІ) > <}•
Оказывается (теорема б), имеет место эквивалентность
и справедлива теорема
Теорема 7. Пусть 0 < I < 1 и а > 0. Тогда справедливо неравенство
))*(«)"< /С(г1/р,/;ірЮо),в*(о.,р)) < где Сі - постоянная, зависящая только от п и а.
10
В случае же приближения нулем множество Тс строятся как
Тс={(?:
и диадическая перестановка (7Г(<?))*(<) определяется как
(ПО)Г(«) = вир{с:м(^)>0*
При этом выполняется эквивалентность
Следует отметить, что величины (^(О))*(0 основываются не на всех, а на поверхностных укладках, которые могут быть найдены алгоритмически с помощью описанных алгоритмов спуска.
В работе Беннетта - Шарпли [1] показано, что из формул
а также из соотношения между величинами (М/)*(/) и (/**)*(£) следует важное равенство
(ЬьХво)*., = {Т^ВМО)^^.
Установленные в настоящей работе формулы для К—функционала позволяют применить аналогичную технику "для доказательства следующего утверждения.
Теорема 18. Пусть О<0<1,О<а<1 и 1 < </ < эо. Тогда
(Ьр(0 с), = (ЗДо), В1 (а, *))м.
Полученные в работе формулы для Е-функционала Е(1,/; Вк(а, р), £Д(2о)) позволяют вычислить интерполяционные пространства, получающиеся при диагональной интерполяции пространств и Вк(а, 1). В частности, можно доказать следующую формулу
(см. главу 2):
(МС„),В‘(а,
11
- Київ+380960830922