Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа

Содержание
1 Модели гидродинамического типа 32
1.1 Векторные модели гидродинамического типа.................................... 12
1.2 Скалярные модели гидродинамического типа.................................... 15
2 Разрушение в векторных задачах гидродинамического тина 20
2.1 Разрушение в системах уравнений со степенными источниками.................. 20
2.1.1 Постановка задачи.................................................... 20
2.1.2 Существование слабого обобщенного решения задачи .................... 22
2.1.3 Разрушение решения и глобальная разрешимость......................... 30
2.2 Разрушение в нелокальных системах уравнений................................. 36
2.2.1 Постановка задачи.................................................... 36
2.2.2 Существование слабого обобщенного решения задачи .................... 37
2.2.3 Единственность слабого обобщенного решения задачи и вопрос гладкости 50
2.2.4 Разрушение слабого обобщенного решения............................... 53
2.3 Разрушение в системах уравнений с сингулярными источниками.................. 58
2.3.1 Постановка задачи.................................................... 58
2.3.2 Существование и разрушение решения задачи тина Осколкова в ограниченной области........................................................... 59
2.3.3 Разрушение решения задачи Эйлера в ограниченной области.............. 67
2.3.4 Задача Эйлера в неограниченной области............................... 68
2.4 Разрушение в системах уравнений с нелинейной вязкостью..................... 72
2.4.1 Постановка задачи.................................................... 72
2.4.2 Единственность и локальная разрешимость.............................. 72
2.4.3 Разрушение решения и глобальная разрешимость......................... 80
3 Метод нелинейной емкости для систем гидродинамического типа 85
3.1 Разрушение в системах уравнений мелкой воды................................. 85
3.1.1 Постановка задачи.................................................... 85
3.1.2 Разрушение в системах мелкой воды.................................... 86
3.1.3 Разрушение в системах с вязкостью.................................... 91
3.1.4 Разрушение в барогропных моделях газовой динамики.................... 92
3.2 Разрушение в системах типа Навье-Стокса..................................... 94
3.2.1 Постановка задачи.................................................... 94
3.2.2 Разрушение в модельной задаче в параллелепипеде...................... 94
3.2.3 Разрушение в задаче Навье-Стокса в цилиндре.......................... 98
4 Разрушение и скалярных задачах гидродинамического типа 101
4.1 Разрушении в системах типа Кортвсга-де Фриза............................... 101
4.1.1 Постановка задачи................................................... 101
4.1.2 Обобщенная система КдФ.............................................. 102
4.1.3 Симметричная система КдФ-КдФ........................................ 104
4.1.4 Уравнение КдФ пятого порядка........................................ 106
4.1.5 Несимметричная система КдФ-КдФ...................................... 109
4.2 Разрушение в средах с диссипацией.......................................... 112
4.2.1 Постановка задачи................................................... 112
4.2.2 Разрушение решения уравнения Бюргереа............................... 113
4.2.3 Разрушение решения уравнения КдФ-Бюргерса......................... 116
4.2.4 Разрушение в модифицированном КдФ-Бюргерсе.........................118
4.2.5 Разрушение в неограниченных областях.............................. 120
4.3 Разрушение п уравнениях типа Кадомцева-Петвиашвили и Захарова КузнецоваГ23
4.3.1 Постановка задачи.............................................. 123
4.3.2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили............... 124
4.3.3 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили-ББМ........... 133
4.3.4 Уравнение Линя-Рейснера-Цзяня..................................... 139
4.3.5 Уравнение Захарова-Кузнецова.................. 143
4.3.G Уравнение Островского......................... 148
4.4 Локальная разрешимость и разрушение в уравнениях Бенжамспа-Бона Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега-де Фриза Бенжамена-Бона-Махони . 153
4.4.1 Постановка задачи................................................. 153
4.4.2 Разрушение решения уравнения ББМБ................................. 154
4.4.3 Разрушение в уравнении Розенау-Бюргерса........................... 160
4.4.4 Разрушение решения уравнения Кортевега де Фриза--Бенджамена-Бона-
Махони ......................................................... 163
5 Заключение 169
6 Приложение. Определения и используемые теоремы. 170
6.1 Две эквивалентные формулировки слабого решения....................... 170
6.2 О системе Гаперкина.................................................. 172
0.3 Основное интегро-дифференциальное неравенство........................ 174
2
Введение
Диссертационная работа посвящена математическому исследованию вопроса о неограниченном росте за конечное время решений начально-краевых задач гидродинамического тина для уравнений, содержащих нелинейные слагаемые (u, V)u или (гшх). Феномен неограниченного роста решений за конечное время, называемый разрушением (blow-up), характеризует временное ограничение корректности используемых моделей и описывает широкий круг явлений как в гидродинамике, так и в других областях физики - ударные волны, уединенные волны аномальной амплитуды, пробои в полупроводниках, неустойчивость в плазме, слом конструкций.
В работе исследуется появление разрушения в нелинейных моделях идеальной жидкости, вязкой ньютоновской жидкости, вязкоупругой неньютоновской жидкости Кельвииа-Фойгта. Для рассматриваемых задач методом конечномерной аппроксимации Галеркина решаются вопросы локальной разрешимости, гладкости и единственности. С помощью модификации энергетического метода X. Левина вычисляются достаточные условия разрушения решений, строятся двухсторонние оценки на время и скорость разрушения, демонстрируется переход к глобальной разрешимости при изменении начальных данных.
Для одномерных приближений задач гидродинамки, приводящих к нелинейным уравнениям Кортвега-де Фриза, КдФ-Бюргерса, Бенжамена-Бона-Махони, Розенау-Бюргерса, Кадомцсва-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Линя-Рейснера-Цзяня, Островского, доказывается наличие разрушения при определенных граничных и начальных условиях. С иомощыо метода нелинейной емкости, развитого в работах С И. Похожасва и X. Митндиери, исследуется влияние граничных условий па возникновение разрушения, время разрушения и его скорость.
Современное состояние проблемы и актуальность ее исследования Изучение движения жидкостей является источником большого числа математических задач. Однако, при попытках изучения даже самых простых теоретических моделей возникают проблемы, многие из которых не удается решить до сих пор. К примеру, пока остаются открытыми вопросы глобальной по времени разрешимости начально-краевых задач для классических систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса при гладких начальных данных.
Значительного прорыва в изучении разрешимости удалось достичь во »торой половине XX века с применением обобщенной постановки начально-краевых задач и использованием равенства соответствующих функционалов. Многие вопросы теории обобщенных решений для задач гидродинамики, а также первые функциональные методы их исследования были предложены и изучены в работах выдающихся математиков: Ж. Лере, O.A. Ладыженской, К). Шаудера, C.JI. Соболева и Р. Тсмама. Обычно переход от классической постановки к обобщенной обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность, обобщенного решения доказывать значительно проще с помощью идей функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Например, O.A. Ладыженской удалось получить наиболее полные и математически строгие результаты по разрешимости начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса в некоторых областях фиксированной формы в классе функций с конечным интегралом Дирихле, что стимулировало в последующие годы исследование течений в областях со свободными границами, развитие теории устойчивости и бифуркации вязких жидкостей, исследование задач статистической гидромеханики и гидромеханики исныотоновских жидкостей. По несмотря на всестороннее изучение эволюционных задач гидродинамики и этом направлении, доказать общую глобальную во времени разрешимости так и не удалось.
После перехода к обобщенной постановке задач появились первые методы функционального анализа, позволяющие исследовать необычное явление, в определенном смысле противоположное глобальной во времени разрешимости - явление разрушения решения. Под разрушением решения понимается его неограниченный рост в некоторой норме на конечном промежутке времени, то есть отсутствие глобальной разрешимости при наличии локальной. В настоящее время теория разрушения, зародившаяся как вопрос об ударной волне, привлекает все большее внимание. В наше стране к классикам теории разрушения можно отнести A.A. Самарского, O.A. Ладыженскую, А.Г. Свешникова, С.А. Габова, С.И. Похожае-ва, М.О. Корпусова, А.П. Осколкова, А.И. Кожанова, В.К. Калантаров и С.П. Курдюмов. За рубежом широко известны H.A. Levine, E. Mitidieri, S.A. Messaudi, V.A. Galaktionov, D. Chae,
E. Tadmor, R.B. Pelz, J. Deng, J. Evans P. Souplet, II. Fujita, G. Todorova, Zhang Jian, L. Pain, D.H. Sattinger, J.J. Rasmusen, A. Constantin. К сожалению, не существует справочников, классифицирующих основные результаты этих исследований, но некотрые обзоры можно найти в монографиях А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, В.Л. Галактионова и С.П. Похожаева.
Из-за сложность аналитического изучения нелинейных уравнений и их многообразия к сегодняшнему дню не разработано единого подхода к исследованию проблематики разрушения. Однако, можно выделить три наиболее развиваемых метода: энергетический метод Х.А. Левина, метод нелинейной емкости С.И. Похожаева и Э.Л. Митидиери и метод автомодельных режимов, основанный на различных признаках сравнения и развитый в работах A.A. Самарского, В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова и А.П. Михайлова. Помимо этих методов существует большое количество сильно различающихся подходов к частным задачам, которые трудно обобщить или классифицировать.
Актуальность исследования явления разрушения обусловлена возможностью теоретического получения оценки времени разрушения решения модели, которая по существу дает оценку на время корректности ее использования. Однако, если модель является детально проработанной, то само явление неограниченного роста может иметь прямые физические аналоги. например, в виде перехода от ламинарного к турбулентному течению или возникновения волн аномально большой амплитуды. Слабая изученность этого явления для задач гидродинамики, вероятно, связана с отсутствием единого метода анализа. Представленная работа в некотором смысле является продолжением серии работ А.Г. Свешникова. С.И. Похожаева и М.О Корпусова, в которых удалось получить достаточные и близкие к достаточным условия разрушения, оценки на времена разрушений, асимптотики сингулярных решений в задачах для идеальных и вязких стратифицированных, вращающихся жидкостей, скалярного приближения мелкой воды - уравнения Кортвега-дс Фриза. В работе также предлагаются общие методы исследования разрушения: модифицированный энергетический метод М.О. Корпусова и А.Г. Свешникова для начальных задач и метод нелинейной емкости С.И. Похожаева для краевых, что повышает ее практическую ценность.
Целью диссертационной работы является
1. Изучение локальной и глобальной разрешимости широкого класса начальных и начальнокраевых нелинейных задач гидродинамики для системы дифференциальных уравнений Осколкова, интегро-дифференциальных систем Кельвина-Фойгта и предложенных в 19G7 году O.A. Ладыженской систем с нелинейной вязкостью, а также задач для скалярных нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза.
2. Исследование влияние нелинейных сингулярных и регулярных источников на появление феномена разрушения решения данных задач в неограниченных и ограниченных областях, при различных начальных и граничных условиях.
3. Получение необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым,
4
условий разрушения решений, двусторонних оценок времени разрушения, оценок на скрость разрушения.
4. Исследование возможности глобальной разрешимости при наличии степенных и сингулярных источников. Изучение гладкости получаемых сингулярных и регулярных решений. Научное значение, новизна и практическая значимость работы.
1. В работе изучались задачи, описывающие процессы в вязко-упругой жидкости Кельвниа-Фойгта, в ограниченной и неограниченной области. Впервые показано наличие явления разрушения для задач такого типа и влияние на него внешних и интегральных слагаемых.
2. Показано наличие разрушения решений задач для систем Навье-Стокса и Эйлера при специальных граничных условиях, что является существенным вкладом в изучение вопроса о глобальной неразрешимости этих задач.
3. Рассмотрен класс начально-краевых задач для нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза на ограниченных и неограниченных областях, включающий и себя широко используемые в настоящее время уравнения Бснжамсна-Бона-Махони-Бюргерса, Розснау-Бюргерса, КдФ-Бюргсрса, Кадомцева-Иетвиашвнли, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Липя-РеПснера-Цзяпя. Дія этого класса впервые найдены достаточные условия разрушения решений задач с естественными граничными условиями.
4. Получены оценки времени разрушения решений рассматриваемых задач, то есть времени корректного описания данными моделями соответствующих физических явлений.
5. Полученные результаты и предложенные методики, позволяют получать временные оценки корректности решений прикладных задач нелинейной физики, использующих данные модели.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
1. Впервые исследовано явление разрушения в задачах для систем уравнений типа Осколкова с источниками, описывающих процессы в неньютоновских жидкостях. Изучены достаточные условия разрушения, получены оценки на время и скорость разрушения решения задач с сингулярными и регулярными источниками.
2. Доказана теорема о разрушении для задачи Навье-Стокса со специальными граничными условиями. На примере задачи Эйлера показано различие между эффектами разрушения в ограниченных и неограниченных областях.
3. Дія ряда уравнений типа Кортвега-де Фриза доказаны теоремы разрушения решений и получены оценки времени разрушений.
4. Для уравнений Бенжамина-Бона Махопн-Бюргсрса, Розенау-Вюргерса и Кортвега-де Фриза-Бюргерса доказана локальная разрешимость начально-краевых задач с естественными граничными условиями. Получена зависимость времени обострения от начальных условий.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, математического дополнения и списка литературы, включающего 128 наименование, и изложена на 190 страницах. Ниже представлено краткое содержание диссертационной работы.
Введение содержит обзор используемых методов иследоваиия феномена разрушения: метода нелинейной емкости С.И. Похожаева, развитого в совместных работах с Э. Мити-диери, и энергетического метода X. Левина, модифицированного М.О. Корпусовым и Л.Г. Свешниковым и впервые предложенного для задач гидродинамики в 2009 году при изучении разрушения в системе Осколкова с кубическим источником.
Приведены классы уравнений гидродинамического типа, для которых удается исследовать вопросы разрешимости, единственности и разрушения. Кратко описаны основные результаты диссертации.
Первая глава посвящена постановке и формулировке исследуемых начально-краевых задач гидродинамического типа. Выделено два основных класса: задачи для систем уравнений, в которые неизвестная функция - вектор, при этом одно уравнение содержит слагаемое (u, V)u, а второе является уравнением неразрывности div и = 0, и класс задач для скалярных уравнений типа Кортвега-де Фриза, содержащих нелинейное слагаемое иих.
Первая часть первой главы посвящена задачам, моделирующим процессы в несжимаемых сплошных средах. В общем случае такие модели описывются безразмерной системой уравнений:
+ (u. V)u — Diva = -Vp, div 11 = 0, (1)
где вектор и характеризует скорость жидких частиц сплошной среды, p(x,i) - функция
давления в точке х в момент времени £, а о - тензор касательных напряжений.
Введение девнатора о ставит своей целыо учет реакций, возникающих в жидкости в процессе ее движения, то есть определяет тип жидкости. Отдельно разбирается модель Осколкова:
/ч
—(и - Ли) + (и, V)u = —i/Ли - Vp, div и = 0. (2)
(УС
ннтегро-дифференциальная модель Кслвииа-Фойгта:
t
J^(u - Ли) - Ли + (и, V)u - J е1~аА\ ids = -Vp, div и = 0, (3)
о
и модель, предложенная O.A. Ладыженской в 70-х годах прошлого века, с нелинейной вязкостью:
- Ди| - Ди
-•lilt
2
dxAu + (и, V)u = -Vp, divu = 0. (4)
В диссертационной работе для корректно разрешимых задач (2-4) исследуется появление разрушения при наличии внешних нелинейных источников /(и). Так как во многих случаях нелинейная функция /(и) может быть разложена по степеням, то задачи ставятся для степенных источников, регулярных |и|*и и сингулярных |и|';и/[х[л.
Вторая часть первой главы посвсщсна постановке задач для одномерных приближений систем гидродинамики, приводящих к уравнениям типа Корвега-де Фриза:
щ + + и*** = 0. (5)
В гидродинамике эти уравнения соответствуют двумерным и трехмерным приближениям мелкой воды, приближениям в которых малым параметром является отношение глубины слоя жидкости к характерной длине волн. В этой части основное внимание уделено выводу моделей для уравнений Кортвега-де Фриза-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Лиия-Рейснера-Цзяня, Бенжамена-Бопа-Махони-Бюргерса, Островского, Розсиау-Бюргерса, Кортвега-де Фриза-Бенжамена-Бопа-Махони.
Во второй главе рассматриваются начально-краевые задачи в ограниченных областях с условиями Дирихле на гладких границах. Задачи ставятся дня систем, моделирующих несжимаемые пеньютоновские жидкости, с внешними источниками степенного вида |и|?и и сингулярного степенного |и|9и/(х|а.
G
Первой ставится задача Осколкова со степенным источником произвольного порядка, являющаяся логическим продолжением работы М.О. Корпусова и А.Г. Свешникова по разрушению решения системы Осколкова с кубическим источником.
-^-(|и|9'и - Ли) - Ли + {и, У)и + |и|92и = Ур, (б)
ОІ
СІІУ и = О, «|1в0 = и0(х), и|элх[0,т] = 0. (7)
Помимо действия источника рассматривается нелинейное взаимодействие в жидкости в процессе движение, что характеризуется нелинейностью под производной по времени. Основной результат касается влияния одной нелинейности на другую и на сам эффект разрушения. Вопрос о локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле решается с помощью метода аппроксимаций Галсркина и вывода априорных оценок, вопрос единственности решается через лемму Гронуолла-Белмана.
С помощью априорных энергетических оценок можно доказать справедливость обыкновенного дифференциального неравенства вида:
ф"ф - а (ф')2 + 0Ф2 + 7Ф4/(«+2)+> > о (8)
для некоторой энергетической функции, записываемой через нормы в соответствующих пространствах:
Ф(*)Я5((и,и))„+^±І||и||Кг.- (9)
При определенных предположениях на Ф(£) в начальный момент времени, из обыкновенного дифференциального неравенства может быть получены оценки снизу, а из них результат о разрушении, собственно, в этом и заключается общая идея энергетического ме тода. Наоборот с помощью оценок сверху решается вопрос о глобальной во времени разрешимости.
Вторая задача ставится для интегро-дифференциального уравнения Кельвина-Фойгта, то есть для модели, описывающей вязкоупругую жидкость с реологическим соотношением общего ннтегро-дифференциального вида и с кубическим источником:
~(и - Ди) - Ли + (и, У)и - |и|2и - J e''^~s)Auds = 'Vp, (10)
о
сП\г и = 0, и|ь»о = ио(х), и|^1х(од1 = 0. (11)
область П С /?3 является ограниченной с локально липшицевой границей дО. на промежутке
времени [0,Т|, Т > 0.
Локальная разрешимость данной задачи может быть доказана, как и в предыдущем случае, методом Галсркина. Однако чтобы не доказывать отдельно единственность и разрешимости, вопрос о существовании слабого обобщенного решения локально во времени решается с помощью теории степени Лере-Шаудера. Этот пример позволяет сравнить предложенный метод Галерки и а с другим, не менее мощным методом функционального анализа, но дающим более слабый результат для решения в слабом смысле. Доказательство глобальной во времени неразрешимости проведено опять с помощью энергетического метода X. Левина.
Данная задача показывает не только разрушающий характер источников в интегро- дифференциальных задачах гидродинамики, но и демонстрирует возможность применения к задачам о вязкоупругих жидкостях в ограниченных объемах, обширной теории разрушений, созданной для дифференциальных уравнений соболевского типа.
7
В третьей задаче о движении жидкости Кельвина-Фойгта в ограниченной области исследовано влияние сингулярных источников на примере задачи
~(и - Ли) - 1/Ли + (и, V)u - j^Lu = -Vp, u|t=0 = Uo(x), divu = 0.
(12)
(13)
Совместным применением метода Галеркииа и энергетических оценок для сингулярных источников доказывается локальная разрешимость, единственность и разрушение за конечное время.
В последней, четвертой задаче исследуется разрушение решений систем с нелинейной вязкостью, предложенных O.A. Ладыженской в 70-х годах прошлого века:
Опираясь на глобальную разрешимость, в 1966 была подтверждена возможность использования этой системы вместо некорректной системы Навье-Стокса. Энергетическим методом для задачи (14-15) исследованы условия и разрушения, и глобальной разрешимости.
Таким образом, во второй главе показано, что для задач гидродинамического типа в ограниченной области метод энергетических оценок оказывается не только применим для исследования явления разрушения, но и удобен для получения достаточно точных оценок времени неограниченного роста.
В третьей главе исследуется влияние граничных условий на разрушения решений начально-краевых задач гидродинамического типа. Основной используемый метод исследования - метод нелинейной емкости, но в отличие от его оригинального применения для задачи Кортвсга-де Фриза [С.И. Похожаев, 2011], вопрос о разрушении решается для классической системы Навье-Стокса, а также модельной системы с производными четвертого порядка.
Основной недостаток метода - отсутствие доказательства разрешимости, однако для решения этого вопроса в локальном смысле могут быть привлечены результаты O.A. Ладыженской о локальной разрешимости гидродинамических систем.
Переходным шагом является доказательство глобальной неразрешимости системы мелкой воды. Несмотря на то. что для доказательства применяется метод нелинейной емкости, систему мелкой воды удастся свести к обыкновенному дифференциальному неравенству, имеющему сходство с дифференциальными неравенствами энергетического метода.
Далее рассматривается система Навье-Стокса в цилиндре высотой Н радиуса /?:
J^(u - Ли) + (и, V)u - Кг$(и)Ди - и3 = -V/?, divu = 0,
и|эп — 0, u|t=0 = U()(x),
где нелинейная вязкость Vis(u) характеризуется функцией:
(14)
(15)
dx или, что то же,
(16)
•7- + (u, V)u - иАи + Vp = 0, div(u) = 0, u\ta0 = u0(x), иДр, <p, 0) = 0, «P(Ä, <p, z) = up(0, cp, z) = 0,
(17)
(18)
8
2л Н
2л Я
I у'я^(Я,<р,г)#гіг +11 ^«г(р^,Я)-Я^(л¥>.0))^Р = М«)€С[0,+оо). (19) 0 0 0 0 в которой удается с помощью метода С.II. Похожасвым показать наличие разрушения решения при специальных граничных условиях.
Вторая задача ставится для модельной системы
А
тг:(А2и - Ли 4- и) 4- (и, У)и 4- \/р = 0, с1іуи = 0, и|і=0 = и0(х), от.
(20)
сходной с системой для спиновых волн в параллелепипеде Г2 = [О, В\\ х [О, В2\ х [О,!^].
Таким образом, в третьей главе показана возможность использования метода нелинейной емкости для анализа начально-краевых задач гидродинамики. Поскольку данный метод чуствителен к граничным условиям, сформулировать общие теоремы представляется затруднительным и каждый случай приходится анализировать отдельно.
В четвертой главе диссертационной работы основным рабочим методом для исследования разрушения также является метод нелинейной емкости, но начально-краевые задачи ставятся для скалярных уравнений типа Кортвега-дс Фриза. Заметим, что многие из этих уравнений встречаются в областях нелинейной физики, никак не связанных с гидродинамикой, в которой исследуемые модели описывают, в основном, различные приближения модели мелкой воды.
В первой части рассматриваются начально-краевые задачи, соответствующие обобщенной системе Кортвега-де Фриза:
діЩ 4- дх
1 ДГ
-щ ^2 °ЬзЩ + д1ик
системе КдФ-КдФ:
VI + их + (щ)х + ^ххх = О,
щ +Vx + чих 4- \цххх = О 0
и ее симметричному аналогу:
4" Их 4" о0ш)х 4" г 'иХхх —
2 о
3 1 1
щ 4- 7/х 4- -иих 4- ~тр)х 4- -7/ххх = ()-
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Методом нелинейной емкости доказывается разрушение решений за конечное время при естественных граничных условиях.
Разрушение в задачах (21-25) является вполне ожидаемым, так как для соответствующих квазилинейных гиперболических систем результат о глобальной неразрешимости был получен в середине прошлого века. В диссертационной работе проведен анализ основных отличий: во-первых, методом нелинейной емкости доказано разрушение не задачи Коши, а начально краевой задачи, во-вторых, метод является универсальным и удобным с практической точки зрения. Кроме того, он позволяет вычислять оценки времени и скорости разрушения.
9
Бо второй части рассмотрен широкий класс задач, для которых удается исследовать разрушение за конечное время. Этот класс включает в себя уравнения Кадомцева-Петвиашвили:
д2 о2
(щ + иих 4" иххх)х = ±АуП Лу = ~а~2 "• дГ2 > ^ ^ 2‘
иу\ аУ\’-\
сильно диссипативные уравнения Кадомцева -Петвиашвили:
(їі{ 4” І1І1Х ихххх)х ~ ІДуН, (27)
уравнение Захарова-Кузнецова:
щ 4- ?шх 4- иххх 4- ДуЦх = 0, (28)
уравнение Хохлова-Заболоцкой-Кузнецова:
(щ - иих - ихх)х = Дун, (29)
уравнение Xохлова-Заболоцкой:
(их - ииТ)Т = ДуН, г = і — х, (30)
и уравнение Линя-Рейснера-Цзяия:
К 4- (Кос 4- н)Дх)х = Дуи- (31)
Также проанализировано уравнение Островского:
(щ 4- иих 4- иххх)х = и. (32)
Для этих уравнений результат о разрушении удается получить для трех типов начально краевых задач: в слое (х, у) € (0, Д) х Кл'-1, в полупространстве х > 0, у <Е и во
всем пространстве (х, у) € К х КЛ'_1 при /, > 0 и при N > 2. Во всех этих случаях, используя метод нелинейной емкости, получены достаточные условия разрушения решений за конечное время.
Третья часть четвертой главы посвящена анализу уравнений типа Кортвега-де Фриза с диссипацией: например, магнитозвуковые и альфвеновские волны описывает модифицированное уравнение КдФ:
Щ - и2их 4- &иххх - иихху х Є (0. Ь), (33)
^іі-о = М*)> и|*=о = г*і|х-о = и\х=і = 0, (3> 0, (34)
Методом нелинейной емкости удается получить результат о разрушении, оценку скорости и времени разрушения.
Б четвертой части доказано разрушение и получены оценки на время разрушения для уравнения Бенджамена- Бона- Махони Бюргерса:
(мхх — 7/), 4” Мхх 4* иих — 0, (За)
уравнение Розенау Бюргерса:
(^ихх — 4" ихх 4* иих — 0, (Зб)
10
и уравнение Кортевега де-Фриза-Бенджамена Бона-Махони:
(Uji *i* 1J-xxx Т = 0, (^"О
и доказана локальная разрешимость при естественных граничных условиях, методом сжимающих отображений.
В Заключении диссертационной работы сформулированы основные результаты. Апробация результатов диссертации.
Основные результаты представлены в следующих работах:
1. Юшков E. D., Лльшин A.B., Корпусов М.О. Бегущая волна как решение нелинейного уравнения в полупроводниках с сильной пространственной дисперсией. - ЖВиМФ. 2008, т.48, X’ 5, с. 764-768.
2. Юшков Е.В. Исследование разрушения решения одной системы уравнений гидродинамического типа. - Матем. заметки, 2011, 90:4, с. G13-629.
3. Юшков Е.В. Исследование существования и разрушения решения одного уравнения нсед-допараболического типа. - Дифференциальные уравнения, 2011, т.47, Ка- 2, с. 291-295.
4. Юшков Е.В., Юшков В. II. Рассеяние акустический волн на турбулентных флуктуациях давления и энтропии. - Вести. Моск. Унив., Сер. 3, Физ. Астр., №6, 2011, с. 114-120.
5. Юшков Е.В. О разрушении решений уравнений гидродинамического типа при специальных граничных условиях. - Дифференциальные уравнения, 2012, Т.48. JV« 9, С. 12-34.
6. Юшков Е.В. О разрушении решения задач гидродинамического типа с сингулярным источником. - ЖВМиМФ, Т.52, № 8, с. 1-13, 2012.
7. Юшков Е.В. О разрушении решения уравнения родственного уравнению Кортвега-де Фриза. - ТМФ, 2012, 172:1, с.64-72.
8. Юшков Е.В. О разрушении решения в системах типа Кортвега-де Фриза. - ТМФ, 2012, 173:2, с. 197-206.
9. Юшков Е.В. О разрушении решения нелокальной системы уравнений гидродинамического типа. - Изв. РАН. Сер. матем., 2012, 76:1, с. 201-224.
Отдельные результаты также докладывались на
1. научном семинаре профессора И. А. Шишмарева по нелинейным дифференциальным уравнениям (фак.-т ВМнК МГУ);
2. научном семинаре профессора А. ГГ. Боголюбова но математическим методам в естественных науках {физ. фак.-т МГУ);
3. научном семинаре по ассимптотическим методам математической физики под руководством академика В. П. Маслова и профессора С. Ю. Доброхотова (ИПМ РАН);
4. научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова;
5. международных научных конференциях молодых ученых «Ломоносов-2011, -2012».
11
1 Модели гидродинамического типа
В этой главе мы рассмотрим модели, возникающие в гидродинамике и приводящие к уравнениям, содержащим слагаемые (u,V)u и (иих) в векторном и в скалярном случае соответственно. Для векторных задач мы рассмотрим процессы в несжимаемой жидкости, скалярные уравнения мы получим, рассмотрев приближение мелкой воды, приводящее к широко известному уравнению Кортвега-де Фриза.
Заметим, что представленные случаи являются лишь малой частью возможных моделей, приводящих к уравнениям гидродинамического типа. Как пример, мы покажем, чго модель полупроводников с сильной пространственной дисперсией также приводит к скалярному уравнению со слагаемым (titi*), для которого также справедливы результаты диссертационной работы.
1.1 Векторные модели гидродинамического типа
Рассмотрим модель несжимаемой не ньютоновской жидкости. Однако, так как вопросы гидродинамики вязкоупругих сред исследовались уже более трех столетий такими замечательными умами, как Блезом Паскалем, Исааком Ньютоном, Леопардом Эйлером, Даниилом Бернулли, Лагранжем, Пуассоном, Коши и многими другими, то мы изложим только некоторые шаги, отослав любопытного читателя к трудам классиков гидродинамики. Заметим, что хороший обзор современных достижений можно найти, например, в монографиях В.Г. Звягина, М.В. Турбина, А.II. Осколкова.
Пусть 0 С № - ограниченный сосуд с границей dil, целиком заполненный некоторой средой, которую, в дальнейшем будем называть жидкостью. Жидкость будем представлять как совокупность материальных частиц, заполняющих сосуд, причем будем считать частицы настолько малыми, что их можно отождествить с точками объема Q. Соответственно под движением жидкости будем понимать движение материальных точек. При таком описании для того, чтобы описать движение жидкости, достаточно знать распределение скоростей жидкости в каждой точке и(f,x).
Исходя либо из принципа Даламбера, либо из второго закона Ныотона, можно получить уравнение движения среды, которое в дальнейшем будем записывать в векторной безразмерной форме:
Здесь р(1.х) - плотность жидкости, 1^ 7*-дивергенция тензора напряжений. Если жидкость несжимаемая, то для нее. во-первых, имеет место равенство
во-вторых, след тензора напряжений считается полностью независимым от характеристик деформаций. В этом случае удобно ввести скалярную функцию давления: р = —ЬгТ/З, и тензор касательных напряжений а, характеризующий силы внутреннего трения в жидкости. Наконец, плотность будем считать постоянной и равной единице. Суммируя все вышесказанное, получаем хорошо известную систему уравнений в форме Коши:
div и = О,
— + (u, V)u — Div о = — Vp, div и = 0.
(2)
12
Система (2) описывает течение всех видов несжимаемых сред с постоянной плотностью, при этом она содержит девиатор тензора напряжений, который явно не выражен через неизвестные системы. Как правило, для замыкания системы (2) используют соотношения между девиатором тензора напряжений, тензором скоростей девормаций:
и их производными. Устанавливая эту связь, мы тем самым устанавливаем тип жидкости. Соотношение между о и D называется определяющим или реологическим [10| и так как оно относится к разряду гиппотез, то должно подтверждаться для конкретных жидкостей экспериментальными данными.
Простейшим примером определяющего уравнения, отвечающим идеальной несжимаемой жидкости, является уравнение а = 0. Движение идеальной несжимаемой жидкости описывается уравнениями Эйлера:
Яп
— + (u, V)u -ь Vp = 0, div и = 0. (3)
Наиболее распространенной системой аксиом, описывающих движение вязкой жидкости, являются аксиомы Стокса [11). Для несжимаемой стоксовой жидкости определяющее уравнение имеет вид (т = ocD + ßO2, скалярные функции а и ß являются функциями инвариантов
v = Yl и В-
Случай а = 2и > 0, ß = 0 соответствует ньютоновскому закону о — 2vD. Подставляя это реологическое соотношение в 1, мы получаем уравнения движения ньютоновской жидкости, которые называются уравнениями Навье-Стокса:
du
— + (u. V)u - t/Ди + Vp = 0, div и = 0. (4)
at
Эта система описывает течение при умеренных скоростях большинства встречающихся на практике вязких несжимаемых жидкостей.
Начально-краевые задачи и задача Коши для классических уравнений гидродинамики идеальной и вязкой жидкостей - уравнений Эйлера (3) и уравнений Навьс-Стокса (4) на протяжении полутора столетий изучались многими известными математиками и механиками. Современный этап в изучении уравнений гидродинамики вязкой жидкости открыли работы Ж. Лерэ, 10 Шаудера, C.JI. Соболева, Э Хопфа и О.А. Ладыженской [31, 13, 14, 15, 17|. В работах этих выдающихся математиков созданы функциональные методы решения краевых и начально-краевых задач математической физики и теоретической гидродинамики. Для этих методов характерен переход к обобщенной постановке задачи, для которой теоремы существования н единственности доказываются наиболее просто, и использование при
доказательствах методов функционального анализа и теории вложения функциональных пространств.
Функциональные методы, впервые последовательно изложенные в монографии O.A. Ладыженской [3], в которой получены наиболее полные и математически строгие результаты по разрешимости краевых и начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса в областях фиксированой формы, оказали начиная с 50-х годов прошлою столетия определяющее влияние на все исследования по теории уравнения Навье-Стокса и стимулируют в последние годы исследование течений вязкой жидкости в областях
13
с некомпактными и свободными границами, течений вязких неоднородных жидкостей, построение математической теории турбулентности, разработку численных методов решения задач динамики несжимаемой жидкости, исследование разрешимости и явления разрушения начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса с нелинейной вязкостью, гидродинамики неньютоновских жидкостей.
Аналитическую основу функциональных методов составляют априорные оценки решений изучаемых задач, которые доказываются либо для точных решений задач в случае использования метода сжимающих отображений, либо для галеркинских, конечно-разностных приближений решений при использовании метода Галеркина.
На протяжении последних полутора столетий модель ньютоновской жидкости является основной моделью вязкой несжимаемой жмдкости, с помощью которой удастся описать течения при умеренных скоростях большинства встречающихся на практике вязких жидкостей. Между тем еще в середине XIX в. было известно, что существуют вязкие несжимаемые жидкости, не поджнняющиеся ньютоновскому реологическому соотношению. Первые модели таких жидкостей, учитывающих предысторию течения и названных впоследствии вязкоупругими жидкостями, были предложены Дж. Макселлом (18, 19], Кельвином (20] и В. Фойгтом [21|. В середине XX в. значительный вклад в исследование неньютоновских жидкостей внес Дж.Г. Олдройт (29).
Жидкость Максвелла описывается реологическим соотношением о 4- ст* = 2vD и характеризуется тем, что после мгновенного прекращения движения напряжения в ней не обращаются мгновенно в нуль, а спадают, как ехр(-£).
Жидкость Кельвина-Фойгтаописывается определяющим соотношением о = 2v(J)+i/~lDt) и характеризуется тем, что после мгновенного снятия напряжений скорость затухает как exp(-£). Подставляя данное реологическое соотношение в 1, мы получаем систему Кельвина-Фойгта |50):
^)u ~ = О» ^iv 11 = 0* (5)
11а базе моделей жидкостей Максвелла и Кельвина-Фойгта в настоящее время создана феноменологическая теория линейных вязкоупругух жидкостей с конечным числом дискретно распределенных времен релаксации и времен запаздывания, для которых наиболее общее опредляющес соотношение имеет вид:
i
o(t) = J Ф(£ - t)D(t) dr
-оо
для некоторой функции релаксации Ф(з). В частности, А.П. Осколков предлагает использовать гладкое ядро специального вида h(t) и приходит к системе уравнений:
t
—1 + (u> ^)u - t/^iU ~ J ” r)Av(r) dr + Vp = 0, div v = 0, (G)
о
получившей впоследствии название система Осколкова [50].
Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию разрушения решений систем (5, G) при наличии модельных нелинейных источников. Отметим, что главным достоинством исследуемых систем является их глобальная разрешимость для случая отсутствия внешних источников, в отличие, например, от «некорректной» системы Навье-Стокса, для
14
которой глобальную разрешимость так и ие удалось доказать. Наравне с системами (о, 6) О.Л. Ладыженской была предложена еще одна «корректная» модель с нелинейной вязкостью, разрушение которой при наличии внешних источников также доказывается в первой главе.
1.2 Скалярные модели гидродинамического типа
Из-за сложности изучения нелинейной гндродродинамики жидкости сложилась следующая ситуация. В тех случаях, когда построение решения изучаемой математической модели представляется невозможным, исследователи обращаются к асимтотическим в некотором смысле моделям. В настоящее время в теории волновых движений выделяется два основных приближения: волны бесконечно малой амплитуды и приближение мелкой воды. Если в первом подходе бесконечно малой величиной считается отношение амплитуды волны к какому-либо геометрическому параметру, к глубине жидкости или длине полны, то мы в качестве малой величины возьмем отношение глубины жидкости к длине распространяющихся волн. Уравнения, получающиеся в приближении мелкой воды, как правило остаются нелинейными, но оказываются значительно более простыми, чем исходные.
Рассмотрим движение в слое жидкости на плоской поверхности, которое отнесем к системе координат х, 2, у, причем 2-ось направим вертикально вверх, а т.. у-оси вдоль плоского дна. Предположим, что жидкость совершает потенциальные движения, поле скоростей которых равно и = -УФ. Таким образом, всюду в слое 0 < г < у[х,у, *) потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа:
ДФ(я, у, 2, г) == О, 0 < 2 < 7](хЛ уу1). (7)
Что бы найти потенциал скоростей Ф, на твердом дне и на свободной поверхности должны быть поставлены соответствующие граничные условия. Наиболее просто выгдидит условие непротекания горизонтального дна:
Фг(х,г/,2,г) = 0 при 2 = 0. (8)
На свободной поверхности тадиционно задаются два условия: кинематическое
VI + Г}ХФХ И- //УФУ - Фг = 0 при 2 = 1)(х, у, I), (9)
и динамическое условие
ф1 + 1|УФ|2 + дд + 7 + Л^ = 0 при 2 = у{х,у,і), 7 =
(Ю)
которое можно получить из уравнения Бернулли и формулы Лапласа:
дФ дЬ
у2 Р /1 1 \
+ - + - = 0 и
здесь а - коэфициент поверхностного натяжения, р - ПЛОТНОСТЬ ЖИДКОСТИ, /?1(2 - главные радиусы кривизны.
Теперь запишем главные радиусы кривизны через форму поверхности. Действуя по схеме, предложенной Ландау можно получить следующее выражение для обратных радиусов кривизны:
Л Л
Д| + ІЇ2 ~ '
д2у д2г) Ох2 ду2
(11)
15
Ограничимся здесь рассмотрением двумерного (х,г) случая, трехмерный может быть исследован аналогичным способом. Выпишем задачу Лапласа и убедимся, что поставленная задача является существенно нестационарной:
Фхх 4- Ф„ = 0. г € (0,7?(т, £)); Ф> = 0, при 2 = 0; (12)
+ %Ф, ~ Фг = 0, при 2 = //(ж, /); (13)
Ф| + £ф* + + 0*/ - 7У*х =* 0, при 2 = ?/(ж, 0- (14)
Введем безразмерные параметры
<15)
здесь а и / - характерная амплитуда и длина волн на свободной поверхности, /?о “ глубина жидкости в состоянии покоя. Перейдем к безразмерным переменным, сохраняя для них прежнее обозначение: ____ ____________________
1 1. /^55 у-Ьи
Г V / ’ а ’ 7а/ *
Тогда уравнения (12-14) в новых переменных перепишутся следующим образом:
/ЗФ1Г 4- Ф„ =0, 2 6 (0. 1 + Шу), Ф*(я, 2, Ь) = 0, 2 = 0. (16)
7/, 4- аФхт/« - ^ф2 = 0, 2=14- ату, (17)
ф! + |фх + ^ф- + V - кц1Х =0, г = 1 + да/, А: = (18)
Для построения приближенных уравнений, отвечающих задаче (10-17), воспользуемся мето-
дом лагранжевых приближений. Обоснование справедливости этого метода для некоторых достаточно общих ситуаций содержится в работах Л.В. Овсянникова [23].
Согласно осовной идее этого метода, решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условию непротекания, может быть представлено в виде:
00 2т Л2т
над
т*0 4 '
где /(х,£) - бесконечно дифференцируемая по х функция. Подставляя теперь (19) в граничные условия (17) и (18) и полагая 2 = 1 4-ату, получаем
^4-((14-а?у)/х)х -0
(14-ату)3, , а(\+аг,)\ ,
^ ]хххх ‘ 2 чх]ххх
+ О(02) = О, (20)
/, + »;- **, + |/х2 + /3(1 +£П?Ы11 - /хх, - о/х/ххх] + О{0>) = 0. (21)
Предположим, что выполнено условие мелкой воды, то есть глубина жидкости много меньше длины распространяющихся на поверхности жидкости волн:
к2
16