\ /
Содержание
ВВЕДЕНИЕ..........................................................3
Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ТИПА КОШИ........................................................18
§1.1. Об областях аналитичности и других свойствах некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа
Коши.........................................................18
§1.2. О некоторых применениях обобщенных интегралов типа Коши... 42 §1.3. Разложение ингефалов некоторых классов в обобщенностепенные ряды...........................................55
Глава II. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ТЕМЛЯКОВ А-
БАВРИНА И НЕКОТОРЫЕ ИХ СВОЙСТВА..................................63
§2.1. Интегралы типа Тсмлякова-Баврина и их основные свойства 63
§2.2. Исследование аналитичности интегралов некоторых классов в
пространстве С2 и их свойства................................80
§2.3. О поведении интегралов одного класса на множестве
бесконечно удаленных точек пространства С2.................114
§2.4. Постановка и решение краевых задач в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина... 118
Заключение......................................................128
ЛИТЕРАТУРА......................................................129
2
Введение
Важную роль в одномерном и многомерном комплексном анализе и их приложениях играют интегральные представления аналитических функций. Интегральные представления аналитических функций одного и многих комплексных переменных исследуются в работах JT.A. Айзенберга, И.И. Баврина, В.И. Боганова, A.B. Латышева, Г.Л. Луканкина и других авторов и имеют различные теоретические и практические приложения, например при решении пространственных краевых задач Римана. В последние десятилетия описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей и математической физики, которые приводятся к краевой задаче Римана.
Начало теории инте1ральных представлений в нашей стране было положено A.A. Тсмляковым в 1948 году. Им были установлены два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей, которые известны как интегральные представления Темлякова I и II родов.
Дальнейшему развитию теории интегральных представлений способствовал разработанный И.И. Бавриным [9; 12] операторный метод, с помощью которого был решен ряд важных задач, в том числе получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши и обобщенные интегральные представления для случая п(п> 2) комплексных переменных.
На основе интегрального представления, полученного И.И. Бавриным
[13]:
(0.1)
где
и - rz + (l-r)z0,
3
2€С, С - произвольная выпуклая область пространства С, для которой справедлива интегральная формула Коши, Г-ее граница,/ф - произвольная функция, аналитическая в в и непрерывно дифференцируемая в замыкании (3, 20 — произвольная фиксированная точка из О, г - вещественный параметр, определенный на отрезке [0;1], Г, у — произвольное
действительное число, у > 0, оператор Ьу г имеет вид
A.B. Гуляевым в работе [29] был введен в рассмотрение обобщенный интеграл типа Коши:
где (р(%) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г = {£: |£'| = 1},. удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем v(0 < v < 1) функция.
A.B. Гуляевым [29] было доказано, что исследуемые интегралы обладают рядом свойств, которые существенно отличают их от интщралов типа Коши. Они являются непрерывными на всей комплексной плоскости, аналитическими в области Z)={zeC: |z|<l} и не являются аналитическими,
вообще говоря, в области IX = {z е C:|z| > 1}. С помощью линейных дифференциальных операторов A.B. Гуляевым [29] установлена связь этих инте!ралов с интегралом типа Коши, с его плотностью, а также решены некоторые дифференциальные уравнения в частных производных.
Одновременно с A.B. Гуляевым в работе [65] A.B. Нелаевым был введен в рассмотрение интеграл более общей природы
Кн =у /(*) + (2-го)^г
OZ
4
где (р{%) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г = {£\ |^| = 1}, удовлетворяющая на Г условию Гельдсра-Липшица с показателем v(0<v<\) функция, ö,y — произвольные действительные числа, S >0,/>1.
В исследовании A.B. Нслаева [65] было доказано, что функции, представимые данным интегралом, являются непрерывными на всей комплексной плоскости, аналитическими в области /) = {zeC: И<1} и не
являются аналитическими, вообще говоря, в области ТУ = {z eC:|z| > 1}. Им выявлен ряд специфических свойств, которыми обладает рассматриваемый интеграл в области D", в частности, с помощью операторного метода, предложенного А.Т. Хвостовым [75; 76], найдена обобщенная производная интеграла и его разложение в равномерно сходящийся обобщенный степенной ряд.
В работе Х.П. Дзебисова [33] был рассмотрен интеграл вида
где (р(%) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г={£: |^| = 1} функция, а>Р,у - действительные числа, удовлетворяющие условиям 0 <а < Р <\уу> \. При |гг| = 1 внутренний интеграл понимается как особый (сингулярный) в смысле главного значения по Коши. Его существование гарантируется выполнимостью для плотности <р(%) условия Г ельдера-Липшица.
Позднее в работах [15; 35; 66] на плотность (р{д) ограничения были усилены, она стала определяться как произвольная, заданная на окружности Г функция, удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем ^(0<к<1), а.руу - действительные числа, удовлетворяющие условиям 0 <а < Р <\, у > 0.
(0.2)
5
A.B. Нелаевым [59-61; 64] и его учениками [23; 35; 36; 47] были рассмотрены и другие операторные обобщения интеграла типа Коши. Однако вопрос о свойствах обобщенных операторных интегралов типа Коши оставался не до конца исследованным.
В теории интегральных представлений функций многих комплексных переменных были получены различные аналоги формулы Коши одного комплексного переменного, например, формулы Мартинслли-Бохнсра,
A. Вейля и др. [22; 57; 58; 67; 74]. Особое место среди них занимают интегральные представления в выпуклых двоякокруговых областях, полученные в 1954 году отечественным математиком A.A. Темляковым [68— 73], которые впоследствии были названы интегральными представлениями Темлякова I и II рода [37; 74].
Интегралы типа Темлякова и типа Темлякова-Баврипа изучались Л.А. Айзебергом [1-6], И.И. Бавриным [7-14], Г.Л. Луканкииым [50-56],
B.И. Богаиовым [16-21], А.Т. Хвостовым [75-77], A.B. Латышевым [48; 49],
В.А. Гусаковым [30-32], A.B. Нелаевым [59; 62; 63], С.Ю. Колягиным [39-46], И.Н. Виноградовой [24-26] и др.
С помощью разработанного И.И. Бавриным [12; 13] операторного метода интегральные представления Темлякова были распространены им на случай п (п> 2) комплексных переменных и получены общие интегральные представления, которые сохранили тесную связь с интегралом Коши одного комплексного переменного.
Л.А. Айзенберг исследовал 1раничные свойства интегралов типа Темлякова [2; 4; 5] и поведение этих интегралов вне области аналитичности, а также ряд других вопросов. Г.Л. Луканкин [50-54] рассматривал поведение интегралов типа Темлякова I рода в точках остова области D типа Л, решил ряд краевых задач типа задач линейного сопряжения, исследовал условия представимости функции вне области аналитичности интегралом типа Темлякова [55; 56]. Работы В.И. Боганова [16-21] посвящены вопросам исследования предельных значений интеграла типа Темлякова 1 рода в
точках окружностей особенностей, им же были получены достаточные условия существования "подвижных" областей аналитичности данного интеграла, а также решены краевые задачи в некотором классе функций. А.Т. Хвостов [75-771 исследовал поведение интегралов типа Темлякова методом линейных дифференциальных операторов, в частности им были получены обобщенные условия Коши-Римана для интегралов тина Темлякова I рода [76].
В.А. Гусаков [30; 32] первым начал исследовать интегралы типа Темлякова-Баврина, образованные на основе одного класса интегральных представлений, входящего в общее интегральное представление Темлякова-Баврина. Им была установлена операторная связь между интегралами типа Темлякова I рода и типа Темлякова-Баврина I рода [31].
A.B. Латышев [48; 49] исследовал поведение интегралов типа Темлякова-Баврина I рода 2 порядка. A.B. Нелаевым [59; 62; 63] изучались интегралы типа Темлякова-Баврина в кратнокруговых областях.
С.Ю. Колягиным [39-^6] рассматривались интегралы типа Темлякова-Баврина при определенных условиях, накладываемых на ядро. И.И. Виноградовой [24—26] изучались предельные значения инте1рала тина Темлякова-Баврина в точках окружности особенностей и был решен ряд краевых задач в одном классе функций, Х.П. Дзебисовым [33] исследовались пространственные краевые задачи сопряжения для специальных областей
пространства С2. Тем не менее, вопрос о рассмотрении обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина оставался неизученным.
В настоящей диссертации впервые рассматриваются некоторые обобщенные интегралы типа Коши и обобщенные интегралы типа Темлякова-Баврина.
Целью диссертационной работы является исследование областей аналитичности и свойств некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа Коши, решение задач, связанных с их применением, исследование областей аналитичности и свойств некоторых
обобщенных интегралов типа Темлякова-Баврина, решение краевых задач линейного сопряжения (однородной и неоднородной) в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина.
В работе используются методы математического анализа и теории функций, метод линейных дифференциальных операторов.
Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, включающих в себя 7 параграфов и заключения. Список литературы содержит 85 наименований. Общий объем работы 136 страниц.
Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.
Первая глава посвящена обобщенным операторным аналогам интеграла типа Коши на комплексной плоскости С .
В §1.1 сформулированы и доказаны свойства функций Р(г), которые являются суммой двух интегралов вида (0.2):
где <р(%) задана как и в интеграле (0.2), а,,Д,а2 и Д,, у — действительные числа, удовлетворяющие условиям 0<а. < Д<а2< Д2 < 1, у> 1. Установлены области аналитичности и неаналитичности функций р'(г).
Кроме того, исследуются функции, являющиеся суммой п (п € М) интегралов вида (0.2):
где 0<яг,<Д<ог2<Д2<...<ап<Д? < 1, а также функции РЛ2) и Р(г) = Д(г) + Рр(г), определяемые аналогично интегралу (0.2):
(0.3)
8
/>(Z) = 7-Jr r-'dr
!< \i
m
dÇ,
(0.4)
F(2) = -i-|r''-'rfr ÆLdt + ^l^'dr f -Ærf#. (0.5)
2ЯІ * |^Ç-TZ ІЛ-1* . J P - T 7
fi ki=i £ rz
где плотность (p(Ç) определена на окружности Г = {£: |<£| = 1}> ce 9fitS],S2,y -
действительные числа (0<а<1 для функций (0.3), 0 < р < 1 для функций (0.4), 0<а< р<[ для функций (0.5)), у > 1.
Для данных функций определены области аналитичности, неаналитичности и свойства, которыми эти функции обладают.
В §1.2 рассмотрены несколько задач в различных областях комплексной плоскости С, связанных с решением некоторых дифференциальных уравнений, а также систем дифференциальных уравнений.
Задача 1. Требуется найти в области = {z е C:|z| > —} решение
а
уравнения
-2 z иГ •
dF(z)
dz
= <р
г \
Z
,z. VI IУ
(0.6)
если известна его правая часть - определенная на единичной окружности Г = {£:|^| = 1} и удовлетворяющая на ней условию Гельдера-Лиишица функция (р(%), у -действительное число, у> 1 .
Решением является интеїрал (0.3), имеющий своей плотностью функцию (р{^)у стоящую в правой части (0.6).
Чтобы сформулировать следующую задачу, будем использовать следующие обозначения:
( \ ґ \
|z|, а = Re<p z \ ï , Ь = 1т (р z
Z VI \/ UI ЧІ I/
Задача 2. Найти решение в области В2 = {ге <С :|^| > —} системы двух
а
дифференциальных уравнений
8Ях,у) _д/2(х,у) = _г.^2){ах_ьл дх ду
дКы1+Шы1=^Чау+Ьх),
ду дх
(0.7)
правые части которых известны (т. е. известны функции а = Яе<р(£) и Ь = 1т<р(4))> У ~ действительное число, у > 1.
Решением системы (0.7) являются вещественная и мнимая части интеграла (0.3), имеющего плотностью функцию #>(£), вещественная часть которой совпадает с а, мнимая с Ь\ /(х>у) = и(хуу) = Яе/^Дг),
/2 (х, у) = у(х, у) = ЪпГа(г).
I 1
Задача 3. Найти в области 5, = {геС:2 >—} решение системы двух
а
дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка:
(0.8)
[Р1ГМ)}-0Шг,0)\ = о,
№/(г,0)] + П/г(гМ = О,
где
Р = соьв
() = ь'тО
+(г*»г
ог
дґ
-$тд
+ соъО
г и 0 - полярные координаты: х = гсо$Р, у = г$тву у - действительное число, у > 1.
Решением системы (0.8) являются вещественная и мнимая части интеграла (0.3), содержащего ту же самую константу у, которая входит в систему (0.8), т.е. /(г, 9) = и = Яе Ра(г), /2 (г, в) = V = 1т Ра(г).
Задача 4. Найти в области В, = (г еС:Ы> —} решение
а
дифференциального уравнения с частными производными третьего порядка
10
- Київ+380960830922