Оглавление
Введение 3
1 Некоммутативный аналог формулы Березина 25
1.1 Некоторые обозначения..................................... 27
1.2 Интегралы по векторнозначным мерам........................ 29
1.3 Функциональные интегралы ................................. 32
1.4 Основные меры, их преобразования Фурье и свойства......... 44
1.5 Основные понятия метода вторичного квантования............ 52
1.6 Теорема о представлении решений........................... 56
2 Доказательство формулы Фейнмана в фазовом пространстве, основанное на теореме Чернова 72
2.1 Основные определения...................................... 72
2.2 Формулы Фейнмана в конечномерном фазовом пространстве . 74
2.3 Разложение Смолянова - Шавгулидзе .................. 78
3 Контрпримеры к формуле Троттера в локально выпуклых
пространствах 84
3.1 Определения и терминология................................ 84
3.2 Предварительные результаты................................ 86
3.3 Бесконечные топологические суммы.......................... 87
3.4 Пространства Фреше........................................ 88
Заключение 91
Список литературы 92
1
2
Введение
Метод функциональных интегралов является одним из основных методов математической физики, так как он позволяет представлять решения эволюционных, дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в “явном виде’’ — в виде интегралов известных функций по бесконечномерному пространству (траекторий) с обычной или обобщенной мерой (— “распределением Соболева-Шварца”). Типичным и наиболее важным примером последней является “эвристическая” мера Фейнмана, так что получающийся интеграл Фейнмана имеет лишь эвристический смысл. Тем не менее многие формулы, содержащие функциональные интегралы, имеют ясный интуитивный смысл и в ряде случаев именно интуиция позволяет выводить такие формулы.
Метод функциональных интегралов не сводится только к представлению решений эволюционных уравнений, область его применения постоянно расширяется. В частности, этот метод проникает в дифференциальную геометрию (интеграл Виттена), теорию узлов (интеграл Концевича), теорию стохастических дифференциальных уравнений (формулы Смолянова) и позволяет’ получать там нетривиальные результаты.
Метод функционального интегрирования исследуется и применяется в работах С. Альбеверио, М. Атьи, Ф.А. Березина, З.Бжезняка, Э. Виттена,
В.С.Владимирова, И.В.Воловича, И.М.Гельфанда, Дж. Глимма, Ю.Л. Да-лецкого, С. ДсВитт-Моригт, А. Джаффе, Г.Джопсона, М.А.Евграфова, Р.Камерона, П. Картье, М.Каца, А. И. Кириллова, В.II.Колокольцова, М.Ляпидуса. Мартина, В.П. Маслова, P.A. Минлоса, В.И. Попова, Б. Саймона, A.A. Славнова, О.Г. Смолянова, Д.Сторвика, A.B. Угланова, Л.Д. Фадце-ева, Р. Фейнмана, С.В.Фомина, Р. Хеэг-Крона, А.Ю. Хренникова, А.М. Чебо-
3
тарева, Е/Г. Шавгулидзе, А.М.Яглома и других исследователей. 13 настоящее время этот метод является одним из основных методов теории бесконечномерных систем, в частности, квантовой механики, квантовой теории поля, статистической физики и гидродинамики.
Таким образом, сложилась следующая ситуация. Имеются эвристические формулы, описывающие эволюцию бесконечномерных систем и содержащие функциональные интегралы. Эти формулы позволяют судить о поведении системы и предсказывать ее свойства. Однако они нередко не имеют строгого математического обоснования. Кроме того, несмотря на богатые возможности интуиции в методе функционального интеграла, получение с его помощью новых формул также часто является далеко не простым делом. Поэтому дальнейшее развитие математического аппарата метода функционального интегрирования и расширение области ею применимости является весьма актуальной задачей.
Диссертация состоит из введения и трех глав.
В главе 1 с помощью функциональных интегралов построена сильно непрерывная полугруппа унитарных операторов с генератором г А (теорема 1.26), где А замыкание самосопряженного в существенном оператора А в вида
А = 1®а'Еа + К®$Са + & ®а(/’) + Л®а*(/) + Й0® ^ (1.1)
Здесь Ь — гильбертово пространство с инволюцией *, ${Ь) — симметризован-ное пространство Фока над Ь, / € Ь, а'(/),а(/+) — операторы рождения и уничтожения, (7, Е — самосопряженные операторы в Ь и С — ограниченный оператор; К, Я, Я0 — псевдодифференциальные операторы з симво-
лы которых являются преобразованиями Фурье мер ограниченной вариации, символ | обозначает эрмитово сопряжение и / — тождественный оператор в соответствующем пространстве. Дано описание таких полугрупп как в представлении Фока, так и в представлении Баргмана — Фока.
Операторы вида (1.1) играют важную роль в подходе к квантовому стохастическому исчислению ([30], [31]. [24], [20]) в рамках теории одиопарамст-рических групп унитарных операторов, развиваемом в работах [21], [22], [26].
4
Этот подход заключается в следующем. Пусть Ь = £2(Ж) и Е — оператор умножения на координату. В этом случае а)Еа = ^ха}(х)а(х)(1х. Для а > О обозначим через ^ 1 сильно непрерывную группу унитарных опера-
торов с генератором гА^а\ где = Яо ® / + / Ф а1 Еа + К ® а^(д0)а(да) + & ®Ша) + Я®а+(/а). Здесь Iа(х) = /(ах), да(х) = 0(аж), где / и д — вещественные функции из Ь2(М) с четным неотрицательным Фурье образом, принадлежащим Ь2(Ж) П Ь1(Ж), и такие, что /(0) = у(0) = Заметим,
что а^(да)а(дл) = а^Саа. где Са =< В случае, когда онера-
XV -^1 ^
торы К,Я:Я\Щ коммутируют, формула Березина [2, гл.III,§6,теорема II] позволяет найти явный вид операторов 11^ (см. [21]). Используя его, можно, во первых, показать, что семейства операторов ^ 6 1 сходятся в сильной операторной топологии к некоторой сильно непрерывной унитарной группе Vи £ Е К и найти явный вид 0\. Далее можно описать генератор гАо группы и1 и показать, что А0 является оператором, возмущенным сингулярными квадратичными формами. Наконец, можно вывести квантовое стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее ех1Еии и доказать, что оно удовлетворяет условиям Хадсона — Партасарати унитарности решений. Это позволяет получать решения квантовых стохастических дифференциальных уравнений с помощью унитарных преобразований полугрупп, порождаемых уравнениями Шредингера, возмущенных сингулярными квадратичными формами. Отметим однако, что из-за требования коммутатив-
/V /*Ч ж, ж
пости операторов К, Я, Я1, Я0 полученные в работах [21], [22], [26] квантовые стохастические дифференциальные уравнения имеют коммутирующие коэффициенты. В связи с этим естественно возникает задача (которую в частности отмечал А. М. Чеботарев) исследовать некоммутативный случай.
Результаты главы 1 по существу являются некоммутативными аналогами формулы Березина [2, гл.III,§6,теорема II] и позволяют в рамках описанного выше подхода устанавливать связи между квантовыми стохастическими дифференциальными уравнениями и унитарными однопараметрическими полугруппами в некоммутативном случае.
Пусть Ь — банаховы пространства. Пусть (X, Е*) — измеримое пространство и /.г. Т,х 2 — мера на X. Определим интеграл /(х)ц(с1х)
отображения /: X —» Т по мере р при фиксированной непрерывной билинейной форме р: Т х Z -> Ь.
Предположим сначала, что /: X —> Т — простая функция, то есть / = 1 ЬкХЕк* гДе Х£* “ характеристическая функция множества € Е*
и 6^. Є Т. Определим интеграл / по мере р равенством /х /(х)р(<1х) — р(Еі;)). Произвольную функцию / назовем интегрируемой по мере р, если существует последовательность простых функций /ш: X -> Т, такая, что /т(х) -> /(ж) почти всюду' относительно меры |//| и для всякого є > 0 найдется N = Лг(є), такое, что / \\/т(х) - Ік(х)\\т\и\(<1я) < є Для всех т,к > N. В этом случае последовательность ]х /тп(х)р(с1х) фундаментальна в Е, ее предел назовем интегралом / по р при фиксированной форме р и обозначим Jxf(x)p(dx).
В дальнейшем при интегрировании мы часто будем использовать описанную конструкцию. При этом всегда будет ясно какая конкретно используется форма р, хотя в записи интеграла /х мы ее указывать не будем.
Всюду' ниже Р = С} = Ш1. Здесь эти обозначения используются лишь для удобства, хотя им можно придать смысл С) — конфигурационного и Р импульсного пространств. Пусть < д,р >= др = рд — ^1к=\ РкЯк для
Р= (Ри---,Рі) € Р,д = (яи-.-лд Є <5-
Через Рр и Рд обозначим пространства мер ограниченной вариации на Е+ = [0, оо) со значениями в Р и <3 соответственно. Пусть F = Рр х FQ. Элементы Р будем обозначать у = (ур,уд),ур Є Рр,уд Є Рд.
Вещественное линейное пространство всех ограниченных кусочно непрерывных, непрерывных справа функций на [0, оо) со значениями в С} обозначим через Рф а со значениями в Р через Рр. Положим Р' — х Р'р. Элементы F/ будем обозначать х — (хд,хр),хд Є РдУхр є Fp.
Определим билинейную форму < • >: F/ х F —»■ Е равенством
< {хо,хр),{уг,уо) > = /0°° Х(і{т)уг((іт) + хР(т)ус}(с1т). Обозначим че-рез Ер (7-алгебру подмножеств F, порожденную функционалами < я, - >, х Є Р'.
Определим отображение д : Р -> К, д: \ур,у<з) м- ^ У(}(т, оо)уР(<1т). Пусть Г, Ь — комплексные банаховы пространства. Пусть /: F/ -э
6
£(T, L) — преобразование Фурье меры р: £/? -» L(T,L). Зафиксируем непрерывное билинейное отображение р: Ь2(й!уТ) х £(Т, L) —>
Z/2(R'.L), р: (^,Д) •-> гДе (A*P)(q) = АФ(я)> Я £ Тогда
для <£> 6 L2(tf,T) отображение Ф^: F —» L2(R*,T), Ф^: (yp,?/g) >->•
exp(i < -,г/р[0,оо) > - г/(э[0,оо)) интегрируемо по мерс р.
Определим оператор Jg(f)' L2(RlyT) -> L2(Rl,L) равенством
Ш)Ф= [ *Ф(У)»Ш= [ - yQ[0,œ)MdyP>dyQ),
J F JF
(1.3)
где ф € Ь2(Ш1, Т). Отметим, что \\1д{/)\\ < var(p).
Между пространствами L и F (С, L) существует естественный изометри-
УЧ /Ч
ческий изоморфизм j : L -» С (С,L),j: 6 м- 6, где 6 € /С(С, L), 6: г ь-» &г. В силу этого и приведенной выше конструкции, каждой функции /: F' -» L, являющейся преобразованием Фурье меры р: Ер -> L, поставим в соответствие оператор L2(Rl) ->■ L2(R*,L) по формуле (1.3).
Заметим, что 1д(/)ф можно представить в виде (1д(1)Ф) (q) = fF, }{xq + q, хг)ф(х<з(0) + q)$g[dxQydxp)y где интеграл в правой части можно понимать как функциональный интеграл по траекториям в фазовом пространстве, определенный с помощью равенства Парсеваля (ср. 117, гл.3,§2], [15],
fie)).
Так как сг-алгебра Ер порождается функционалами < ху • >, х Е F\ то используя [5, гл.III,п.5,следствие 9], можно показать, что любая мера па F однозначно определяется своим преобразованием Фурье. Поэтому функция / однозначно определяет некоторый оператор Fg(f) по формуле (1.3).
Далее мы будем использовать следующую конструкцию. Пусть (12, Еп) измеримое пространство ид: Ел -* С — скалярная мера на £2. Пусть L — сепарабельное гильбертово пространство и отображение р: 12 —> C(L) удовлетворяет следующим условиям. Функция ||p(*)lk измерима и Jü \p\\ad\ii < оо; отображение p(-)b: ü —у L,p(-)b: cj »->• р(ио)Ь измеримо по Бохнсру для всех b € L. Для М 6 Ей определим интеграл fM p(oj)p,(du>) как ограниченный линейный оператор в L, такой, что (fM pdp){b) = JM p(u)bp(dcj). Это определение корректно, так как |; fM p(cu)bp(dv) \i < fM ||p|kd|p|-||6|k и, следова-
7
- Київ+380960830922