Оглавление
0 Введение. 4
0.1 Предельные теоремы для локально-неоднородного случайного
блуждания на решетке........................................ 5
0.2 Исследование спектра высокотемпературной глауберовой динамики для модели Изинга......................................... 8
1 Предельные теоремы для локально-неоднородного случайного блуждания на решетке. 15
1.1 Принцип инвариантности для неоднородного случайного блуждания на одномерной решетке.................................... 15
1.1.1 Формулировка основного результата................... 15
1.1.2 Начало доказательства теоремы 1.1..Плотность семейства Р„...................................• 16
1.1.3 Доказательство сходимости конечномерных распределений...................................................... 18
1.1.4 Доказательство леммы 1.3............................ 20
1.2 Центральная предельная теорема для многомерного неоднородного блуждания............................................... 29
1.2.1 Формулировка результата............................. 29
1.2.2 Доказательство...................................... 31
2 Исследование спектра высокотемпературной глауберовой динамики для модели Изинга. 37
2.1 Теория рассеяния для глауберовой динамики................... 37
2.1.1 Начало доказательства теоремы 2.2................... 37
2.1.2 Оператор вложения J................................. 37
2.1.3 Существование волнового оператора W................ 43
2.1.4 КегW = n{k)eH^ .................................... 48
2.1.5 Ортогональность Ran И* и RanW} при к 1........... 50
2.2 Термодинамический предел одночастичного пространства и кластерность L в двухчастичном пространстве..................... 51
2
2.2.1 Разложения в ряды для п-частичных проекторов. ... 51
2.2.2 Одночастичное подпространство в термодинамическом пределе. Доказательство теоремы 2.3 .................... 58
2.2.3 Двухчастичное пространство. Доказательство теоремы
2.4 59
Глава О Введение.
Настоящая диссертация посвящена изучению марковских случайных процессов, их асимптотических распределений и спектральных свойств соответствующих полугрупп. Эта глава является вводной; параграфы 0.1 и 0.2 являются введениями к главам 1 и 2 соответственно.
В главе 1 рассматривается неоднородное случайное блуждание с дискретным временем на одномерной или многомерной решетке II. Мы предполагаем, что неоднородность локальна в том смысле, что блуждание отличается от однородного только в конечном множестве точек (в одномерном случае) или на некоторой ’’плоскости” (в многомерном). Общему обсуждению возникающих здесь вопросов и постановке задач посвящен параграф 0.1. В параграфе
1.1 для случая V = 1 доказывается теорема 1.1 - аналог известного ”принци-па инвариантности” (теоремы Донскера). Траектории случайного блуждания задают меру на пространстве непрерывных функций; мы покажем, что при надлежащем скейлинге траекторий эти меры сходятся к распределению некоторого обобщенного диффузионного процесса на прямой. В параграфе
1.2 мы рассматриваем многомерное локально-неоднородное случайное блуждание и доказываем для него центральную предельную теорему (теорема 1.3).
Глава 2 посвящена исследованию спектральных свойств высокотемпературной глауберовой динамики для модели Изинга. Во вводном параграфе
0.2 дается описание модели и ставятся задачи. В параграфе 2.1 для глауберовой динамики реализована теория рассеяния Хаага-Рюэля, служащая для описания ’’свободных ^-частичных состояний” (теорема 2.2). В параграфе 2.2 мы получаем некоторые разложения в ряды для спектральных проекторов и затем с их помощью доказываем два результата: во-первых, устанавливается скорость сходимости собственных значений глауберовой динамики в конечном объеме к непрерывному спектру и, во-вторых, доказывается кла-етерность генератора глауберовой динамики в двухчастичном пространстве (теоремы 2.3 и 2.4).
Таким образом, основные результаты диссертации сформулированы в виде пяти теорем.
По теме диссертации автором опубликованы работы [1]-|3].
Автор выражае'г глубокую признательность своим научным руководите-
4
лям проф. Р.А.Минлосу и А.М.Степину, а также к. ф.-м. н. Е.А.Жижиной за постановку задач, постоянное внимание к работе, помощь в подготовке публикаций и многочисленные обсуждения.
§0.1 Предельные теоремы для локально-неоднородного случайного блуждания на решетке.
Пусть т?°, £ = 0,1,... - однородное случайное марковское блуждание на решетке 2 с вероятностями перехода тг(-):
Р(Ч?+> = <1ч? = *) = РФ -»() = Ф - к) (1)
Здесь и далее будем считать функцию тг финитной в том смысле, что тг{к) = 0 для всех к Е 2, кроме конечного числа. Хорошо известно, что при больших значениях £ условное распределение 1$ при фиксированном в первом приближении описывается гауссовским выражением. Имеются разные классические способы строго сформулировать этот факт.
1. Простейшим утверждением такого рода является центральная предельная теорема. Пусть
& = £>(*). (2) к
<* = £(*"Ь?«(к) (3)
*
- соответственно снос и дисперсия скачка и = 0. Тогда ЦПТ гласит, что распределение (т7(° - Ы)/уД слабо сходится к Лг(0,а), т.е. для любой непрерывной ограниченной ф : Ш имеем Е^((>7® - Ы)/\Д.)
(2па)"^2 / ф{х)е~**!2а(1х ( здесь и в дальнейшем предполагаем, что имеет место невырожденный случай а > 0).
2. Более тонким утверждением является локальная предельная теорема (см.[4]). Предположим, что наше блуждание является вполне неприводимым в следующем смысле:
НОДО - /|тг(А;) ф 0,7г(0 ф 0; к, I € 2) = 1 (4)
(приводимость блуждания означает, что оно фактически происходит на некоторой подрешетке решетки 2 или "пространства- времен и” 2 х 2). Тогда равномерно по к, I € 2
+ ®
5
3. Значительным усилением ЦПТ является т.н. принцип инвариантности (см.[5]), в котором речь идет уже о распределении траекторий случайного блуждания. Будем считать для простоты, что 6 = 0 и блуждание начинается из нуля. Зафиксировав п€2, рассмотрим траектории блуждания до момента п как ломаные в С[0, л]. Далее каждую такую ломаную £(•) деформируем в ломаную С,[п-)/у/п из С[0,1] и рассмотрим в С[0,1] распределение вероятностей Р°, атомами которого являются эти последние ломаные с вероят-ностами, индуцируемыми исходным блужданием. Принцип инвариантности утверждает, что при п -> оо последовательность мер Р° слабо сходится к мере Р°, отвечающей винеровскому процессу с диффузией о, выходящему из нуля.
В §1.1 мы рассматриваем неоднородное по пространству блуждание переходные вероятности которого имеют вид
Р(%+1 = <|Ф = к) = Рг(к -+1) = »(/ - к) + У(1 - к, к) (6)
Функция рассматриваемая как возмущение, предполагаегся финит-
ной, т.е. отличной 01' нуля лишь для конечного числа пар (к,1). В этом параграфе мы будем также считать, что снос 6 = 0.
Исследование предельных распределений для такого блуждания было начато Р.Минлосом и Е.Жижиной. В работе (6] путем детального спектральною анализа соответствующей стохастической полугруппы ими была установлена локальная предельная теорема, согласно которой главный член в асимптотике вероятности = у) при t -» оо имеет вид
(?7(*,у,х) = е"И£1Йг11-^ (7)
Здесь 7 > 0 - некоторый параметр, зависящий от тг и V.
Функцию С7 можно рассмотреть и как переходную плотность вероятности для некоторого марковского процесса на прямой. Оказывается, что она соответствует некоторому обобщенному диффузионному процессу (с эластичным экраном в нуле), генератор стохастической полугруппы которого формально имеет вид \Sjda? + а^6(х)с1/(1х, где при первой производной стоит ^-функция Дирака (подробнее о таких обобщенных диффузионных процессах см.(7)).
В работе (8) Р.Минлос и Е.Жижина пользуясь техникой аппроксимации стохастических полугрупп установили сходимость конечномерных распределений масштабированного блуждания к этому диффузионному процессу для некоторого класса блужданий. В §1.1 будет доказана теорема, усиливающая результаты |8] и являющаяся аналогом принципа инвариантности для
б
4
- Київ+380960830922