Обобщенные интегралы и вопросы единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша

Содержание
1 Некоторые вопросы единственности для двумерных рядов Хаара 12
§1.1 Определения и вспомогательные утверждения................ 12
§ 1.2 О множествах единственности для рядов Хаара с условием
_^^0„р„М^~»тт(^)г2р................................. 23
§ 1.3 Одно замечание о /^-регулярной сходимости......... 35
§ 1.4 О множествах единственности для рядов Хаара с условием
5Лг.д#(а:,у) = о((ЛГЛ/)1-в)......................... 37
§ 1.5 О множествах единственности для двумерных рядов Хаара при
сходимости по квадратам............................. 85
2 О единственности представления функций двумерными рядами Хаара 91
§ 2.1 Определения и вспомогательные утверждения......... 91
§ 2.2 Представление сходящихся двумерных рядов Хаара, как рядов
Фурье................................................... 96
3 Некоторые свойства многомерных обобщенных интегралов и их применение к двумерным рядам Хаара 104
§ 3.1 Определения и вспомогательные утверждения.........104
§ 3.2 О характеризации (Яр#)-интеграла..................111
§ 3.3 Об одном двоичном интеграле перроновского типа....116
§ 3.4 О двумерных рядах Хаара, всюду сходящихся р-регулярно к
функции, интегрируемой но Перрону в /^-регулярном смысле . 123
4 О множествах единственности для рядов Уолша 144
§ 4.1 Определения и вспомогательные утверждения.........144
§ 4.2 О соответствии между двумерными рядами Уолша и аддитивными функциями двоичного интервала 149
§ 4.3 О множествах единственности для двумерных рядов Уолша . 152
2
Введение
Диссертация посвящена вопросам единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша., а также приложениям к решению этих вопросов некоторых сведений из теории многомерных обобщенных интегралов. Все это относится к той области анализа, которую принято называть действительным анализом.
Изучение вопросов единственности для рядов Хаара получило активное развитие в 60-70-х годах XX века в работах М.Б. Петровской, В.А. Скворцова, Г.М. Мушегяна, Х.О. Мовсисяна, Ф.Г. Арутюняна, A.A. Талаляна и других. При этом рассматривались как одномерные, так и многомерные (чаще всею двумерные) ряды Хаара. В этот период времени были получены наиболее интересные результаты в данной области. Позже были получены результаты в работах тех же В.А. Скворцова, A.A. Талаляна, а также H.A. Бакаева, В. Уэйда, и других. Вопросы единственности для (одномерных) рядов Уолша изучались во второй половине XX века A.A. Шнейдером, Д. Кури, В.А. Скворцовым, Н.Д. Файном, В. Уэйдом и другими. Вопросам же единственности для многомерных рядов Уолша посвящено не так много работ, среди которых можно выделить результаты С.Ф. Лукомскот, полученные им в 80-е годы.
Что же касается теории обобщенных интегралов, то эта область действительного анализа интенсивно развивалась в течение всего XX века, но нам в связи с изучением рядов Хаара интересна лишь набольшая часть этой теории, и об этом мы поговорим чуть позже.
Отметим, что постановка многих вопросов о единственности представления функций рядами является общей для различных ортогональных систем функций. Особенно важными являются понятия [/-множеств и М-множеств для рядов по некоторой системе функций. Напомним, что если {/Да:)} есть система функций, определенных на некотором подмножестве S числовой прямой, плоскости, либо, в общем случае, евклидова пространства Rn, то множество А е S называется М-множеством для рядов anfn{x), если су-
п
ществует ряд anfn(x), сходящийся к нулю вне ,4 и имеющий хотя бы один
11
ненулевой коэффициент ап. Если А £ S не является ^/-множеством для ря-дов J^anfn(x)) то в этом случае А называется [/-множеством для подобных рядов.
Часто оказывается, что ряд, сходящийся вне некоторого [/-множества к
конечной функции /(ж), является рядом Фурье функции f(x) относительного некоторого обобщенного интеграла, то ость коэффициенты ряда находятся по формулам Фурье ап = f f(x)fn(x)dx (если система {fn(x)} — ортонорми-рована). Известно, например, (см. [3, том 2, стр. 138]), что если тригонометрический ряд сходится к функции f(x) вне некоторого счетного множества (которое, как известно, является [/-множеством для тригонометрических рядов), то данный ряд есть ряд Фурье относительного некоторого интеграла, обобщающего интеграл Лебега, и называемого (М2)-интегралом. Аналогично, если ряд Хаара всюду на [0,1] сходится к конечной функции f(x) (то есть сходится к f(x) вне пустого множества, которое является [/-множеством для рядов Хаара), то данный ряд Фурье является рядом Фурье относительно (# £))-интеграла, определенного в работе (15]. Таким образом, в таких ситуациях функция f(x), определенная вне [/-множества,может лишь единственным образом представляться как сумма соответствующего ряда.
Стоит отметить известные теоремы для одномернот случая, установленные И.И. Приваловым (для для тригонометрической системы, см. [12]) и В.А. Скворцовым (для системы Уолша, см. [17]). Они гласят, что если ряд но соответствующей системе сходится вне замкнутого [/-множества к измеримой и конечной функции f(x), то данный ряд есть ряд Фурье функции f(x). При том, что [/-множество в этих теоремах предполагается любым, лишь замкнутым, что является достоинством этих теорем, небольшим недостатком является то, что f(x) предполагается измеримой. В нашей работе мы не накладываем никаких ограничений на /(х, у), когда представляем ее рядом Фурье вне С-множеств, но при этом рассматриваем не все [/-множества. Оговоримся, что раз f(x) не является суммируемой, то под рядом Фурье мы подразумеваем ряд Фурье относительного какого-то обобщенного интеграла, который заведомо не покрывается интегралом Лебега и даже основными известными обобщенными интегралами.
Диссертация посвящена двумерным рядам Хаара и Уолша, а в двумерном случае (как и в случае размерности п ^ 2) очень важно определить, что мы понимаем под сходимостью соответствующих рядов. В нашей работе рассматривается />-регулярная сходимость по прямоугольникам. Ряд Хаара
+оо +СО
£ £ ап,тХп,т(х,у) /»-регулярно сходится к сумме S(x,y) в точке (х,у), ес-
я=1 т=1
Аг И
ЛИ последовательность частичных сумм 8^м(х,у) — Л Л ап,тХп,т{х,у)
ті— 1 т=1
4
( N M\
сходится к S(x, у) при min(M, iV) —> оо и min ( —, — 1 ^ р. Обозначать такую сходимость будем как Syv,A/(s, 2/) —S(xy у). Аналогично определяется
+оо -fco
р-регулярная сходимость и для ряда Уолша YL Cn,mWntm(B,y)- При этом
«5= 0 ш=0
для рядов Хаара рассматриваются р. равные 1/27, где 7 — натуральное число (почему выбор сделан среди именно таких р, становится ясным в самой работе), а для рядов Уолша рассматриваются р из интервала ^0,1/2^.
В связи с тем, что у разных авторов используется разное определение функций Хаара (см., например, [4] и |24|), отметим,что мы используем «классическое» определение, данное самим Хааром (см. [31)), то есть полагаем, что
Xi(t) = 1 на [ОД]; если же п = 2к 4- г, к ^ 0, 1 ^ г ^ 2к, то Хп{%) равна (2г — 2 2г — 1 \ ./9 /2i—l 2г \
2 / НРИ ® G “2 7 ПРИ * € и Равна НУЛЮ
вне 'тт.т7~; —irr • В точках 0 и 1 функция х»(ж) полагается пределу спра-2
ва (слева соответственно), а в остальных точках отрезка [0,1] Хп{х) равна среднему арифметическому правого и левого пределов.
При определении функций Уолша мы будем использовать не отрезок [0,1]. а «модифицированный» отрезок J* (см. [2]). Кроме того, мы рассматриваем функции Уолша в нумерации Пэли (см. [34]).
Перейдем к описанию основных результатов работы. В первой главе устанавливается взаимно-однозначное соответствие между рядами Хаара и аддитивными функциями двоичного интервала. Наличие и сам вид этого соответствия позволяют переформулировать задачи для рядов Хаара на язык аддитивных функций двоичного интервала. Аналогичная ситуация имеет место и для рядов Уолша. Практически все результаты данной работы получены в терминах адаптивных функций двоичного интервала.
Кроме введения работа содержит четыре главы, каждая из которых поделена на параграфы. Глава 1 посвящена множествам единственности для двумерных рядов Хаара. В связи с тем, что лишь пустое множество является (/-множеством для рядов Хаара, мы пользуемся следующей терминологией. Рассматривая класс рядов Хаара, удовлетворяющих условию (а), скажем, что множество А является М-множеством для рядов Хаара с условием (а), если существует ряд Хаара, удовлетворяющий условию (а), который сходится к нулю вне А и не все его коэффициенты нулевые. Если такого ряда не существует, то есть из сходимости к нулю ряда Хаара с услови-
ем (а) вне множества А следует, что ап>т = 0 для всех п, т = 1,2,..., то множество А назовем {/-множеством для рядов Хаара с условием (а). Такие [/-множества называются множествами относительной единственности. Изучению множеств относительной единственности для различных систем посвящены работы Г.Г. Геворкяна, H.H. Холщевниковой и др.
В § 1.2 в качестве условия (а) рассматривается условие
Ит = о, (1)
*,/->+ 00 Xnkmt(x,y)
и показывается, что множество А является М-множеством для рядов Хаара с условием (1) тогда и только тогда, когда А содержит совершенное подмножество В (при этом уточняется структура множества #), где п*, пгц — последовательность номеров таких, ЧТО носитель Хпкт, содержит точку (X, у)
я я
и имеет вид
р р+1 2*-1; 2*-1
х 2/ГГ> • Аналогичные теоремы были полу-
чены Г.М. Мушегяном (в одномерном случае, см. [8]) и В.А. Скворцовым и Х.О. Мовсисяном (в двумерном случае для сходимости но прямоугольникам, см. |7| и [21]). При этом, описанный выше результат является следствием более общего результата, установленного в этом параграфе.
В работе [21] показывается, что если двумерный ряд Хаара сходится к конечной сумме по прямоугольникам на всем единичном квадрате, то всюду на [О, I]2 выполняется не только условие
Ит _Опкш1 = 0> (2)
к,1—юо Xnkmi\^i У)
являющееся следствием того, что общий член сходящегося ряда стремится к нулю, но и более сильное условие
Ит а-*р-= о, (3)
*+/->00 ХпктАх^У)
В § 1.3 показывается, насколько общей является /»-регулярная сходимость рядов Хаара. А именно, приводится пример всюду р~ регулярно сходящегося ряда Хаара, для которого в отдельной точке ire только не выполняются условия (2) и (3), но и достаточно слабое условие
lim аПТ \ = °> (4)
*,/—>+оо Хпкт,[Х,У)
т'п(?>£)2р
б
При этом последовательность
апктк±.у
(где 7 такое, что р = 1/27) можно
сделать сколь угодно быстро растущей.
В § 1.4 мы ставим задачу нахождения М-множеств (или [/-множеств) с условием
где 0 ^ а < 1. Для этого вводятся новые числовые характеристики совершенных множеств, называемые нижним и верхним индексами множества, которые мы обозначаем ііібА и іпсІА. Не приводя определения новых понятий, отметим лишь, что 0 ^ ІПСІЛ $ іпсІЛ ^ 1 для любого непустого совершенного множества ,4. Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.
Теорема 1. Если А — М -множество для рядов Хаара с условием. (5), то А содержит совершенное множество с іпсШ ^ а, где а берется из условия (5).
Теорема 2. Если А С [ОД]2 содержит только совершенные подмножества В с іпсШ < а, то А — II-множество для рядов Хаара с условием (5). В частности, утверждение верно, если А совершенно и іпсіА < а.
Теорема 3. Если А С [ОД]2 содержит совершенное подмножество В с іпсШ > а, то А — М -множество для рядов Хаара с условием
Теорема 4. Для любых 0 ^ а ^ /3 ^ 1 существует совершенное
Теорема 2 является прямым следствием теоремы 1, и вкупе с теоремой 4, показывает существование совершенных /У-множеств для рядов Хаара с условием (5) при 0 < а < 1. Более того, в доказательстве теоремы 4 указывается способ построения достаточно большого числа таких [/-множеств. Подобные теоремы могут быть доказаны и для одномерного случая. Хотя в одномерном случае условие (5) (в несколько иной форме) было поставлено (для одномерных рядов) в работе В. Уэйда (см. [38]), но задача описания хотя бы какого-то класса совершенных [/-множеств для (одномерных) рядов Хаара с условием, подобным условию (5), (для 0 < а < 1) не была решена. Методы данной диссертации позволяют получить совершенные (/-множества и в этом случае.
Следует отметить, что, несколько модифицировав понятия верхнего и нижнего индексов совершенных множеств, были получены определения обоб-
Зі\,м(я, у) = о((ХМ)1 а) при X, М -> +оо и тіп
(5).
множество В с іпсШ = а, іпсШ = /3.
7
щенных верхнего и нижнего индекса, с помощью которых основные результаты § 1.4 (в частности, теоремы 1- 4) уточнены.
Результаты § 1.2 и § 1.4 дают очевидное следствие, которое, не будь оно верным, делало бессмысленным рассмотрение U-множеств для рядов Хаара. А именно, пустое множество является [/-множеством для двумерных рядов Хаара при р-регулярной сходимости (р = 1/27). Это обобщает тот факт, что пустое множество есть [/-множество для двумерных рядов Хаара при сходимости по прямоугольникам. Последний факт следует из уже упомянутых работ В.А. Скворцова (см. [21]) и Х.О. Мовсисяна (см. [7|), а для одномерного случая подобный результат установлен независимо в работах М.Б. Петровской (см. [11]) и В.А. Скворцова (см. [23]).
Тем не менее, основные теоремы единственности, установленные при р-регулярной сходимости при р = 1/27, где 7 — натурально, не переносятся на случай р = 1. А именно, в § 1.5 построен пример двумерного ряда Хаара, не все коэффициенты которого нулевые, сходящегося к нулю но квадратам всюду на [О, I]2, то есть для которого всюду на единичном квадрате lim S„ „(x,y) = 0.
n-»oo
Во второй главе рассматриваются вопросы единственности представления функций двумерными рядами Хаара. Целью ставится построение обобщенных интегралов, относительно которых ряды Хаара, удовлетворяющие условиям (1) или (5), сходящиеся вис некоторых [/-множеств для рядов Хаара с соответствующими условиями, являются рядами Фурье своих сумм. Более общо, сходимость вне [/-множеств иногда может быть заменена более слабыми условиями. Для условия (1) построен интеграл перроновского типа, называемый в работе (Р^)-интегралом, и доказан следующий достаточно общий результат.
Теорема 5. Пусть двумерный ряд Хаара с частичными суммами Snm(х'.у) и не более чем счетное множество А удовлетворяет следующим условиям: если точка {х,у) имеет две двоично-иррациональных координаты
(N АЛ
и (х,у) £ А, то Sn м(х,у) ограничена в точке (х.у) при min —, — ) ^
\ М )
^ р\ если (х,у) имеет ровно одну двоично-рациональную координату и
’ /N М\
(х,у) (£ А, то SNyM = o(yfNM) при N,М -> оо и min ( —, — I > р\
всюду на единичном квадрате ряд Хаара. удовлетворяет условию (1). Тогда ряд р-регулярно сходится к конечной сумме }{х,у) почти всюду па [ОД]2 и является рядом Фурье относительно (Р^*)-интеграла функции f(x,y),
8
то есть апт = f f(x,y)Xn,m(Vjy)dxdy, где под интегралом понимается [ОД]2
(Р р£)-интеграл.
Во второй главе построен также еще один интеграл перроновского типа, названный (Р^1°)-интегралом, который определяется совершенным множеством Ua с indUn < а. С его помощью доказан следующий результат.
Теорема 6. Пусть двумерный ряд Хаара всюду па [ОД]2 удовлетворяет условию (5) с 0 < а < 1, сходится к конечной сумме f(x,y) вне совершенного множества Ua с, indUQ < а. Тогда данный ряд есть ряд Фурье функции f(x.y) относительно (Р\^ а)-интеграла, то есть оп,т =
= (pPRUa) / f(x#)Xnjn(x,y)dxdy.
[ОД]2
Основной для третьей главы является следующая теорема.
Теорема 7. Пусть всюду на единичном квадрате ряд Хаара сходится р-регулярно к конечной сумме f{x,y), интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле. Тогда данный ряд является рядом. Фурье-Перрона своей суммы.
Теоремы подобного рода для других функций устанавливались и ранее. М.Б. Петровской (см. [101) было доказано, что если (одномерный) ряд Хаара сходится всюду на [0,1] к конечной суммируемой функции }{х), то данный ряд есть ряд Фурье функции f{x). В двумерном случае аналогичный результат установлен Ф.Г. Арутюняном и A.A. Талаляном (см. |1[). Если же f(x) интегрируема по Перрону, то одномерный аналог теоремы 7 был доказан В. А. Скворцовым (см. [16]). Аналог теоремы 7 для сходимости по прямоугольникам и для функции f(x,y), интегрируемой по Перрону в нерегулярном смысле был установлен тем же В.А. Скворцовым (см. [20]), который фактически и обобщается теоремой 7. Здесь следует отметить, что, во-первых, упомянутый последний результат В.А. Скворцова существенно опирается на то, что из сходимости по прямоугольникам двумерного ряда Хаара следует условие (3), которое, как отмечалось в § 1.3, не выполняется для />~регулярной сходимости. Поэтому, для доказательства теоремы 7 приходится применять качественно другие методы доказательства, чем в работе [20]. Кроме того, теорема 7 является следствием более общего результата, который мы сейчас приведем.
В главе третьей был построен (Р^)-интеграл, относительно которого всюду сходящийся двумерный ряд Хаара есть ряд Фурье своей суммы. Тогда теорема 7 получается из следующей теоремы.
9
Теорема 8. Если функция }(х,у) является одновременно (Реинтегрируемой и интегрируемой по Перрону в р-регулярпом смысле, то с оотв етствующие ш тег рал ы совпади ю т.
Доказательство теоремы 8 достаточно сложно. При этом строится некий обобщенный интеграл, называемый (Рв.(щ(х, $/)))-интегралом, который покрывает и (Рд)-интеграл, и /^-регулярный интеграл Перрона. В качестве вспомогательного средства доказывается результат, относящийся к теории обобщенных интегралов, имеющий самостоятельный интерес. Для аддитивной функции двоичного интервала F строится вариационная мера VpRt подобно тому, как это делается в классической монографии Осташевского (см. [33]). Установлены две теоремы, называемые обычно теоремами о характеризации (вторая из них также называется теоремой о полной характеризации).
Теорема 9. Пусть аддитивная функция двоичного интервала Е(Л) имеет р-регулярную двоичную производную DPRF почти всюду па [ОД]2. Тогда F является неопределенным двоичным р-регулярпым интегралом Хепстока от некоторой функции f(x,y) тогда и только тогда, когда VpR абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.
Теорема 10. Аддитивная функция двоичного интервала F(A) есть неопределенный р-регулярный двоичный интеграл Хепстока от некоторой функции f(x,y) тогда и только тогда, когда VpR абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.
Теорема 10 следует из теоремы 9, если доказать, что из абсолютной непрерывности VpR следует существование производной DPRF почти всюду. Аналоги теоремы 9 для обычного (одномерного) интеграла Хенстока-Курцвейля установлены Ярником и Курцвейлем, П. Ли и Р. Выборны, а также В. Пфеф-фером (см. |29], (32), [37]), а для р-регулярного (но не двоичного) интеграла Хенстока теми же Ярником и Курцвейлем (см. [30]). Аналоги теоремы 10 для различных интегралов были установлены В. Бонжорно, Л.Ди Пиаццей и В.А. Скворцовым (для интеграла Хенстока-Курцвейля, см. [6]), и 3. Бу-чоличем и В. Пфеффером для некоторых многомерных обобщенных интегралов (см. [27], [35], [36]). Но все эти интегралы не покрывают двоичный р-регулярный интеграл Хенстока, поэтому мы не имеем возможности применить многочисленные уже известные результаты.
В четвертой главе на J* х J* (где J* — «модифицированный» отрезок) переносятся понятия обобщенных верхнего и нижнего индексов совершенных
10
множеств. Основным результатом этой главы является то, что для любой пары обобщенных верхнего и нижнего индексов (если первый из них не меньше второго) существует совершенное [/-множество для двумерных рядов Уолша с р Є (в,Множествам единственности для кратных рядов Уолша посвящено достаточно немного работ, из которых следует выделить результаты С.Ф. Лукомского (см. |6]), но они доказаны для сходимости по прямоугольникам (которая менее общая, чем р-регулярная сходимость). Примеры совершенных [/-множеств для одномерных рядов Усшша приведены во многих работах (см., например, [19], [25], [28]). Важность результатов четвертой главы состоит не только в том, что для двумерных рядов Уолша используется р-регулярная сходимость, а еще и в том, что совершенные [/-множества строятся для всевозможных значений новых числовых характеристик совершенных [/-множеств.
Что касается технических моментов, то первая цифра в номере теоремы в самой диссертации совпадает с номером главы, вторая цифра — с порядковым номером теоремы внутри главы; нумерация формул - своя для каждой главы.
В конце приведен список литературы, состоящий из 38 наименований, и список работ автора по теме диссертации (2 наименования).
11
1. Некоторые вопросы единственности для двумерных рядов Хаара
§ 1.1. Определения и вспомогательные утверждения
В главе 1 мы будем рассматривать точки (х,у) € [0,1] х [0,1]. Точку а € € [0,1] мы назовем двоично-рационалыюй, если а = р/2п, где руп — целые неотрицательные числа. Множество двоично-рациональных точек мы будем обозначать Я. Точки отрезка [0,1], по являющиеся двоично-рациональными, будем называть двоично-иррациональными. Множество таких точек обозначим через I.
,-т ^ Гр Р+11 Г<? 9 + 1'
(Двумерный) замкнутый интервал вида —, х —, , где
пгт = 0,1...; р = 0, ...,2П — 1; д = 0, ...,2т — 1, будем называть двоичным интервалом, а пару чисел (п, га) — его рангом. Двоичный интервал ранга (п,п) назовем двоичным квадратом.
Пусть (х,у) € [0,1]2, а {Да,/} — двойная последовательность двоичных интервалов. Последовательность {А*,*} назовем основной для точки (х,у), если (х,у) € Ам для любых /с,/; Да-ы,/ С Да,/, Да,/+1 С А*/, а также ранг Аь,1 равен (&,/). Если координаты хуу — двоично-иррациональны, то существует единственная последовательность {Да./}, основная для (х,у). Если х 6 Я и у 6 /, то существуют две последовательности {Да,/}, основные для точки (х,у), за исключением случая, когда (х.у) лежит на границе [0,1]2. Естественным образом мы назовем их «левой» и «правой» основными последовательностями. Аналогично, если х 6 1}у 6 Я, то существуют две последовательности {Да-./}, основные для точки (х,у), за исключением случая, когда (я, у) лежит на границе [0,1]2. Эти последовательности мы естественным образом назовем «верхней» и «нижней». В случае, когда х, у 6 Я, то существуют четыре основных для точки (х,у) последовательности {Да,/}: за исключением случая, когда (х,у) лежит на границе [0,1]2. Назовем их «левой верхней», «левой нижней», «правой верхней» и «правой нижней».
По поводу данных определений см. [15], [16], [21].
Введем одно новое определение. Пусть двоичный квадрат А имеет вид
, где п,р,<7, г, у — целые неотрица-
2р + г 2р н- г -Ь 1 у '2д 2q + j + 1
2п ’ 2п X 2тп ) 2т
тельные числа, причем г и j равны либо нулю либо единице. Пару чисел (г,.?) мы назовем типом двоичного квадрата А. Отметим следующие факты, которыми мы будем неоднократно пользоваться. Пусть {Да,а} ~ вложеп-
12
ная последовательность двоичных квадратов, причем ранг равен (к, к). Тогда:
1. А^к (х,у) (то есть А*,* стягивается к точке (х,у), что означает,
что р| Ак}к = (®>3/))> гДе Х>У £ -Л если среди типов (іьік) квадратов
Ак,к каждое из чисел 0 и 1 встречается бесконечное число раз как в последовательности г*, так и в последовательности їк.
2. Ад.д. -» (х,у), где х € 1>у Є Я, если в последовательности г* каждое из чисел 0 и 1 встречается бесконечное число раз, а в последовательности Ік одно из чисел 0 или 1 встречается конечное число раз.
3. А к,к —> (т, у), где х Є Я, у Є /, если в последовательности і к каждое из чисел 0 и 1 встречается бесконечное число раз, а в последовательности ік одно из чисел 0 или 1 встречается конечное число раз.
4. А к.к —■► (т, у), где ху у € Я, если как в последовательности і к одно из чисел 0 или 1 встречается конечное число раз, так и в последовательности Ік одно из чисел 0 или 1 встречается конечное число раз.
Пусть задан ряд Хаара
В работе [40] отмечалось, что если А — двоичный интервал, то
лее того, если Акл — двоичный интервал ранга (&,/), то Ф(Д^) =
2* 21 2* 2‘
= Е Е / а-п,тХп,т{Х’У)АХ^у = |Д*,;| Е Е «.»,тХг»,т(^0, Уо), где (х0,Уо)-
п=I т=1 Ди п=1 т—\
внутренняя точка (любая) интервала А*,/. Таким образом, вводя обозначение N М
5ту,м(я>2/) = Е Е ^п,тХп,т(х,у), получаем, что
+00
+оо +00
(і)
Рассмотрим функцию
ЛИШЬ конечное ЧИСЛО значений / Оп,тХп,т(я,у)<ІХ<Іу отлично от нуля. Бо-
д
71=1 771=1
(3)
13
где (х,у) — любая внутренняя точка интервала Д^/.
Так как, если Д — двоичный интервал, то в формуле (2) лишь конечное
ЧИСЛО значений / Оя,тХп,т(#>2/)^Я<2у ОТЛИЧНО от нуля, мы можем заключить, д
что двойной ряд в указанной формуле сходится в этом случае абсолютно. Отсюда можно видеть, что в силу конечной аддитивности интеграла Римана функция Я/(Д) является аддитивной (точнее конечно-аддитивной) функцией двоичного интервала. Это означает, что если Д, ДьДр — двоичные интер-
р
валы, причем Д = и Д{, а интервалы Д* попарно неперекрывающиеся (то
»=1
есть их внутренности попарно не пересекаются), то имеет место равенство
Ф(Д) = ЕФ(Д?).
*=1
Отметим некоторые свойства аддитивных функций двоичного интервала. Замечание 1. Пусть на каждом двоичном квадрате Д С [О, I]2 задана функция Р(Д), удовлетворяющая следующему свойству: если Дп>п
4
двоичный квадрат ранга (п, п) и Ап^п = У Д}1+1я+1, где Дп+1П+1 попарно
»=1
неперекрывающиеся двоичные квадраты ранга (п + 1, п + 1), то Р(Дн.п) =
4
= X) р (д;1+1,п+1). Тогда мы можем определить функцию Р' па любом дво-
ичном интервале следующим образом: если Д — двоичный интервал, то раз-
бив его на конечное число попарно неперскрывающихся двоичных квадратов = 1 , ...,р (это всегда можно сделать!), мы определим Р'(Д)> как р
X Р(Д,). Мы утверждаем, что Р' — корректно определенная аддитивная >=1
функция двоичного интервала, причем, на двоичных квадратах Р' совпадает с Р.
Действительно, Р' — аддитивная функция двоичного интервала. Пока-
р я
жем, что Р' корректно определена. Пусть Д = Д, = 1Д /*, где Д, и Д
4=1 к=1
двоичные квадраты, причем квадраты Д, попарно не перекрываются и квадраты Д попарно не перекрываются. Заметим, что если Д^ П /[! Ф 0, то один
из квадратов содержится в другом, а значит Д* П Д — двоичный квадрат.
р я
Тогда £ Р (А*) = X! Р(Д*П/*) = X Корректность определения
*=1 Д?П/£^0 к= 1
Р' доказана. Остается заметить, что на двоичных квадратах Р' совпадает с Р.
Нетрудно заметить, что наши рассуждения почти дословно повторяют теорему о продолжении меры с полукольца на порождаемое им кольцо (см.
14