Оглавление
Введение..............................................
1. Конечномерные редукции фредгольмовых функционалов...............................................
1.1. Потенциальные фредгольмовы уравнения. .
1.2. Конечномерные редукции.....................
1.3. Общая схема редукции Ляпунова - Шмидта.
1.4. Практическая схема локальной редукции . .
1.5. Функционалы с симметрией параллелепипеда.
2. Краевые экстремали. ;. ..................
2.1. Краевые особенности гладких функционалов..............................................
2.2. Редукции функционалов с симметрией. . . .
2.3. Симметричное однородное ограничение. . .
2.4. Неоднородное симметричное ограничение. .
2.5. Комбинированное ограничение................
2.6. Исключительный случай......................
3. Анализ симметричных возмущенных двумерных
сборок при наличии полуограничений...............
3.1. Возмущенная двумерная сборка с симметрией параллелепипеда............................
2
4
28
28
32
33
36
39
43
43
49
52
54
55
57
63
63
3.2. Ограничение & > 0.......................... 68
3.3. Ограничение > с............................ 71
3.4. Ограничение Н- <762 > О.................... 86
4. Приложения........................................96
4.1. Бифуркации равновесных конфигураций упругой пластины......................................96
4.2. Вариационная краевая задача для обыкно-
венного дифференциального уравнения четвертого порядка...........................114
Литература ...........................................119
3
Введение
В оптимальном управлении, теории упругих систем, теории фазовых переходов и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи вида
V(x) —* inf. д{х) >0, х € М
(с полуограничением), где V(x),g(x) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М [26], [34], [47]. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей вблизи края банахова многообразия [1, 12, 30, 35, 40, 50].
Бифуркации экстремалей в классической ситуации (без по-луограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции (см. [34], [26], [40] и литературу в этих источниках).
Используемое (в большинстве известных работ) условие фред-гольмовости функционалов позволяет применять различные схемы конечномерной редукции (схемы Ляпунова - Шмидта, Морса -- Ботта и их обощения), дающие возможность применения в бесконечномерных экстремальных задачах достижений современного анализа гладких функций конечного числа переменных.
В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях имеется раздел, связанный с анализом так называемых краевых особенностей (В.И. Арнольд [3],[2], С.Т.С. Уолл [60], Д. Сирсма [59], Д. Пит, Т. Постон, И. Стюарт [34] и др.). В частности, В.И. Арнольдом сформулирован принцип отожде-
ствления краевых особенностей с особенностями, инвариантными относительно действия элементарной инволюции (инволюция называется элементарной, если коразмерность ее зеркала равна единице). Этот принцип позволил перенести понятие краевой особенности на комплексный случай и развить соответствующую теорию [3].
До недавнего времени в рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях имелось мало законченных результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевой особенности ([37], [17]) и практически неизученной оставалась задача о бифуркации экстремалей в случаях согласованного наложения элементарной симметрии, нолуограничения и обычного (безусловного) вырождения.
В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов в условиях совмещения двух факторов — 1) симметричного (с симметрией параллелепипеда) двумерного вырождения и 2) краевой особенности, инспирированной симметричным полуограничени-ем.
Соответствующие бифуркационные эффекты (вызванные наложением краевых и симметричных особенностей) изучены посредством включения ограничителя д(х) в совокупность ключевых параметров.
Классификация типов возникающих при этом особенностей и изучение соответствующих раскладов бифурцирующих мор-совских экстремалей произведены на основе редукции к ключе-
5
вой функции от двух или трех ключевых переменных. В типичном случае редукция приводит к задаче анализа функции на полуплоскости с особенностью двумерной сборки, четной по каждой из ключевых переменных. Основное содержание рассматриваемой задачи — исследование всех Ы/-раскладов (распадений) вырожденной краевой (лежащей на крае полуплоскости) критической точки при всевозможных регулярных гладких возмущен иях функции.
В исключительном случае, в котором дгас1 д(х) ортогонален основным модам бифуркации, возникает необходимость редукции к ключевой функции от трех переменных, анализ которой эквивалентен анализу одного из вариантов угловой трехмерной сборки [16],[17]. Результаты работ А.В.Гнездилова нетрудно приспособить для описания Ы}—раскладов краевых особенностей в исключительном случае.
Совмещение симметрийных и краевых особенностей приводит к новым бифуркационным эффектам, представляющим интерес для теории упругости [62 ’ и теории кристаллов [19],[20]. Среди найденных эффектов можно отметить такие, как 1) появление морсовских краевых особенностей с нулевым градиентом (для обычных краевых особенностей это исключено) и 2) сосуществование на крае трех седел или трех разнотипных критических точек — минимума, седла и максимума — для функционала с особенностью (обычной) двухмерной сборки С
Сборкой размерности п называется гладкая полуоднородная функция четвертого порядка от п переменных. Заменой координат она приводится к виду №(х) = хк +
6
Таким образом, изучение краевых и симметричных особенностей представляет не только чисто теоретический, но и прикладной интерес.
В диссертации рассмотрены два приложения: 1) к задаче об упругом равновесии пластины Кармана (из теории упругих оболочек) с интегральным ограничителем и 2) к задаче о бифуркации решений вариационной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с интегральным или терминальным полуограничением.
Следует отметить, что для уравнения Кармана имеются дополнительные трудности, связанные с отсутствием информации о возможных значениях коэффициента двойного отношения (КДО) в квартичной части ключевой функции. Явное его вычисление в настоящее время пока никем не проведено. Однако на основе оценки значений КДО снизу, вытекающей из компьютерных вычислений [52] (для ряда случаев), и с использованием теоремы С.Л.Царева о гладкой эквивалентности ключевых функций [41] удалось полностью изучить ^/-расклады во всех наиболее важных случаях.
Используемые методы. Диссертация использует методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, разработкой которой занимались М.Л. Красносельский, П.П. Забрейко, H.A. Бобылев, М.М.Вайнберг, В.А. Треногий, Б.В. Логинов, H.A. Сидоров, К).Г. Борисович, Ю.И. Сапро-Е л»*** •••!*“ (37).
7
нов, В.Г. Звягин, В.Р. Зачел а, АЛО. Борисович, Дж. Марсден, Д. Сетинжер, А. Вейнстейн, У.Козель и многие другие математики [25, 26, 27, 7, 11, 28, 45, 22, 9, 55, 56, 61, 33].
В диссертации использованы также элементы анализа гладких функций на конечномерных многообразиях, развитого в работах X. Уитни, Р. Тома, В.И.Арнольда, С.М. Гусейн-Заде,
А.А.Давыдова, В. Поэнару, С.Т.С. Уолла, Д. Сирсмы и др. [2, 60, 59, 58]
Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в вырожденной краевой экстремали и классификация Ы/~ раскладов из краевой критической точки с 2—мерным вырождением.
Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа (теория нелинейных фредгольмовых уравнений на гладких банаховых многообразиях), вариационного исчисления и анализа гладких функций многих переменных.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала в краевой критической точке.
2. Получена полная классификация раскладов бифурцирую-щих экстремалей (в виде списков изображающих матриц) для 2—мерных симметричных сборок на крае.
3. Найдены новые бифуркационные эффекты: сосуществова-
8
ние разнотипных и однотипных троек бифурцирующих краевых экстремалей.
4. Получено приложение к задаче о бифуркации форм упругого равновесия пластины Кармана (из теории упругих оболочек) с симметричным интегральным ограничителем.
5. Получено приложение к задаче о бифуркации решений вариационной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с симметричным интегральным или терминальным пол у ограничением.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей вблизи края банахова многообразия.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции ’’Понтрягинские чтения - XII” [66], на международной конференции "Стохастический и глобальный ана-лиз” [62], на Воронежских зимних математических школах [64, 65], на международной конференции по топологическим методам в вариационном исчислении (г. Познань, Польша, 2000 г.), на семинарах проф. Сапронова Ю.И. по приложениям теории
9
особенностей (математический факультет ВГУ) и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [62] — [69].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 13 параграфов, и списка цитируемой литературы из 69 наименований. Общий объем диссертации — 128 стр.
Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (27 рисунков), выполненной посредством визуализирующей программы, изготовленной доцентом кафедры математического моделирования ВГУ С.М. Семеновым.
Краткое содержание работы
В первой главе изложены элементы теории фредгольмовых функционалов. Пусть Е, F — банаховы пространства. Линейный ограниченный оператор А : Е —> F называется фредголь-мовым, если Кег А и Coker А = F/Jm А конечномерны. Индексом фредгольмова оператора А называется число ind А = dim Кег А - dim Coker А. Гладкое отображение / : Е —» F называется фредгольмовым, если ||(т) — фредгольмов оператор, индексом / называется индекс оператора Ц(х).
В диссертации всюду предполагается, что / — фредгольмово отображение нулевого индекса. При этом Е С F С #, где Н — гильбертово пространство, Е и F плотно и непрерывно вложены
10
- Київ+380960830922