V
Оглавление
Список обозначений 3
Введение 6
1 Приближение операторов дифференцирования первого и второго порядка на классах И?чН((о) дважды дифференцируемых функций на полупрямой. 22
§1. Постановка задачи и некоторые общие результаты..... 22
§2. Наилучшее приближение оператора дифференцирования
первого порядка.................................... 28
§3. Наилучшее приближение оператора дифференцирования
второго порядка..................................... 35
2 Конечноразностная аппроксимация оператора дифференцирования. *. 43
§1. Постановка задачи и предварительные результаты..... 43
§2. Аппроксимация оператора дифференцирования первого
порядка........................................... 46
§3. Аппроксимация оператора дифференцирования высокого
порядка............................................. 53
§4. Сравнение аппроксимативных свойств наилучшего и конечноразностного операторов. .................... . . . . 56
3 Относительная константа Юнга пространства 59
§1. Постановка задачи и предшествующие результаты...... 59
§2. Относительная константа Юнга пространства 1’^...... 60
Литература * 66
2
Список обозначений
К — вещественное пространство;
T>(U) — область определения оператора Ы\
E(N) = E(N,U,Q) = infS:||5||^vsupie(3\\Ux - 5ж||к - величина наилучшего приближения оператора U на классе Q, лежащем в области определения Ы линейными операторами с нормой, ограниченной числом N > 0;
U(S) = supx6g \\Ux - Sx||y — величина уклонения оператора S от оператора U на классе Q\
Ф(/і) = sup {||Ш;||к : x Є ^ І*} — модуль непрерывности
оператора;
І — числовая ось (—оо,+оо) или полуось [0, +ос);
С (І) — пространство непрерывных и ограниченных на. I функций / с нормой 11/11 = ||/||с(/) = sup {|/(х)| : х Є /};
С(1) — пространство равномерно непрерывных на / функций;
ш(6) = ш(д,д) = sup {[(?(«!) -5(і2)| •• hM € /,|<і -h\ < <*} - модуль непрерывности функции д\
Н(ш) — для заданного со множество функций / Є С(7), для которых co(f,6) ^ 5^ 0;
WnH(co) = {/ € С{1) : /М Є Н(со)} — класс п раз (п ^ 0) дифференцируемых функций на /, чья п-я производная принадлежит //(<*>);
3
УУпНа{1) — класс всех дифференцируемых функций / из С(1) с п-ой производной, удовлетворяющей условию Липшица порядка
||/(п+°)|| — наименьшая константа Ь = £(/) в неравенстве и;(/(п),£) ^
^ Ь5а, 6> 0;
К(к)п^ а) — наилучшая константа в неравенстве Колмогорова для функций / Е >УпЯа
е(Л^,£»*,ЖпЯ(у)) = т%ц^8ир/еИ,пНМ|/(*>(0)-5/| - величина наилучшего приближения функционала /^(0) линейными функционалами 5 Е С*(/) с нормой, ограниченной числом ТУ;
Яп = {/ 6 С(/) : ||/(")|Ц0О(/) < 1} - класс функций / € С(1) с локально абсолютно непрерывной (п — 1)-й производной на I.
такой что /<п) € Ьж(1) и ||/(п)||^(/) ^ 1;
(г*/)(0 = /(х> + 0 ” оператор сдвига;
У(Х) — совокупность выпуклых ограниченных замкнутых множеств в банаховом пространстве X, состоящих более чем из одной точки;
с1(М) = 8ирХ}УеМ ||ж - 2/|| — диаметр множества М;
г(М) = infp€x вирж€АГ \\х ~ Р\\ ~~ чебышёвский радиус множества М:
г8(М) = т{дем ыРхеМ \\х ~ я\\ — относительный чебышсвский радиус множества М;
АХ)=зпрШ:МеУ(Х)} — константа Юнга пространства Х\
4
JS(X) = sup : M Є V'POj — относительная константа Юнга
пространства X;
l{X) = sup : M Є V(X) | — геометрическая характеристика
пространства X;
^ — n-мерное пространство с нормой \\х\\ = maxJ=j^ \х,\, где xj — j-ая координата точки х.
5
Введение
Диссертация посвящена задаче наилучшего приближения операторов дифференцирования линейными ограниченными операторами в пространстве С на оси и полуоси и родственнным экстремальным задачам.
Задача о наилучшем приближении линейного неограниченного оператора Ы, действующего из банахова пространства X в банахово пространство У, линейными ограниченными операторами 5 : X У на классе (£ из области V = Т>(Ы) определения оператора 1А была поставлена С. Б. Стечкиным в (25). Задача состоит в нахождении величины
и построении экстремального оператора S* = S*(N,U, Q), то есть такого оператора, на котором достигается точная нижняя грань в (1).
Известно, (см. [7], [25], |4], [6] и приведённые там ссылки), что задача (1) тесно связана с другими экстремальными задачами: некорректными задачами восстановления операторов, заданных с погрешностью, задачами численного дифференцирования, неравенствами Колмогорова. Этим задачам посвящено большое количество работ Л. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, С. Б. Стечкина, Н.С. Бахвалова, Ч. Мичел-ли, Т. Ривлина, В. В. Иванова, В. А. Морозова, В. В. Ваоина, В. II. Та-наны, A.A. Женсыкбаева, Г. В. Хромовой, В. В. Арестова, В.Н. Габуши-на, Ю.Н. Субботина, Л. В. Тайкова, В. М. Тихомирова, А. П. Буслаева, Г. Г. Магарил-Ильяева и др. (См. |7], |8], [31], |6), |19| и приведённую там библиографию.)
Функцию Ф, определённую на полуоси [0,оо) формулой
называют модулем непрерывности оператора^ на классе Q. Как показал
E{N) = E(NM, Q) = inf sup ||Ux - Sx\\Y
x£q
(1)
Ф(/л) = sup {||Wx||k :xeQ, ||г||л < t*},
(2)
6
- Київ+380960830922