#с<*« , I
POCCWtfC
0 A.M.Ефимов, 2001
Typeset by «AvfS-TftX
СОДЕРЖАНИЕ
Содержание 3
Введение 5
Глава О. Предварительные сведения 16
§0.1.. Псевдовыпуклость и алгеброидные функции 16
a) Псевдовыпуклость 16
b) Алгеброидные функции 18
§0.2. Голоморфные отображения 20
a) Голоморфные отображения 20
b) Биголоморфные отображения 22
c) Собственные голоморфные отображения 26
<1) Голоморфные соответствия 27
§0.3. Метрики Каратеодори и Кобаяси 29
a) Метрики Каратеодори и Кобаяси 29
b) Невозростание и инвариантность метрик Ка-
ратеодори и Кобаяси, невырожденность для ограниченных областей 31
c) Метрика Каратеодори при голоморфных соответствиях 32
з
СОДЕРЖАНИЕ
с1) Граничное повеление метрик Каратеодори и Кобаяси е) Метрика Сибони
Глава 1. Алгеброидные функции и Лемма Жю-лиа
§1.1. Оценки алгеброидных функций
§ 1.2. Глобальные оценки
§1.3. Лемма Жюлиа для алгеброидных функций
Глава 2. Граничное поведение метрики Кобаяси в неограниченных областях
§2.1. Выбор локальной определяющей и ее продолжение
§ 2.2. Модельная ситуация
§ 2.3. Поведение метрики Кобаяси вблизи точек строгой псевдовыпуклости
Глава 3. Обобщение теоремы Вонга — Розея для неограниченных областей
§ 3.1. Локальная определяющая и глобальные биголо-морфные преобразования
§ 3.2. Теоремы о биголоморфной эквивалентности области единичному шару в С”
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей диссертации изучаются некоторые аспекты теории голомофных отображений в пространстве Сп, (п > 1). Основным ее отличием от своего одномерного аналога является феномен жесткости. В С1 при п > 1 нет аналогов классической теоремы Римана о конформном (биголоморфном) отображении односвязной области, граница которой содержит более одной точки, на единичный круг. Еще в 1907 году А.Пуанкаре показал, что такие простейшие области в С2, как шар и бикруг, голоморфно не эквивалентны. Обобщениями этого факта являются следующие результаты о том, что ограниченную область в С" с гладкой границей нельзя биголоморфно отобразить на
(1) аналитический полиэдр с кусочно-гладкой границей (Хенкин,
И);
(2) ограниченную псевдовыпуклую область с кусочно-гладкой границей (Пинчук, [РЗ]);
(3) голоморфное расслоение, у которого база и слой имеют положительную размерность (Хакльберри и Ормсби, [НО]).
Эти результаты показывают, что голоморфным отображениям многомерных областей присуща большая жесткость (ввиду переопреде-ленности системы уравнений Коши-Римана), и что голоморфная эк-
6 ВВЕДЕНИЕ
вивалентность двух случайным образом выбранных областей из С" является скорее исключением, чем правилом. Такой вывод подтверждается и результатом Бернса, Шнайдера и Уэллса [ВБШ] о том, что в пространстве функций, определяющих строго псевдовыпуклые области в С1, областям, бнголоморфно неэквивалентным произвольной фиксированной области соответствует всюду плотное множество второй категории.
К результатам положительного характера можно отнести, во-первых, хорошо известную теорему Вонга-Розея о биголоморф-ной эквивалентности строго псевдовыпуклой области с некомпактной группой автоморфизмов и единичного шара в Сп (см. [И, \¥, 14]).
Во-вторых, результат Грина и Крантца, которые показали, что если гранипа ЭО выпуклой области О € С”+1 конечного типа с некомпактной группой автоморфизмов совпадает с дЕ на открытом множестве, где
Е = {Кг,е С+1 : И2 + к|2т‘ + • • • + Ы2т" < 1},
то I) биголоморфно эквивалентна Е (см. [ОК]). Этот результат был затем уточнен Кимом и Кодамой (см. [Ю, Ко]).
В-третьих, серия работ Бедфорда и Пинчука (см. [ВР1, ВР2, ВРЗ]), в которых доказывается, что
(1) ограниченная псевдовыпуклая область И € С2 с вещественно-аналитической границей и некомпактной группой автоморфизмов биголоморфно эквивалентна области
в = {(«>,2) 6 с2: м2 + Н2т < 1};
- Київ+380960830922