Сетевые пространства и их приложения к задачам гармонического анализа

Оглавление
Введение.................................................... 4
Г л а в а I. Многопараметрический интерполяционный
■ метод....................................... 35
§1.1. Функционал Ф03.................................. 35
§1.2. Многопараметрическая интерполяция............... 39
§1.3. Пространство Лоренца Ьр^ д = (?ь...»?п)
и теоремы о реитерации ......................... 41
§1.4. Интерполяция билинейных отображений............. 52
§1.5. Теорема Овчинникова для билинейных отображений 54
Г л а в а II. Сетевые пространства...................... 64
§2.1. Сетевые пространства. Определение, свойства . . 64
§2.2. Интерполяционные свойства сетевых пространств
АГм(М) ......................................... 72
§2.3. Некоторые аналоги и обобщения сетевых пространств 79 §2.4. Анизотропные сетевые пространства Мрч(М) и про-
странства Ьрч, р = (ри... ,рп),ц = (дь... ,д„) . 83
§2.5. Интерполяционные теоремы для анизотропных пространств .................................................. 92
§2.6. Интерполяционный метод для анизотропных пространств ................................................. 103
Г л а в а III. Неравенства типа Харди - Литтлвуда -
Пэл и................................................ 112
§3.1. Об интегральных свойствах тригонометрических рядов с коэффициентами из пространства Лоренца 1рд при р > 2.......................................... 112
§3.2. Свойства суммируемости коэффициентов Фурье функции из пространства Лоренца Ьря(Тп), при р > 2 121
§3.3. Об интегральных свойствах тригонометрических рядов с коэффициентами из анизотропного пространства /рч при р > 2................................... 128
2
§3.4. Необходимые условия принадлежности функции /
пространству Lpq(Tm) при р > 2................ 131
§3.5. Достаточные условия принадлежности функции / пространству Lpq(Tm) при 1 < р < 2 и при 2 <
р<оо.......................................... 137
§3.6. Теорема Харди-Литтлвуда для ортогональных рядов 142 §3.7. Теорема Хард и-Литтлвуда для кратных ортогональных рядов................................... 145
Глава IV. Операторы свертки и мультипликаторы
Фурье............................................... 151
§4.1. О нижней оценке нормы интегрального оператора
свертки....................................... 151
§4.2. Об оценках нормы интеграла типа потенциала в
весовых пространствах Лебега.................. 161
§4.3. О нижней оценке мультипликаторов преобразования Фурье из M(LP -> Lq) ............................ 168
§4.4. О сходимости частичных сумм по гармоническим
отрезкам...................................... 173
§4.5. Об ограниченности частичных сумм тригонометрических рядов Фурье................................... 177
§4.6. Мультипликаторы рядов Фурье................... 183
§4.7. Интегральные операторы в сетевых пространствах.
Неравенство типа Юнга-О’Нейла................. 190
Используемая литература.................................. 198
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория функциональных пространств и неразрывно связанная с ней теория интерполяции операторов являются мощными методами в исследовании уравнений в частных производных, теории рядов Фурье, теории приближений, теории операторов и других разделов математики. Современное состояние этих направлений и их применение отражены в г^вестных монографиях [23], [41], [9], [6], [72], [36], [30], [79], [80], [82], [40], [110], [12] и других.
Диссертационная работа посвящена развитию интерполяционных методов функциональных пространств и их приложениям к задачам гармонического анализа . Основная идея этой работы связана с введением новых пространств Атря(М), названных сетевыми. Данные пространства, в отличии от пространств Лебега, весьма чувствительны к распределению особенностей функции, имеют хорошие интерполяционные свойства. Эти свойства сетевых пространств используются при исследовании коэффициентов Фурье, мультипликаторов Фурье, интегральных операторов.
Первая половина работы (главы 1-П) посвящена построению метода исследования. Здесь отметим следующие результаты:
1. Введен метод многопараметрический интерполяции, который является обобщением вещественного метода Лионса и Петре. Данный метод порождает пространство Лебега Ьзависящее от векторного па-
4
раметра д = (дь...дп) и р. Эти пространства обобщают пространство Лоренца Ьрд и замкнуты относительно вещественного интерполяционного метода (все известные шкалы пространств не обладают этим свойством).
Полностью решена задача реитерации для вещественного интерполяционного метода, а именно, описаны пространства (Ьрдо,Ьт)0т и (АвЧо, АвЯх)аг в недиагональном случае 1/г ф (1 - д)/д0 + «т/дь
Уточнена теорема Лионса и Петре [102] об интерполяции билинейных отображений.
2. Введены сетевые пространства А7рд(М), анизотропные сетевые пространства АГРЧ(М) и анизотропные пространства Арч(Мт). На основе идей работ Фернандеса [93], [94] (см. также [113], [89]), развиваются интерполяционные методы для анизотропных пространств. Изучены интерполяционные свойства введенных пространств.
Вторая половина работы (главы III-V) посвящена решению некоторых задач гармонического анализа . Приведем постановки этих задач.
Задача А. Зависимость интегральных свойств функции / от свойств суммируемости ее коэффициентов Фурье по тригонометрической системе хорошо известна. Наиболее ярким подтверждением этого факта является равенство Парсеваля: для функции / 6 имеет место равенство
где а*-ее коэффициенты Фурье по полной ортонормированной системе. Если же р ф 2, то такого абсолютного результата нет.
Так, при р > 2 верны неравенства
о
5
II/IU, < cp fedfel+ 1),/p_1la*l?
\*€Z
ll/Ik ^(f>p~2
\k=1
носящие названия Харди-Литтлвуда, Хаусдорфа Юнга, Питта, Пэли. Имеются и другие подобные неравенства [105], [13], [100],[76], [77], [29], [85], [22], [70], [71].
Известно также, что ни одно из упомянутых неравенств не обращается ([82]), и более того, согласно теореме Карлемана, существует непрерывная функция /, что для любого е > 0 ряд из ее коэффициентов Фурье ПО тригонометрической системе ^2 \f(k)\2~S = °°-
к$Ъ
Нижние оценки для функции / из Lp при р > 2 доказаны лишь при дополнительных условиях монотонности.
Здесь известна теорема Харди и Литтлвуда
Теорема Пусть 1 < р < оо, р' = р/(р - 1). Если а =
-монотонно невозрастающая, стремящаяся к нулю последователъ-
00
ность, f(x) = а и cos тгкх ? то для того чтобы / 6 Lp[ 0,1], необхо-к=1
димо и достаточно; чтобы последовательность а = принад-
лежала пространству Лоренца 1р>р.
Этот результат на пространство Лоренца и более общие симметричные пространства обобщены в работах Е.М.Семенова [69], А.Б.Гули-сашвили [16], У.Загбера [115], В.А.Родина [67],[66].
Теорему Харди - Литтлвуда для системы Уолша доказал Ф.Мориц [106] и для мультипликативной системы М.Ф.Тиман и К.Тухлиев [77].
В.А.Кокилашвили [26] для тригонометрических рядов ослабил условие монотонности, заменив его на условие квазимонотонности. Для рядов по мультипликативной системе с квазимонотонными коэффициентами теорему Харди - Литтлвуда доказал Г.А. Акишев [1].
Для кратных тригонометрических рядов проводили исследования
чя
, где р' < q < р;
v1/р
ак*р\ ,
6
Ф.Мориц [106], М.И.Дьяченко [18],[19]. Ф.Мориц показал, что если коэффициенты а = удовлетворяют условиям
то условие / Е Ьр, 1 < р < оо эквивалентно сходимости ряда
£ £ *Г2*Г2к,ь1р (о.1)
^1 = 1 *2=1
Если же коэффициенты а = монотонны по каждо-
му переменному индексу &1,А;2? то> как показал М.И.Дьяченко [18], сходимость числового ряда (0.1) эквивалентна / € Ьр(Т2) лишь при 4/3 < р < оо (в случае 2 ^ п, при < р < оо ).
Возникают следующие вопросы:
1) При п ^ 1, 2 < р < оо какие условия (существенно зависящие
от параметров р и <7) для коэффициентов Фурье по тригонометрической системе являются необходимыми для принадлежности функции / пространству Лоренца Ьр(] ?
2) При п ^ 1, 1 < р < 2 какие условия (существенно зависящие
от параметров р и д) для коэффициентов Фурье по тригонометрической системе являются достаточными для принадлежности функции / пространству Лоренца Ьря ?
3) Можно ли расширить класс рядов с монотонными коэффициентами с тем , чтобы сохранялось утверждение теоремы Харди-Литтлвуда?
4) Неравенства Харди-Литтлвуда для кратных тригонометрических рядов в анизотропных пространствах Лоренца?
5) Каким условиям должна удовлетворять ортогональная система, чтобы для нее имела место теорема Харди-Литтлвуда ? Вопросы 1)-4) для общих ортогональных рядов ?
Задача В. Пусть Л = - последовательность комплексных
чисел. Будем говорить, что А 6 тр, т.е. является мультипликатором
Фурье в Ьр, если для функции / Е Ьр(Тп) с рядом Фурье ^ }(к)ехкх
ке%п
найдется функция /д из Ьр(Тп), ряд Фурье которой совпадает с рядом \к/(к)егкхи оператор Тл/ = /д ограничен в ЬР(Т1). тр - линейное
к 6 2П
пространство с нормой
ЦА||„1р = ||Тл||
Ьр—±1уу '
Теория мультипликаторов рядов Фурье имеет своим истоком теорему М. Рисса [23], где показано, что характеристическая функция \л, когда А - отрезок из Ъ, является мультипликатором в £р[0,27т), т.е.
||5л(/)||Р < СУ\\Р, (0.2)
где С не зависит от выбора отрезка А из Ъп и функции / из £Р(ТГП).
В общем же случае, когда А -произвольное конечное подмножество в константа С в (0.2) будет зависеть существенно от геометрических свойств множества А.
Когда А - есть шар, константа С в (0.2) исследована Бабенко К.И. [3], Алимовым Ш.А., Никишиным Е.М., Ильиным В.А.[2], Митягиным Б.С. [39], [38], Кордобой А. [90]. Наиболее полное исследование проведено Юдиным В.А.[83], где показаны оценки с точностью до логарифмического сомнож ител я.
В 1939 г. Марцинкевич в работе [104] получил следующую теорему о мультипликаторах рядов Фурье:
Теорема. Пусть 1 < р < оо, А = {Ат}гпе% -последовательность вещественных чисел, удовлетворяющих условию
2т+1
Р0(А) = 8ир(£ |А* - А*+1| + |А_* - A_jfc_.il) + вир |Ат| < оо,
\._2т т&1.
тогда А - мультипликатор в Ьр[0,2тг) и
. ^ сЕ0(А).
В теореме Марцинкевича условия на последовательность А одинаковы для всех 1 < р < оо, т.е. не зависят от параметра р.
В диссертационной работе рассматриваются следующие вопросы:
1) Для каких еще множеств А кроме отрезков из 2" имеет место утверждение теоремы об ограниченности частичной суммы, т.е. верно соотношение (0.2)?
2) Как константа С из (0.2) зависит от параметра р и конструктивных свойств множества А, а именно, изучается зависимость от N из представления А = и*=1/*, где /* 6 М - некоторый класс конечных подмножеств Ъп для которых имеет место (0.2)?
3) Получение достаточных условий для принадлежности Л пространству шр, которые бы существенно зависели от параметрар! Эта проблема для преобразования Фурье обсуждалась в книге И.Стейна [74].
Задача С. Пусть 51" - п-мерное евклидово пространство. Рассмотрим интегральный оператор свертки
(А/)(х) = I К{х - у)/(у)(1у = К * /
К"
действующий из Ьр в Ья, где Ьр = Ьр(Жп) - пространства Лебега.
При 1 ^ р ^ < +оо, согласно неравенству Юнга имеем, что
1ИЦ, ->ЬЧ ^ \\К\\ьгу где - = 1 - £ + Но данное достаточное условие невозможно применить для операторов со степенным ядром К(х) = |х|-7, 0 < 7 < п.
Согласно неравенству Харди - Литтлвуда оператор
й"
является ограниченным тогда и только тогда, когда ^ = 1 — ^ + ^.
В последствии О’Нейлом [108] было доказано неравенство
< С ■ ЦА'Цгоо (1 ^ V < Ч < +°°> г = 1 ~ р + «> - про-
странство Марцинкевича), которое дает более тонкое, чем неравенство Юнга, достаточное условие ограниченности интегральных операторов свертки и охватывает неравенство Харди-Литтлвуда ([8]). Одной из
9
трактовок неравенства О’Нейла является следующая оценка:
< С(р, д) :зир |е~рр—^ I К(х)с1х , (0.3)
е
где Е-множество всевозможных ограниченных измеримых по Лебегу подмножеств П£л, |е|-мера Лебега множества е.
Аналогично для мультипликаторов преобразования Фурье из Ьр(Жп) в £Р(МЛ), Хермандером [81] была получена верхняя оценка: 1 < р ^ 2 ^
д < ос
1)Возникает вопрос о нижних оценках нормы операторов из (0.3) и (0.4). (Как показано в данной диссертационной работе, если вместо множества Е взять некоторое более узкое множество , то неравенства (0.3),(0.4) обращаются.)
2) Обобщение неравенства О’Нейла для интегральных операторов общего вида.
Диссертация состоит из введения , четырех глав и списка литературы. Нумерация теорем трехзначная : первое число означает номер главы , второе - номер параграфа, третье - собственный номер теоремы. Нумерация формул внутри каждого параграфа своя. Объем работы 206 страницы. Библиография состоит из 115 наименований.
В первой главе введен метод многопараметрической интерполяции, обобщающий метод вещественной интерполяции. Изучены свойства билинейных отображений.
Метод вещественной интерполяции, имеющий своим истоком фундаментальную теорему Марцинкевича, введен Лионсом и Петре в [101],
(0.4)
[102].
Этот метод определяется функционалом
10
В [111] Петре показал, что при достаточно широких условиях на функционал Ф, данный функтор определяет интерполяционный метод со многими свойствами вещественного метода. Дальнейшие исследования в этом направлении проводились Ю.А.Брудным, Н.Я.Кругляком, В.И.Дмитриевым, В.И.Овчинниковым и другими (см. [12]). Построена достаточно полная теория К - метода с функциональным параметом [87].
Задача же конкретного выбора функционала Ф, порождающего ’'работающий” интерполяционный метод (т.е. позволяющий конструктивно описывать результат интерполяции известных функциональных пространств), остается недостаточно изученой. Важность таких исследований подчеркивалась Э.Мадженесом (см. [37], с. 172)1.
В первом параграфе данной главы рассматривается функционал д = ((/!,... ,дп). Он обобщающий на векторный случай функтор Ф^, введенный Ж.Л.Лионсом и Я.Петре. Изучаются его свойства.
В §1.2 с помощью упомянутого функционала вводится понятие многопараметрической интерполяции.
Пусть А = (Ао, А1) - совместимая пара нормированных пространств
К^,а) = К(Ь,а,А) - Ы (Ма, + *Ык)
а=ао+ах
- функционал Петре.
Определим пространство Аод как множество элементов а из Ао + А\ для которых
!Мк,- = %
Заметим, что в случае $ = (<?, ..., </), А$$- совпадает с пространством
А$я, полученным путем применения вещественного метода интерполяции (см. [6]).
'Все проблемы можно разделить на две категории ...
II. Другая группа задач носит "конструктивный” характер, более близкий к приложениям, цель которой — дать методы построения интерполяционных пространств между До и В], в частности методы, зависящие от одного и более параметров, изменяя которые можно получить семейство интерполяционных пространств, используемых в приложениях, в частности семейства банаховых пространств, наиболее важных для анализа.
К{г7а)
< ос
11
Приведены простейшие свойства этих пространств.
Теорема 1.2.1 Пусть À — (Ао, А\) - совместимая пара банаховых пространств. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) Пространство Äoq является промежуточным относительно пары
À = (А0, Ai).
б) Пространства Aoq, Boq интерполяционные относительно пар Ä = (Aq, Ai), В = (Bq,Bi).
в) Если 1 < q = (qi,.-.,qn), d= (du...,dn) ^ oo и
r = min{* : qi ф di, i = 1 ,..,n} , qr < dr, тогда Äoq Äej.
В третьем параграфе введены пространства Lpqf(Çt), q = (q\,... ,qn) являющаяся обобщением пространства Лоренпа , доказана теорема об интерполяции пространств Лоренца и, как следствие (с использованием общих теорем см. [17] и [11]), получена теорема о реитерации для многопараметрического интерполяционного метода.
Пусть 1^р<оо, 0<<f = (qi,-.,qn) ^ оо . Многопараметрическое пространство Лоренца Lpq{Q) определяется как класс всех измеримых на П функций /, для которых
ll/IU^fi) = %(/*) < 00,
где 1 — 0 = 1 /р, f* - невозрастающая перестановка функции /ц, являющаяся в свою очередь нулевым продолжением / вне Q.
1°. Если г = min{i : q, ф di, г = 1,..., п} и qr < dr, то LPq <-> L^.
2°. Если p.(Q) < oo и p < r, то Lrj(Çl) <-> Lpffi)
3°. Неравенство Гельдера: Если 1 < p,q< оо, то
J \f(x)ä{x)\dx < ||/|U^||ô||vÿ,
п
где 1/р -f- 1/У = l/g,- + 1/g'i = 1, г = 1, ...,п.
4°. Неравенство Юнга-О'Нейла : Пусть 1 ^ ^ об, г = 1,2,3,
1 < $,р,г < -foc, то
II/*pIU„-, < c||/iup.||5||irft(
12
где 1 4- 1/е = 1/р + 1 /г И 1/$ = 1/Й + 1/Й.
Теорема 1.3.1. Пусть 1 < ро < Р\ < оо, 1 < ^ тогда
— Ар9’ ^/Р = *)/Ро "Ь @IР\%
Теорема 1.3.4. Ят/стъ Й = (^ь-^г-ь 1), Й = (?ъ-^г-ьоо),
д — С^рдо* ^РЯ\)о1 ~ ^РЯ' Ч= (#Ь •••> ^г— 15 •••? ^т)>
1/?г = 1 - 0.
Данная теорема решает задачу о реитерации для вещественного метода Лионса и Петре, то есть описание пространств (1гОТо, £М1)уГ и (/Ц0, в недиагональном случае (1/г ^ (1 - г/)/г/0 + |//^).
Отметим, что Малигранда и Перссон [103] получили описание пространств (ЯМо, через бесконечное пересечение некоторых весо-
вых пространств.
Следствие 1.3.2. Пусть Ао и А\ - совместимая пара банаховых пространств, 1 ^ #о < #1 ^ °°? О < 0 < ^ 1 < «7 < 1. Тогда
гЭе 1/д = (1 - р)А/о +
Как видно из этого утверждения, что для решения задачи о реитерации вещественного метода в недиагональном случае необходимо использовать уже трехпараметрический интерполяционный метод.
В четвертом параграфе рассмотрена связь многопараметрического метода с комплексным, получено уточнение теоремы об интерполяции билинейных отображений Лионса и Петре [102].
Теорема 1.4.2 (О билинейной интерполяции).
Пусть 1 < г,р,# < оо, 0 < д ^ <х>, 1-4-1 = 1 /р + 1/г. Если
Т-билинейный оператор:
Т \ Ао х Во —> Со, Т I А\ х В\ —> С1,
то
Т' %р<*/ч^Г00 ~~7’ '“/<М
Т \ Ап„у X Ввгоо —> С/
и, в частности,
Т • X В()г оо ^ б^$д.
13
В пятом параграфе доказана теорема Овчинникова для билинейных отображений.
Для линейных отображений в весовых пространствах Овчинниковым В.И. [63] была доказана интерполяционная теорема, которая в отличии от классических теорем Марцинкевича, Кальдерона ( см. [6]), учитывает ’’сильные” условия. А используя то, что 1р является частичным ретрактором пространств Хар = (Л”о, АГі)ар, этот результат переносится на пространства такого вида. Полученная теорема в §1.5 является обобщением результата Овчинникова В.И. и позволяет в ряде случаев уточнить известные интерполяционные теоремы для билинейных операторов [102], [88].
Через ХаіРі) Яріді, , і = 0,1, будем обозначать интерполяционные пространства, порожденные совместимыми банаховыми парами (ЛТо, Х\), и (20,2і) соответственно.
Теорема 1.5.1 Пусть 0 < аг-, Д- <1, 1 ^ ріу </,: ^ оо, г = 0,1; оц ф а'о, ф /3о; Т - билинейный оператор. Если
Т . Хаоро хК0-> %0ояо и Т : ХахРі X Уі —> ЕріЯі,
тогда
Т : Хар X І0Г —^ Хрд-,
4 і
где а = а0(1 — в) 4- ац0, Р = (1 — 0)ро 4- ОД, 1 < 1 + 1/0 =
1/р+ 1/г + (1 - 0)(1/<й> “ 1/Ро)+ + ~ 1/Рі)+> зЭесъ = тах(х,0).
Во второй главе вводятся сетевые пространства Л^9(М), анизотропные сетевые пространства Л,ГРЧ(М) и анизотропные пространства £рЧ(Еш) и изучаются их интерполяционные свойства.
Пусть в М” задана п-мерная мера Лебега /*, Л/ - фиксированное семейство множеств конечной меры из П£п. В дальнейшем М будем называть ’’сетью”. Для функции /(#), определенной и интегрируемой на
14
каждом е из Му определим функцию
сел/ \е\ J
И>< е
где точная верхняя грань берется по всем множествам е Е М, мера
функции / по сети М.
Через АГр1д(М),0 < р,</ ^ оо обозначим множество функций /, для которых при ([ < ОС
Эти пространства являются обобщением пространств Лоренца. Так, если при 1 < р < оо М - множество всех компактов из области С Шп, то пространство Дгрг/(М) совпадает с пространством Лоренца 1/Р9(П). Аналогично определяются дискретные сетевые пространства пря(М). В параграфе 2.2 исследованы интерполяционные свойства сетевых пространств.
Теорема 2.2.2. Пусть 0 < ро < р\ ^ оо, 0 < <7 ^ оо, 0 < 0 < 1,
а) Если М - произвольная сеть в 2£п, полу аддитивный оператор
Т : Ао —> NP0OO(M) с нормой Е>о,
Т : А\ —^ АгР1оо{М) с нормой В\г тогда Т : А$я , г<?е 1/р = (1 — 0)/ро + 0/ръ причем
б) Если М - произвольная сеть в Хп, полу аддитивный оператор
которых \е(*=(1е > ЬЛ Е (0,оо). В случае 8ир{|е| : е Е М} = а < ос- и t > а, положим /($,А/) = 0. Функция /(£, А/) называется усреднением
и при г/ = оо
||/!^роо(М)|| = вир*£/(*, М) < ОО.
Г:
||Т|| <
Г:
Т : А0 —> пР0ОО(М) с нормой Д), 15
Т : А\ —У пР100(М) с нормой Тогда Т : Л$я —У п^(М) , где 1/р = (1 - 0)/ро + д/р\, причем
цг|| <
В параграфе 2.3 рассмотрены различные обобщения сетевых пространств.
В параграфе 2.4 определены анизотропные пространства Атрч(М) и ЬРЧ(Шт) и изучены их свойства (вложения).
Пусть р = (рь... ,рп)? <4 = ,дп)'"Вектора, такие что если
О < </;- < оо, то 0 < р^ < оо, если же — оо, то 0 < р^ ^ сю, 7 = 1,... , п.
Определим функционал
/ ч 22
ОО / 00 \ о,
|?1 *!
фрчЬ) = ( / ••• (/ Л)
о \0
/оо \ 1/9
здесь выражение ( /(^(£))*т ) при <7 = оо понимается, как 8ир.Р(£).
\о / <>о
Пусть в К”1 задана т-мерная мера Лебега -множество всех измеримых подмножеств е из Ет такие, что 0 < ре < сю. Фиксированное семейство множеств М С назовем сетью в Мт. Пусть ,Мп-
соответственно сети в К™1,... , Етг,п. Семейство множеств М в Мш = (Е™1,... , Е™") вида М = {е = в! х ... х еп С Е1ш! : С М)} будем
называть сетью в Еш = (М™1,... , Ет")> ш = Ц,... , тп),
|т| =Ш1 + ... + т„.
Для функции /(ж) = /(^1,... ,^п), интегрируемой на каждом е из М, определим функцию
/(*;М) = /(*!,... Л;М) = кир 7т
|е|
сеА/
здесь |е| = //1в1... //пеп» |^| = Ц}-мера Лебега в Ет* 3 = 1,..., п.
Через А/РЧ(М) обозначим множество всех функций / для которых
|лГр,(АО = (А#? ^)) < °°*
16
Число п будем называть анизотропной размерностью Лр<,(М).
Пусть /(а?ь •••>*»») ■ измеримая функция, заданная в М™1 х ... х Мт% * = ,^п) " некоторая перестановка последовательности чисел
{1,...,п}. Через /*(£) = /**»■...,£п) обозначим функцию, полученную применением невозрастающей перестановки последовательно по переменным в Ктл,Кт-?п, считая остальные переменные
фиксированными. Данную функцию f*(t) будем называть невозрастающей перестановкой функции / в Мш = (К*”1,... ,МГПп), соответствующей вектору * = (л,... ,7п)- Пространство Ь*Ч(КШ) определяется как множество функций для которых
||/|и^(1йт) = Фрч(/*(-)) < 00 •
Если * = (1,2,... , п), тогда пространство £*ч(1&т) будем обозначать через ЬРд(П1т).
Пространство £ра(П), где О = Ох х ... х £1] С определяется нормой
||/1к-ч(п) = ||/о!и^(К“),
где /о - нулевое продолжение функции / с области 17 на все Мш.
В отличии от скалярного случая, при р = я пространство Ьр(1(Шш) не совпадает с анизотропным пространством Лебега
Кт-)) [32].
Имеют место следующие свойства пространств и 1Урч(М):
1° Если М\ С М2, то Ирч(М2) м- ЛГРЧ(1Щ
2° При я < Ях ^ ^ <?], j = 1,...,п) имеют место вложения МРЧ(М) <-> АГРЧ1(М), Ь*рч(П) <-> 1^(0).
3° Если 8ирсеМ \е\ = а < оо и |^| < оо, р;о < ос, то для любого е > О имеют место вложения ДГр,Чг(М) <-> АрЧ(М), , 1£в<и(Й) £рч(П),
где р = Рв = (РЬ-,РЛ-ЬРл+^»Рл+Ь->Рп),
Я = (#Ь Я1 = (яи •••> Я)о-Ь ^‘о+Ь •••>*?«)•
В параграфе 2.5 в случае анизотропной размерности п = 2 получены интерполяционные теоремы для анизотропных пространств £рч и
17
сетевых пространств Np(^(M).
В параграфе 2.6 введен метод интерполяции для абстрактных анизотропных пространств, основанный на идеях работ Д.Л.Фернандеса [93],[94] . Доказываются интерполяционные теоремы для пространств Ь*рц и сетевых пространств АГРЧ(М) в общем виде.
Пусть А\ - банахово постранство, А2 -функциональная банахова решетка [11].Через А = (А^Аъ) обозначим пространство А\ - значных измеримых функций таких, что ||/||л2 £ М с нормой ||/|| = ||||/(^)|и1||.42-Прстранство А = (Аз,... ,Ап) определяется индуктивно. Его назовем анизотропным пространством размерности п.
Пусть А0 = (А?,..., А®), Аг = (А{,...,А^) два анизотропных пространства, Е = {е = (б‘1,...,еп) • = 0, ИЛИ £1 = 1, г = 1,...,гс}.
Для произвольного е Е Е определим пространство Ае = (А\1,..., А*») с нормой
На = II—1Н1д;*—||аьп-
Пару анизотропных пространств А0 = (А®, ...,А£), Аг = (А{,...,А*) назовем совместимой, если найдется линейное хаусдорфово пространство содержащее в качестве подмножеств пространства А£, е Е Е.
Пусть * = (л, некоторая перестановка последовательности
(1,2,вектору £ = (с1,..Е Е сопоставим е* = ...,£;-п) Е Е.
Определим К* - функционал :
А'*(^а;Ао,А1) = т£{^^||а£.||А,. : а = ^а£, а£ £ Аг}, (1) где ? = ... ¥пп.
Пусть 0 < в = (0Ь... А) < 1, 0 < я = (яь... ,Яп) < ОО. Через А^ = (А0,Аг); обозначим линейное подмножество ^евЕ А£, для элементов которых верно:
1Мкч = < оо.
При * = (1,..., п) через Аоч обозначим А*е .
Теорема 2.6.1. Пусть 0 < р0, рх ^ оо, р0 Ф р\,(т.е. р- ф р -, г =
1,га), 0 <0 = (01,... ,0П) < 1. * = (л,... ,л) - некоторая перестановка последовательности {1,2,... , га} ; тогда
%
18