О задаче Коши для когомологий Дольбо

Оглавление
Введение....................................................... 3
1 Первые Z,—когомологии комплекса Дольбо в шаровом слое 17
1.1 Комплекс Дольбо над пространствами распределений ... 18
1.2 11 останов ка d-задач и.................................. 21
1.3 Гармоническое пространство и образ оператора д............ 24
1.4 Эквивалентные задачи...................................... 28
1.5 Об условиях разрешимости неоднородного уравнения Korn и-Римана в шаровом слое................................... 31
1.6 Идентификация гармонического пространства
для шарового слоя вС".................................... 41
2 Формулы Карлемана для когомологий Дольбо в областях
с вогнутой частью границы 49
2.1 Ядро и формула Коппельмана................................ 51
2.2 Абстрактная схема построения формул Карлемана .... 54
2.3 Теорема единственности для когомологий Дольбо............. 57
2.4 Примеры формул Карлемана.................................. 59
2.5 Следствия формулы Карлемана............................... 64
3 Задача Коши в пространствах Соболева для оператора Коши-Римана 66
3.1 Функциональные пространства............................... 67
3.2 Слабые граничные значения Соболевских функций............. 74
k
1
3.3 Интегральные операторы................................... 80
3.4 Критерий разрешимости задачи Коши........................ 83
3.5 Формула Карлемана........................................ 89
Заключение................................................... 95
Список литературы............................................ 96
2
Введение
Как правило, в каждом разделе математики существуют ключевые проблемы, обуславливающие его развитие. Это могут быть задачи, пришедшие из практики или чисто теоретические вопросы, возбуждающие любопытство человеческого разума. В многомерном комплексном анализе к таким проблемам можно причислить задачу решения уравнения ди = /, или 5-уравнения. В двадцатом столетии она часто воспринималась как «основная задача комплексного анализа». Это связано с тем, что многие задачи комплексного анализа сводятся к решению 5-уравнения. Например, для построения голоморфной функции с заданными свойствами сначала отыскивают гладкую функцию с нужными свойствами, а затем разлагают ее в сумму двух функций, первая из которых голоморфна, а вторая - в каком-то смысле мала (см. [19]). В этом случае первая функция может оказаться искомой, второе слагаемое ищется в виде решения уравнения Коши-Римаиа. Интерес к 5-уравнению вызван также тем, что имеется широкий класс дифференциальных уравнений, которые заменой сводятся к нему. В ряде случаев это дает возможность в той или иной мере охарактеризовать решения исходного уравнения.
Известно, что решение 5-уравнення в ограниченной области комплексной плоскости задается интегралом Коши-Грина. При п > 1 ситуация не столь очевидна (см. обзоры [19], [18]). Во-первых, необходимым условием разрешимости уравнения ди = / является 5-замкнутость правой части, т.е. условие 5/ = 0. Во-вторых, в условия разрешимости «вмешивается»
3
геометрия области, в которой ищется решение. Основные результаты о разрешимости 9-уравнения получены в областях, обладающих некоторыми условиями выпуклости. Классический путь для решения многомерного 9-уравнения, проложенный в основном Ока ([41]), состоит в том, что сначала оно решается более или менее явно для полидисков. Затем с помощью специальной теоремы результат распространяется на аналитические полиэдры. Наконец, разрешимость 9-уравнения в псевдовыпуклой области получается с помощью аппроксимации такой области аналитическими полиэдрами. На таком пути практически невозможно получить важные в приложениях оценки решения. V
Другой подход принадлежит специалистам по дифференциальным уравнениям Морри [39], Кону [35], [36], Хермандеру [32]. Путем получения априорных £2-оценок они доказали существование решения 9-уравнения, ортогонального подпространству 9-замкнутых форм, в классе Ь2 в произвольной ограниченной псевдовыпуклой области, если правая часть также из Ь2. Для строго псевдовыпуклых областей имеются явные формулы для решения этих уравнений, позволяющие получить оценки решения в равномерной и некоторых других метриках ([17], [29]).
Оператор 9 порождает комплекс Дольбо. Широта групп когомологий этого комплекса характеризует разрешимость 9-уравнения. Известно (Дольбо, 1953), что на областях голоморфности когомологии комплекса Дольбо тривиальны, т.е. 9-уравнение разрешимо при выполнении условий согласования для правой части.
Еще одним подходом к исследованию разрешимости 9-уравнения можно назвать использование вспомогательной 9-задач и Неймана-Спенсера. Реализуя эту идею, Кон в семидесятых годах прошлого века получил результаты о разрешимости 9-уравнения в строго псевдовыпуклых областях отладкой границей и в слабо псевдовыпуклых областях с вещественно аналитической границей в Сп ([27], [37]).
Таким образом, мы видим, что математики, исследовавшие 9-урав-
4
ненис, старались оставаться в рамках условий на геометрию области, обеспечивающих исчезновение (или, по крайней мере, конечномерность) когомологий Дольбо.
Наряду с задачами решения уравнений в математике часто возникают задачи отыскания решения уравнения в области, удовлетворяющего на границе области краевым условиям. Отметим, что такие задачи, как правило, естественно появляются на практике. Предположим, физические характеристики некоторого тела связаны системой уравнений, а искомую величину можно измерить лишь на поверхности тела. Тогда определение ее значения в любой точке внутри требует решения краевой задачи.
В начале двадцатого века на конгрессе швейцарского математического общества в Цюрихе Адамар заявил, что все аналитические задачи, допускающие механическую или физическую интерпретацию, являются хорошо поставленными ([30]). В то же время на примере задачи Коши для уравнения Лапласа он показал, что малые изменения начальных данных могут приводить к катастрофическому изменению решения, что послужило основой понятия корректности. Так как начальные данные задачи часто получаются с помощью измерений, не исключающих некоторую погрешность, то люди старались всячески избегать некорректных задач, боялись иметь дело с ними, считали такие постановки неестественными и даже готовы были жертвовать адекватностью моделей для получения хорошо поставленных задач. Однако развитие математических методов в естествознании привело к необходимости переосмысления замечания Адамара, поскольку некорректная задача Коши для уравнения Лапласа непрестанно возникала в приложениях. В качестве примера можно указать задачу продолжения гравитационного потенциала, наблюдаемого на поверхности, в направлении гравитационой массы.
Типичным примером некорректной задачи является задача аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области
в С" во всю область, которую можно трактовать как однородную задачу Коши па первом шаге комплекса Дольбо. Исследования этой задачи протекали в двух основных руслах: поиск разумных условий разрешимости и вывод формул для решений. Первый результат в направлении построения решений получил Т. Карлемаи в 1926 г. ([26]) для области специального вида в С. В связи с этим формулы такого вида получили название формулы Карлемана. Г. М. Голузин и В. И. Крылов подхватили идею введения «гасящей» функции в интегральную формулу Коши и предъявили в 1933 году формулу для восстановления голоморфной функции в односвязной области в С1 по ее значениям на части границы ([4]). В 1956 году М. М. Лаврентьев предложил метод, основанный на аппроксимации ядра интегрального представления, который был применим также для многосвязных областей в С1 и для областей в Сп ([7]).
Развитие специальных методов, позволяющих работать с некорректными задачами Коши, стимулировалось запросами жизни. Такие задачи вставали в гидродинамике, в теории передачи сигнала, в томографии, в геологоразведке. А. Н. Тихоновым. М. М. Лаврентьевым и др. была разработана концепция условно корректных задач. Идея состояла в приближении исходной некорректной задачи семейством «хороших» задач, которые поддавались удовлетворительному исследованию. Не случайно простейшая формула Карлемана, являющаяся частным случаем формулы Голузина-Крылова, независимо была построена физиками-теоретиками В. А. Фоком и Ф. М. Куни ([16]). Хочется отметить также книгу [8], посвященную некорректным задачам анализа и математической физики и монографию [1], представляющую собой достаточно полный на начало девяностых годов обзор по формулам Карлемана.
Заметим, что, ввиду некорректности задачи аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области во всю область, условия ее разреши мости не могут быть описаны в терминах обращения в нуль некоторого семейства линейных непрерывных функционалов
(>
((3]). Поэтому получение разумных условий разрешимости также является нетривиальной задачей. В [3] они представлены в виде гармонической продолжимости некоторых потенциалов из большей области в меньшую, а использование базисов со свойством двойной ортогональности сводит разрешимость к сходимости числового ряда. Эти идеи были развиты и обобщены на случай более широких пространств и операторов с инъективным символом в ряде работ последних лет. В [22| рассмотрена возможность аналитического продолжения голомофиых функций класса Лебега Ь2: в [16] эта задача обсуждается касательно общих дифференциальных операторов с инъективным символом. В [54] представлена неоднородная задача Коти для операторов Дирака в пространствах Соболева положительной гладкости. В статьях [15] и [53] исследуется разрешимость неоднородной системы Коши-Римана в пространстве Лебега и в пространствах Соболева отрицательной гладкости соответственно. Задача Коши для общих систем с инъективным символом в пространствах Соболева положительной гладкости и в пространстве Лебега предстала в [52] и [55]. Легко понять, что неоднородная задача Коши не сводится к однородной задаче в произвольных областях, это возможно лишь при наличии информации о разрешимости самого уравнения в области, т.е., например, в пеевдовыпуклых областях для оператора д. Одной из фундаментальных книг о задаче Коши для однородных эллиптических уравнений я в ля стоя труд Тарханова [49].
Обобщения задачи аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области как однородной задачи Коши на первом шаге комплекса Дольбо возможны не только в направлениях неоднородности задачи, рассмотрения класса операторов с инъективным символом и использования более широких пространств, но и путем ее постановки на других шагах, т.е. рассмотрения задачи восстановления «^-замкнутой (р, ^-дифференциальной формы в области по ее значениям на части границы этой области. Для достижения единственности разумно искать ре-
7