Содержание
ВВЕДЕНИЕ........................................................ 4
ГЛАВА 1. ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ...................................... 17
§1.1 .Понятие обобщенной производной.............................. 17
§ 1.2. Постановка задачи и ее редукции............................ 20
§1.3. Нахождение последовательности собственных и
присоединённых функции. Базисы Рисса......................... 22
§1.4. Метод Фурье для однородного уравнения....................... 24
1.4.1. Формальная схема методы Фурье.............................. 24
§1.5. Обоснование метода Фурье для классического решения
смешанной задачи (1.2.3) для однородного волнового
уравнения.................................................... 35
§ 1.6. Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения
колебаний мембраны......................................... 44
§ 1.7. Решение общей смешанной задачи. Обоснование метода Фурье.. 49 § 1.8. Решение сопряжённой смешанной задачи для однородного
уравнения.................................................. 52
1.8.1. Решение сопряжённой смешанной задачи для однородного уравнения.................................................... 52
1.8.2. Обоснование метода Фурье для однородного уравнения колебаний мембраны........................................... 59
§ 1.9. Решение сопряжённой смешанной задачи для неоднородного
волнового уравнения.......................................... 60
§ 1.9.1. Обоснование метода Фурье для неоднородного уравнения
колебаний мембраны......................................... 63
§ 1.10. Решение общей сопряжённой задачи для неоднородного
уравнения колебаний мембраны................................. 64
1.10.1. Решения смешанной задачи (1.2.4) при /(л:,у,/) = /(лг,у).. 66
2
{
ГЛАВА 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ И ЕЕ УСТОЙЧИВОСТИ. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ. КОРРЕКТНОСТЬ
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
§2.1. Единственность решение одной нелокальной смешанной задачи
для уравнения колебаний мембраны............................... 70
§ 2.2. Решение смешанно задачи(1.2.4)при /(х9у^)=/(х,у)............. 75
§ 2.3. Априорные оценки для решения неоднородного уравнения при
Лх,у,0 = /(х,у)................................................ 79
§ 2.4. Априорные оценки для решения сопряженной смешанной задачи
для неоднородного волнового уравнения.......................... 84
2.4.1. Априорные оценки для решения сопряжённой смешанной задачи
для неоднородного волнового уравнения.......................... 84
2.4.2. Решение сопряжённой смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения при /0,у,/) = /(хуу). Априорные
оценки........................................................ 86
§ 2.5. Априорные оценки для решения однородного уравнения
колебаний мембраны.........................................
§ 2.6. Априорные оценки для классического решения одной
несамосопряжённой задачи.................................. 100
Цитированная литература......................................... 104
3
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям одной нелокальной (несамосопряжённой) краевой задачи и корректной разрешимости несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.
Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов является одним из известных методов решения смешанных задач математической физики.
Проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряжённых дифференциальных операторов посвящены работы В.А. Стеклова (1901), Н.М. Гюнтера (1934), C.JI. Соболева (1945), Ю.М. Березанского (1965), В.А. Ильина (1955-1968гг), Е.И. Моисеева (1976), М.А. Красносельского, Е.И. Пустыльника (1958), O.A. Ладыженской (1950-1958), Б.М. Левитана (1950-1955), А.Я. Повзнера (1953), Э.Ч. Титчмарша (1960-1961), К. Фридрихса (1947), Г. Вейля (1915), Т. Икебе (1967), И.К. Кенджаева (1967,1968), М. Исмати (1970-1992гг) и других авторов.
Методу Фурье для общего гиперболического и волнового уравнения, за последние четыре десятилетия посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы Х.Л. Смолицкого (1949), O.A. Ладыженской (1950) и В.А.Ильина (1957-1960). Наиболее точные условия существования классического решения смешанных задач для общего гиперболического уравнения установил В.А. Ильин (1960) для произвольной нормальной области.
Однако исследованию этих проблем для несамосопряжённых дифференциальных операторов посвящено, сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряжённых операторов. Хотя и относительно этой проблемы также появились достаточно много
4
работ, (см. например, работы Я.Д. Тамаркина (1917), В.А. Ильина (1976, 1983,1986), М.В. Келдыша (1951), В.Б. Лидского (1962), М.Г. Крейна, И.Ц. Гохберга (1965), М.А. Наймарка (1969), А.Г.Рамма (1970), Н.И.Ионкина (1977,1979), М Исмати и имеющуюся там библиографию).
Выдающимся вкладом в науку являются работы В.А. Ильина по спектральной теории несамосопряжённых дифференциальных операторов, выполненные им, начиная с 1975 г. Этим работам предшествовали известные работы М.В. Келдыша, в которых для широкого класса краевых задач установлен факт полноты специально построенной системы собственных и присоединённых функций дифференциального оператора, (такую систему Келдыш назвал канонической).
Следовательно, вышеупомянутые проблемы являются актуальными.
Во введении дается краткая историческая справка рассматриваемых вопросов, обосновывается актуальность темы и приводится краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.
В первой главы доказывается существование классических в смысле В.А. Ильина решений несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.
В первом параграфе первой главы дается определение обобщенной
производной пространства Соболева IV2* с целыми / и теоремы вложения. Этот параграф носит вспомогательный характер. Однако основные результаты диссертации сформулированы именно для этого пространства Соболева с целыми порядками частных производных /.
В втором параграфе первой главы дается постановка следующей нелокальной (несамосопряжённой) задачи:
и„(х>У>,)= ли(х,у,1)+/(х,у,0, О,у,1)е (2г=Пх[0,Т]
и{х,у,0)) = (р{х,у), и,(х,у,0) = ч/(х,у\ (х,у)еЯхЯ; Я = [0;1] (1.2.1)
{/(о, *0=о, их (0, * о=их (1, * 0, у е Я, I € [0, Т],
£/(*,0,0 = 0, иу (х,0,0 = и, (х,1,0. X 6 [0;1], I 6 [о, Т]
5
Рассмотрим следующую редукцию этой задачи:
и(х,у,1)=У(х,у,1)+и’(х,у,1) , (1.2.2)
где У{х,у,{) и н>(х,*/) являются решениями смешанной задачи (1.2.1) при и ненулевых начальных функции и при О
ср(х9у)= 0, ^(*,.у) = 0 соответственно.
Задача (1.2.1) является нелокальной смешанной задачей. Кроме того, она является несамосопряжённой задачей в силу граничных условий.
В третьем параграфе первой главы для двухмерной квадратной
л
области Я = Я х Я = (0;1) х (0;1) находится последовательность собственных и присоединённых функций нелокальной (несамосопряжённой) задачи для уравнения Лапласа
А^(д:,у) + Я^(х,^)= 0, (х,у)е Ях Я
&{09у)=0,$х{0,у)=&х{\9у\ уеЯ = [0;1] (1.2.6)
$(*>0) = 0, &у (*,0) = 9у(х9\)9 хеЯ и сопряжённой к нему задачи
&У(х,у)+ЛГ{х,у) = 0, {х,у)еЯхЯ
Г* (1> у) ~ 0> Цо. у) = У(1, у), .у е Л = [0,1], (1.2.7)
Гу(х,1)=0,У(х,0) = У(х,1), хеЯ.
В дальнейшем будем обозначать У(х,у) = г(х,у)
(Мы сохраняем во введении те же самые номера формул, как в самих главах 1 и 2 диссертации).
Отметим, что всюду в рассматриваемой диссертации мы основные результаты сформулируем для основного квадрата Я2 = (0;1)х(0;1), однако перенесение их для произвольного квадрата Яа = [0;д]х [0;я] или прямоугольника Яа Ь [0;я]х [0;б] не предоставляет трудности. А в этом
параграфе мы приводим некоторые результаты из работы [24] (Исмати М).
6
Сперва отметим, что смешанные задачи (1.2.6) и (1.2.7) при п=2 (вместе с 0 впервые были рассмотрены в работе [24] М. Исмати. Кроме того, смешанные задачи вида (1.2.6) и (1.2.7) для уравнения теплопроводности были рассмотрены и подробно исследованы в работах Н.И. Ионкина [21].
Известно [24], что собственные значения и собственные функции задачи (1.2.6) имеют вид
Л = ^0,0 = 0, лкт = (2тг)2 + (2эти)2,
Э0 -1900{х,у) = х-у, Экт = бш2клх• б\п2тлу, (1-3.1)
Последовательность собственных функций (1.2.8) не образуют ортогональную систему, и эта последовательность не образует полную систему и базис в пространстве Ь2(Кх /?). С этой целью, следуя работе В.А.
Ильина [15] дадим следующее
Определение 1. Под собственной функцией задачи (1.2.6), отвечающей собственному значению Я, понимается не равная тождественно
нулю функция которая принадлежит классу С! (п)п С2 (п), О. = Ях К
и является регулярным решением задачи (1.2.6).
Аналогично под присоединённой функцией порядка р (р=1,2,...) отвечающей тому же Я и собственной функции &(х,у), понимается
вещественная функция ${х,у), которая принадлежит классу С'(п)пС2(п) и с точностью до ненулевого постоянного множителя Р является регулярным решением уравнения
Щх,у)+ А&{х,у)= РЭ{х,у) и удовлетворяет граничным условиям задачи (1.2.6) (явный вид постоянной Р указывается ниже).
Известно [24], что задача (1.2.6) имеет следующие присоединённые функции:
7
&гК2т-1 (х’ у) = 9к,п (*> у}-= 2 лкху соэ 2/и яр,
9цт(х,у)=х СОБ 2клх йп2тяу = Э2к.у2п (х, у)
(х, у) = 19кт (х, у) = х соб 2 ктгху соб 2/и яу
(1.3.3)
и
Отметим, что при к,т~0, то есть при Я = Д0 0 =0 и Р * 0 (например,
Систему всех собственных и присоединённых функций задачи (1.2.6) переобозначим следующим образом:
*0,0 = * • У> *2к,2т (Х> у) = 2Я&свш 2яту =
**,ж =*92Л-1,2ш-1 = ХС082ЛрС08 2Я1Иу
При этом видно, что при к9т> 0 каждому собственному значению Як т соответствует одна собственная и три присоединённые функции.
Собственные значения и система собственных и присоединённых функций задачи (1.2.7) имеют вид:
Яо.о = Л0.0 = 0, Я*,т = ХКт = (2Я)2 + (2тл)г,
2-0,0 = 2x2, = 4соз2/сж4со82тяу = 2'2*_, 2ш_, 3
22*,2т-1(х.у) = 4(1-х)зт2/отс4соз2тяу = 2?*т Хи_1'2т(х,у) = 4со*2кях4{1-уУт2тлу = 2Кт,
при Р = 1) присоединённая функция .900 (х> у) не существует.
9к.т = 91к,2т-\ = зт2я£*грсоз2я?иу, 52ы,2т = х соэ 2лкх эт 2ятиу = £кт
(1.3.4)
8
- Київ+380960830922