Оглавление
Введение...........................................................4
Глава 1. Схема изучения аффинно-однородных
гиперповерхностей трубчатого типа в С3...................17
1.1. Канонические уравнения поверхностей трубчатого тина в С3 17
1.2. Различные подходы к понятию однородности...................24
1.3. Оценка размерности алгебры д(М) для одпо1Х>диых поверхностей трубчатого типа..............................29
1.3.1. Компонента веса 2 основного тождества..................31
1.3.2. Компонента веса 3 основного тождества..................33
1.4. Примеры аффинно-однородных поверхностей трубчатого
типа с "богатыми" алгебрами д{М) ...........................35
1.5. 5-мерные алгебры, отвечающие однородным поверхностям
труб • I ато го т и п а.....................................38
1.6. Коэффициентные запреты на размерность алгебры д{М) ........41
1.7. Описание одно}Х)дных поверхностей
с "богатыми" алгебрами д(М) ................................43
Глава 2. Аффинно-однородные поверхности трубчатого
типа с 5-мерными алгебрами д(М)..........................52
2.1. Вычислительная схема описания матричных алгебр.............52
2.2. Случай многочлена Гз е нетривиальной и-компонентой.........57
2.2.1. Упрощение вспомогательной системы......................58
2.2.2. Случай £7 = 0..........................................61
2.2.3. Случай ^7^0............................................64
2.3. Случай пулевого многочлена ................................66
2.4. Случай чисто мнимых коэффициентов Гз.......................69
2.5. Общий случай многочлена Гз.................................73
2.5.1. Аффинно-однородные трубки..............................75
2.5.2. Решение вспомогательной системы при щ = 0..............79
~2:5тЗгИзучонис~вспомогатсл1;ной-си(темы-при-п;г^-0.............81
2.6. Интегрирование алгебр......................................83
2.6.1. Непосредственное интегрирование с истемы уравнений 85
2.6.2. Использование подобных алгебр при интегрировании 87
2.6.3. Использование экспоненциального отображения............89
2
Глава 3. Голоморфные свойства аффинно-однородных
поверхностей .......................................01
3.1. Сферические гиперповерхности пространства С3..........91
3.2. Нормальная форма Мозера для уравнения
жесткой поверхности ...................................04
3.3. Семейство голоморфно различных аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей........................100
Литература...................................................106
3
Введение
В одномерном комплексном анализе хорошо известна классическая теорема Римана. Согласно этой теореме любая одиосвязпая область с "большой" границей голоморфно эквивалентна единичному шару.
Известно, что в случае нескольких комплексных переменных аналогичное утверждение не верно.
Одной из причин этого является голоморфное различие границы нроиз-вольной области в пространстве С"(п > 1) и сферы. Более того: две щюиз-вольныс вещественные гиперповерхности пространства Сл, как правило, не сводятся голоморфными преобразованиями друг к другу. Это утверждение справедливо даже в локальном варианте. Как следствие, два ростка одной и той же поверхности (даже связанные е близкими ее точками) оказываются, как правило, различными с голоморфной точки зрения.
В такой ситуации оправданным является интерес к "исключительным" гиперповерхностям, которые являются "одинаковыми" во всех своих точках, или (в более строгих терминах) однородными относительно голоморфных преобразований.
Напомним, что согласно определению из 1131 многообразие М называется однородным относительно некоторой группы (преобразований) G. если эта группа транзитивно действует на А/, то ость любую точку из М можно перевести в любую другую точку обсуждаемого многообразия подходящим преобразованием из группы G. В разных ситуациях возможны уточнения приведенного понятия однородности. В качество простейшего и интуитивно понятного примера многообразия, однородного в различных смыслах (относительно различных групп), можно назвать единичную окружності, в комплексной плоскости. На ней транзитивно действует, например, группа поворотов.
Основными объектами в нашей работе являются аффинно-однородные и голоморфно однородные вещественные гиперповерхности 3-мерного комплексного пространства С3. Точные определения этих понятий приведены в начале первой главы диссертации. Здесь же. на уровне "наивного" представления об основном предмете исследования, мы кратко опишем ситуацию с классификацией однородных многообразий, сложившуюся к настоящему времени.
История вопроса. Полное описание аффинно-однородных плоских кривых было известно уже в начале прошлого века. Его связывают с трудами школы В. Бляшке |7|.
ТЕОРЕМА 0.1. Любая плоская а (їнїтпп о - одпор одная крав ая а &ф и нио
эквивалентна вблизи произвольной своей точки какой-либо одной из следующего списка аффишш-щзличиьии кривых:
1) У = X* (-1 < S < 1), 2) у = In .г, 3) у = .г In .г.
4) г = (г — полярный радиус. — полярный угол, а > 0).
4
Вопрос об аналогичном описании аффинно-однородных поверхностей 3-мерного пространства обсуждался в рапных постановках с середины до конца прошлого вока. Полный ответ на пего был получен в работе |15| в 1995 г.
ТЕОРЕМА 0.2 ([15]).Мелкая локально однородная поверхность и 3-мерпой вещественной аффинной геометрии является открытым подмно-о/ссством либо некоторой поверхности второго порядка, либо цилиндра над одной из однородных плоских, кривых из теоремы 0.1. либо аффинно эквивалентна открытому подмножеству одной из следующих поверхностей (о, 13 - вещественные параметры):
Отмстим, во-первых, что полный список здесь является достаточно большим. Во-вторых, укажем на тесную связь этих результатов вещественной гесь метрии с задачей об однородности в комплексных пространствах. В многомерном комплексном анализе основополагающей работой о голоморфпо-одпородных вещественных гиперповерхностях является статья Э. Картаиа |23| 1932 г. Несмотря на большой объем этой статьи ее основной результат формулируется достаточно просто. Напомним, что трубкой (или трубчатым многообразием) над основанием Г С Кп называется в многомерном комплексном анализе множество вида.
перповерхностъ 2-мерного комплексного пространства голоморфно эквивалентна вблизи произвольной своей точки либо трубке над аффиппо-однородшлм вещественным основанием, (см. теорему 0.2), либо одной из проектиано-однородных поверхностей
1) г = х°ур,
2) г = (х2 + у^)оебчгд{х+1у)!
4)г = агд(х+1у)+(3\п{х2+у2), 6) г - х(а 1пх + 1п у),
8) г = у2 ± ех.
10) г = ?/2 ± 1п х.
12) 2 = ху + ех;
14) z = ху + 1гкг\
10) г = ху + х21 п х,
18) хг = у2 ± х 1п х,
3) г = 1л х+а 1п у,
5) г — 1п(.г2 + у2),
V (-г - ху + а*3/3)2 = а(у - л:2/2)3 9) г = у2 ± х01,
11) г = у2 ± х 1пх',
13) z = ху + ха, 15) z = ху + х\пх, VI) хг = у2 ± ха,
19) хг = у2 ± х21п х.
1 + \г\2 + |г<;|” = а|1 + г2 + к/2| (а > 1),
1 + \г\2 - |м|2 = а\1 Ч- г2 - г<;2| (а > 1), г\2 + |ю|2 - 1 = а\г2 + го2 - 1| (0 < |а| < 1).
5
В следующем но размерности комплексном пространстве С3 имеются важные частные результаты о голоморфной одно1х>дности гиперповерхностей (|32|. [48]. [5]). Напомним, что все гладкие гиперповерхности пространства С3 распадаются на три больших класса в соответствии с устройством их формы Леви (определение формы Леви см. в |51| и в главе 1 диссертации): класс строго псевдо-выпуклых (СПВ) поверхностей, форма Леви которых положительно определена, класс индефинитных невырожденных поверхностей (форма Леви - знаконеопределенная невырожденная) и класс поверхностей, вырожденных по Леви.
В работе [48] полностью описаны вырожденные; но Леви голо.морфио-однородные вещественные гиперповерхности 3-мерных комплексных пространств. Локально все они сводятся либо к прямым произведениям картановых проективно-однородных поверхностей на комплексную плоскость С, либо к трубкам над аффинно-однородными поверхностями.
В работах Лободы A.B. описаны все голоморфно-однородные (в локальном смысле) вещественные гиперповерхности пространства С3, имеющие "богатые” группы голоморфных преобразований. Например, справедлив следующий результат.
ТЕОРЕМА 0.4 ([32]). Однородные вещественные гиперповерхности пространства С3, имеющие положительно определенную форму Леви и 7-мерные группы голоморфных. преобразований, задаются с точностью до локальной голоморфной эквивалентности следующим списком попарно неэквивалентных многообразий (z\,Z2, w - комплексные кордипаты в С3, v = Im го):
1) v = ln(l 4 l^i|2) 4 61п(1 4 Ы2), Ь е (0,1];
2) у = 1п(1 4- \z] |2) - Ь 1п(1 - |г2|2). Ь £ (0, 1) U (1, оо):
3) v = ln( 1 — |zi|2) 4- 61n(l - U2|2), 6 € (0.1):
4) v — 1^12 + eln(l 4 f|*i|2), s = ±1:
Аналогичные описания получены Лободой A.B. и для индефинитных поверхностей с богатыми группами [32]. Самым сложным и неизученным остается случай, в котором размерность однородной гиперповерхности (равная б), совпадает с размерностью локальной группы (голоморфных) преобразований этой поверхности. Здесь имеется лишь большое количество примеров таких • м I ю гообраз и й-[ТГ|т[ б]~[Т7 |ti io“ i ют'и х-о'бтщ гоптп исаиия.
В современном комплексном анализе имеются и результаты более общего содержания. Например, в [1] получено описание алгебр Ли. которые могут соответствовать голоморфно однородным компактным вещественным гиперповерхностям комплексных пространств произвольной размерности. Имеются
G
также работы о проективной одмо]>одиооти (см., например, [47]).
В рамках задачи о голоморфной однородности в 2003 г. в [31 ] было начато изучение аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3. Диссертация идейно связана с этой работой.
Напомним, что согласно [31|. после подходящего аффинного преобразования любую вещественно-аналитическую СПВ-гиперповерхность пространства С3 можно задать вблизи ее произвольной точки уравнением вида
V = 1*112 + \г2\2 + \е\(г2 + £{) + е2[4 + 4)\ + X! РкЬп(г,г,и). (0.1)
*+/+2то>3
Здесь г] ги - комплексные координаты в С3, и = Нею,у = 1тго:
РкЫ - многочлен степени к по переменным г = (^1,-2)" степени I - по г — (^1,^2), т - по переменной и.
При этом пара (еь^г) вещественных неотрицательных чисел является аф-финным инвариантом поверхности М.
Для всех трубчатых поверхностей (трубок) над строго выпуклыми основаниями из Е3 оба параметра с'ь е2 принимают значение 1/2. В диссертации рассматривается именно случай
£1 = £2 = (0.2)
Аффинно-однородные СП В-гиперповерхности (0.1). удовлетворяющие (в любой своей точке) условию (0.2). мы называем поверхностями трубчатого типа. Две первых главы диссертации посвящены изучению именно таких поверхностей. В третьей главе аффинно-однородные гиперповерхности пространства С3 изучаются с точки зрения их голоморфных свойств.
Актуальность исследования. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению свойств аффинной и голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей в 3-мерном комплексном пространстве С3. В связи с описанной выше ситуацией изучение голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей пространства С3 является актуальной задачей современного комплексного анализа. Ее решение представляет также птерес для дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. математической физики.
Сложность задачи описания голоморфно-однородных многообразий делает актуальным и вощюе изучения аффинно-однородных поверхностей того же пространства. В диссертации предложена общая схема описания таких поверхностей. На примере изученного класса аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа показана эффективность схемы. Это подтверждает значимость и актуальность диссертационных исследований для многомерного
I
ко м плена ют ап ал иза.
Цель работы. Основная цель работы - описание аффинио-однородиых вещественных гиперповерхностей трубчатого типа пространства С3. Этот класс многообразий представляет собой удобную модель для проверки эффективности предлагаемой схемы изучения аффинной однородности, опирающейся на коэффициентный подход к задаче. В связи с этим еще одной цслыо диссертационного исследования является совершенствование технических приемов коэффиЦИС1ITIЮГО изучения голоморфIЮ-ОДНОрОДНых и аффии но-одпородиых вещественных подмногообразий комплексных пространств.
Методика исследования. Вопросы, связанные с однородностью многообразий. традиционно изучаются на основе использования техники групп и алгебр Ли. В диссертации эти методы также активно применяются. Но ключевой метод работы - коэффициентный подход к описанию изучаемых аналитических объектов. Основным инструментом работы является анализ алтбраи-ческих соотношений, накладываемых геометрическим условием однородности па тейлоровские коэффициенты поверхностей и отображений.
Полученная в первой части диссертации большая система квадратичных уравнений относительно коэффициентов и параметров исходной задачи решается с привлечением пакета символьной математики MAPLE. Завершающая часть работы связана с анализом изменений тейлоровских разложений неявных функций при аналитических преобразованиях координат.
Научная новизна и практическая значимость. До настоящего времени имелось лишь большое количество примеров аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей комплексного пространства С3. Рассмотренный в диссертации класс поверхностей трубчатого типа является удобной моделью для описания системного подхода к изучению задачи об однородности. В рамках этого подхода ужо получен ряд новых классификационных результатов; он применим также и к другим классам многообразий. В ближайшею время ожидается построение на его основе полной классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3.
Разработанные в диссертации методы решения систем квадратичных уравнений (в том числе, с использованием средств символьной математики) могут найти практическое применение в актуальных задачах фундаментальной и компьютерной алгебры, связанных с системами полиномиальных уравнений.
Результаты, выносимые на защиту.
1. Построение аффинных канонических уравнений для класса строго псов-
8
- Київ+380960830922