Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами

2
Оглавление
Введение........................................................3
Глава 1..........................................................15
часть 1.1........................................................16
часть 1.2....................................................*...22
часть 1.3........................................................29
часть 1.4........................................................33
Глава II.........................................................38
часть II.1.......................................................38
часть 11.2.......................................................49
Глава III........................................................68
часть III.1......................................................71
часть III.2......................................................74
Глава IV.........................................................86
часть IV. 1..................;.г>................................87
часть IV.2..................................................... 93
часть IV.3..................................................... 96
Список литературы...............................................101
з
Введение
Многие задачи математической физики в ходе своего решения приводят к изучению обыкновенных дифференциальных операторов. Наиболее известным и хорошо изученным объектом в теории обыкновенных дифференциальных операторов является оператор Штурма-Лиувилля - оператор второго порядка, порождаемый дифференциальным выражением
Заметим, что к виду (1) приводятся более общие дифференциальные выражения второго порядка
где р(х) > 0.
При изучении операторов Штурма-Лиувилля, порождаемых на интервале (а,Ь) дифференциальным выражением (1) стандартным условием на функцию д(х) в случае конечного интервала является условие д(х) 6 Ь\(а. Ь) (часто, чтобы не вдаваться в технические детали предполагается непрерывность </(т) (см. [1], [2])). В сингулярном случае, когда интервал (а, 6) бесконечен, или когда функция д(х) имеет неинтегрируемые особенности на концах интервала, предполагается, что д(х) 6 Ьцос(а,Ь).
В последние годы активному изучению подвергаются операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений. К изучению таких операторов и их многомерных аналогов —Д 4- д(т) приводят задачи о рассеянии нейтральных частиц на ядре [3], задачи о колебаниях электромагнитной волны в кристалле, некоторые задачи квантовой физики. Математическое исследование подобных операторов проводилось в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фаддеева [4], [о], Р. А. Минлоса [6], А. К. Фра-гела [7], С. Альбаверио, Ф. Гештези, Б. Саймона [8], [9], [10], В. Д. Кош-маненко [11], [12], Ю. Г. Шондина [13] и других авторов. В этих работах изучались операторы Шредингера и Штурма-Лиувилля с точечными потенциалами и потенциалами, сосредоточенными на слое, некотором многообразии или дискретном наборе точек. Операторы с потенциалами, не являющимися (^-функциями, изучались менее активно. Так, в работах Ж. Гунсона [14] и П. Курасова [15] в одномерном случае изучался потен-циал д[х) = ±.
-У1' + Я(х)у-
(1)
4
Основная задача первой главы диссертации - дать корректное определение оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом <?(х), являющимся сингулярным распределением первого порядка, более точно, при <7(2:) = и'(х)> где ц(х) Е Х2(а, 6), а производная понимается в смысле распределений. Здесь оператор определяется явно, а случаи конечного и бесконечного отрезков рассмотрены отдельно. При этом возникает проблема однозначности определения такого оператора или проблема выбора ’’разумного” определения. Проблемы этого рода присутствуют во всех исследованиях посвященных операторам Штурма-Лиувилля с потенциалами - распределениями (равно как и при исследовании многомерных операторов Шре-дингера) и имеют тесное отношение к ”физической перенормировке” потенциала. В данном случае оказывается, что для любой последовательности гладких функций де(х), сходящихся в Х2(а,6) к д(х), последовательность операторов -сР/(1х2 +и'е(х) имеет равномерный резольвентный предел -(Р/(1х2 + и'(х). При этом оказывается, что условие и(х) Е £2 является существенным для наличия подобной сходимости. Некоторые способы определения операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами более высокой сингулярности изучаются в четвертой главе диссертации.
В первой части первой главы диссертации (часть 1.1) описан метод, позволяющий определить оператор X, действующий в пространстве Х2[0,1], с помощью дифференциального выражения (1) при условии, что потенциал <7(х) является сингулярным распределением первого порядка, то есть д(х) = и'(х)> где и(х) Е Х2[0Д], а производная понимается в смысле обобщенных функций ((?, у?) = -(д,<Д) для любой бесконечно дифференцируемой функции (р(х) с компактным носителем на (0,1)). Метод состоит в следующем. Введем квазипроизводную ?/1^(х) = у'(х) - и(х)у(х) и перепишем выражение (1) в виде
Чу) = -(г/(1,У - и{х)ул - и2(х)у.
С квазидифференциальным выражением 1{у) свяжем максимальный оператор Хм и минимальный оператор Хт, определенные равенствами
/ Ьму-1(у),
\ Ъ{Ьи) = {у\ £ и/,1 [0,1], Чу) е ^(0,1)},
I ьту = Чу),
\ V(Lm) = {2/12/6 Ъ{Ьы),у[0) = 2/[11(0) = 2/(1) = У[11(1) = 0}. Функция ц(х) не предполагается вещественной. Обозначим через 1(у) дифференциальное выражение — у” +й'(х)у. Через Хм и Х,„ обозначим максимальный и минимальный операторы, порожденные 1(у). Оператор X с
о
плотной областью определения в гильбертовом пространстве называется фредгольмовым, если его образ замкнут, а числа {а,/?} соответствующие размерностям ядра и коядра конечны. Пару {а-,/?} называют дефектными числами оператора F, а число а - 0 — индексом І7.
Далее доказываются следующие теоремы
Теорема 1.1 При любом А є С операторы Ьт — X и Ьм — X фредголъ-мовы, а их дефектные числа равны {0,2} и {2,0} соответственно. Рассмотрим расширение Ь оператора Ьт, являющееся сужением оператора Ьм на область вида
ад = «л2/(0) + «*22/[11(°) + ъпу(1) + &;2у[11(1) =0. ; = 1,2, (2)
Тогда оператор Ь имеет непустую резольвенту тогда и только тогда, когда коэффициенты ад и д к = 1,2 удовлетворяют одному из следующих условий 1)-3) (невырожденные краевые условия (см. [2], [16])).
где - определитель составленный из а- и /3-го столбцов матрицы
Теорема 1.2 Пусть и(х) — вещественная функция. Тогда Ьт — замкнутый симметрический оператор с индексами дефекта {2,2}, а всякое его самосопряженное расширение Ь является сужением оператора Ьм на область вида
1) ^42 Ф 0;
2) ^42 = 0, «7і4 Н- 7з2 Ф 0;
3) І42 = 0, е/н + 7з2 = 0,7із ф 0;
(3)
аД^А-2 — = &/Т&А2 — &;2&А-Ь ^ & = 1? 2.
б
Во второй части первой главы диссертации (часть 1.2) решена следующая проблема. Пусть «о(я) € ^(0,1) и и£(г)- семейство гладких функций на [0.1], таких, что
||«£ (я) - гг0(х)||^2 -> 0 при є -> 0. (4)
Считаем, что 0 < є < 1, и обозначим через Ье семейство операторов, порожденных дифференциальным выражением — (Р/дх2 + и'£(х) и краевыми условиями 17\(у) = и%{у) = 0, где линейные формы Ь\ И ІІ2 имеют вид (2) и выполнено одно из условий (3).
Теорема 1.3 Условие (4) влечет равномерную резольвентную сходимость операторов Ье при е —> 0. Оператор Ьо имеет дискретный спектр, а скорость приближения собственных значений \к{є) операторов Ь€ к соответствующим собственным значениям А*(0) оператора Ьц допускает оценку
|Лк(е)->*(0)|<С*|М*)-*ю(*)||1/'
где Ск зависит от к, но не зависит от е, а р - число элементов наиболее длинной жордановой цепочки, отвечающей собственному значению А*(0).
Эта теорема позволяет, во-первых, в вычислениях заменить оператор с сингулярным потенциалом на оператор ЬЕ с подходящим гладким потенциалом; во-вторых, дать новое определение оператора £о с помощью предельного перехода (результат не зависит от выбора сходящейся к «о(я) последовательности гладких функций ие(х)).
В третьей части первой главы диссертации изучается случай всей оси. При этом предполагается, что д(х) вещественна и сингулярные особенности потенциала не уходят на ±оо. А именно,
д(х) = у(х)+и'(х), (5)
V Є Ьцос, и(х) Є Ьуос, вирр и’(х) С (-ВД.
Минимальный оператор определяется на области
ЩЬт) = [у Є 12(К)| йирру с К, у,у[ц Є ^7/ос, 1{у) є 12(К)| .
Через Тт обозначен оператор, в котором вместо д(я) участвует регулярная функция у(х) из (5). Очевидно, операторы Ьт и Тт симметрические и имеют равные дефектные числа, так как коммутируют с оператором сопряжения.
Кроме того, предполагается, что на обоих концах прямой имеет место случай предельной точки Вейля. Достаточным условием для этого является, например, условие Тичмарша
> —С — С\т?. (6)
Известно, [1, гл. 2], что при выполнении этого условия оператор Г, являющийся замыканием оператора Гт, самосопряжен. Так как носитель и(т) финитный, то описание области определения замыкания проводится также как в классическом случае.
Основной результат этой части
Теорема 1.4 Пусть Ь — замыкание минимального оператора Ьт. При выполнении условий (5) и (6) оператор Ь самосопряжен. Непрерывные спектры операторов Т и Ь совпадают. Если точка р 6 1& и ±ос является точкой накопления слева или справа дискретного спектра оператора Т, то она является такой же для оператора Ь и наоборот, причем соответствующие асимптотики собственных значений совпадают.
В последней части первой главы диссертации (часть 1.4) показано, что условие принадлежности функции и (я) пространству Ьч является существенным в предложенном методе. А именно, если последовательность гладких функций и£(х) такова, что ||и€ - и\\ср -> 0 при £ -> 0, р < 2 то последовательность операторов Ь€ может вовсе не иметь предела или этот предел будет различаться для разных последовательностей %(г). Здесь также разобраны различные примеры:
Пример 1. Оператор с потенциалом д(х) = Сд(х), х £ [—1,1];
Пример 2. 1(у) = -у" + где х € [-1,1], а параметр « > -§,
а ф -1;
Пример 3. Предложенный метод позволяет определить оператор Штур-ма-Лиувилля для потенциалов д(г), имеющих сколь угодно высокую сингулярность во внутренней точке, при условии, что сильный рост потенциала компенсируется сильной осцилляцией. Примером может служить функция д(х) = :г~3(ехрг~4) зт(ехр:г”4), х € [—1,1]-
Одной из основных задач, возникающих при изучении операторов Штур-ма-Лиувилля является задача о получении асимптотических формул для собственных значений и собственных функций таких операторов. Для гладких потенциалов эти асимптотические формулы являются классическими и принадлежат Лиувиллю. Для классических операторов наиболее полные результаты имеются в монографии В. А. Марченко [16].
Во второй главе диссертации подобные асимптотические формулы по-
8
лучены для операторов с потенциалами — распределениями. Для получения асимптотических формул применяется следующий метод.
В соответствии с определением оператора Ь, уравнение 1(у) = Ху можно записать в виде системы
(ее можно трактовать как переход к обобщенным полярным координатам), которая является модификацией замены Прюфера (см. [17]). Тогда систему (7) можно записать в виде
где г = г(х,А), в = 0(х,Х), и = и(х), а все производные есть дифференцирование по переменной х. В результате получаем уравнение на функции 0(х, А) и г(х, А):
Таким образом, происходит переход от системы (7) к системе двух уравнений (8), (9). Эти уравнения не являются линейными. Основное достоинство новой системы состоит в том, что уравнение (8) не содержит неизвестной функции г(х, А) и является независимым дифференциальным уравнением на функцию в(х,\). Далее в двух леммах устанавливаются асимптотические формулы для функций (8) и (9), применяя которые, получаем асимптотику собственных значений и собственных функций оператора Ь.
Теорема 2.1 Пусть оператор Ь определен на отрезке [0, я] так, как это было сделано в главе 1 (см. теорему 1.2) и выполнено одно из условий (3). Тогда собственные значения оператора Ь имеют асимптотику
Сделаем замену
в'(х,А) = А2 + А 2м2(£) ьіп2 #(£,А) + и(#)5Іп20(:г, А), (8)
А„ = тг2 + пз„, где {«„}“=1 Є І2-