Оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками

Содержание
Введение.............................................................2
Глава 1. Поперечники и е-энтрония некоторых классов...................
аналитических функций...............................................35
§ 1.1. Предварительные сведения о поперечниках и е-энтропии.........35
§ 1.2. Аппроксимации функций, аналитических в круге.................38
§ 1.3. Поперечники классов функций, голоморфных в шаре................
и в трубчатых областях..............................................48
§ 1.4. Об с-энтропии классов Харди-Соболева.........................59
§ 1.5. Об оптимальности аппроксимаций Фабера и Ерохина..............68
§ 1.6. О наилучших линейных аппроксимациях функций,...................
аналитических в окрестности нескольких континуумов..................82
Глава 2. Ортогональные всплески на локально компактных................
абелевых группах....................................................92
§ 2.1. Групповые аналоги всплесков Лем ар ьс- Баттла и Шеннона......92
§ 2.2. О стабильных и р-ично целых функциях на группе Виленкина.. 104
§2.3. Кратно масштабный анализ на группах Виленкина................111
§ 2.4. Алгоритмы построения ортогональных всплесков...................
на группах Виленкина...............................................127
§ 2.5. О гладкости ортогональных всплесков на группе Кантора.......140
§ 2.6. О безусловной сходимости всплесковых разложений.............163
Глава 3. Некоторые модификации ортогональной конструкции..............
всплесков на локально компактных абелевых группах..................171
§ 3.1. Биортогональные всплески на группах Виленкина...............171
§ 3.2. Дискретные вснлесковме р-адические базисы...................188
§ 3.3. Периодические всплесковые р-адические базисы................205
§ 3.4. Фреймы на канторовой диадической группе.....................212
§ 3.5. Аналоги теоремы Гроссмана-Морле.............................222
§ 3.6. Применения биортогональных и периодических всплесков...........
к обработке изображений и фрактальных сигналов.....................235
Список литературы..................................................255
(Х-/
1
Введение
Оптимальные методы приближения функций составляют раздел теории приближений, начало которому было положено А.Н.Колмогоровым. Введенный им поперечник отвечает на следующий вопрос: какой
точности приближения заданного класса можно достигнуть, если использовать в качестве аппарата приближения подпространства заданной размерности? В дальнейшем для изучения оптимальности различных методов приближения (линейных, интерполяционных и др.) были введены линейные, гельфандовские, александровские, бернштейновские и некоторые другие поперечники. Основные результаты о поперечниках изложены в работах В. М.Тихомирова |46]-|50) и монографии А.Пинкуса [116], где приведена подробная библиография. Методы теории поперечников играют важную роль в общей теории оптимальных алгоритмов (см., например, монографии К.И.Бабенко [3],
О.В.Локуциевского и М.Б.Гаврикова [23], Трауба и Вожьняковского |51|) и в некоторых современных задачах теории восстановления, отраженных в работах B.C.Кашина и В.Н.Темлякова [19], В.Н.Темлякоза 1127], Г.Г.Магарил-Ильяева и К.Ю.Осипенко |25|, Д.Донохо [84], и др. В диссертации основное внимание уделяется обобщению и развитию методов приближения, возникших в работах К.И.Бабенко |2|, В.Д.Ерохина |13|, Л.В.Тайкова [45], Дж.Уолша |130| и X.Лэнга 1111 ].
Напомним, что линейный n-иоперечник подмножества А нормированного пространства X определяется равенством
АДА, X) := inf sup ||/ - А„/||, л„ /€/1
где нижняя грань берется по всем линейным ограниченным операторам Лп ранга п, отображающих X в себя. Уклонением множества А от подпространства L в X называют величину
d(A, L, X) := sup inf \\х — у||, хел y^L
а п-поперечник по Колмогорову множества А в А определяется равенством
dn{A,X) := inf d(AtLn,X),
bn
где Ln - произвольные подпространства из X размерности п. Легко видеть, что drX(A,X) < АП(А,Л’). Для иредкомиактного множества А через N£(A; X) обозначают минимальное число точек в е-сети для А в X. Величина
2
ПС(А, X) := 1об2 ЛГе(А X) называется г-энтроиией множества А относительно X.
В диссертации рассматриваются несколько методов приближения, оптимальных относительно линейных и колмогоровских поперечников или но среднеквадратическому и энтропийному критериям. Под среднеквадратическими приближениями понимаются аппроксимации по /72-метрике в различных пространствах функций.Энтропийный критерий применяется в двух вариантах - для дискретных массивов данных (энтропия в смысле Шеннона) и для функциональных пространств (г-энтропия но Колмогорову). Детальное изложение конструктивных аспектов сопровождается соответствующими примерами и алгоритмами приближения, основанными на изучаемых методах аппроксимации. Основные результаты связаны с решением следующих задач.
1. Получить точные и асимптотически точные результаты о поперечниках и г-энтропии классов аналитических функций.
2. Найти групповые аналоги всплесков Шеннона и Лемарье-Баттла на локально компактных абелевых группах.
3. Для произвольного натурального п построить диадические всплески с компактными носителями на канторовой диадической группе, отвечающие масштабирующему уравнению с 2" коэффициентами, и получить оценки гладкости этих всплесков.
4. Построить ортогональные и биортогональные всплески с компактными носителями на р-адичсской группе Виленкина и их дискретные аналоги в пространствах последовательностей.
5. Построить периодические всплески с компактными носителями на р-адической группе Виленкина.
6. Построить фреймы Парсеваля и жесткие фреймы на диадической группе Кантора.
7. Вычислительными экспериментами по обработке изображений и фрактальных функций выявить преимущества построенных вснлесковых систем по сравнению с базисами Хаара и Добеши, а также с биортогональным базисом 9/7, используемым в стандарте ЛРЕС2000.
В первой главе диссертации изложены результаты автора о поперечниках некоторых классов функций, аналитических в круге, приведены многомерные аналоги результатов К.И.Бабенко, Л.В.Тайкова и А.Пинкуса о поперечниках класса Харди-Соболева и вычислена асимптотика г-энтропии этого класса функций. Построены оптимальные
з
в смысле поперечников и ^-энтропии базисы для классов функций, ограниченных в окрестности нескольких континуумов комплексной плоскости (эти результаты обобщают соответствующие конструкции Г.Фабера, В.Д.Ерохина и Дж.Уолша).
Во второй главе диссертации излагаются результаты о построении ортогональных всплесков на локально компактных абелевых группах в рамках кратномасштабного анализа. Определены групповые аналоги всплесков Лемарье-Баттла и Шеннона. Изложены алгоритмы построения ортогональных всплесков с компактными носителями на группах Кантора и Виленкина. Показано, что соответствующие масштабирующие функции представимы лакунарными рядами Уолша. Получены оценки гладкости ортогональных всплесков на группе Кантора, доказана безусловная сходимость всилесковых разложений в диадическом пространстве Харди.
Третья глава диссертации посвящена нескольким модификациям ортогональной конструкции всплесков на группах Кантора и Виленкина. При построении биортогоиальных всилесковых систем на р-адической группе Виленкина С используются кратномасштабные анализы с базисами Рисса. Для пространств комплексных периодических последовательностей с помощью преобразования Виленкина-Крестенсона вводятся аналоги ортогональных всплесков, изучавшихся в главе 2, и указываются алгоритмы для их построения. Приведены примеры фреймов Парсеваля на группе Кантора. Доказаны аналоги теоремы Гроссмана-Морле. Изложены результаты вычислительных экспериментов по применению построенных всплесков для обработки изображений и фрактальных функций.
Пусть и = {г : |г| < 1} - единичный круг, Т = д1/ - его граница,
11г = г и - круг радиуса г,Тг = д(УГ) и пусть а и V - стандартные меры на окружности Т и комплексной плоскости С, определяемые равенствами с1а(е10) = М/2п и с1и(х + гу) = (1хс1у/тт соответственно. Для 1 < р < оо обозначим через ВНр(иг) замкнутый единичный шар класса Харди Нр(иг). Пусть Я > 1. С помощью тейлоровских аппроксимаций выводятся равенства
Ап(ВН2(ип),Ь2(а)) = <<„(ВЯ2((/я), Ь7{а)) = /Г"
В то же время, как отмечалось Фишером и Мичелли [100], экстремальный метод приближения для линейных поперечников Лп(ВЯ2([/д), Ь2{у)) имеет вид
/(г) * (Од/)(г) := £(1 - (к|/Я)г(-‘))(/‘*)(0)А!)** (0.1)
к—0
4
и связан с ядром Пуассона
оо
У(г, і) := 1 4- 2 г* соэ кі, 0 < г < 1, і € (-тг, тг],
/с—1
формулой
я
/(те*) - (С„/Ж*) = і. (І)" I е'^-°)р(г/[1,е- <р)/(11е'°)М. (0.2)
-Л
С помощью метода (0.1) доказываются (см. [116]) равенства
Ап{ВН*(ив), І») = йп(ВН2(ип), £2М) = Д‘п(п + 1)-1/2. (0.3)
Метод аппроксимации (0.1) одновременно решает задачу восстановления значения произвольной функции / из единичного шара пространства Н°°(ип) в данной точке г 6 £//? \ {0} по тейлоровской информации {/(0),//(0)1...,/^-1>(0)} (этот результат принадлежит К.Ю.Осипенко |30|).
В § 1.2 показано, что метод (0.1) оптимален для поперечников Ап(Я#р((Уя), Ьч(<г)) и Ап(ВНр(ик),Ья(1/)) для всех 1 < д < р < оо. Более того, согласно предложению 1.2.2, если
сір{гех0) = гіт(г) (і<т(еі0)>
где пг - положительная борелевская мера на [0,р], 0 < р < Я, то для 1 < д < р < оо имеет место равенство
АДДЯ^я), Д’М) = Д’" П'і»*Ат(г)V ’
и такие же равенства верны для колмогоровских и гельфаидовских поперечников. При р = д = оо имеем
А„(ДЯ^С/д), С(Т)) = сі„(ВН°°(ип), С(Т)) = Д " (0.4)
и полиномиальный метод
/(г) « (Р„/)(г) := £(1 - (І/Д^Н/Мр)/*!)** (0.5)
/с = 0
оптимален для поперечника А„(ЯЯ °°(0Г/?), С(Г)).
5
Приведем обобщения методов (0.1) и (0.5) для оценок поперечников класса Харди-Соболева Я^(/,р), состоящего из функций, у которых производная порядка I принадлежит классу ВНР{11^). Для любого п > I и каждой функции /, аналитической в £//*, положим
<С!.ЯМ := Е(/(*>(°)/И)**+Е(1-(04»-‘М) (\г\/Ю2[П-к))(1{к)т/к')гк,
к=о к=1
(0.6)
где а[. := (/с - 1)\/к\ Полагая г = ге1* (0 < г < Я), имеем равенство
/(г) - (С1п/)(г) =
1 я.
£ ©""у ехр^" п)(е " Ч>)виг!П,0 - р)/{‘](Ке'°)с10. (0.7)
—7Г
Здесь
оо
^?г,п(р, <) := «п + 2 ^рк<*‘к+п сое 0 < р < 1, <е[-7г,гг], (0.8)
к=1
- ядро из работы К.И.Бабенко [2]. Это ядро связано с ядром Пуассона формулой
1
В1,п{рЛ) = Ъ ]_ У"(1 - тГ'т^Г[ртЛ)<1т
о
и, следовательно, неотрицательно. Отметим, что неотрицательность ядра (0.8) проверяется также повторным применением преобразования Абеля.
Обозначим через (Рг[/)(г) выражение, которое получается из правой части (0.6) заменой \г\ на 1. Согласно (0.7) имеем
вир{||/ - К/\\С(й) ■ / е Нп(1,00)} = 0(Нп(1,^),Гп.С(П)) = а'„Я'-п,
(0.9)
где Рп - множество полиномов степени не выше 71 — 1 и супремум достигается на функции /о(-г) = а1пЯ?~пгп. Второе из равенств (0.9) выражает теорему Бабенко о наилучших полиномиальных приближениях класса Нц(1> оо). С другой стороны, из неравенств Бернштейна
\\К\\с{Тн) < (п/ Я) 11 Рп | |с(7’я) И ||Ягг||с(Тл) < КП\\Рп\\с(Т)1
б
где Рп Є Vn+1, R > 1. по теореме о поперечниках шара выводится оценка
dn(HR(l,oo),C(U))>alnR1-'.
Отсюда и из (0.9) имеем
А„(Яя(/. оо), С(П)) = МНл(1, оо), С(П)) = c,lnRl~'\. (0.10)
причем метод / ^ Pjj' оптимален для п-ионеречника Лп(#/?(/, оо), С(б/)). Формула (0.10) для колмогоровских поперечников была получена В.М. Тихомировым. В явном виде методы аппроксимации / % P^f и / « GlnJ указаны соответственно Л.В.Тайковым (45) и А.Пинкусом |116|. Подобный подход применим и для оценок поперечников некоторых других классов аналитических функций (см., например, недавнюю работу |5]).
В § 1.3 доказываются многомерные аналоги указанных результатов К.И.Бабенко, Л.В.Тайкова и А.Пинкуса. а в § 1.4 выводится
асимптотическая формула для f-энтропии многомерного аналога класса Нк(1,р). Сформулированы соответствующие результаты для классов функций с ограниченными дробными производными. Дальнейшие результаты главы 1 посвящены анализу оптимальности методов аппроксимаций Фабера, Ерохина и некоторых их обобщений.
Пусть 12 - открытое множество на плоскости С, Е - компактное подмножество в П. Пространство Я 00 (12) состоит из функций /, аналитических в 12 и имеющих конечную норму /\\н°°(п) := SUP{|/(2)I : 2 Є 12}. Обозначим через ВЯ°°(Г2) сужение на Е замкнутого единичного шара пространства Я°°(Г2) и через cap (ЕЛІ,) емкость Грина множества Е относительно 12 (например, если Е = U, то cap (Е. Яд) = 1 / log /?). Если 12 - односвязная область Жордана и : 12 —» Ur - отображение Римана, то
<іп(ВН«>(П),С(Е)) = dn(BH°°(Uii), С(ы{Е)))
для любого компакта Е С 12. Отсюда и из (0.4) для чебышевского случая, когда Е - отрезок [—1,1] и 12 - эллипс с фокусами в точках — 1 и 1, получается оптимальный метод для поперечников dn(B
В случае Фабера в качестве Е берется континуум К} не разбивающий плоскость, а 12 является канонической окрестностью С/? континуума К (граница дСц совпадает с прообразом окружности Тц при конформном отображении дополнения К на дополнение единичного круга U в расширенной комплексной плоскости). Для К = U и К = [—1,1] аппроксимации Фабера совпадают соответствено с аппроксимациями
7
Тейлора и Чебышева (подробнее о многочленах Фабера см., например, в монографиях |8| и [44]). Для широкого класса континуумов К (например, в случаях, когда К - выпуклый компакт или замкнутая область Радона) приближения функций частичными суммами ряда Фабера позволяют доказать (см. § 1.5) порядковые оценки
Лn{BH°°(GR)tC(K)) - dn(BH°°(GR),C(K)) х /Г" (0.11)
Задача о вычислении асимптотики ^-энтропии класса ВН°°(П) в метрике С(Е) поставлена А.Н.Колмогоровым. Условия, при которых имеет место асимптотическая формула
Н.:(ВН°°(П),Ст ~ caPl'£',n)(|og2(1/g))2 (с -> 0), {0.12)
log2e
изучали К.И.Бабенко, А.Г.Витушкин. В. Д.Ерохин, В.М.Тихомиров,
В.П.Захарюта, Г.Видом и др. (см. |47, с.218]). Известно, в частности, что формула (0.12) является следствием равенства
lim ШВН°°(П).С(Е))]1/п = ехр(-1/сар (Е, П)), (0.13)
п-»оо
и что равенство (0.13) имеет место, если П - ограниченное открытое множество, содержащее конечное или счетное число компонент, Е -компактное подмножество в Q положительной логарифмической емкости; кроме того, если Q - многосвязная область либо конечное дизъюнктное объединение таких областей, то
^,(ВЯ0С(П),С(^)) > С\ ехр(—n/cap (E,il)). (0.14)
Пары (£,П), для которых верна обратная оценка, можно найти в работах Ганелиуса, Фишера, Мичелли и др. Так, например, Фишером и Мичелли 1100] при условии, что дополнение области Q в расширенной плоскости состоит из т + 1 компонент, установлено, что
1) dn(BH°°(Q),C(E)) > ехр[-(щ + п)/сар (£,П)],
2) если Е = {z € П : \BQ(z)\ < р] для некоторого произведения Бляшке Во и некоторого р > 0, то
с1п(ВН°°(С1)}С(Е)) х exp(-n/cap (Е, Q)).
В общем случае равенство (0.13) доказывается с помощью приближений функций / из класса BH°°(Q) рациональными функциями с нулями и полюсами, равномерно распределенными относительно некоторых мер. определяемых но Е и И.
В § 1.5 и § 1.6 излагаются оптимальные линейные методы приближения, позволяющие с помощью разложений в ряды функций / из E#°°(Q) доказать формулу
lim C'(iEr))]1^'1 = exp(-l/cap(£,fi)) (0 15)
«—»оо
и оценку
\п(ВН°°(П)уС{Е)) < с2 ехр(—n/cap (Е. П)). (0.16)
Из (0.14) и (0.16) имеем слабые асимптотики
Ап(£Я°°(П), С{Е)) х ^(ВЯ°°(П), С(Е)) - exp(-n/cap (Е, Q)).
В дополнение к указанному выше фаберовскому случаю приводятся пары (Е. П), для которых существуют аналитические в Q функции /*. такие, что:
1) любая функция /, аналитическая в П, единственным образом представима рядом
ос
/(2) = г € Н,
*=0
равномерно и абсолютно сходящимся на любом компакте из Q;
2) если / G BH°°(Q)y то
«-1
Для некоторых пар (Е, О,) излагаемые методы приводят к соотношениям
Ап(ВН°°(Сг),^(Е)) X <£,(ВЯ°°(П), £"(£)) х п-1/чехр(-п/сар<Е,П))
для всех 1 < <7 < оо.
В § 1.6 основное внимание уделено случаю, когда П - многосвязная область либо дизъюнктное объединение конечного числа таких областей, а Е - континуум, разбивающий плоскость, либо объединение конечного числа попарно ненересекающихся континуумов. В этих случаях формула (0.15) и оценка (0.16) (атакже их квадратичные аналоги) доказываются с помощью построенных автором базисов типа Ерохина, обобщающих классические базисы Лорана, Фабера, Якоби и Уолша. В обзорах В.М.Тихомирова |47| и [48] эта конструкция приведена среди наиболее важных результатов о поперечниках и энтропии классов аналитических функций.
Глава 2 посвящена изложению результатов, относящихся к построению ортогональных всплесковых базисов на локально компактных абелевых
группах. Подробная библиография по всплесковым конструкциям на группах приведена в [75]. Основное внимание в главе 2 уделено изучению всплесков, определяемых с помощью обобщенных функций Уолша. Изучение системы Уолша на группах началось в 40-е годы прошлого века. Приведем фрагмент введения к монографии |1|: "И. М. Гельфанд заметил, что система Уолша является системой характеров счетной суммы циклических групп порядка 2, и предложил Н. Я. Виленкину изучить ряды по характерам произвольных нуль-мерных компактных коммутативных групп. Это было выполнено в работе [б]. В силу общей теории характеров, построенной Л. С. Понтрягиным (см., например, |34|), такие ортонормированные системы оказываются мультипликативными и периодическими - некоторая степень любой функции тождественно равна единице. Оказывается, многие свойства тригонометрических рядов присущи и рядам по мультипликативным периодическим системам. Вместе с тем простое "устройство"(конечное или счетное множество значений) подчас упрощает доказательства". Независимо в 1949 г. интерпретация, функциий Уолша как характеров канторовой диадической группы была дана Файном [99]. Этот факт двумя годами ранее отмечался Н.Я. Виленкиным, которым в работе [6] был определен широкий класс локально компактных абелевых групп (называемых в современной литературе группами Виленкина), содержащий группу Кантора как специальный случай. Отметим, что применениям группы Кантора и обобщенных функций Уолша в теории тригонометрических рядов Фурье посвящены две главы монографии Р. Эдвардса [74].
В настоящее время теория преобразований Уолша и их обобщений представляет собой активно развивающийся раздел гармонического анализа. В России существенный вклад в развитие этой теории внесли Б. И. Голубов, А. В. Ефимов, В. А. Скворцов, С. В. Бочкарев,
С. В. Конягин, М. С. Беспалов, А. С. Поспелов, J1. А. Балашов,
С. С. Волосивсц, С. Ф. Лукомский и др. (подробная библиография приведена в [10]). Основные достижения зарубежных математиков (среди них: G. Alexits, Р. L. Butzer, S. Fridli, F. Möricz, C. W. Onneweer, J. Pal,. J. Price, F. Schipp, A. H. Siddiqi, P. Simon, R. S. Stankovid.
M. H. Taibleson, W. R. Wade, II. J. Wagner, C. Watari) в этой области
отражены в книге [118]. В монографиях [10], [11], [118], 1125] изложены результаты по следующим темам:
• ряды по системе Уолша: признаки сходимости и методы суммирования;
• задачи единственности представления функций рядами Уолша;
• приближение функций полиномами Уолша и Хаара;
10
• ряды Уолша с монотонно убывающими коэффициентами;
• лакунарные ряды Уолша;
• двоичные интегралы и производные;
• диадические мартингалы и пространства Харди;
• двоичные операторы Харди и Харди - Лита туда;
• двоичные обобщенные функции;
• применения дискретных преобразований Уолша и их обобщений к цифровой обработке информации, кодированию изображений, исследованию случайных процессов, анализу динамики линейных и нелинейных систем, разработке систем оптимального управления, а также при построении многоканальных систем связи и в голографии.
Для данного р > 2 группа Виленкина может быть определена как слабое прямое произведение счетного множества циклических групп р-го порядка, рассматриваемых с дискретной топологией. В случае р = 2 группа Виленкина изоморфна канторовой диадической группе. Специфика построения всплесков на группах Кантора и Виленкина связана с тем обстоятельством, что эти группы (как и аддитивная группа поля р-адических чисел) содержат открытые компактные подгруппы (см. |75|). На международной конференции по дискретному анализу и его приложениям, состоявшейся в Салониках 27-29 сентября 2008 г., среди обсуждавшихся тем были следующие: анализ Уолша, гармонический анализ на группах Виленкина, р-адические всплески, анализ Фурье на некоммуттативных группах, производная Гиббса и ее обобщения, нелинейные методы кодирования. Статья автора [91| о кратномасштабном анализе и всплесках на группах Виленкина опубликована в специальном выпуске журнала Facta Universitatis, посвященном этой конференции.
Кратномасштабный анализ в /^-пространствах на локально компактных абелевых группах относится к числу фундаментальных понятий теории всплесков и определяется следующим образом. Пусть G - локально компактная абелева группа и L2(G) - соответствующее пространство Лебега. Предположим, что II - дискретная подгруппа в G такая, что фактор-группа G/H компактна, и Л - автоморфизм группы G такой, что Л[И) - собственная подгруппа в Н. Кратномасштабным анализом (сокращенно: КМ А) в L2(G)} ассоциированным с II и А, называется семейство замкнутых подпространств Vj С L2(G),j € Z, удовлетворяющих следующим условиям:
11
(i) Vf С V}+] для j в Z.
(ii) = L2(G) и ПЦ = {0}-
(iü) /(•) £ Vj <i=i> f(A-) e Vj+i для j e 1.
(iv) /(•) e V0 => /(• - h) 6 V0 для h 6 H.
(v) Существует функция <fi 6 L2(G) такая, что система {<p(--/i) | Л € Я}
является ортонормированным баЗИСОМ В Vq.
Условие (v) часто заменяют предположением, что система {</?(• —h) | h € //} является базисом Рисса в Vq. Это значит, что для каждой функции / £ V& существует единственная последовательность {ад} € £2(Н) такая, что
я*) = У «ля* -h)
hÇH
со сходимостью в L2{G) и выполнены неравенства
Ло(£ | а*|2)1/2 < ||£ а,/(. - /1)|| < В0(£ | а,,|2)1/2,
UÇ.H heH hell
где положительные константы Aq и Bq не зависят от / G Vq . В этом случае говорят о КМ А с базисом Рисса. Эквивалентность этого определения КМ А в L2(G) приведенному выше определению доказывается так же, как для пространства L2(R) (см., например, (29]).
Из (iii) и (v) следует, что система {ч>(А • —/г) | h € Н) является ортогональным базисом в Vj. Так как ip € Vq С Ц, то имеет место разложение
</?(.т) = ^ c(h)(p(Ax — /г), .т G G: he н
которое часто рассматривается как функциональное уравнение относительно масштабирующей (или уточняющей) функции <Л
В § 2.1 при условиях, когда 1) группа G метризуема, причем выполняется вторая аксиома счетности, и 2) автоморфизм А непрерывен, а его обратный А"1 является сжатием, определены групповые аналоги классических всплесков Лемарье-Баттла и Шеннона. Эти результаты связаны с групповыми вариантами интерполяционной теоремы Шенберга и теоремы Уиттекера-Котельникова-Шемнона, полученными В.М.Тихомировым |49|.
Напомним, что р-адическая группа Виленкина Gp состоит из последовательностей вида
X = {х3) = (. . . .0,0,Xk,Xk+l,Xk+2, ■ ■ ■):
12
где Xj G {0,1,... ,р - 1} для j G Ъ и х3 = О для j < к = к(х). Групповая операция на G = Gp обозначается 0 и определяется как покоординатное сложение по модулю р :
(z}) = (Xj) 0 (у}) <=> Z.J = Xj + у3 (modр) для j G Ъ ,
а топология в С вводится полной системой окрестностей нуля:
Ut = {(х7) G G | x3 = 0 для j < /}, I € Z.
Множества Ui являются открытыми компактными подгруппами в (7 и обладают свойствами:
Ui+i С Ui, = U^' = G-
Положим U = Uq и обозначим через 0 операцию, обратную 0 (так что х © х = 0. где 0 - нулевая последовательность). При р = 2 группа G совпадает с канторовой диадической группой С, погруппу U часто называют компактной канторовой группой (см., например, |74), (119)), а операция © в этом случае совпадает с 0.
В апреле 1996 г. автором в совместном с Д. Ю. Перловым докладе на международной конференции "Новые достижения в науках о Земле"(Москва, МГГА) был определен кратномасштабный анализ Хаара на группах Виленкина. В том же году Ленгом (111) были построены первые примеры ортогональных всплесков с компактными носителями на группе Кантора, отличные от всплесков Хаара.Через два года вышли две работы Лэнга (112| и [113], в которых определен кратномасштабный анализ в L2-пространстве на группе Кантора, выявлена мультифрактальная структура построенных в (111) ортогональных всплесков и найдены условия, при которых эти всплески порождают безусловные базисы в соответствующих /^-пространствах для всех 1 < q < оо.
Кратномасштабный анализ на компактной группе Кантора в рамках FMS-анализа (Fourier - Walsh-similar analysis) построен Вл.Сендовым 1119); кроме того, им была предложена соответствующая адаптивная схема аппроксимации диадическими всплесками (см. [120], [121)). В дополнение к этим результатам в главе 2 изучены методы построения ортогональных всплесков с компактными носителями на группах Виленкина, получены оценки гладкости ортогональных всплесков на группе Кантора и доказана безусловная сходимость всплесковых разложений в диадическом пространстве Харди.
Пусть G - р-адическая группа Виленкина. Группа, двойственная G. обозначается G* и состоит из последовательностей вида
13
W — (u)j) — (. . . , О, О, u;/., U>k+i,U>k+2> • • •)
где Е {0,1,... ,р - 1} для } е 2 и ^ = 0 для у < к — к{и). Операции сложения и вычитания, окрестности нуля {Ц*} и мера Хаара ц* вводятся для С* так же, как и для С. Каждый характер группы С может быть задан по формуле
для некоторого w € G*.
Выделим в G дискретную подгруппу Я = {(.Ту) Е G \ ху = 0 для j > 0} и определим автоморфизм А Е Aut G по формуле {Ax)j = Xj+i- Легко видеть, что фактор-группа Н/Л(Н) содержит р элементов, а аннулятор Я1 подгруппы Я состоит из последовательностей (cj;) € G*, у которых u>j = 0 для j > 0.
Отображение Л : G —» R+ определим равенством
Отметим, что отображение Л переводит множество U в отрезок |0,1| и задает изоморфизм пространств с мерой (G,/i) и (М+,д+), где -мера Лебега на R+. Образом подгруппы Я при отображении Л является множество целых неотрицательных чисел: Л (Я) = Z+. Для каждого а € Z+ через обозначим элемент из Я такой, что А(/цЛ|) = в частности, /*[о) = 0. Отображение У : G* -> R+, автоморфизм В 6 AutG*, подгруппа U* в G* и элементы W|Q.j из Я1 определяются аналогично X.A.U и fy0] соответственно. Отметим, что х(Лж,а;) = х(х> Ви) для ж Е G, u; Е G*. Для произвольного ж £ G полагаем |ж| := А (ж).
Обобщенные функции Уолша для группы G могут быть заданы равенством
Эти функции непрерывны на G и удовлетворяют соотношениям ортогональности
../и
где $а,р - символ Кронекера. Известно также, что система {И^} полна в Ь2(и). Соответствующая система для группы С* определяется равенством
А(х) = Ух = (xj) Є G. je 2
Wa(x) = x(^:W(Q|), о* Є Z+, ж € G.
WQ(x)Wß(x)dii(x) = önß, a,ß € Z+,
W«(w) = x(tyû|j^)j & Є Z+, w € £?*. Система {Ha*} является ортонормированным базисом в L2((/*). Для произвольной функции <р Є L2(G) положим
4>jji(x) = ^(АэЛ). j Є Z. h Є Я.
Будем говорить, что функция <Р порождает (или генерирует) КМЛ в Я2(С), если, во-первых, система {Ч>(- © Ь) \ Н є 11} ортонормирована в Ь2(С) и, во-вторых, семейство подпространств
V] — сіоз^с^рап {ірі%к| Н є Я}, у є
является КМ А в Ь2(Є). Если функция <Р генерирует КМ А в Я2(С), то при каждом 7 Є й система її Є Я} является ортонормированным
базисом в У3 и существуют ортогональные всплески фь ... ,^р-і такие, что
образуют ортонормированный базис в Ь2(С).
В § 2.3 приведены необходимые и достаточные условия, при которых решения масштабирующих уравнений вида
порождают КМА в Ь2(С).
Напомним, что через 1# обозначается характеристическая функция множества Е. Если ао = ••• = ар-\ = 1 /р и все аа = 0 для а > р. то решением уравнения (0.17) является функция <р = в частности,
при п = 1 уравнению (0.17) удовлетворяет функция Хаара <р = 1/; и соответствующие всплески имеют вид
где ev = ехр(2тгг/р). Всплески (0.18) аналогичны р-адическим всплескам типа Хаара, построенным С.В. Козыревым [20] для поля р-адических чисел
функции
ФіоЛх) = Р,/2,Фі{Л:,х © h), 1 < / < р - 1, j Є Z, h Є H
(0.17)
1 < l <p- 1,
(0.18)
Qp.
15
Пусть функция € Ь2(С) имеет компактный носитель, удовлетворяет уравнению (0.17) и условию ф(в) = 1. Применив преобразование Фурье, из (0.17) получим равенство Ф(и) = гщ(В~*и>)Ф(В~1и), где
рп- 1________
™оМ = 51 (°19)
о-0
- обобщенный полином Уолша, называемый маской уравнения (0.17).
Множества и* н := В“т*(и|,)) 0 В'п([/’), 0 < 5 < р,А — 1, являются
смежными классами группы и* по подгруппе В~п(и*). Каждая из функций №*(ш) при 0 < а < рп — 1 постоянна на множествах и*$. Коэффициенты масштабирующего уравнения (0.17) связаны со значениями Ь8 маски (0.19) на смежных классах 1/*8 прямым и обратным дискретными преобразованиями Виленкина - Крестенсона:
1 С;1
о.а « — £ Ь*Ы*(В-пи[з])} 0 < а < рп - 1, (0.20)
Р 5=0
р"-1 ____________
Ь, = 5] аа 0 < « < рп- 1. (0.21)
а=0
Для реализации этих преобразований имеются быстрые алгоритмы (см., например, |Ю|). Таким образом, выбор значений маски (0.19) на множествах и* 3 одновременно определяет коэффициенты уравнения (0.17), которому удовлетворяет соответствующая функция
Для каждого I € {0,1,....р—1} последовательность и = (с*^), у которой и/1 = / и и у = 0 для j Ф 1. обозначим через (в частности, 6$ = 0). Если функция <р е Ь2(С) удовлетворяет уравнению (0.17) и система {у?(*0 /г) | /г 6 //} ортонормирована в Т2(С), то
V-1
|то(сц 0 (5^|2 = 1 для всех и € С*.
*=о
Поэтому равенства 6о = |^>|2 + |^+р"-‘|2 + - • •"Ь|^+(р-1)р,,-‘|2 = П 0 < 7 <р/г }-1 (0.22)
необходимы для ортонормироваипости в Е2(С) системы {у?(- 0 /г)| /г е И}.
Компактное множество Е С С* называется конгруэнтными* по модулю Я1, если д’(Я) = 1 и для любого и € Е существует элемент /Г € Я1 такой,
что и 0 Н* € и*. Пусть то - маска уравнения (0.17). Будем говорить, что то удовлетворяет модифицированному условию Коэна, если в группе С* найдется компактное подмножество Е, содержащее окрестность нулевого элемента и такое, что
1) Е конгруэнтно 11* по модулю Я1;
2) выполнено неравенство
тГ т£ \то(В~уи>)\ > 0. (0.23)
При условии то{9) = 1 в силу компактности множества Е существует номер уо такой, что то(В~*ш) = 1 для всех у > у’о, и; € Я. Поэтому (0.23) верно, если полином то(а>) не обращается в нуль на множествах Я”1 (Я),..., В~'*й(Е). Более того, всегда можно выбрать у'о < рп, так как маска то полностью определяется своими значениями на множествах С!*3 (и /щ является Я1-периодической функцией). О применении условия Коэна для построения всплесков на прямой см., например, в монографии Добеши [ 12).
Пусть М С и* и
р-1
ТРМ = и{£-Ц(| + В~'М | ш е М}.
/=о
Множество М называется блокирующим (для маски то), если оно представимо в виде объединения некоторых из множеств
Уп-м = В1_"И]) ® В'^и*), о < з < р"-1 - 1,
не содержит множества Я*_|>0 и обладает свойством ТРМ с М и К (то), где N(7710) - множество всех нулей маски т0 на подгруппе 11*. Очевидно, каждая маска может иметь только конечное число блокирующих множеств. В § 2.3 обосновывается следующий алгоритм построения ортогональных всплесков в Я2(С7).
Шаг 1. Выбрать числа 0 < $ < рп — 1, для которых выполнены условия (0.22).
Шаг 2. Но формуле (0.20) вычислить коэффициенты аа, 0 < а < рп — 1, и проверить, что маска
Ри-1 _______
™оМ = ^ 0,аИ^(и).
о=0
17
не имеет блокирующих множеств (или, что равносильно, удовлетворяет модифицированному условию Коэна).
Шаг 3. Найти
т,(ш) = ]Г 1<1<р-1, (0.24)
с* €2+
такие, что матрица {ггц(и> 0 унитарна.
Шаг 4• Определить фх,... ,фр~х по формуле
ф!(х) = р ^2 ОъЧ>{Ах 0 Лдо). 1 < I < р - 1. (0.25)
а € 2+
Два метода реализации третьего шага этого алгоритма для произвольного р > 2 изложены в § 2.4. В случае р = 2 в разложении (0.25) можно
положить Оо^ = (—1)г,аа01 или = ( — 1)^а2»-1—Л для 0 < а < 2" - 1 (и
= 0 для остальных а).
В соответствии с шагами 1 и 2 для случая р = п = 2 положим Ьо = 1, Ь\ = а, 1)2 = 0, 63 = Ь и
а0 = (1+а+6)/4, а\ — (1+а-6)/4, аг = (1 -а-6)/4, аз = (1 -а+6)/4,
(0.26)
где |а|2 + |6 2 = 1. При а ф 0 модифицированное условие Коэна выполнено на множестве Е = II* н соответствующее решение <Р генерирует КМ А в £2(0). В частности, при а = 1 и а = -1 получаются соответственно функция Хаара: <р(х) = 1и(х) и смещенная функция Хаара: <р(х) = 1у(ж© /гр]). Если 0 < |а| < 1, то функция <Р может быть задана разложением
ос
<р(х) = {\/2)1и{А~1х){\ 4- аУ£2Ь3\№27+1-\(А~1х))> х е С. (0.27)
;=о
В случае а — 0 множество Ьг[х является блокирующим, функция у? определяется по формуле <р(х) = (1/2)1 и(А~{х) и система {</?(• © к) \ к Е И) линейно зависима (так как ц>(х) = <р(х © Лр])). Из доказанных в § 3.7 результатов следует, что при а = 0 соответствующая система {ф3,ь} является фреймом Парсе валя в Ь2(С).
Разложение (0.27) было найдено Лэнгом [111). Им же показано 11121. что при '5| < 1/2 получаемые из заданной по формуле (0.27) функции ортогональные диадические всплески образуют безусловный базис во
18
всех пространствах Lq(C)y 1 < q < ос. Кроме того, оказалсь, что
соответствующие всплески на полупрямой К+ можно интерпретировать как мультивсплески, состоящие их кусочно-фрактальных функций (см. (113|)
Для случая р = 2, п = 3 положим bo = 1, Ь] = а, 62 = 6, 63 = с, 64 = 0, 65 = а, Ьа = [3, 67 = 7, (0.28)
где
|а|2 + ]а|2 = |Ь|2 + Щ2 = |с|2 + |7|2 = 1.
Значениями 6о, 61,..., 67 коэффиценты a-о, аь.... 07 уравнения (0.17) определи клюя однозначно, а выражения этих коэффи центов через параметры а,Ь,с.а,(3,7 получаются по формуле (0.20). Блокирующими множествами для маски
7
= ]TanW,*(w)
a=0
являются: 1) U^UUh при а = 0, 2) при а = 0 = 0, 3) /У2*з НРИ с =
0) 4) С/*д при 6 = с = 0. Если a = 0 или с = 0. то система {<£(• ©/г) | /г € И} линейно зависима. Если же a и с ненулевые, то функция 9 генерирует КМ А в L2(G). Неравенство (0.23) в случае abc Ф 0 выполнено для Е = U*} а в случае а ф 0. 6 = 0,с^0 оно имеет место для Е = В ( , U U^q ).
В частности, при а = с = 1, 0 < |6| < 1, получается кусочно-постоянная функция
1р(х) - (1/4)1у(у)(1 + Щ(у) + bW2(y) + w3(y) + 0W6(y)), y = A~2x.
Аналоги разложения (0.27) для p = 2. n = 3 были найдены Лэнгом только в следующих случаях: 1) а = 1, Ь = 0, \с\ < 1 (соотв. а = 0:/3 = 1,|7| < 1) и 2) |а| < 1,6 = 1,с = 0 (соотв. |а| < 1 ,j3 = 0,7 = 1), а об общем случае было сказано, что "no simple patterns appear in the coefficients "для разложения в ряд Уолша функции (см. |112, с. 541]). По-видимому, это замечание Лэнга отчасти объясняет тот факт, что в течение нескольких лет построенный им для р = п — 2 пример всплесков рассматривался как "экзотический" и не получил развития. В § 2.4 для любых р и п приведено разложение в лакунарный ряд Уолша произвольной масштабирующей функции с компактным носителем нар-адической группе Виленкина.
Напомним, что масштабирующая функция Добеши порядка N является решением функциональнот уравнения
19
2/V— 1
<p(x) = л/2 ^ /і*.у?(2х — /с), x Є М. (0.29)
Jt=0
и обладает следующими свойствами: 1) suppy) = [0,2./V — 1], 2) система {<у?(* — к) : к Є Z} ортонормировама в L2(R); 3) <у> генерирует
кратномасштабный анализ в L2(R). При N = 1 конструкция Добеши приводит к функции Хаара: у? = X(o,i) (в этом случае h0 = hi = 1/\/2). Коэффициенты уравнения (0.29) для 2 < N < 10 приведены в книге Добеши (см. [12, раздел 6.4]). При N = 2 решение уравнения (0.29) непрерывно на R и удовлетворяет условию Липшица
| (p(t) - ф{х)\ < С11 — x\Qy t, x Є M,
с показателем а « 0,5500. Точное значение показателя а (и соответствующих величин для N = 3 и iV = 4) было найдено матричным методом (см. [29.
§ 7.3]). Для масштабирующих функций Добеши порядков N > 5 точные значения показателей гладкости до сих пор не известны.
В случае р = 2 масштабирующее уравнение (0.17) принимает вид
2Т* — 1
¥>(*) = X с*р(Ах 0 Ы)’ X ЄС. (0.30)
А:=0
В § 2.5 для п < 4 получены точные значения показателей гладкости решений у? уравнения (0.30) таких, что: 1) suppy? С 2) система {</?(•© к) : к: Є Z+} ортонормирована в L2(C), 3) у? порождает кратномасштабный анализ в к2(С). В доказательствах оценок снизу применялись разложения диадических масштабирующих функций в ряды Уолша (и в этом состоит главное отличие нашего метода от применяемых ранее методов оценки гладкости всплесков).
Диадический модуль непрерывности функции у? определяется по формуле
и{<р,5) := Sup{| ф у) - ч>(х)\ : х,у Є G, \у\ < <?}, & > 0.
Если функция у? такова, что о;(у?. 2~7) < С2“,J7, j € N для некоторого а > 0, то существует [118. § 5.1| константа С(уд а) такая, что
ы(<р,6) < С{<р,сх)5°. (0.31)
Обозначим через а.^> точную верхнюю грань множества всех значений а >
0, для которых выполнено неравенство (0.31). Поскольку в рассматриваемом
20
нами случае supp у? С Ui_n> оценка величины аv сводится к изучению I юследовате; i ь н ости
О!,(/) := sup{|/(x) - f(y)11 х,у € Ui-„,xQy € £/,}, j > 1 - n.
для функции f = <р. Известно [39], что для любой невозрастающей и сходящейся к нулю числовой последовательности
е\-п > £2-П > e-i-n > • • •, lim Ej = О,
j-+oo
существует функция / € C(t/i_„) такая, что
Qj(/) = для всех j > 1 — п.
Отметим также, что гладкость диадического ортогонального всплеска гр в Д2(С), соответствующего масштабирующей функции у?, совпадав' с Оказывается (см. § 2.6), для масштабирующей функции Лэнга (0.27) справедливо равенство = log2(l/|6|), так что этим примером охватывается вся шкала гладкостей, причем -> оо при 6 —> 0 и —> О при 6 —» 1.
Напомним, что совместный спектральный радиус двух комплексных матриц Aq и /1] размера А,г х N определяется но формуле
р(А0, /Ь) := lim maxdMdHd, ■ ■ ■ е {0, 1}., 1 < j < к},
«-»ОО
где || • || - произвольная норма в CyVx’v (см., например, статьи В.Ю.Протасова [35] и |36]). Очевидно, если Aq = .4Ь то величина p(Aq,A\) совпадает со спектральным радиусом p(Aq).
Пусть п — 3 и коэффициенты масштабирующего уравнения (0.30) определены с помощью формулы (0.20) но параметрам (Ü.28). Для этого случая обозначим через р совместный спектральный радиус матриц
Aq — , А\ =
В § 2.5 доказано, что
Р =
а|, если 6 = 0, | с| = 1, 0 < | о | < 1, max{у/\а\, 17|}, если |6| = 1, 0 < |а| < 1, 0 < Ы < 1,
17|, если | а| = 1, 0 < 17| < 1
21
и при этом = —log2/9. Аналогичный результат получен и для п =
4. Кроме того, в § 2.5 приведено несколько случаев, когда решениями уравнения (0.30) являются двоично-целые функции.
Ив Мейер [115] доказал, что разложения по "регулярным"всплескам на вещественной прямой сходятся безусловно в пространствах Лебега L*(R), 1 < q < оо. Им было замечено, что интегральный оператор, соответствующий таким вслесковым разложениям, является сингулярным оператором Кальдерона-Зигмунда и, следовательно, является оператором типа (1,1). Отсюда с помощью интерполяционной теоремы Марцинкевича выводится, что этот оператор ограничен во всех пространствах L4 (R), 1 < q < оо. Используя эту технику, Лэнг [112| доказал следующую теорему.
Теорема А. Пусть <р € Ll(C) - решение уравнения (0.30), генерирующее К МЛ в £2(С), и пусть тр - соответствующий ортогональный всплеск. Предположим, что существует константа С > 0 такая, что
|ф(х) - ф{у)\ < СХ(х 0 у) для всех х,у G С.
Тогда всплесковые разложения по системе {ф^н} сходятся безусловно во всех пространствах Lq(C), 1 < q < оо.
Привлекая технику атомических разложений, мы дополняем в § 2.6 эту теорему соответствующим результатом о безусловной сходимости всплесковых разложений в диадическом пространстве Харди Я1 (С). Для всплесков на вещественной прямой М аналогичная теорема была доказана Мейером.
Глава 3 посвящена нескольким модификациям ортогональной конструкции всплесков на группах Кантора и Виленкина. В § 3.1 при построении биортогональных всплесковых систем на р-адической группе Виленкина G используются КМА с базисами Рисса. Соответственно, функция <р порождает КМА в L2(G), если, во-первых, семейство {(р( • © К) | h Є 11} является системой Рисса в Ь2(С) и, во-вторых, замкнутые подпространства Vj := span {Уд/, | h Є #}, j Є Z, обладают свойствами
Vj С Vj+l для jeZ, (J Vj = L2(G) и П V, = {0}
(в этом случае семейство {Vj} является КМА с базисом Рисса в L2(G)).
22
Пусть даны две масштабирующие функции 4>у соответственно с масками
рп- 1 //*-1
= Е ™{ь>) =^Гаа\М‘(ы). (0.32)
о—0 а=0
Положим т*(сп) — т(и)т(ш) и = тах{гг.п}. Если системы {¥>(• © /г) | к € Я}, {<р(- © /г) | /1 € //} являются биортонормированными в 2/2(С7), то
р-1
т*(и> ® = 1 для всех со £ С*.
1=0
Это условие можно записать в эквивалентной форме:
_(ДГ)
ЕС-"- 0 < « < р"-1 - 1, (0.33)
где б{ДГ) = т(В~^ищ): = т(В~ышц]).
Пусть 0Р и Эр обозначают соответственно операции сложения и вычитания целых чисел по модулю/?. Полагая ап = ар = 0 для а > рп,0 > р", получим
р"-1 р"-1
т*М = Е аа = Е аД»<Цв.
ог=0 7=0
и определим функцию <р# по формуле
дс
Нетрудно убедиться, что функция <Р‘ удовлетворяет уравнению
РК-1
<Р*(х) = р а* <Р*(Лх © а), хеС,
|Т=0
т.е. полином т* является маской функции
Предложение 3.1.4. Если одна из масок т, т, т* имеет блокирующее множество, то системы
{¥>(•© /1)| /г ЕЯ}, {£(-©Л)|ЛеЯ}
не являются биортонормированными в Ь2(С).
23