Оглавление
Введение 4
1 Асимптотическое интегрирование симметрических систем квазидифференциальных уравнений второго порядка 23
1.1 Основные понятия и факты................................. 24
1.1.1 Квазипроизводные и симметрические квазидиффереп-
циальпые выражения ................................ 25
1.1.2 Операторы и Ц.- Индексы дефекта оператора . 29
1.2 Теорема об асимптотической близости решений.............. 37
1.2.1 Формулировка и доказательство основной теоремы . 37
1.2.2 Следствие..................................... 41
1.3 Асимптотические формулы решений одного класса однород-
ных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве вектор-функций................................. 43
1.3.1 Формулировка теоремы.......................... 43
1.3.2 Доказательство 1.............................. 46
1.3.3 Доказательство 2.............................. 50
1.4 Примеры ................................................. 53
2 Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля в пространстве
вектор-функций и обобщённые якобиевы матрицы 62
2.1 Разностные операторы второго порядка с матричными коэффициентами на полуоси......................................... 63
2.1.1 Основные понятия и факты............................ 63
2.1.2 Матричная проблема моментов......................... 66
2.2 Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами
- распределениями в пространстве вектор - функций......... 71
2.2.1 Корректное определение оператора Ь%............. 71
2.2.2 Условия минимальности дефектных чисел оператора
Ц ................................................. 73
2.3 Связь между спектральными свойствами дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и порождённого им разностного оператора................................................ 83
2.3.1 Скалярный случай.................................... 84
2.3.2 Векторный случай.................................... 86
2.4 Примеры .................................................. 95
Литература 98
3
Введение
В спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с исследованием их спектральных характеристик, в частности, вопросы о нахождении индекса дефекта и спектра таких операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. Систематическое изучение этих вопросов было начато Г. Вейлем в начале 20 века и нашло своё отражение в работах многих авторов, например, Э.Ч. Титчмарша |38], Б.М. Левитана[18], Н.И. Ахиезера и И.М. Глазмана [1), М.А. Наймарка [26|, Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца |6). Стоит отметить, что в указанных работах в основном изучались скалярные дифференциальные операторы, в частности, оператор Штурма-Лиувилля, порождённый дифференциальным выражением
1[У] = -У" + я{х)у (1)
в гильбертовом пространстве £2(а, 6), где -ос < а < b < 4-оо. При этом стандартным условием на потенциал q(x) по существу является условие
ч(х) 6 L\oSa<ь)-
В научной литературе активно изучаются и операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений (как модельный случай, операторы с потенциалами короткого взаимодействия типа ^-функции). К
•1
изучению таких операторов приводят некоторые задачи квантовой физики, задачи о рассеянии нейтральных частиц на ядре, задачи о колебаниях электромагнитной волны в кристалле. Математическое исследование подобных операторов было начато в 60-ые годы прошлого столетия в работах Ф.А. Березина, Л.Д. Фаддеева [4] и P.A. Миплоса, Л.Д. Фадцеева[21]. Современное состояние и новые направления развития теории таких операторов изложено в монографиях С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона. Г. Хольдепа [40] и С. Альбеверио, П. Курасова [41]. Корректное определение оператора Штурма-Лиувилля со скалярным потенциалом-распределением первого порядка как оператора, порождённого квазидиффсрсндиальным выражением второго порядка с локально суммируемыми коэффициентами (точное определение см. ниже гл. II, п. 2.2.1), впервые, по-видимому, было дано А.М. Савчуком и A.A. Шпаликовым в работах [28], [29]. Ими же довольно обстоятельно были изучены спектральные свойства таких операторов, особенно в случае конечного интервала.
В 2010 году появились работы A.C. Костенко и М. М. Ма лам уда [И] и [46], в которых проведён довольно подробный спектральный анализ оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением
где хп (п — 1,2,...) - строго возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim хп = -foo. а ап (п = 1,2,...) - некото
рая вещественная последовательность. В этих работах методом граничных троек и соответствующих им функций Вейля установлено, что некоторые спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом (2) эквивалентны соответствующим свойствам разностного оператора,
+00
(2)
п—>+со
порождённого трёхдиагональной якобиевой матрицей вида
% (<* + І + і)
О
\
\
у
в гильбертовом пространстве 12, где гп := у/ёп 4- (1п+ \ и сіп = хп — хп-\ (п = 1,2,...). В частности, показано, что дефектное число дифференциального оператора Штурма-Лиувилля, порождённого выражением (1)
только том случае, когда дефектное число разностного оператора, порождённого матрицей 3 в пространстве 12, максимально и равно 1.
Цель работы. Исследование минимального замкнутого симметриче-
где X е , у(х) = {у\{х),у2(х),... ,уп(х))п, о(х) = (ру) - веществен-нозначная симметрическая матрица порядка п такая, что р?- € Ь1[ос(Я+) (г,у = 1,2,..., 7^), а ', в случае выражения (3), есть производная в смысле теории распределений.
Основные результаты диссертации являются новыми. Из них выделим следующие.
•Здесь и везде далее, (. - символ транспонирования
с потенциалом (2) в пространстве Ь2(Я+), максимально и равно 2 в том и
ского оператора Ь%, порождённого в гильбертовом пространстве £^(Я+) дифференциаьным выражением вида
У?/! = -(2/' - оу)' - а [у' - ау) - а2у
и эквивалентным ему выражением
Цу] = -у" + о\х)у,
(3)
6
1. Получены формулы асимптотической близости на бесконечности решений двух дифференциальных уравнений 1а[у] = 0 и 1ах[у) = 0, где 1<тх\у}- векторное симметрическое квазидифференциальнос выражение второго порядка, порождённое при помощи матрицы о\, удовлетворяющей тем же условиям, что и матрица а.
2. Получены достаточные условия минимальности, не максимальности и максимальности дефектных чисел минимального замкнутого симметрического оператора LjJ, порождённого выражением (3) в гильбертовом пространстве £“(#+), в терминах элементов матрицы о.
3. Установлено, что условие максимальности дефектных чисел оператора Lq (в случае, когда элементы матрицы о являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел разностного оператора, порождённого некоторой обобщённой якобисвой матрицей в пространстве /J.
4. Построены примеры сингулярных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями в пространстве вектор-функций с минимальными, не максимальными и максимальным дефектными числами.
Перейдём теперь к изложению определений и фактов.
Пусть действительнозначные функции Pij (i,j = 1, 2. . . . y7l) - элементы симметрической матриц-фуикции ст := (pÿ) определены и измеримы на полуоси R+ [0;-foc), а квадраты этих функций суммируемы на каждом её замкнутом конечном интервале (р^ G L}0C(R+)). Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные уМ (i = 0,1,2) заданной локально абсолютно непрерывной вектор-фуикции у = (у\(х),уо(х),... ,2/п(я))4
7
посредством матрицы сг, полагая
уШ := у' - ау,
у[? (г/111)' + °уУ + <г2у,
и векторное симметрическое (формально-самосопряжённое) квазидиффе-ренциальное выражение, полагая
Цу}(х) := -у№(х), X е Д+.
Выражение 1а известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор с областью определения Г)£ в гильбертовом пространстве £^(Я+) (более подробно см. гл. 1, п. 1.1.2).
Известно, что вообще говоря при любом невеществен ном Л уравнение
Цу] = (4)
имеет решения из С1(Я+), причём максимальное число п+(п-) линейно независимых решений из £*(Я+) при > О ($А < 0) не зависит от А и называется верхним (нижним) дефектным числом оператора А пара чисел (тс+,п_), называемая индексом дефекта оператора может прини-мать значения: (п, п) (случай предельной точки). (п4-1, п+1),..., (2п, 2п) (случай предельного круга). Известно также, что п+ = п~ = 2п в том и только том случае, когда все решения уравнения (5) при любом значении А (следовательно, при каком-либо фиксированном значении А = Ао, в частности, при А = 0) принадлежат пространству £\(Я+).
8
- Київ+380960830922