Обратная задача для интегродифференциальных операторов

Содержание
Введение.
Глава I. Основное уравнение обратной задачи.
1.1. Основные понятия. Вспомогательные утверждения.
1.2. Вывод основного уравнения обратной задачи.
1.3. Разрешимость основного уравнения обратной задачи. Глава II. Восстановление интегродифференциальных операторов по спектральным характеристикам.
2.1. Решение обратной задачи и его устойчивость.
2.2. Решение обратной задачи в случае малости ядра интегрального возмущения.
2.3. Восстановление интегродифференцнального оператора по неполной спектральной информации.
Глава III. Обратная задача для невольтеррова интегродиффе-ренциального оператора.
3.1. Постановка обратной задачи.
Вспомогательные утверждения.
3.2. Единственность восстановления невольтеррова интегро-дифференциального оператора.
Список литературы
з
ВВЕДЕНИЕ.
Обратными задачами спектрального анализа называются задачи, в которых по каким-либо спектральным характеристикам нужно восстановить свойства исходного оператора или весь оператор. Спектральными характеристиками могут служить спектры (при различных краевых условиях), спектральная функция, данные рассеяния и др.
Теория обратных задач — это обширная область математики, накопившая на сегодняшний день много результатов. Первый, который послужил началом для развития всей теории, был получен в 1929 г. В.А. Амбарцумяном [53] для оператора Штурма-Лиувилля, а именно, им было показано, что если спектр краевой задачи
-/ + Ф)У = Яу, /(0) = /(л) = 0, составляют числа Лк = А2, к є N и {0}, то q(x) я 0.
Результат Амбарцумяна является исключением, в общем случае один спектр оператора Штурма-Лиувилля его не определяет, что и было показано Г. Боргом [59] в 1946г. В этой же работе Борг доказал однозначную разрешимость обратной задачи для операторов Штурма-Лиувилля по двум спектрам. Идея Борга заключалась в построении с помощью вспомогательного (модельного) оператора некоторого нелинейного интегрального уравнения; решение последнего позволяло локально восстановить исходный оператор и исследовать устойчивость решения. Н. Левинсон предложил другой метод доказательства теоремы единственности решения обратной задачи [69], использующий идеи контурного интегрирования. А Н. Тихоновым в 1949 получена теорема единственности восстановления оператора Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля [41].
Мощным аппаратом исследования обратных задач в частности и в спектральной теории вообще явились операторы преобразования. Используя их В.А.Марченко в 1950г. показан [32] (см. также [33]), что оператор
4
Штурма-Лиувшшя определённый на полуоси или на конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции. В 1951г. И.М.Гсльфандом и Б.М.Левитаном [10] были получены необходимые и достаточные условия восстановления оператора Штурм а-Лиу вилля по его спектральной функции. Позже аналогичные результаты были получены для восстановления оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке по двум спектрам [9]. М.Г. Крейн создал иной метод построения оператора Штурма-Лиувилля. [19], [20].
На протяжении развития теория обратных задач обогащалась новыми методами, наиболее мощный, позволяющий работать со сложными классами операторов — метод спектральных отображений. В частности, с его помощью в [3], [25], [26], [28], [44], [48], [57], [81] решалась обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков
У’ + ЕаС*)/4. п>2. (0.1)
п*0
В работах [2], [7], [8], [28], [51], [52], [60], [70], [78]-[80], [82] и др. исследуется обратная задача для систем дифференциальных уравнений. Работы (5], [6], [16], [21], [36], [38], [54], [55], [61], [62]. [65], [67], [74], [76], [77], посвящены обратным задачам для уравнений с частными производными Отметим также работы [14], [50], [56], [66], [68], [71]-[73], [75] в которых рассматриваются численные методы решения различных классов обратных задач.
Развитие теории обратных задач, начиная с момента возникновения, стимулировалось многочисленными сё приложениями в естественных науках. Обратная задача теории рассеяния на оси для оператора (0.1) в различных постановках рассматривалась в [17], [18], [39], [58], [63]. С помощью обратных задач в работах [64], [1], [15], [22], [40] получен метод интегрирования некоторых нелинейных уравнений математической физики,
5
таких как уравнение Кортевега-де-Фриза, нелинейного уравнения Шре-дингера и др.
В данной работе исследуется обратная задача для интегродифферен-циальных операторов. История таких задач сравнительно невелика. В различных постановках они рассматривались в работах М.С. Ерёмина, М.М.Маламуда, В.А.Юрко см. [13], [29], [47], [49]. Отметим, что прямые задачи спектрального анализа для интегродифференциальных операторов и связанных с ними операторов с отклоняющимся аргументом изучались в работах М.М. Маламуда, А.Д. Мышкиса, С.Б. Норкина, А.П. Хромова, и многих др. авторов, см. [34], [37], [45].
Диссертация состоит из 3-х глав разделённых на параграфы. В главах I, II исследуется обратная задача восстановления на отрезке [О,#] следующего штмродиффоренциального оператора
X
£у := -/ + Ч(х)у + (.г ,/М/)<Л,
о
функция М(х,0 полагается известной. Обратная задача состоит в восстановлении потенциала q по спектрам двух операторов Л, и /.2, заданных интегродифференциальным выражением ( и краевыми условиями у(0) = У'"1)(0) = 0, где 1 = 1,2. Наличие «последействия» в восстанавливаемом операторе вносит качественные изменения в исследование обратной задачи. В случае \4(х,1) = М(х -/), обратная задача восстановления функции М по спектру при известной функции q рассматривалась в [49].
В параграфе 1.1 формулируются спектральные свойства интегро-дифференциальных операторов и нужные для дальнейшей работы утверждения — асимптотика собственных значений, оценки характеристических функций, оценка для функции Грина и др.
В методе исследования вопросов решения обратной задачи и устойчивости восстановления операторов Ц используется идея Борга — сведе-
6
ние обратной задачи к нелинейному интегральному уравнению. Как известно, в случае классического оператора Штурма-Лиувилля метод Борга даст более слабые результаты, чем, скажем, метод оператора преобразования или метод спектральных отображений. Однако к рассматриваемой обратной задаче для интегродифферснциапьных операторов указанные методы не применимы, а развитие идей Борга позволяет получить её решение, правда, — как и для оператора Штурма-Лиувилля — локальное. В параграфе 1.2 содержится вывод так называемого основного уравнения обратной задачи. Разрешимость его доказывается в п. 1.3 и основана на базисио-сти по Рису некоторой системы функций (см. (1.87)).
Глава II содержит решение обратной задачи — основная теорема, и две модификации последней. 13 параграфе 2.1 приводится решение обратной задачи для операторов L, в предположении (а- линейной независимости в Л3[0, л] системы функций (1.87), которая влечёт её базисность по Рису.
В случае классического оператора Штурма-Лиувилля базисность по Рису является естественным свойством системы аналогичной (1.87). Для случая интегродифференциальных операторов это не так. В параграфе 2.2 доказывается базисность по Рису системы функций (1.87) в предположении малости ядра интегрального возмущения, и формулируется решение обратной задачи. В параграфе 2.3 рассматривается так называемая неполная обратная задача, а именно, восстанавливаются операторы /,, с заданной частью спеетра.
В главе 111 исследуется образная задача для одномерного возмущение оператора f, вида
X X
^У-= -у" + Ф)У + \м(Xj)y(t)dt + Я(дг)|V(t)y(t)dt.
о о
При этом восстанавливаются функции R и V при известных q \\М .
В случае операторов 1-го порядка подобная задача рассматривалась в [47].
7
Параграф 3.1 содержит исследование свойств спектра оператора І, а также две вспомогательные леммы: о связи функции Мс ядром оператора преобразования для решения типа синуса уравнения (у = Ху и тождество для произвольной функции и того же ядра оператора преобразования. В п.
3.2 доказывается теорема единственности восстановления функций Я и V по спектральным данным; последние представляют собой спектр (с учётом кратности) и набор чисел — значений нормированных собственных и присоединённых функций в точке к . Такие спектральные данные для ин-тегродифференциального оператора можно рассматривать как обобще-
ние спектральных данных Левинсона (спектра и весовых чисел) для классического оператора Штурма-Лиувилля (69].
Результаты представленные в диссертации опубликованы в работах (83)-[88].
8
ГЛАВА 1. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.
В этой главе формулируются основные спектральные свойства ин-тегродиффереициального оператора и необходимые для дальнейшей работы утверждения, вывод основного уравнения обратной задачи и доказательство его разрешимости.
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ.
1.1.1. Рассмотрим следующие краевые задачи / = 1,2:
х
еу--/+я(х)у+\м (*ЛКО«*=Лу. (1.1)
о
><0)=Уы>(л) = 0. (1.20
Здесь хє[0,яг] <7(х)еЬ,(0,д), М(х,/) интегрируемая функция на множестве £)в := {(х,/): 0 £ г 3 х 2 яг}; М — вещественнозначные.
Интегродифференциальное выражение (у и краевые условия (1.2/) порождают в Ь2(0,>т) интегродифферепциаяъный оператор с областью определения О, := {>' є И'2‘[0,я]: >(0) = /<М)(я) = 0. Этот оператор мы также будем обозначат/, /.,(//,М), он представляет собой возмущение оператора Штурма-Лиувилля интегральным оператором Вольтерра.
Для исследования обратной задачи нам, потребуются некоторые сведения об операторе и его спектральных свойствах. В этом параграфе приводятся кратко нужные для дальнейшего утверждения. Более подробно о простейших свойствах интегродифференциальных операторах в различных аспектах см. [34], [37], [45]. Отметим, что введенный интеїродифференци-альный оператор наследует многие свойства дифференциального оператора Штурма-Лиувилля (см., например, [31]).