ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................... 3
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ... 16
1.1. Основные обозначения и понятия............................. 16
1.2. Один метод решения четырехэлементной краевой задачи Римана
в классах аналитических функций................................. 21
1.3. Исследование картины разрешимости четырехэлементной краевой задачи Римана в классах аналитических функций................... 33
1.4. Вспомогательная краевая задача в классах аналитических функций 37
1.5. Краткий обзор литературы но краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций................... 41
ГЛАВА И. ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ................................. 43
2.1. Постановка первой основной чстырсхэлсментной краевой задачи типа Римана в классе кусочно метааналитических функций............... 43
2.2. Решение задачи в классе кусочно метааналитических функций первого типа в круговой области................................. 45
2.3. Исследование картины разрешимости задачи СЯи в классе кусочно метааналитических функций первого типа.......................... 54
2.4. Постановка второй основной чстырсхэлсментной краевой задачи типа Римана в классе кусочно метааналитических функций............... 65
2.5. Решение и исследование картины разрешимости задачи 67?,2 в классе кусочно метааналитических функций первого типа в круге.......... 67
ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ................................. 74
3.1. Исследование задачи 6/?41 в классах ме тааналитических функций второго типа в круге............................................ 74
3.2. Один частный случай задачи 6Я4) в классах метаанапитических функций второго типа, допускающий эффективное решение...........
3.3. Исследование задачи С/?42 в классах метааналитических функций
второго типа в круге............................................ 111
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................... 119
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ................................ 120
ВВЕДЕНИЕ
з
Теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и различных их обобщений является важнейшей областью современного комплексного анализа.
Благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [22], Н.П. Векуа [24], Ф.Д. Гахова [27], ЭМ. Зверовича [33], P.C. Исаханова [34]-[35], Д.А. Квеселава [37]-[38], Г.С. Литвинчука [46], Г.Ф. Манджавидзе [47], Л.Г. Михайлова [51], С.Г. Михлина [52], Н.И. Мусхелишвили [53]-[54], Л.И. Чибриковой [77] и многих других известных математиков теория линейных краевых задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершенный вид.
Однако для решения ряда прикладных задач, сводящихся к уже подробно исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Возникает необходимость в расширении классических предположений, касающихся классов заданных и искомых функций, классов рассматриваемых контуров и других параметров задачи. В соответствии с возникающими потребностями исследования ведутся в следующих направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широких классов заданных и искомых функций, для более широких классов контуров; рассматриваются задачи со сдвигом, а также задачи, содержащие производные искомой функции и граничные значения функции, комплексно сопряженной с искомой.
В частности, как в России, гак и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) интенсивно изучаются краевые задачи для различных обобщений аналитических функций (таких как, например, полианалитические и метааналитические функции) [11], [44], [47], [58]-[65], [68], [69], [74], [76], [79], [82], [83]. Значительный вклад в развитие данного направления внесли A.B. Бицадзе [10], И.Н. Векуа [23],
В.А. Габринович [25], М.П. Ганин [26], Ф.Д. Гахов [27], В.И. Жегалов [31]-
4
[32], K.M. Расулов [58]-[60], [63]-[65], B.C. Рогожин [67], P.C. Сакс [69], И.А. Соколов [72]-[73], H.T. Xon [76], M. Canak [80], B. Damjanovich [81],
C.R. Shoe [84] и другие известные математики.
Кроме того, следует отметить, что теория граничных задач в классах функций, являющихся обобщениями аналитических функций комплексного переменного, тесно связана с различными разделами современной математики и механики [1]-[2], [8], [23], [36], [40], [43], [45], [53], [55], [57],
Настоящая диссертация посвящена исследованию четырёхэлементных краевых задач типа Римана (подробнее см., например, в [46], с. 220, 232) в классах метааналитических функций, т.е. в классах функций являющихся решениями дифференциального уравнения
коэффициенты ак {к = 0,1) - произвольные комплексные постоянные.
Напомним, что если а0=я,=0, то решения уравнения (0.1) называются бианалитическими функциями.
Пусть 7’+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г=*+/>, ограниченная простым замкнутым гладким контуром Ь, а Т" =С\(г+ иЬ), где С - расширенная комплексная плоскость.
В работе рассматриваются следующие краевые задачи.
Задача СЖ4|.
Требуется найти все кусочно метааналитические функции /^2) ={?“(2),/="(*)} класса М2(Т±)пН(и(Ь), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на I следующим краевым условиям:
[58], [66], [74], [78], [85].
(0.1)
где
дифференциальный оператор Коши-Римана, а
(0.2)
(0.3)
где Ащ(/), 0^(0, gk{t) (к-1,2; у = 1,2) - заданные на Ь функции, удовлетворяющие условию Гёлъдера.
Задача сл4г.
Требуется найти все кусочно метааналитические функции
= {.Р* (г), /г“(*)} класса М2(Г1)пЯ(0(^), исчезающие на бесконечности и
удовлетворяющие на I следующим краевым условиям:
где д/дп+ (д/дп_) — производная по внутренней (внешней) нормали к I, а Ач( 0, 0\(/), gk(t) (А: = 1,2; У = 1,2) - заданные на I функции,
удовлетворяющие условию Гёлъдера.
Отметим, что при выполнении на контуре Ь условий ли(0 зЛ2|(0а1 и л12(0 г л22(0-С12(/) = С722(0 = о сформулированные выше краевые задачи ОЯ4| и СЯ42 в классах полианалитических функций были впервые поставлены в известной монографии Ф.Д. Гахова [27] и в случае, когда £ = {/:|/| = 1), были решены И.А. Соколовым в 60-х годах XX столетия при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами [72]-[73]. В случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами при выполнении указанных выше условий краевые задачи ОКАХ и ОЯп в классах полианалитических функций были подробно исследованы в монографии К.М. Расулова [58].
Следуя [46], [58], краевые задачи и СЯ42 будем называть
соответственно первой и второй основными краевыми задачами типа Римана в классах метааналитических функций.
41(/)Я,(/) + 42(0^(0 = С11(/)^-(0+С12с/)^-(/)+^1(0,
(0.4)
(0.5)
Впервые краевые задачи GRU и GRA2 без дополнительных условий Дц(/)вД2 i(0*l и /ii2(0 = ^22(0oCl2(/)»G22(0 = 0 были сформулированы K.M. Расуловым в монографии [58] в качестве естественных обобщений краевых задач типа Римана в классах полианалитических функций.
В работах Ю.А. Медведева [49]-[50] указанные задачи были исследованы в классах бианалитических функций как в случае круговых областей, так и в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.
В настоящей диссертации краевые задачи GRAl и GRA2 исследуются в классе кусочно метааналитических функций с линией скачков /, = {/ ф| = 1}.
В силу существенного отличия качественных свойств метааналитических функций от свойств бианалитических функций (см., например, [4], [7], [21], [78], [84]) при исследовании краевых задач GRAl и GRA2 в классах метааналитических функций возникает необходимость разработки совершенно новых подходов к решению сформулированных выше задач и использования дополнительного математического аппарата, в частности, аналитической теории дифференциальных уравнений. Поэтому разработка методов решения краевых задач GRAl и GRA2 в классах метааналитических функций является на сегодняшний день актуальной проблемой.
В соответствии с этим целью настоящей работы является разработка общих подходов к решению краевых задач GRAl и GRA2 в классах кусочно метааналитических функций, построение теории их разрешимости и выявление частных случаев данных задач, допускающих решение в замкнутой форме (в квадратурах).
Перейдём к краткому изложению содержания работы.
Первая глава «Вспомогательные сведения и обзор литературы» состоит из пяти разделов. В разделе 1.1 вводятся основные понятия и обозначения, формулируются вспомогательные теоремы. Во втором разделе излагается
7
один из подходов к решению следующей четырёхэлементной скалярной краевой задачи в классах аналитических функций:
требуется найти все кусочно аналитические функции Ф(*) = {Ф+(г), Ф‘(г)} класса исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на
контуре Ь следующему краевому условию:
А (')Ф+(0 + А (ОФЧО = С?, (0Ф-(/)+а2 (ОФ^О+£0 (/), (0.6)
где (О, С?у (/) и = 1,2), С?0 (/) - заданные на Ь функции класса Я(1). Установлены следующие факты.
Теорема 1.7. Пусть £ = {/ :|/| = 1} г/ выполняется условие
б(0 = ААОС1(0-А2(г)СЛО*0, ,еь. (0.7)
Тогда:
1) при выполнении на I условия
И,(')МЛ(')|, |О,(0Мв,(0|. (0.8)
решение краевой задачи (0.6) сводится к решению обобщенной краевой задачи Римана (с интегральными членами) и обычной скалярной краевой задачи Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций;
2) при выполнении на I одного из условий
И(ФК(о|, |о,(оМ<з2(о|, (°-9>
Й,(о|*к(о|, |о,(/)|=|«г(о|, tьL, (оло)
И,(о|=к(о|, |е,(о№(')|. (0.11)
решение краевой задачи (0.6) сводится к решению двух обычных скалярных краевых задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций.
Изложенный в этом разделе подход к решению вспомогательной задачи (0.6) успешно используется далее в главах II и III настоящей диссертации при решении задач СУ?41 и (7Л42 в классах кусочно метааналитических функций первого и второго типов.
8
В разделе 1.3 исследуется картина разрешимости задачи из раздела 1.2. В четвертом разделе предлагается один из подходов к решению следующей вспомогательной краевой задачи в классах аналитических функций, играющей важную роль при исследовании основных четырёхэлементных краевых задач в классах метааналитических функций второго типа: требуется найти все исчезающие на бесконечности кусочно аналитические функции = класса А{Т*)пII(/,), граничные значения которых
удовлетворяют на I следующим двум краевым условиям:
(p\t)+\Al(t,T)<p*(T)dr + \B[{lyT)(p\T)dT=\Dx(tiT)<p-(j)dT+ J£,(/,r)r/> (r)tfr + 0(O,
(0-12)
J^(/,r)^*(^ + J/i2(/,r)^(r>fr = ^-(/)+ j£)2(r,r)<p-(r)c/r4- |£2(Лг)уГ(г>/г+//(0,
/, I. I. L
(0.13)
где 0(/), //(0 - заданные на L функции класса Тельдера, Л,(/,г), £Д/,г), Dj(t,T), Ej(t,r) (у = 1,2) - заданные на L*L фредгопьмовы ядра. Здесь же строится теория разрешимости вспомогательной задачи (0.12) - (0.13).
Раздел 1.5 представляет собой краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций.
Вторая глава «Основные четырёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций первого типа в круговой области» посвящена исследованию задач GR4l и GR47 в классах кусочно метааналитических функций первого типа с линией скачков Z, = {/:|/| = l}, т.с. функций вида
F\z) = [<р;{z) + z<p*(z)]exp{2z}, 2бГ,
(0.14)
£(г) =
(z) = [Vo 00 + г <р; (*)] exp j A , z g T~,
где <р%(г) (к = 0,1) - произвольные аналитические в г* функции, Л -двукратный корень характеристического уравнения дифференциального уравнения (0.1), т - произвольное, фиксированное натуральное число.
9
I лава состоит из пяти разделов. В первом разделе дается точная постановка краевой задачи б^,,. Раздел 2.2 посвящён решению первой основной краевой задачи типа Римана в классах метаанапитических функций первого тина в круговой области и определению случаев, когда задача СЯи допускает решение в замкнутой форме. Получены следующие результаты.
Теорема 2.1. Пусть £ = {/:|г| = 1). Тогда решение краевой задачи в классе исчезающих на бесконечности кусочно бианалитических функций (т.е. функций вида (0.14) при 2 = 0) сводится к решению двух четырёхэлементных краевых задач Рішана вида (0.6) для аналитических функций. При этом для разрешимости задачи СЯ41 необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы обе вспомогательные задачи Рішана и выполнялись условия
рца-ф&)*=0, р2-|)ф;(г)+ф;(^г=0| (015)
/. х ь х
где (г) ( ^ = 1,2 ) - решения вспомогательных задач Рішана вида (0.6).
Теорема 2.2. Пусть 1 = {гф| = 1) и Я*0. Тогда решение краевой задачи в классе М2(Т±)пН°\Ь) исчезающих на бесконечности кусочно метаанапитических функций первого типа сводится к решению двух скалярных четырёхэлементных краевых задач Рішана вида (0.6) для аналитических функций и линейного неоднородного дифференциального уравнения
л*М-<ГМ. (0.16)
аг 2
При этом для разрешимости задачи <37?41 необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы вспомогательные задачи Рішана вида (0.6) и дифференциальное уравнение (0.16), а также выполнялись условия (при т> 2)
£Ф7(г)-Ф;<г)]г'-'Л- = 0, j = 1,2,...,т-1, (0.17)
л
где Ф*(2) (* = 1,2) - решения вспомогательных задач Рішана вида (0.6).
10
В следующем разделе исследуется картина разрешимости задачи СЯА1. Получены следующие результаты.
Теорема 2.3. Пусть I = {/:|/| = 1} и выполняются условия
ад=л^*.(о-л2(оё“(о*о, /<=£,*=1,2, (0.19)
К.(оМ42(')|, |с„(/)М^м[, к = \,2. (0.20)
Тогда решение задачи G/?4J сводится к решению двух обобщенных краевых задач Ргтана (с интегральными членами) и двух обычных скалярных краевых задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функции. Задача разрегигша тогда и только тогда, когда разрешимы все вспомогательные краевые задачи г/, кроме того, при Я = 0 выполняются условия (0.15), а при 2*0 — условия (0.17) и разрешимо дифференциальное уравнение (0.16).
Теорема 2.4. Если на Ь-{t:\t\-1} выполняются условия (0.19) и (0.20), то
число I линейно независимых решений однородной задачи и число р условий разрешимости неоднородной задачи С11п конечны, т.е. задача СКи является нётеровой.
Теорема 2.5. Пусть £ = {/:|/| = 1}, выполняются условия (0.19) и одно из условий
|А,(')| = И«(')|>0, |О„(/)Ис,г(0|, / е £, 4 = 1,2, (0.21)
|4,(')ИА2(')|, |С?„(ФМо|>0, /<=£,* = 1,2, (0.22)
К,(0| = Кг(0|>0, |<А,(0| = М0|>0, /6 £, * = 1,2. (0.23)
Тогда решение задачи ОКА1 сводится крещению четырёх обычных скалярных краевых задач Римана в классах исчезающих на бесконечности кусочно аналитических функций. Задача СЯА] разрешима тогда и только тогда,
когда разрешимы все вспомогательные краевые задачи г/, кроме того, при Я = 0 выполняются условия (0.15), а при Я * 0 -условия (0.17) и разрешимо дифференциальное уравнение (0.16).
- Київ+380960830922