Системы обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности и уравнения с запаздывающим аргументом

Содержание
Введение ....................................................4
Глава 1. Система без возмущений ............................24
§1.1. Постановка задачи ....................................24
§ 1.2. Формулы решения задачи Коши .........................25
§ 1.3. Свойства функций 28
§ 1.4. Предельные теоремы на отрезке .......................49
§ 1.5. Асимптотическое поведение решений системы............66
§ 1.6. Предельные теоремы на полуоси .......................70
§ 1.7. Непрерывная зависимость решений уравнения с запаздывающим аргументом ....................................................76
§ 1.8. Обратная теорема на полуоси .........................79
§ 1.9. Асимптотическое поведение решений уравнения с запаздывающим аргументом ................................................81
Глава 2. Система с линейными возмущениями ..................83
§ 2.1. Предельная теорема для задачи Коши с нулевыми начальными данными........................................................83
§ 2.2. Предельные теоремы для задачи Коши с ненулевыми начальными данными ....................................................95
§ 2.3. Непрерывная зависимость решений уравнений с запаздывающим аргументом ...............................................114
§ 2.4. Аппроксимация решений уравнения с запаздывающим аргументом ..........................................................117
V-
Глава 3. Система с нелинейными возмущениями ...............122
§ 3.1. Разрешимость задачи Коши на полуоси {£ > 0} ........122
§ 3.2. Предельная теорема для задачи с нулевыми начальными данными ........................................................126
§ 3.3. Предельные теоремы при ненулевых начальных данных ... 135 Литература..............................................144
Введение
Многие математические модели естествознания описываются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности
(1х'
= /&,хи...,хп), г = 1 п» 1. (1)
К таким системам приводят также классические способы построения приближенных решений краевых задач для уравнений с частными производными (например, методы Фурье, Галеркина и т. д.). Поэтому изучению систем высокой размерности (задача Коши, краевые задачи, методы построения решений, качественные свойства решений, теория устойчивости) посвящено очень много работ (см., например, монографии [3,6,20] и имеющуюся в них библиографию). При этом совершенно естественно рассматривать системы (1), как “укороченные” системы счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
(1х'
— = Р1(г,х 1,х2,...). * = 1,2, — (2)
Отметим, что построение теории счетных систем дифференциальных уравнений началось с появления знаменитой работы А.Н. Тихонова [39], в которой впервые были доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (2). Активные исследования таких систем начались в 50-е годы после работ М.А. Красносельского, М.Г. Крейна, С.Г. Крейна, К.П. Персидского и др. (см., например, [6,18,36]). Во многих работах результаты получались с использованием методов функционального анализа и “укороченных” систем дифференциальных уравнений вида (1), имеющих высокую размерность.
Другой подход к изучению систем высокой размерности (1) заключается в сведении к исследованию систем обыкновенных дифференциальных уравнений малой размерности. Однако существует целый ряд важных научных задач, которые принципиально не могут быть сведены к исследованию систем дифференциальных уравнений малой размерности (см., например, [1]). В частности, к системам очень высокой размерности приводят исследования в биологии (см., например, [10,23,42]). При этом размерность систем может достигать настолько больших величин,
что нахождение численных значений компонент решений на компьютере при непосредственном решении системы зачастую невозможно.
Приведем два примера таких систем дифференциальных уравнений, возникающих при моделировании многостадийного синтеза вещества [10, 21]. Общим для этих систем является тот факт, что каждая из них может иметь очень высокую размерность (~ 105, 106 и более).
Вначале рассмотрим следующую почти линейную систему дифференциальных уравнений, моделирующую многостадийный синтез вещества без учета обратимости процесса:
где
(
п
СІХ
сИ
1
Лп =
г
п — 1
= Апх + Р(г,х), 0
п — 1
(3)
0
\
о
V
о
п — 1
т
гг — 1
0
-0
х(г) = (х!(г),х2(г)>.. •,*«(г))т, F(t,х) = (р(г,хп), о,..., о)т.
Процесс синтеза состоит из п стадий, т — суммарное время протекания стадий. Компоненты з;г-(£) искомой вектор-функции х{Ь) определяют концентрацию вещества на г-й стадии процесса. Первое нелинейное уравнение системы (3) определяет закон инициации синтеза вещества, последнее уравнение задает закон деградации вещества (параметр 9 > 0), остальные уравнения характеризуют скорость изменения концентрации вещества на промежуточных стадиях (см. [10]).
Система дифференциальных уравнений (3) является упрощенной моделью синтеза. При описании реальных процессов зачастую возникают нелинейные дифференциальные уравнения, соответствующие промежуточным стадиям. Следующая система дифференциальных уравнений для моделирования многостадийного синтеза вещества без учета обрати-
5
!
мости, но с учетом нелинейной динамики процесса, имеет вид
СТЬ 1 Хп—\
ЛЬ г 1 4- рх1_х
где в > 0, т, р, 7 > 0, функция д{Ь,г) неотрицательна (см. [10,22]). Компоненты Х{(£) определяют концентрацию вещества на г-й стадии процесса. Очевидно, при р — 0 система (4) совпадает с (3).
Отметим, что процесс синтеза вещества может иметь сотни тысяч промежуточных стадий. Следовательно, уже при изучении модели (3) исследователь сталкивается с серьезными трудностями, поскольку система может иметь огромное число уравнений. Но тогда построение с помощью компьютера приближенного решения задачи Коши для такой системы представляет серьезную проблему.
Следует подчеркнуть, что в задаче синтеза вещества биологов прежде всего интересует концентрация конечного продукта. Поэтому, рассматривая, например, систему (3), нужно уметь достаточно точно вычислять последнюю компоненту решения хп{{) при п ^ 1. Но из вида системы вытекает, что ни одним из ее уравнений пренебречь нельзя. Кроме того, эту систему нельзя рассматривать как “укороченную” некоторой счетной системы (2), так как коэффициенты системы являются неограниченными при п —» оо. Следовательно, при рассмотрении почти линейной системы (3) с очень большим числом уравнений может возникнуть “проблема большой размерности”. Разумеется, эта проблема возникает и при решении систем более общего вида (4).
Для системы (3) эта проблема была решена в 2002 г. в результате совместной деятельности Г.В. Демиденко, В.А. Лихошвая и С.И. Фадеева. Метод ее решения основан на установленных связях между решениями системы (3) и решениями уравнения с запаздывающим аргументом. Предположение о возможных связях между последней компонентой решения системы (3) (при <?(£, г) = д(г), п » 1) и решением уравнения
(5)
б
1
1
и
было высказано В.А. Лихошваем, исходя из биологических соображений. Численные расчеты, проведенные С.И. Фадеевым для конкретных систем, подтверждали это предположение. Строгое математическое доказательство существования таких связей впервые установлено Г.В. Деми-денко и опубликовано в совместной работе [21] (см. теоремы 1-4). Как отмечено в [9], “с математической точки зрения гипотезу о наличии связей между компонентой хn(t) решения системы (3) и решением уравнения (5) можно было высказать, проводя параллель с исследованиями [19,37,38,48]”. В этих работах изучался обратный вопрос об аппроксимации решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с помощью решений специального класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности.
В дальнейшем нам понадобятся некоторые результаты Г.В. Демиден-ко, поэтому мы дадим их краткое описание.
Для пояснения способа решения отмеченной проблемы для системы (3), рассмотрим серию задач Коши
{dx
— =Anx + F(t,x), t> 0, ^
x\t=o = х°, п> п0.
Предположим, что функция g(t, z) € С() ограничена и удовлетворяет условию Липшица но второму аргументу
|<?(£, z1) - g(t, z2)| < L\zl - z21, t > 0, z1, z2 € R.
Будем неограниченно увеличивать размерность системы (3) и для простоты рассматривать для каждой системы задачу Коши (б) с нулевыми начальными условиями х|г=о = 0. Ясно, что при любом п задача Коши однозначно разрешима на произвольном отрезке [0,Т]. Рассматривая только последнюю компоненту решения каждой из задач Коши, получим последовательность функций (верхний индекс означа-
ет число уравнений в системе, нижний — номер компоненты решения). Справедлива следующая теорема.
Теорема 1 (Г.В. Демиденко). Последовательность {x[}(£)} равномерно сходится на любом отрезке [0, Т\, Т > г:
xl(t) -> y{t), п -> оо.
7
1
Предельная функция у{{) является решением начальной задачи для уравнения с запаздывающим аргументом
где константа с > 0 зависши от функции g(t, z), величины Т и параметров т, 0.
Теорема 1 дает обоснование очень простого, но эффективного метода численного нахождения концентрации конечного продукта xn(t) при п^> 1с использованием уравнения с запаздывающим аргументом. Именно, для численного нахождения значений ггп(^) достаточно приближенно решить начальную задачу (7), при этом, учитывая скорость сходимости (8), можно оценить погрешность аппроксимации xn(t) » y(t) при п^> 1. Отметим, что решение y(t) начальной задачи для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом нетрудно построить, используя метод шагов (см., например, [35,41,44]). Очевидно, чем большее количество стадий п требуется для получения конечного продукта синтеза, тем точнее можно получить результат, следуя этому методу. Отметим, что при не слишком больших значениях п (до порядка 104 —105) достаточно хорошие результаты можно получить, численно решая задачу Коши (6) с использованием стандартных математических пакетов.
Теорема 1 послужила основой при доказательстве ряда предельных теорем для различных классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [7-9,11-15,17,24-34,45-47,50]). Г.В. Демиденко предложил ряд методов для доказательства таких теорем. В частности, некоторые из этих теорем могут быть установлены с использованием простого способа. Его идея заключается в том, чтобы исследуемую систему дифференциальных уравнений
= -6y(t) +g(t- г, y(t-r)), t > т, y{t) = 0, t € (0, т], у(т + 0) = 0,
(7)
при этом справедлива оценка
(8)
(9)
8
записывать как возмущение исходной системы (3), а затем сравнивать последние компоненты решений задач Коши для систем (3) и (9). Если при неограниченном увеличении числа уравнений из соответствующих оценок вытекает сходимость
то в силу сформулированной теоремы 1 нахождение приближенных значений последней компоненты решения системы (9) при аф=о = 0, п 1, сводится к решению задачи (7).
Согласно такому методу сравнения для получения эффективного способа численного нахождения значений последней компоненты решений систем (9) высокой размерности достаточно установить сходимость (10). В ряде случаев описанный метод позволяет достаточно просто доказывать предельные теоремы для различных классов систем дифференциальных уравнений большой размерности (см., например, [24,25,30]).
Отметим, что описанный выше метод приближенного нахождения концентрации конечного продукта х”(£) обобщается на случай ненулевых начальных данных, но для этого нужно доказать соответствующие предельные теоремы. Однако в отличие от нулевых начальных условий здесь возникает интересная особенность, заключающаяся в том, что, вообще говоря, нет равномерной сходимости последовательности {я£(£)}, но сходимость можно гарантировать в пространстве Тр(0, Т), 1 < р < оо. При этом предельная функция у(£) будет обобщенным решением некоторой начальной задачи для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом, имеющем на промежутке (0, т] разрывы первого рода.
Продемонстрируем это на простом примере, когда вектор начальных данных в задаче Коши (б) имеет первые I компонент, отличных от нуля, а все остальные компоненты — нулевые, т. е.
Как и ранее, рассмотрим на отрезке [0,Т], Т > т, последовательность функций {т”(£)}> состоящую из последних компонент решений задач вида (6). Справедливо следующее утверждение [46].
Теорема 2. Последовательность {#£(£)} является сходящейся в пространстве Тр(0,Т), 1 < р < оо:
-*£(*)!-> о, п-> оо, і є [о, г]
(10)
К(*) Ьр(0,Т)II -»-О, ті ь оо,
(12)
9
при этом предельная функция y{t) принадлеоюит Соболевскому пространству Wp(rtT) и является обобщенным решением начальной задачи
( = -9y(t) + g(t-r,y(t- т)), t>r,
' y{t) = 0, t € [О, г), (13)
. у{т + 0) = а, Ч + а;.
Принимая во внимание теорему 2, нахождение приближенных значений последней компоненты решения системы (3) при п 1, имеющего начальные условия (11), мы сводим к решению начальной задачи
(13). Ясно, что для получения оценки погрешности такой аппроксимации xn(t) « y(t) достаточно оценить скорость сходимости (12).
В настоящее время имеется большой цикл работ (см. обзарную статью [9]), в которых исследуются различные связи между решениями
классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности (1) и дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Настоящая диссертация посвящена изучению таких связей. В работе исследованы связи между решениями системы (3) и уравнения
= -dy(t) + g{t - т, y(t - г)), t > т, (14)
в частности, получены новые оценки аппроксимации xn(t) « y(t). Также рассмотрены два класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности (1), для которых доказан ряд предельных теорем, устанавливающих связи между их решениями и решениями начальных задач для уравнения (14).
Остановимся подробнее на содержании диссертации. Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе настоящей диссертации рассмотрена серия задач Коши (6) для системы (3) при ненулевых начальных условиях. Основная цель главы — описание предельных свойств последовательности (х”(£)} при различных начальных данных в (6), получение оценок и описание поведения решения при Моо.
Первая глава состоит из девяти параграфов. В первом параграфе описывается рассматриваемая система. В следующих двух параграфах доказываются вспомогательные утверждения. Во втором параграфе для
10
системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6) приведена эквивалентная ей система интегральных уравнений. В третьем параграфе получен ряд оценок, которые используются при доказательстве предельных теорем.
Четвертый параграф первой главы посвящен доказательству предельных теорем для последовательности {£”(£)}. Сформулируем основные результаты, доказанные в этом параграфе. Напомним, что на параметры системы (3) выполнены следующие условия в > 0, т > 0, функция д(£, г) € ограничена и удовлетворяет условию Липшица по вто-
рому аргументу.
Вначале рассмотрим последовательность задач Коши вида (б), предполагая, что векторы начальных данных имеют последнюю компоненту, отличную от нуля, а все остальные компоненты — нулевые, то есть векторы начальных данных в (6) имеют вид
#п|*=о = хи,° = (0,..., 0, а)т. (15)
Неограниченно увеличивая число уравнений и рассматривая только последние компоненты решений каждой из задач Коши вида (6), получим последовательность функций {з”(£)}*
Теорема 1.4.1. Пусть начальные условия в (6) имеют вид (15). Тогда последовательность {а?5(0} равномерно сходится на любом отрезке [0,Т], Т > г:
®Е(0 2/(0» 71 °°-
Предельная функция у(Ь) является решением следующей начальной задать
- = -ву{Ь) + д(Ь - т, у(г - г)), Ь > г,
у(1) = ае~вь, £е[0,т], (1б)
у(т + 0) = ае~вт, при этом имеет место оценка
таX] К(*) - у(*)| < п> п0(в, т), (17)
где константа с> 0 не зависит от п.
11
Замечание. По аналогии с теоремой 1.4.1 оценка (8) из теоремы 1 может быть улучшена. А именно, вместо неравенства вида (8) может быть доказано неравенство вида (17).
Рассмотрим последовательность задач Коши вида (6) с другими начальными данными. Справедлив следующий результат.
Теорема 1.4.4. Пусть п = ті + 1, 0 < 5 < т — целое и начальные условия в (6) имеют вид
хПу0 = ..., х£’°)т, ! = а, = 0 при і ф $1 ■+* 1.
Тогда для любого Т > г для последовате.яъности (ж2(£)} имеет место сходимость
№£(*) - У(0» М°> т)11 0, п-¥ оо,
предельная функция у(Ь) припадлеоюит пространству \¥р (т, Т) и является обобщенным решением начальной задачи
^^- = -Єу{ї)+д(1-т,у{і-т)), «>т,
»(0 = 0, <е[о,^г), (18)
у(і) = Ь Є (^т, г] ,
у(т + 0) = ае~втт.
Из доказательства этой теоремы вытекает оценка скорости сходимости.
Следствие. В условиях теоремы 1.4.4 при п > щ{в, г) справедлива оценка
\К(і)-У(і),Ьр(0,Т)\\ <
где
, ( 1/р. 1 < Р < 2,
9(Р) = < . (19)
I 1/2, V > 2,
константа с > 0 не зависит от п.
Следующая теорема показывает, что при малых начальных данных последовательность {#£(£)}, как и в случае нулевого начального вектора хп,о _ 0^ СХОдИХСЯ к решению начальной задачи (7).
12