К обратимости линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ ....................................... 5
1ВЭДЕНИЕ.................................................II
'ЛАВА I. РАВНОМЕРНАЯ ИНЬЕКГИВНОСТЬ И ОБРАТИМОСТЬ ОЗДК-НОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО -ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ....................... 33
§1.1. Линейные дифференциальные операторы с не-
•граниченными операторными коэффициентами, (1гс
ператоры.................................................. 33
§ 1.2. Свойства эквивалентности равномерной инъек-
•ивности я обратимости для с1/с - операторов ............
§ 1.3. Функционально-дифференциальные операторы в
С . №. и5 ................................................ 53
§ 1.4. Обратимость и равномерная инъективность ли-
ейных дифференциальных операторов с неограниченными
юэффициентами в пространствах Г ......................... 88
§ 1.5. Двойственные операторы....................... 78
§ 1.6. Равномерная инъективность функционально-
Ифференциальных операторов в пространствах вС , .. 89
ЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОМЕРНОЙ
ИНЬЕКГИШОСТй ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ...................... 104
§ 2.1. Локальная сходимость, периодическая аппрок-
имация и обратимость функционально-дифференциальных
104
ператоров ...............................................
§ 2.2. Функционально-дифференциальные операторы с
:очти периодическими коэффициентами ......\.............. 123
§ 2.3. Обратимость дифференциальных операторов с
3
постоянными и периодическими коэффициентами................136
§ 2.4. Операторы с замкнутой областью значений.
(f>t - операторы .........................................144
§ 2.5. Дифференциальные операторы с малым параметром ....................................................157
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРШИАЛЫШ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛ£НЫЕ ОПЕРАТОРЫ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ............................................Iе6
§ 3.1. Обратимость операторных коэффициентов при
производной ..............................................
§ 3.2. Равномэрная инъективность и обратимость
функционально-дифференциальных операторов с коэффициентами
при производной............................................178
§ 3.3. Предельные операторы ..........................191
§ 3.4. Метод замораживания............................201
§ 3.5. Частичная равномерная инъективность линейных
дифференциальных операторов ...........................,...212
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ (ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И ИНЪЕКГИВНОС-ТИ, КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ) .........................772
§ 4.1. Равномерная инъективность и обратимость
дифференциальных операторов в пространствах \^'п(/Л) ,
\л/таР) ................................................ 222
§ 4.2. £* - коэрцитивность дифференциальных операторов 240
§ 4.3. € - коэрцитивность дифференциальных опе-
раторов в пространствах \л/т(Ер), 1л/т(/ЛР), С/71 ...259
§ 4.4. Коэрцитивные Е - операторы.....................271
§ 4.5. Коэрцитивность дифференциальных операторов
относительно полунормы <и>п*1 ...».........................283
§ 4.6.-Неравенство Шаудера ...........................294
УТ
§ 4.7. Эллиптичность дифференциальных операторов .. ЗСО § 4.8. Равномерная инъективность дифференциальных
гераторов относительно пар ( С-*, С ) .....................315
§ 4.9. Дифференциальные ф + -операторы в 01° ...322 ШСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...........................................338
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
(к ' - /? - мерное (вещественное) эвклидово пространство.
X = ( х,г) - вектор (переменные) Б [ЦП .
X= Ху х,: Цп - скалярное произведение векторов
* %1 п
Л',у 6 /X .
їх!*у/X X - эвклидова норма вектора ХЄ [к'".
/V - множество натуральных чисел.
17- - множество целых чисел.
77-г ^ 7 ^ - множество целых неотрицательных чисел.
- множество вещественных чисел (числовая прямая).
- (-7 (у • ■. г -7, я ) г где с^у & Т.. +■ (у ? /?, ^ —
мультиикдекс.
означает, что Д,-£ »?Су для V/= { оС * р
- мультииндексы).
І6Ї * Ж4+ •-• + сСп - длина мульткиндекса.
Xе*- X /.. . Х,га для X Є 77" , оС - мультикндеко.
ТуХ - ^____ у /
-і •" '■>^ - мультииндекс.
аХі сх,1,
Р>{V. , ч '• - открытый шар ІХс “XI < 17 ь 77 а .
К^(х) - открытый К}’б Б 77 с центром з точке X , ребра которого параллельны осям координат и имеют длину равную ТА .
К(х) - /<< (х)
тс*; і7_ - мера Лебега измеримого множества 77Х с [7 .
- объем единичного шара в ОТ'1 •
X - банахово пространство.
ЦХИ - норма элемента X Є X .
X - сопряженное пространство к \
X * - элемент из .X * .
ИХ І! - норма элемента X * < X .
(X, X г) - значение функционала аХ Л на элементе х е X .
Нотіл.к}- пространство линейных ограниченных операторов, действующих в X , наделенное равномерной топологией.
А *
Л - сопряженный оператор к оператору л . d(А) - спектр оператора А Т - тождественный оператор в X .
L--L (к J X ) - пространство всех сильно измеримых
функций /77 —> X , интегрируемых по Ьохнеру на каждом ко-
нечном интервале, с топологией сходимости в среднем. иЧБГ.Х) - пространство Лебега измеримых функций Й’*'1 —» X ^«/)< ос).
- LpdP\x)
тхК, Х.),НР(Ю ,Х) - пространства измеримых функций соответственно со етеяановсккми
нормами
llulinp(^x) ,
ІІиІ'л*Ш.х) ’ %% (Oi/j <о-).
с (К X) - пространство непрерывных ограниченных функ-
цкй f ■ Шл—> л с 5^ - нормой.
С (is. У) -C(R\X).
Сшл,х) - пространство бесконечно дифференцируемых
?
функций f/Г-Х , носители которых компактны (пространство финитных гладких функций).
Г - {J?n, X) - одно из пространств С(№?($"] X),
L'OH* К).
//и. Н,-> - норма элемента U h .
VJm (F) - пространство функций U ■ а~^ X , принадле-
жащих Г вместе с производными V* U до порядка П1 включительно ( Ш е 2 +).
Iл!°(Г)шР , С"1* Wm(C\
Ниilym(p) ~ 2L 11Т)*и Я р .
и/ */п
Q О
С-сипл) - подпространство в С (№,Х ) , состоящее
из почти периодических функций Бора.
U {) - спектр показателей Фурье функции fee .
Ôд - подпространство в С , состоящее из функций, для которых модуль показателей Фурье fTlOci (/) ^ /Л С {R.
6С - пространство непрерывных ограниченных функций с бого-любекой. нормой
t
Ии Ike „ SLl£ у lfSu(3)d$// (t, Г £ Д?).
‘UÏ =liT(iRX) - винеровское пространство функций f: {R~^
d\{lR X) = \fe L°°(tl?,X)/ 5e- ею SuP ufdxenfn f<~°j C(œ,Yr), №,*'), L1*® --Lp(ik, x* ).
р = Р{Ш X *) - одно из пространств С ® , МР , IX*®
*** * Л, '*<г</*
У ч с ~ ь-ир . тУ^исх) - я*и(у)!!_
\и?хт * у с/К'1 у 7
ш -* 'П д ,к ф-Цф
/ГГ пРлиМ-Уи(^И , ,,\/р
(и У^ ч г -^Ф (^ -1 , нДР*/г у* ’
■*>••' мХт *.ук&л т КЦ) /у-уг
<и >\_т] С< <и>г,т * С’ <и> г гг. У (С<>0,Сг>0),
( Г I’ 1Юм -1)и(у)11Р , , )#
<а>г.^Г' ифщ' Я!" /х у/‘г<° г ^ а% *
<и>*пГ = <«>^т * <«><^ т
’ / [ ( !!0и(*)~Ва(у)Н / / \/р
<а>г * г — ^ и 7 • Т~7Гг7Г'^ ах(Ы ,
^/П; хуея>л'км кф 1х'Х/ ( 77
у - <Г/ ^ С^<и>Г/71у (С, >С , С^ ^ О)
•/, /Л /
^/г’^ - пространство Гельдера с конечной нор.мой
9
IIU Kq~ HuHf-m. f <и>^т ( Щ, S. Ж + ).
\л!т*Г^ ({Л! .) - нормированное пространство, состоящее из
U €. Iv 'п (AV )t причем,
ИиИыП‘ГЗ(/лР) = HuHwm(MP) ^<a>r>mj < во .
С *** г - нормированное пространство с нормой
Я ullgm+or ~ Ни Ист + <CL>°f;m <
Lpy - нормированное пространство с конечной нормой
Чи11СпГ *ПиПст *<u>r,mf •
Wfj ,<Г(МР) - нормированное пространство с конечной нормой
Wmr^ (H\f) - нормированное пространство, имеющее норму
//и Нw'n*r(rf) = llulh.//r-иР) + <иПГ/п<ъъ .
Ц2 (U*) - нормированное пространство с нормой
ilullw%°r(Ln =НиНм^г* <“%ту<с,<3-
W'fo+Qf. лм/>*
Г:У ' " нормированное пространство, в котором
11и* На<«%ту ‘ °°'
з) (X, П - область определения линейного (функционально-дифференциального) оператора , принадлежащая пространству/"’.
7b(£tF) —> Р - линейный (функционально-дифференциальный) оператор.
10
£ ^ - двойственный оператор к функционально-дифферен-
циальному оператору £ .
Х0£ = [и (С) / =0, и е Б].
Р X Аос(^)^-
-линейный дифференциальный оператор с частным)! производными.
Р®ц‘ -- 2. (-/Ґіґ(АЇи*)(и*е. Мт(Р®))-
мат
- двойственный оператор к оператору Р : \л/гп(/- ) > И.
е2 = &хр е.
А
и - преобразование Фурье функции и
II
ВВЕДЕНИЕ
В диссертации изучается ряд задач, связанных с обратимость» и равномерной ; ^-равномерной’инъективкостью линейных функционально - дифференциальных и дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах, элементами которых являются векторные функции, определенные на всей оси $? или на всем пространстве (Лп . Актуальность этдх задач определяется тем, что к ним приводят исследования по теории устойчивости, теории усреднения, спектральной теории, ветвлению решений, управлению, качественной теории дифференциальных уравнений и т.д. При этом возникает необходимость вызести обратимость дифференциальных операторов, например, в пространстве ограниченных функций на сск из более простых свойств дифференциальных операторов таких, как корректность, равномерная щгьектив-ность, допустимость, слабая регулярность, условие Фавора, коэр-цитивность и т.п. [9,34,35,37-39,42,43,63-71,75,78,89-94,104-113,150,1513 • СюДа же примыкают работы по ограниченным на оси и почти периодическим решениям дифференциальных уравнений [ 7. 8,10,11,19,53,55,103,115,122,155,156,160,163,137,167,169,187, 1923 • Далее, с точки зрения обратимости линейный дифференциальный оператор часто удобнее рассматривать в различных функциональных пространствах. При таком подходе ставится задача об эквивалентности свойств обратимости дифференциальных операторов в рассматриваемых пространствах. Это напрямую связано с проблемой выбора области определения для дифференциального оператора. Удачный выбор области определения дифференциального оператора во многом определяет успех его изучения. Заметим также, что для
решения многих задач достаточно существования у линейного дифференциального оператора непрерывного обратного определенного на области значений линейного дифференциального оператора, т.е. равномерной кнъективности последнего.
В теории линейных дифференциальных уравнений значительное ,
• |
место занимают вопросы поведения решений однородных уравнений, ; в частности, экспоненциальной дихотомии и устойчивости ( 13,29, 31,58,59,85,143} . Наличие экспоненциальной дихотомии решений \ однородного уравнения тесно связано с обратимостью соответст- ! вующего дифференциального оператора в некоторых функциональных пространствах. 0.Перрон [183.1 , по существу, первым доказал, |
что в конечномерном случае обратимость линейного дифференциаль-}
■
ного оператора с ограниченными коэффициентами в пространстве ограниченных ка оси функций эквивалентна экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения (см. также [ 60,72,80,83, |
159,173,184,191 . Обобщение результата 0.Перрона на системы
запаздывающего типа имеются в работах [44,52,98,141,1443 и }
других.
Проблеме допустимости (обратимости) и экспоненциальной дихотомии в банаховом пространстве при довольно общих предположениях относительно коэффициентов линейного дифференциального оператора (значения коэффициентов .есть линейные ограниченные операторы) посвящена серия работ Х.Массера и X. Шеффера/" 177-1803 (см.дополнительно (22,51,162,174/). Ими же доказано утверждение оо эквивалентности обратимости дифференциального оператора и экспоненциальной дихото?лии в предположении некоторого 1 "условия замкнутости". Как показал В.Жиков [зь] "условие замкнутости" является излишним, при этом коэффициенты линейного дифференциального оператора могут быть неограниченными операто-
13
рами.
Оснознкми объектам изучения в диссертации являются линейные функционально-дифференциальные операторы вида
X = d/dt - Л , X = 6(t) d/dt ~Jt
и линейные дифференциальные операторы в частных производных
Р = 2
где линейный оператор -А: £> (А ,Р)~* Г обладает определенными свойствами, 3 : /К -* Нот (X, X) , А</. • $ п—* Нот (X, X) -непрерывные ограниченные операторные функции. Операторы X охватывают обыкновенные дифференциальные операторы с ограниченными и неограниченными коэффициентами, операторы, определяемые дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, некоторые классы интегральных операторов я другие функционально-дифференциальные операторы. Дифференциальные операторы X и Р исследуются с точки зрения обратимости и эквивалентности этих свойств з различных функциональных пространствах Н , а также решаются другие качественные вопросы для рассматриваемых операторов X и Р . При этом находят широкое применение методы теории линейных операторов в банаховом пространстве, качественного анализа дифференциальных операторов и уравнений, метод локальных равномерных неравенств и другие методы и техника. Добавим также, что многие рассмотрения в работе происходят в пространствах Соболева.
Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Их новизна заключается как в выбор« объекта исследования, так и в методах исследования. Коротко основные моменты работы ?лэжно охарактеризовать следующим образом.
1. В банаховом пространстве установлен ряд теорем для широкого круга фуншдюнально-дифференциальных операторов сб эквивалентности сзойств обратимости и равномерной инъективности э некоторых функциональных пространствах.
2. Получены критерии обратимости функционально-дифференциальных операторов в функциональных пространствах.
3. Приведены необходимые условия равномерной инъективности и обратшлости, а также коэрцитивности функционально-дифференциальных операторов.
4. Разработана техника локальных равномерных неравенств для изучения функционально-дифферен!шальных операторов.
5. Рассмотрены различные коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов в частных производных к их эквивалент-ность в различных пространствах.
6. Исследованы в !Р ‘ некоторые классы дифференциальных XX -операторов с частными производными.
Полученные в работе результаты позволяют решить многие вопросы обратимости, равномерной инъективности, коэрцитивности широкого класса функционально-дифференциальных операторов, в частности, операторов с частными производным!', в некоторых функциональных пространствах, и могут быть использованы при изучении различных прикладных задач.
Рассмотрим теперь более подробно содержание диссертации, состоящей из четырех глав. Ъ первом параграфе первой главы для дифференциального оператора £=(И(£Ь - АО.) , где АШ -неограниченный линейный оператор в банаховом пространстве X , определяются У -условия, которые заключаются в следующем. При любом и(1с)вХ уравнение Xи * 0 единственным образом разрешил.» вправо (1; >'1с) . Разрешающий (эволюционный) оператор 21 а, Ьо) (Ь 2 Ьо) ограничен, сильно непрерывен по переменным
t Ztо и удовлетворяет экспоненциальной оценке роста. Реше- 'і
кие неоднородного Хи - / дается формулой Дюамеля. На основе
J ' V
о - условий задается область определения £)(Х.Ооператора X в функциональном пространстве ^ .
Далее вводится понятие линейного d't - оператора jj
X: ( X, Р) О. h —*Р , который характеризуется следующим j
образом. Область определения X (X, Р) инвариантна относительно умножения её элементов на гладкие финитные функцій:
У7-' ZP —* Û? . Имеет место локальная оценка разности X'fiu-ÿXu I (коммутатора). Носитель ( X 'Ли ~ ’■РХи) расположен в ок- ]
рестности носителя SUp'P V7 . ü
Приводятся примеры СІК - операторов. Таковыми будут j
дифференциальные операторы X , удовлетворяющие У - уело- :|
виям, а также разностные операторы к другие.
Одним из центральных определений диссертации является определение равномерной инъективности оператора. Линейный оператор X Р)~* Р называется равномерно инъективным, если
существует такая постоянная К >0 , что выполняется неравенств
j*
во
Пи Ир « К ИХ и Нр (иеЖХЛ) . !
и
Равномерная инъектизкость оператора тесно связана с непрерывным левым обратным оператором flI9j .нижней нормой оператора j, [ 67 j , минимумом модуля оператора С 171 J , корректностью оператора L 78 j . Термин "равномерная инъективность оператора",, более удобен и универсален при изучении функционально-дифферен-|5 циальных операторов.
В § 1.2 рассматриваются свойства эквивалентности обрати- î мости и равномерной инъективности для d/t - операторов. Показано (теорема 1.2.1), что если СІК - операторы Хц :
16
* X(Хг, №Р)-+А\Рл Х$ : *Х>(Хз , РР) IX° (* ^Р < с>°) связаны
определенным ар - условием к некоторым свойством локальности, то они равномерно инъективкы одновременно.
Теорема 1.2.1 имеет принципиальное значение, поскольку многие результаты получены с её помощью. В доказательстве существенную роль играют локальные савномерные неравенства ъ и I? для операторов X* и Хз • На основе теоремы 1.2.1 получена также важная теорема 1.2.2 об одновременной обратимости с1гс - операторов У г •' 25 (&, /ЛР)^ Уз -'25(ХзР’Н* от которых дополнительно требуется локальная замкнутость оператора Хг-Шг,!40-/4* и некоторая импликация для функций из # (Хг) №Р) • Как следствие найдено, что спектры с/л - опе-раторов Х5-Я(Уз,1р)->1? совпадают.
Реализация теорем 1.2.1, 1.2.2 на конкретных с/л - операторах дает следующие утверждения (теоремы 1.2.3, 1.2.4). Если дифференциальный оператор X ~ (Х/М ~А(/) удовлетворяет У - условиям, то операторы XХ>(Х, Мр) —> Л^и X '■
: ЖХ, равномерно инъективны или обратимы одновре-
менно. Аналогичные утверждения (теоремы 1.2.5, 1.2.6) получены о дифференциально-разностных операторах вида X - Хо * 8 , где для дифференциального оператора Хо выполнены У - условия, а /? - разностный оператор.
Параграф 1.3 посвящен изучению равномерной инъективности и обратимости функционально-дифференциальных операторов X -сЦМ ~ Л , где в пространствах с ,г,л'3,
и . Но ранее в теоремах 1.3.1, 1.3.2 установлено, что при определенных условиях из равномерной инъективности линейного оператора (не обязательно функ1щонально-дифференциального)
Хг •' ЖХй, Н\р) -*А\ вытекает равномерная инъективность опера-
торов Xі ft(Xi, С)-*С к X/ •' T>(^iyU>°) —* LT*. Приведем основные ТО ореш.
ТЕОРЕМА 1.3.3. Пусть сіх - операторы Л ■ L L , fi-* —* Lp (■/$ р< оо) ограничены и выполня-
ется для них некоторое свойство локальности. Тогда равномерная инъективность одного из операторов X- 3)(XJL'?<>) —» lp*3 ,
X: РЯХ, /Лр) -*■ /Л Р , X: % (X, L р) -* L р влечет равномерную инъективность двух других.
ТЕОРЕМА 1.3.4. Если d/t - операторы -Л ■ Р Р ограничены и для них имеет место некоторое свойство локальности, то
операторы &2>(Х,С)-+С Р^.Х‘Ъ(Х^Ь
—v /Лр , X -' СЪ(Х, Lp) —► Lp (У < <=о) равномерно инъективны одновременно.
ТЕОРЕМА 1.3.6. Пусть оператор Я - Л L непрерывен и для него выполняются условия теоремы 1.3.4. Тогда свойство непрерывной обратимости для операторов Х: СО ( Ж у С) —► С ,
У • Ф(Х, 1Г)~ Lm, X-Х>(Х, М р) —> /ЛР ,jf: J>(X,Lph
—* lp (/</>< эквивалентны.
Показано также, что операторы X• С * —* С , X'■
МЧС*)-* LT3 . iVŸ/O — лЛ X'W'(lp)->/S (р><)
равномерно инъективны (обратимы) одновременно. В следствиях установлено, что равномерная инъективность (обратимость) оператора X : £ (Х} /Л р) -*А1Я (р 2 4) или оператора X $> (X, Рр) LP(H при одном р влечет их равномерную иньектив-
ность (обратимость) при всех р . А спектры операторов Х:
■ %(Х,С)—С , X ■ ® —• Л°° , Х: Т>(Х,/ЛРН/ЛР
X: % (X, L р)^> Lpсовладают.
В четвертом параграфе изучается линейный дифференциальный оператор X = <t/dt-A(l) . удовлетворяющий У - условиям.
На него удается распространить основные утверждения предыдущего
параграфа. Напомним, что А (І) ест^ вообще говоря, неограниченный оператор в X . Схема исследования оператора <Х состоит в следующем. Сначала получается результат для разностного опера тора А? х(п) - X (п -*/)- !Ъ(п) х(П) , Ь(п) - ограничен -нкй оператор в У , ґі е Ж .
ТЕОРЕМА 1.4.1. Оператор № ■' С ^ * £с*э р&вномврно ияъеКТ И— вен тогда и только тогда, когда равномерно инъективен оператор
Я : &р ір .
Затем по оператору X строится специальный разностный оператор $х(ґь) - Х(П--гІ)' 2і(п*4, п) X (п), обратимость которого в пространствах , 2р тесно связана с обрати-
мостью оператора X в пространствах С , Xя (теорема 1.4.2). После этого установлены
ТЕОРЕМА 1.4.3. Оператор X•'СО( X, О ^-»//'равномерно инъ-ективен, если к только если равномерно инъективеп оператор
ТЕОРЕМА 1.4.4. Оператор X •' СЬ(ХУС)^С равномерно инъек-тивен тогда и только тогда, когда оператор X равномерно инъ-ективен относительно пары ( С , АЛР ).
ТЕОРЕМА 1.4.5. Для операторов Х: Я>(Х, С) -* С , Х:
: Я (Х,/Х*) Ь** ,Х: 0(Х>/Лр)~>/Лр,Х: М&.іХу+іГір *4)
свойства равномерной ккъективности эквивалентны.
И последняя в этом ряду
ТЕОРЕМА 1.4.6. Операторы X- Ж Х,С)^С, ХЯ(Х,Ь°*)->
->1~, Х:Я(£,Мр)-Мр> Х:Я(Х,1Р)-+ЛР (Р »о
обратимы одновременно.
Приведены различные следствия об обратимости и инъективнос-ти оператора X в пространствах , о спектре дифферен-
циальных операторов и равномерной инъектквности оператора /? в пространствах ір . Отметим, что теорема 1.4.4. дает положите ль-
кое решение одной задачи З.Жикова [ 30 ] .
Приложения некоторых неравенств z теорем демонстрируется на оценке одного интеграла и доказательстве простейших теорем вложения в
Хорошо известно, какую важную роль играют сопряженные операторы в анализе и теории линейных операторов. Нахождение сопряженного оператора к дифференциальному оператору - далеко не
і.
простая задача. Однако некоторые вопросы можно решить с помощью двойственных (формально сопряженных) операторов. С рассмотрением
j
таких операторов и связан пятый параграф.
Пусть оператор <£ = d/dt ~Ait) удовлетворяет У -условиям. Оператор £ d/dt + А * , где А* *(Ь - сопряженный
оператор к Ait) , называется двойственным оператором к Эв . Оператор X® подчиняется так называемым У® - условиям. С помощью результатов четвертого параграфа получены
ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть операторы <£•'ZÖ С и
С®) —> С® равномерно инъективны. Тогда оба они не- I прерывно обратимы.
ТЕОРЕМА 1.5.2. Оператор У: Я>(ов,С)~*С непрерывно обра-
• .4
тим тогда и только тогда, когда непрерывно обратим двойственный оператор : Ъ(Х®, С ®) — С ®. ..
ШИШ 1.5^3. Операторы С®) -* С в', ' ||
іЄ@:й(}Єе, Ж*®, ■ /лре, 1(
х»-.шв,ь/*)-+ьр9 а<р < оо) равномерно инъективны (непрерывно обратимы) одновременно.
Пусть пространство X рефлективно или сепарабельно, а операторы Ait) имеют общую плотную область определения в X . ТЕОРЕМА. 1.5.4. Пара (bp, LP) (7</о<сх0 допустима для операто # тогда и только тогда, когда равномерно инъективен оператор
с®.
20
Оказывается, теорему 1.5.1 можно распространить на функционально-дифференциальные операторы Хч ~ (l/dt ~Mt)~A . Оператор X * (l/dt -Ad) и пространство X удовлетворяют вышеприведенным условиям, а оператор Jt - условиям теоремы 1.3.6.
ТЕОРЕМА 1.5.5. Если операторы X* • &(Xz,C) ♦ С и
Xч £(X-Р, С®)~*С® равномерно инъективны, то оба они непрерывно обратимы.
Одним из примеров оператора X г может служить дифференциально-разностный оператор
СО
Х5 a sdu/dt -Ad) uct)- jL.Aj(t)a(i-Aj\
Для него отдельно формулируется теорема 1.5.6..аналогичная теореме 1.5.5.
С позиций равномерной инъективности и обратимости в шестом параграфе рассматривается функционально-дифференциальный оператор X = (ijdt ~ & (оператор Jk такой же, как в теореме 1.3.6) в пространствах С , ЗС , UX .
ТЕОРЕМА I.6.I. Для того, чтобы оператор X: & (X, С) —» С был равномерно инъективен, необходимо и достаточно, чтобы оператор X ■' Ф (X, ЗС ) -'ЗС был также равномерно инъективен.
Отсюда сразу следует
ТЕОРЕМА 1.6.2. Свойства непрерывной обратимости для операторов X •'Ф (X. С) —* С и Х: Ф(Х, ЗС)-*ЗС эквивалентны.
Аналогичные предложения доказаны для пространств С и Xі" (теоремы 1.6.3, 1.6.4). Б последней части параграфа з качестве приложений рассмотрены теоремы 1.6.5, 1.6.6 и следствия для функіщонально-дкфферешщальинх операторов, зависящих от малого параметра <£ > 0 .
Вторая глава содержит главным образом исследования, связан-
ные с признаками обратимости и равномерной иньектпвности функционально-дифференциальных и дифференциальных операторов. Результаты первого параграфа получены на основе техники периодической аппроксимации и локальных равномерных неравенств. Не вдаваясь в подробности, приведем основные из них.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Для равномерной инъективности оператора X:
• Ф(Х,Г)"*Г достаточно, чтобы существовала последовательность равностепенно инъективных операторов Ху : Х)(Ху, X) —> Г, сильно локально сходящаяся к X • СО ( X, Г) —» Г . Если оператор X- Ф(Х, Г)~ЛГ равномерно инъективен, то при сильной двойной периодической аппроксимации оператора X' /0(Х, Г)—** / ’ операторами Ху •' Ю (X] , Г) * А (] * оо] НвОбХОДИМО, чтобы
последнее семейство операторов было равностепенно инъективным. ТЕОРЕМА 2.1.2. Если при локальной аппроксимации операторы ^ъщ, г)— г непрерывно обратимы И $</рНХу Пр"С>^7 то оператор X■ Ф(Х,Р)—* Г непрерывно обратим. Если оператор Х: Ф)(Х, г непрерывно обратим и пространство X рефлексивно или сепарабельно, то при сильной двойной периодической аппроксимации операторы Ху • Ф)(Ху ,Р)—*Р для достаточно больших у 2 непрерывно обратимы И бЩЭЦХу
В теоремах 2.1.1 и 2.1.2 оператор' X ' (1/с& - Л , где А - функциональный оператор, действующий в Г . В случае, когда оператор л является оператором умножения на операторную функцию А(т) , справедливы
ТЕ0РЕ}АА 2.1.3. Для того, чтобы оператор X- ЖХ,Р)~* А был непрерывно обратим достаточно, чтобы при локальной аппрокси-мация его операторы Ху :Ф(ХуХ’)—* ^ были непрерывно обратимы и м/р // Ху Ир < 00 (у е АЛ9 . Если оператор X:
■' £>(X, Р) • Г непрерывно обратим, то при двойной периоди-
ческой аппроксимации операторы Ху ’• Ж Ху, Г) —* Г непре-
ризно обратимы, начиная с некоторого номера J9 , и пор Я У, И? < '>о (J >jo) -
С помощью указанной выше техники получен аналог теоремы Фавора - У.ухамаднеьа (теорема 2.1.4) для разностного оператора.
В теореме 2.1.5 установлена обратимость оператора У :
; У (У, С) С (У ЧІ/с/і 4(h) при условии допустимости некоторых функциональных пар. Рассмотрены следствия и ряд лемм.
Предметом изучения в § 2.2 служит функционально-дифференциальный оператор У djdt ” Л , где оператор Л Г—* Г удовлетворяет условиям теоремы 1.3.6, пространство почти периодических функций С инвариантно относительно оператора У и имеет место определенная опенка коммутатора -.А 4( _
гладкая функция).
ТЕОРЕілА. 2.2.1. Если оператор о6: ^>(У,С)~> С равномерно иньективеи, то справедлива .локальная оценка
sup l/uU>//s ho, sap tlXu(t)lb 20-(/~К1в) НХиIIc-
Hi ST tit 5 JT 7
ТЕОРЕМА 2.2.2. Для равномерной инъективности оператора У •' %(У. С )—’>С необходимо и достаточно, чтобы оператор У ■ Ъ(Х.С)-* і- бн-11 равномерно инъективен.
Если для -Л выполняется неравенство
1/Л 5г с, ~ S? Л и Иа Ни II с ,
где L - Ь -период некоторой почти периодической функции,
S£ - оператор сдвига, то справедлива
ТЕОРЕМА 2.2.3. Оператор У *£(У,С )—*■ С обргэтшл тогда и
О с
только тогда, когда обратим оператор У - У)(У, С)—*С .
Далее оператор Jt считается оператором умножения на почти периодическую операторїгую функцию.
ТЕОРЕМА 2.2.4. Пусть пара ( С . С ) допустим для оператора У с почти периодическим коэффициентом А (і) и множество %0с замкнуто. Тогда оператор У '■ (У, С)—> С обратим. ТЕОРЕМА 2.2.5. Допустимость пары ( С , С ) для оператора У при условии замкнутости многообразия Х-сс влечет обратимость оператора <£ X'(У, С)—* С\
ТЕОРЕМА 2.2.6. Пусть пространство У сепарабельно и рефлексивно и пара ( С , С ) допустима для У . Тогда, если б'0= ,
то оператор У Х>( У ,С)-+Собратим.
В теореме 2.2.6. <Хо - так называемый спектр однородных задач С66, с. 143?. Обратимость оператора У- У (У,С)-*С в ус- t ловиях допустимости пары ( С , С ) и сепарабельности многообразия j Xqc получена в теореме 2.2.7. В заключительной части пара-
і
графа рассмотрена обратимость возмущенного оператора У f --Ct/dt 'А{t)-ß({)при допустимости пары ( С , С )•
Отдельным параграфом рассмотрены операторы У с постоянными и периодическими коэффициентами. Обратимость оператора У £ (У\С)-*С j в случае допустимости пары ( С , С ) для сепарабельного X реше-
А
на в l 281 .В развитие этой проблемы для произвольного X получена
ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть пара банаховых функциональных пространств ( £ , О ) допустима для оператора у . Если выполнено одно из условий: I) G У iS vi Е Я С ( 2) (у?. iS у
и £ Я LX к 4 < fJ ' '^о), 6' ;2 С и er О. С ,4) оператор У ■ у
равномерно инъективен, то оператор У Z (У С) ■*
4—* С обратим.
В теоре»лах 2.3.2, 2.3.3 разбирается обратимость оператора с периодическими коэффициентами.
!§' В параграфе 2.4 изучаются операторы с замкнутой областью £ значений.
24
ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть область значений У оператора
У - X (У, X) ■ X замкнута и многообразие X О Г также замкнуто и X. . Тогда оператор У'У(У\Х)^Ь равномерно инъективен.
Коэффициент /і (І) оператора У в теореме 4.1 и ниже -устойчивая по Пуассону функция. Из теоремы 2.4.1 выведены два следствия об обратимости оператора У'- СЬ(У.Х)—* X.
ТЕОРЕМА 2.4.2. Оператор У Ъ(У.Г)-*/ ‘ является Ф+ - оператором тогда к только тогда, когда он равномерно инъективен.
ТЕОРЕМА 2.4.3. Если один из операторов У У (У,С)—* С .
У-К(У,!ЛР)-^ /Лр , Х Х(УУР)-*1Х
( І р <. <.4:.') является - оператором, то два других
тоже есть - операторы.
Доказан аналог теоремі; 2.4Л для разностного оператора X!
Полученные результаты в § 2.5 применяются к исследованию дифференциальных операторов, коэффициенты которых содержат малый параметр <5 > С (теоремы 5.1 - 5.3).
іі главе 3 представлены функционально-дифференциальные операторы У г 6(і) СІ/сІІ с коэффициентом &(1) при производной. Параграф 3.1 начинается с рассмотрения определенных пространств о- . В таких пространствах сп шве дли во следующее предложение.
Л е м м а 3.1.1. Если оператор У■ (Х)~>Х равномерно
инъективен, то операторы £>{()-X—* X- равномерно инъективны, т.е. существует такая постоянная К с . что Их//$ /С >; 6-£
для всех І £ (£ и У с- X .
Пусть /3(1)6 С (Ц] Нот(X,Ю), Ж ® - двойственный к Л
оператор, связанный с ним определенными соотношениями, Го ~ одно из пространств С , 1-У* .
Л е м м а 3.1.2. Если оператор У ■' 1л/ *(Го)—* Го является сюръектизным, то оператор У V/ '(і/®) —* I.* ® равно-
мерно Инъективен.
На основе ЛЕММ 3.1.2, 3.1.1 доказана
ТЕОРійАА 3.1.1. Пусть оператор У W {(Ео) - F2 обратим и для неге выполнены условия лемм 3.1 Л, б. 1.2. Тогда операторы Ö (г): X - ■• - > X обратимы . причем, Шр И ß '(1)И(it /X) < ^
із теореме 3.1.2 получен такой же результат для дифференциально - разностного оператора
ОО
y = 3ii)d/cti~A(i)-ßS Aj(i)S&j ,
а в теореме 3.1.3 показано, что в конечномерном пространстве Л из равномерной инъективности оператора Х*ЫЬсЦ<и-All) о устойчивыми по Пуассону коэффициентами в пространстве f ’ выте-ісает его обратимость.
Для оператора У ~ Ь cCfcU~ А с постоянными коэффициентами доказана
ТЕОРЕМА 6.1.4. Пусть оператор У: Х>(У/ С {) имеет
непрерывный обратный. Тогда, если выполнено одно из условий:
1) оператор ограничен на 1с \ 2) оператор 3 замкнут и
1с плотно в X , то оператор Зі имеет непрерывный обратный Зч ‘ X—* Ус.
Центральное место в § 3.2 занимает
ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть коэффициент •3({) является равномерной непрерывной функцией на [X . область значений .Уп 3 не зависит от І и для оператора выполнено некоторое нера-
венство. Тогда свойства равномерной инъективности для операторов УС( -» С . Х' \А/Х/АР)->МР,У: w4(lf)~*if (Р*0)7 У•' W * ( L04 ) ^ L ^ эквивалентны.
С помощью теоремы 3.2.1 получаются
ТЕОРЕЫА 3.2.2. Если оператор X' - &{t) d/dt ~Jt таков,
26
что для него выполняются условия теорем З.І.І, 3.2.1, то функционально-дифференциальные операторы X' С / —* С ,
Х-- U ‘(/Л*)— /Ар , 1л/ f(Lp) —> L.p
обратимы одновременно ( /- /э ^ ).
ТЕОРЕМА 3.2.3. Пусть оператор г удовлет-
воряет условиям теорем З.І.І, 3.2.1, пространство X рефлексивно или сепарабельно. Уели операторы X С ~у С и X С/ равномерно иньекгивны, то оба они обратимы одновременно.
Приведены следствия из доказанных теорем.
На основе локальных равномерных неравенств в § 3.3 обсуждаются условия обрати?/юстк и равномерной инъективяости оператора X ' d/dt -A(i) в пространстве С через предельные операторы <£
ТЕОРЕМА 3.3.1. Два нижеследующих условия эквивалентны:
I) оператор cif С*—* С равномерно инъективен; 2) каждый оператор X - С С обладает некоторым свойством ?С и уравнение Хи ~~ 0 не имеет ненулевых решений в С
В теореме 3.3.2 изучается г £ - свойство возмущенного onejXiTopa. ь параграфе приведены также следствия и ряд лемм.
Метод замораживания применен в § 3.4 для исследования равномерной инъективности и обратимости дифференциального оператора X " ßfi'd/dt ~ Д (І) .В доказательствах существенно используются полученные выше результаты и методы.
ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть семейство операторов &to : * ^
равностепенно инъективно, коэффициенты fiсі) и ß(i) удовлетворяют условию Липшица с ПОСТОЯННОЙ 'S . Если S есть достаточно малая величина, то оператор X- С/—* С равномерно инъективен.
Лемма 3.4.1 касается оценки нормы оператора ~*
в І- ® через норму оператора X * ъ С
Если - непрерывная ограниченная функция на IX
операторы С —* С равномерно обратимы и для А(Ь ,&(?)
выполнены условия теоремы 3.4.1, то оператор С' ~—* С обра-
тим. Это предложение и есть теорема -*.2.
Далее и лемме 3.4.2 и теореме 3.4.3 обсуждается обратимость к равномерная шгьективность оператора X при условии
малости некоторой величины 03р ( и равномерной обратимое-
*
ти л инъективности операторов X Ус .
Частичная ( 5 В - частичная) равномерная инъективность оператора )£ относительно пространства Ь , о которой идет речь в § З.о, определяется неравенством
// Ли Нр $ к ЦВ ХиПр (Иди 1/р * К ПХиНрХ
Получено несколько теорем о соотношениях частичной ( $ & частичной) равномерной инъективности оператора в пространствах С , /Л*1 , и^ (теоремы 3.5.1 - 3.5.4). В теореме 3.5.4 приведены условия частичной равномерной инъективности для оператора X с постоянным коэффициентом А .
Перейдем к изложению результатов четвертой главы, посвященной линейным дифференциальным операторам с частными производными. Но прежде заметим, что всюду б этой главе С * С((ХП,Х), М*3 - , X) , 1? ~ Ц’Шк*, X) , т.е. элементами
названных пространств являются функции Ы ■' IX '}~* X. многих переменных, а Р одно из пространств С . /V. и (/ $■ р <■ ое) . Для оператора Р: \лЗ'л(Р)-* р вводится понятие равномерной инъективности относительно пары нормированных пространств 6 ' 32 1л, (I’ ) ]л Н ~ Р .
Б первой теореме 4.1.1 § 4.1 установлены локальные равно-
мерные неравенства для оператора Р , с помощью которых дока-
2Ь
закы важные теореьш о равномерной инъективности и обратимости.
ТЕОРЕМА 4.І.2. Равномерная инъективность оператора Р:
относительно парь (іV *'(/-'\р)1/Ар ) эквивалентна равномерной инъективности оператора Р: \А/гГ,{^) * £—
относительно парк {\л/Ч*-р), и), ё= ™, я? -/
ТЕ0РЫ.1А 4.1.3. Операторы Р: 1л/'"'(Мр)-р ]л/п(1р)->Р обратимы одновременно.
Нризедены примеры равномерно инъективных операторов с частными производными.
Оператор Р- \\/Ґп(Р)~* ^ назовем <5 - коэрцитивным относительно данной полунормы > ( ( <5 , ) - коэрцитив-
ным) , если для любого £ > С существует такая положительная постоянная Кр (£) , что имеет место неравенство
Ни (г) ^ £\Ц > *Кр(£■) НРа Н(г .
В теореме 4.2.1 § 4.2 доказано локальное равномерное не-
равенство для оператора Р'■ С'71—* С . содержащее гёльдеровскую
О
полунорму < >у,/п , а главный результат связан с некоторой
полунормой <• > V, т У •
Теорема 4.2.2. Если коэффициенты А0С оператора Р рав-
номерно непрерывны ка всем пространстве И?'1 , то операторы Р:
: Ст— С и Р■ \л/м(;п°)-/Ар (6. < >;:п у) - ко-зрцктивны одновременно.
Из теоремы 4.2.2 вытекают следующие утверждения.
Следствие 4.2.1. Операторы Р:С —* С и Р-■ к ,7І(ЛГ ) “* Р\р (£, У ї, /п) - коэрпитивны одновременно.
Следствие 4.2.2. Пространства V/ \ґР)
/-• гП <Г
непрерывно вложены С
Следствие 4.2.3. Если оператор Р: \л/т(Ц>)—л,и
Г.
<!• \
равномерно инъективен, то оператор Р: С ,п —*С 6- коэрци-
тивен относительно полунормы #,/П .
Следствие 4.2.4. Из равномерной инъективности оператора Р • С п -■* С * следует равномерная инъекппшость опе-
ритора Р- И ГЛРК
В параграфе 4.3 продолжается изучение <5 -коэрцитивных операторов Р: І'і 'п (Г)—* Г . Б теореме 4.3.1 £ -коэрци-
тквкость оператора р: и т(1р) -> I/ относительно определенной uOj.i r.opvu <. ?ґ„р; выводится из (Г -коэрцитишюсти оператора р. сп с относительно полунормы < >£ гП з . Затем вво- ! дится полунорма у * Оказывается, что по теореме
4.3.2 (<5, От у) - коэрцитивность оператора Р: іл/т{ Ер}-*і£\
влечет (£, <’>4-Т,г, у ) - коэрцитивность оператора р:
\уП1(Р\р)-*Р£. Согласно теорем 4.3.3. оператор Р: С/п—* С является \£ У. /я) - коэрцитивным, если все предельные уран-
Л - ґ' /г /~ґ> + 1Г
нения Ни С не имеют ненулевых решении в С
Оператор Р- и'л(Р)'*Г называется коэрцитивным с -оператором, если существуют такие постоянные С/ >0 , , что
Ни // ^ п,(г) ^ СРіиі/р * С£ ИриНр .
Результаты относительно дифференциальных Г_ - операторов содержатся в параграфе 4.4. Зто теорема 4.4.1, определяющая Е -оператор через эквивалентное неравенство; теорема 4.2.2, согласно которой операторы Р- I/Лр и Р• Іь/ҐП(ЕР) —> Е,? ,
обладают свойством быть Е -оператором одновременно; теорема 4.4.3, дающая пример £ - оператора Р: !'/ж2(і£) —* Ь* ; теорема 4.4.4., устанавливающая оценку нормы функции и в С,п при условии, что оператор Р: 1л/т(№Р) ~ь МР есть коэрцитивный Е -оператор. 1]
зо
Три теоремы получены в § 4.5 о коэрцитивноети оператора
относительно полунормы
р. я/
<и\„ = ИзГиЬ7
ІЛ-ГЧ»І
TB0P.SMA 4.5.1. Оператор Р: Wm(Lfl)—* if коэрцитивен
^ LJ*
относительно полунормы <и>/Пл/ тогда и только тогда, когда
оператор Р' tv (Р\р) Р\р коэрцитивен относительно полунормы . .{АС ^ ^ ^ rv * 1
'ШРйгііА 4.5.2. Для коэрцитивности опер^ітора Р- С **—> С
Q
относительно полунормы <U/ достаточно, а при постоянных коэффициентах Adi оператора Р и необходимо, чтобы
оператор Р: tv ,п(/Лр) <3ьл коэрцитивным относительно полу-
нормы с и >пу , f ,
TEOPESAA 4.5.3. Пусть коэффициенты Аd оператора Р постоянны. Тогда свойства коэрцитивности операторов Р : С т ■—* С , р: ’ Al/5, P:W"(LP) *U* относительно соот-
ВЄТСТ0УЮІЦИХ полунорм <V>„W , <Ч/> /И,/ ,
эквивалентны.
Б § 4.6 изучается неравенство иаудера для оператора Р '
. q m+6 £<f в главный результат:
ТЬОРіб.ій 4.6.1. йсли оператор Р: W (М обладает
свойством Е и существует такая область -А"2- с ^ , что для
оператора P-TL. '■ С т'* (-PL) * С* (Sh) справедливо неравенство Іііаудера, то для оператора Р • С' 6~* С 0 также выполнено неравенство иіаудера.
Аналогичное предложение по.чучастся при замене АЛ на L? . Рассмотрены примеры и равномерная инъективность оператора Р '■
£ £ *** * ^^
Перечислим теперь основные утверждения § 4.7, в котором об-
я
.3** -••• • V- W , .
ЗІ
суждается эллиптичность дифференциальных операторов Р .
ТЕОРЕМА 4.7.1. Если оператор Р: \Л/€А(Р)—Р обладает сзой-
Г)
стзом с , то оператор г разномерно эллиптичен.
ТЕОРЕМА 4.7.2. Пусть старше коэффициенте ('&! ~ Пі) оператора Р постоянны, а остальные коэффициенты А#с равномерно непрерывны по Гельдеру в равномерной топологии на всем пространстве . Тогда из оценки Іііаудера для оператора Р
г т* <Г . /' п
С —> С следует равномерная эллиптичность оператора!.
ТЕОРЕМА 4.7.3. Пусть пространство X конечномерно, оператор Р' і, Г равномерно инъективен, его коэффициенты
- почти периодические функции (при /сі/-•/??_), которые равномерно непрерывны по Гёльдеру. Тогда оператор Р:
С имеет ограниченный обратный.
ІЗ теореме 4.7.4 дано необходимое и достаточное условие обратимости оператора Р• С С* с постоянными коэффициен-
тами .
Кроме того, в параграфе имеются другие утверждения и примеры.
Равномерная инъективность оператора Р:СґП~** С относительно пар(С,,С)(]’0,в § 4.3 выводится из равномерной инъективносги операторов Р•' \Л/т(І_Р)—*И\ №?)—* АР
(теоремы 4.3Л - 4.3.3).
В последнем § 4.9 научаются так называемые Ф+ - операторы Р • ІV п>( Г) Г в .
ТйОР&Ж ч.9.I. Для того, чтобы оператор Р' К-* Р был Я + - оператором, необходимо, а при конечномерном X к
достаточно, чтобы существовали такие постоянные к >О и & >С , что
I'
1; //и //^. т " А\ ЦРиИ^Р К Ни «О *
Ь, 1 •
32
Теорема 4.9.2 дает необходимое и достаточное условие в ко-
Б теореме 4.У.4 получены достаточные условия, при которых
у-'-* - оператор.
Результаты диссертации докладывались на семинарах в Куйбышевском госуниверситете, Воронежском госуниверситете, Пермском политехническом институте, липецком техническом университете; на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, ІУ87), на ХУІ школе по теории операторов (Ульяновск. 1990), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1уу4), на школах в Воронеже: "Понтрягинскке чтения - ІУ, У (1993; 1994), "Современные проблемы механика и математической физики" (1994), ХХУІ зимняя математическая школа (1994).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43,
стно. Для того, чтобы оператор / • н- / и был л «- -оператором необходимо, чтобы оператор Р был равномерно эллиптическим.
оператор
есть
413, 121 - 142 ] .
зз
I
ГЛАВА I. РАВНОМЕРНАЯ ЛГЬЕКГИБНОСТЬ И ОБРАТИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЛИФФЕРЕНИИАЛЬНЫХ й ФУНК[^0[^ЛЬН0-даФЕРЕН!'№1ЛЫ-^Х ОПЕРАТОРОВ
§1.1. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами, •'' Г.- -операторы
I. Пусть X - банахово пространство. Основными функцио- : налышми пространствами, в которых будут рассматриваться линей- 1 ные дифференциальные и функционально-дифференциальные операторы, являются лебеговы пространства О* * Л (1ЛгХ), пространства Степанова Ч л - Л1 (/Л, X ), а такке С~С( (Л X) . Подробнее, если / £/Р , то и*(Ю.У) - это пространство всех сильно
измеримых (по Сохнеру) функций и [Л. XX. 1 для которых конеч-. на норма
I
Иц • '</> ~ (1 /Iи ({)ЦРМ)/Ру р
<
л<
Ни а -с - см 5 ир Ни. ({)!!, р =о-о .
Р] Р(!Л, X) - пространство сильно ‘измеримых функций и : /Л~> X с нормой
/г/ р , \/р >|
ИиИцр " ) Ни(3)1/ Об) < то, I .
СИЛ,Х) - нормированное пространство непрерывных ограниченных функций и. $?-* X , где
!'
к и иг - а и ({) и. с * е(Л
\