Асимптотики решений рекуррентных соотношений

2
Оглавление
Введение 5
0.1 Общая характеристика работы.................................... 5
0.2 Обзор содержания диссертации...................................16
1 Асимптотика типа Планшереля-Ротаха для линейных рекуррентных соотношений с рациональными коэффициентами 33
1.1 Введение.......................................................33
1.2 Описание метода и результаты...................................36
1.2.1 Постановка задачи и структура метода решения...........36
1.2.2 Построение решений с помощью Уп .........................39
1.2.3 Базис и общее решение ...................................41
1.2.4 Нахождение Уп в областях Е...............................43
1.2.5 Переходная зона Ес (случай р=2)..........................51
1.2.6 Примеры .................................................64
1.3 Обоснование результатов........................................71
1.3.1 Доказательство теоремы 1.2.1 и предложения 1.2.1 ... 71
1.3.2 Доказательство теоремы 1.2.2......................................................76
1.3.3 Доказательство теоремы 1.2.3 ................85
1.3.4 Доказательство Теоремы 1.2.4......................................................88
1.4 Примеры (получение асимптотик).................................91
3
1.4.1 Получение асимптотики многочленов Эрмита ...............91
1.4.2 Получение асимптотики многочленов Мейксиера............100
2 Разностные уравнения с базисами степенного роста, возмущённые спектральным параметром 114
2.1 Введение.....................................................114
2.1.1 Постановка задачи......................................114
2.1.2 Обозначения и соглашения...............................117
2.1.3 Рекуррентные соотношения с базисами степенного роста 119
2.1.4 Асимптотика спектральных возмущений ...................122
2.1.5 Примеры применения теоремы 2.1.2.......................128
2.2 Доказательство теоремы 2.1.1.................................131
2.3 Доказательство теоремы 2.1.2.................................142
2.4 Локальные асимптотики ортогональных и совместно ортого-напьных многочленов..............................................153
2.4.1 Асимптотика ортогональных многочленов в окрестности предельной точки масс меры и осцилляций веса.................153
2.4.2 Совместно ортогональные многочлены Якоби...............159
2.4.3 Совместно ортогональные многочлены Лагерра.............161
3 Рекуррентные соотношения для рациональных аппроксимаций постоянной Эйлера 165
3.1 Введение.....................................................165
3.2 Связь 7-форм с рекуррентными соотношениями для <ЗД1) • • • 166
3.2.1 Получение четырёхчленного рекуррентного соотношения для форм 168
3.2.2 Доказательство теоремы 3.1.1............................169
3.3 О некоторой процедуре нахождения асимптотических разложений для решений разностных уравнений..........................173
3.3.1 Доказательство теоремы 3.3.1............................176
3.3.2 Доказательство лемм ....................................182
3.4 Система рекуррентных соотношений для рациональных ап-проксимациий постоянной Эйлера................................185
3.4.1 Системы рекурсий для многочленов, задаваемых формулой Родрига..................................................187
3.4.2 Доказательство теорем 3.4.1 и 3.4.2 ....................192
3.5 Определитель целочисленной решётки, порождённой рациональными аппроксимациями постоянной Эйлера....................194
3.5.1 Минимальные векторы L и иррациональность 7..............197
3.5.2 Доказательство теоремы 3.5.1............................204
3.5.3 Оценки векторов решётки L и форм Fn.....................214
Литература 219
Г)
ВВЕДЕНИЕ
0.1. Общая характеристика работы
К рекуррентным соотношениям
/п 4* &1,п/п—1 "Ь * * * 4* &к,п/п—к ~ Л = А*, А/ “Ь 1,. . . , (^*1)
связывающим между собой элементы последовательности {/т?}^о? приводят многие задачи анализа и теории чисел. В частности, индукцией по п легко проверяется, что последовательности числителей {Рп}5£=і и знаменателей {<ь}~1 числовой непрерывной дроби
аг
О-о 4-
связаны между собой соотношениями
Рп — ЬпРп—1 4" СІпРп—2 і Яп — ЬпЯп—1 4“ 0>пЯп—2 > Я — 1} 2, . ..
и удовлетворяют начальным условиям = 1. ро = и q-\ = 0, qo — 1.
Рекуррентные соотношения являются одним из древнейших математических объектов. С ними связаны непрерывные дроби, алгоритм Эвклида, числа Фибоначи и другие математические артефакты. Рекурсии, возникаю-
щие при разложении некоторых классов аналитических функций в непрерывные дроби, впервые появились в работах Эйлера, а Гаусс разложил в непрерывную дробь отношение гипергеометрических функций. Исследования по теории непрерывных дробей и рекуррентных соотношений таких великих математиков, как Риман, Стилтьес, Чебышев, Эрмит, Якоби, Марков. Рамануджан. Пуанкаре, оказали далеко идущее влияние на дальнейшее развитие математики. Понятие рекуррентных соотношений не потеряло своей актуальности и в наше время.
Со второй половины 20-го века наблюдается новый рост интереса к рекуррентным соотношениям в связи с непрерывными дробям и конструкциями рациональных аппроксимаций аналитических функций. Эти конструкции впервые появились в конце 19-го века в работах Эрмита, а затем Адамара и Паде, и получили общее название аппроксимаций Паде. Аппроксимации Паде являются удобным вычислительным инструментом процесса обработки данных, определяющих аналитическую функцию. Другим современным приложением рекуррентных соотношений является теория разностных уравнений, особенно в случае, когда, разностное уравнение появляется как результат аппроксимации дифференциального уравнения при численном решении последнего.
Теория асимптотик решений рекуррентных соотношений, включающая в себя асимптотическую теорию ортогональных многочленов и их обобщений, тесно связана с вопросами сходимости непрерывных дробей, рациональных аппроксимаций; другая область применения — спектральные задачи разностных операторов, задача рассеяния. Среди многочис-
ленных работ, внесших за последнее время существенный вклад в развитие асимптотической теории рациональнах аппроксимаций, ортогональных многочленов и рекуррентных соотношений, отметим работы А.Аптекарева, В.Буслаева, В.Буярова, А.Гончара, В.Дзядыка, В.Калягина, Е.Никиши-на, В.Прохорова, Е.Рахманова, В.Сорокина, П.Суетина, С.Суетнна, И.Ша-рапудинова, Б.Беккермана, В. Ван Аше, М.Варги, Д.Геронимо, ПДейфта,
A.Куэларса, Г.Лопеса, Д.Любинского, А.Мартинеса, Дж.Наттола; Е.Саффа,
B.Тотика, Г.Шталя.
Нетрудно проверить, что всякая последовательность {/п}, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (0.1) с постоянными (не зависящими от п) коэффициентами од,..., од может быть записана в следующем явном виде
т
/п = ^ -*-••• + СзФз*1'"1) » П>п0-к (0.2)
3=1
где Аь..., Лт - корни характеристического многочлена 1ь{г) = хк 4- 4-
1- ОД кратностей /х,..., 1т соответственно, /14------\- 1т = к.
Из явного вида (0.2) последовательности {/пК£=о следует, что если корни характеристического многочлена Н(г) различны по модулю, то существует предел Нтп_хоо /п-ы//п, и этот предел равен одному из корней характеристического многочлена. Оказывается, что это утверждение имеет место не только для рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами, но и для рекуррентных соотношений с предельно постоянными коэффициентами, когда найти явный вид последовательности не представляется возможным. Соответствующее утверждение составляет содержание теоремы Пуанкаре -
8
одной из самых тонких в теории рекуррентных соотношений.
Теорема (Пуанкаре см. /110/). Пусть последовательность {/п}™=о удовлетворяет рекуррентному соотношению (0.1) с предельно постоянными коэффициентами, корни характеристического многочлена
1г(г) = Пт (гк + ах.^к~1 +----1- ак,п)
п—> оо 4 ' '
которого различны по модулю. Тогда либо /п = 0 при всех п > по, либо существует предел 1]шп_>0О фп+\//П} и этот предел равен одному из корней ха]шктеристического многочлена.
Весьма важное уточнение теоремы Пуанкаре было сделано Перроном для невырожденных рекуррентных соотношений. Напомним, что рекуррентное соотношение (0.1) называется невырожденным, если а*>п ф 0 при всехп = к, к + 1, Невырожденность соотношений (0.1) означает возможность однозначного определения значения /п при известных значениях /п+ь • • • ? /п+к-
Теорема (Перрон см. /108/, /109/). Пусть корни характеристического много-члена невырожденного рекуррентного соотношения (0.1) с предельно постоянными коэффициентами различны по модулю. Тогда для всякого корня, А характеристического мпогочгена найдется последовательность {/п}^о, удовлетворяющая рекуррентными соотношениями (0.1) такая, что
/п+1/1п ~
Существенное продвижение в представлении решений рекуррентных соотношений было получено в цикле работ Биркгофа-Трыжинского (см. /59/,
(0.3)
см. /60/, /61/) , в которых для любых полиномиальных по ”п” коэффициентов {ai>n}*el разностного уравнения (0.1) доказывается существование асимптотических по ”п” рядов для формальных базисных решений.
Теорема (Биркгоф. Трыжинский, 1932). Любое линейное разностное yjxie-пение к-го порядка
к
di{z)q(z+i) = 0; (а0 ^0, акф 0) (0.4)
!=0
с полиномиалънъьии коэффициентами а,- имеет ровно к линейно независимых формальных решений следующего общего вида:
оо т р
q{z) = e^zr ^2 z * ^ z 5 = liZ 2
s=0 j=0 i—1
pe N, fipe Z, € Nu{0}
£а/ш плоскость комплексного переменного z разбить на области кривыми 9^(Qi(^)) = ^(Qjt'Z)), hJ = 15 ’/«о в каждой такой области, уходя-
щей в бесконечность, существуют п линейно независимых аналитических решений уравнения (0.4). имеющих найденную асимптотику.
Особый интерес представляет случай, когда коэффициенты рекуррентного соотношения зависят от параметра (обозначим его а;):
р-1
^n+i(^/) = ^ у aj{n, a?)Qn_j(a^) , (6*5)
i=0
Именно такие рекуррентные соотношения приводят к ортогональным много-
10
членам и их обобщениям. Асимптотику решений (я) для случаев стремления к бесконечности аргумента соотношения (номера п) и параметра х при различных соотношениях между их ростом называют асгииптотикалш типа Плапшер&ш-Ротаха. Впервые (см. /107/), они появились для асимптотического описания многочленов Эрмита. #п при п —> оо и
для фиксированных положительных £, со и комплексного і. Напомним, что многочлены Эрмита можно определить рекуррентными соотношениями
#„+1(2;) = 2хНп{х) - 2пЯп_і(т) , #о = 1, #-і=0 тгєП
Асимптотики многочленов Эрмита были получены Планшерелем и Ротахом методом перевала из интегральных представлений для Нп(х), и долгое время оставался открытым вопрос о получении подобных асимптотик для многочленов, не обладающих интегральными представлениями.
Последние две декады (в работах Любинского, Рахманова, Тотика и Дейфта с соавторами) было разработано несколько методик получения и доказательства асимптотических формул типа Планшереля--Ротаха для ортогональных на действительной оси многочленов, используя в качестве входных данных положительные веса ортогональности. В то же время, в работах Шталя, Гончара, Рахманова, Аптекарева, С.Суетина, Наттола, а так-
a) х = (2п + 1)5 г,
b) х = (*2п4-1)5 — 2"5 3“з п~і Ь
c) х = (2п + 1)2 0,
і ЄАГСС; -1+5<0<1-£.
11
же Дейфта с соавторами был достигнут определенный прогресс в получении асимптотик многочленов, определяемых неэрмитовыми соотношения-, ми ортогональности. Отметим, что именно неэрмитовы соотношения ортогональности сохраняют наличие рекуррентных.соотношения для ортогональных многочленов при рассмотрении комплексных весов ортогональности, сосредоточенных в комплексной плоскости.
• Однако, более или менее общие методики, позволяющие получать подобные асимптотики исходя из рекуррентных соотношений вида (0.5), ещё не так развиты. Первые глубокие результаты в этом направлении получены Геронимо с соавторами (м. /85/).Также отметим, отсутствие общих методов исследования сильных асимптотик для многочленов ортогональных относительно дискретных весов.
В связи с этим актуальной задачей является построение асимптотических разложений для базисных решений разностных уравнений (0.5) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях плоскости (п,а?). Согласование (''сшивка") решений в пересечении рассматриваемых областей позволяет получить глобальную асимптотическую картину решений уравнений (0.5) в комплексной плоскости параметра я, при выборе соответствующего масштаба, зависящего от п. Тем самым, искомый метод должен быть ориентирован на получение глобальных асимптотик решений (0.5), используя в качестве входных данных коэффициенты рекурсий, подобно тому, как метод иаискорейшего спуска для матричной задачи Римана-Гшгъберта (м. /74/, /75/) решает эту задачу для ортогональных многочленов, стартуя с весов ортогональности.
12
В некоторых ситуациях глобальное асимптотическое описание решения рекуррентных соотношений не обеспечивает точного описания решения в областях (тг, а;) при маленьких х. Например, речь может идти о локальной асимптотике многочленов Лагерра в окрестности точки х = 0. Сформулируем общую актуальную задачу о локальных асимптотиках такого сорта. Рассматриваются разностные уравнения со спектральным параметром х
к
е(п, х) = /(тг) х Оп+г + У%(п) Яп+І = 0, 0<г</с, п € М, Ъ. (0.6)
і—0
Коэффициенты таковы, что при х = 0 уравнение (0.6) имеет ре-
шение степенного роста (с некоторыми полиномами pj ^ 0)
2(77,0) = 0 => 3 Цп(0)~ УУЧ(1пп), $ Є С, п со. (0.7)
д
Задача заключается в получение асимптотик решения (0.6). (0.7), равномерных в и масштабированных1' окрестностях т. х = 0 спектрального параметра
Яп(х) ~ ® Є СС, п —> оо.
Мотивацию этой задачи можно пояснить следующими качественными соображениями. Известно, что вне спектра решения разностных уравнений имеют экспоненциальный характер роста или убывания. На спектре можно говорить об осцилляциониом, ограниченном характере решений. Степенной рост вида (0.7) характерен для решений разностных уравнений (0.6) в концевых точек непрерывного спектра. Например, ортогональные многочлены, удовле-
13
творяющие трех-членному рекуррентному соотношению, имеют такой порядок роста в конце носителя веса ортогональности. Тоже справедливо и для совместно ортогональных многочленов, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям высокого порядка. Первые результаты в этом направлении были получены Аптекаревым (м. /4/).
Наконец, остановимся на приложениях асимптотической теории рекуррентных соотношений. Диофантовы приближения математических констант - одно из наиболее важных приложений теории рекуррентных соотношений, непрерывных дробей и рациональных аппроксимаций аналитических функций. Многие из доказательств трансцендентности (иррациональности) знаменитых констант основываются на конструкциях аппроксимаций или интерполяций аналитических функций. Особый интерес вызывает задача о построении и изучении асимптотических свойств последовательностей рациональных приближений к постоянной Эйлера
Постоянная Эйлера 7 наиболее известная константа, связанная с эйлеровыми суммами (значениями дзета функции Римана в натуральных точках)
Арифметическая природа постоянной 7 и значений £(з) в нечетных точках до сих пор не поддается исследованию (значения £(бг) в четных точках бы-
14
ли получены еще Эйлером). Пока единственным конкретным результатом в этом направлении является доказательство Р. Апери в 1978 году иррациональности С(3).
Теорема (Апери /49/). Пусть числа ип и ип задаются следующим рекуррентным соотношением
(п 4- 1)Чг+х = (2п 4- 1)(17п2 4- 17714- 5)^ — п3и„_1 с начальными условиями
г>0 := 0, г>1 := 6, щ := 1, щ := 5.
Тогда € 2, Утг 6 N (здесь Д, обозначает наименьшее общее крат-
ное чисел {1,2,..., /?}/, и сщшведливы асимптотические формулы
Ы1/,!=(^2+1)4 + 0(1),
|ап - С(3) «п|1/п = (\/2 - I)4 + о(1).
Тем самым. рекуррентное соотношение теоремы Аиери не только определяет рациональные приближения С(3)
1Г с(3)’
ип
но и (в виду того, что Бп е, и е3(\/2 — I)4 « 0.591... < 1) доказывает иррациональность £(3). Надо также отметить, что построение с помощью
рекуррентных соотношений рациональных приближений к математическим константам имеет самостоятельный интерес и известно всего лишь несколько результатов (м. /33/, /112/, /40/) в этом направлении.
Целыо работы является:
О исследование решений рекуррентных (по п) соотношений с параметром х и коэффициентами от (п, х) общего вида (см. (0.5) ) в перекрывающихся, уходящих на бесконечность областях пространства (га, ж);
О нахождение глобальных асимптотических разложений конкретных систем многочленов, генерируемых рекуррентными соотношениями с рациональными по (га,т) коэффициентами (включая многочлены ортогональные относительно дискретного веса);
О нахождение локальных асимптотик решений степенного роста рекуррентных соотношений со спектральным параметром;
О исследование асимптотических и арифметических свойств рекуррентных соотношений, генерирующих рациональные аппроксимации постоянной Эйлера.
В основе проведенного в диссертации исследования лежат методы теории функции, комплексного анализа, специальных функций, обыкновенных дифференциальных уравнений и элементы теории динамических систем.
Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Основные полученные результаты таковы:
1) предложен и обоснован метод получения глобально согласованных разложений базисных решений рекуррентных соотношений с рациональными
16
от номера и полиномиальными от параметра коэффициентами;
2) получены и доказаны формулы сильной асмптотики (типа Планше-реля - Ротаха) для многочленов Мейкснера.
3) описан класс рекуррентных соотношений, базисные решения которых имеют степенной рост; для решений этих рекуррентных соотношений доказаны асимптотики, равномерные по спектральному параметру, взятому в соответствующих масштабах;
4) найдена асимптотика базиса решений рекуррентных соотношений генерирующих рациональные аппроксимации постоянной Эйлера; доказана це-лочисленность числителей п знаменателей этих аппроксимаций.
Диссертация изложена на 236 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, приложения и списка литературы, содержащего 133 наименований.
0.2. Обзор содержания диссертации
Во введении рассказывается об истории вопроса, приводится обзор классических и современных результатов по теме диссертации, дается краткое изложение работы.
В первой главе рассматриваются линейные рекуррентные соотношения (0.5), которые удобно переформулировать в векторном виде
/?„+! = Ап(х)Рп , пеП,
(0.8)
17
где Ап(х) — матрица р х р, элементы которой есть полиномы по х с рациональными по п коэффициентами.
Здесь решается задача, построения (в виде асимптотических рядов) базисных решений уравнения (0.8) в областях плоскости (га, х) и их согласование в переходных зонах.
Построение базиса решений будет состоять из решения двух задач.
1. Задача нахождения диагонализующего преобразования Vn. С помощью перехода к другому базису, зависящему от га, можно перейти к задаче, подобной исходной:
Fn = VnUn => Un+l = (V~^AnVn)Un.
Наша цель — подобрать подходящие матрицы Vn (зависящие от ж), для которых новая матрица перехода V~2\AnVn близка к диагональной:
(V~+\AnVn) -> Dn := Diag^AK].
Здесь Diag[5] обозначает диагональную часть матрицы В. Подходящие матрицы Vn, кроме условия близости новой матрицы перехода У~ц\АпУп к диагональной, должны обладать следующими свойствами: ||УП||, 1/| det(K)| = 0(гаа), а € R. Степенной рост позволит оперировать с разложениями Vn и V'1 по степеням п.
2. Задача построения базиса решений (0.8), при условии, что подходящее Vn существуют и найдены.
18
Обе задачи решаются с помощью некоторых итерационных процедур над степенными разложениями. При этом процедура решения задачи 2 имеет универсальный характер (ее обоснование составляет содержание Теоремы 1.2.1 главы 1), а решение задачи 1 существенно зависит от динамики изменения собственных значений А* матрицы А как функций от п, х.
Будем называть областями хорошей диагонализуемости связные компоненты в пространстве (п, х), в которых выполнено условие
Е := { (гг,ж) : шах у^ < С, (0.9)
|Лг —Л;|
для некоторого фиксированного С> 1. Связные компоненты, в которых неравенство (0.9) нарушается, будем называть переходными зонами Ес.
В свою очередь, решение задачи 1 в области хорошей диагон ал изуемо-сти Е имеет также универсальный характер, что сформулировано и доказано в достаточно общих Теоремах 1.2.2 и 1.2.3 для этого случая.
Таким образом, в зонах хорошей диагонализуемости (0.9) теоремы 1 и 2 дают для базисных решений рекуррентных соотношений (0.5) разложения в ряды
со
П* (*,п) = ‘Фт (х,п), j = (0.10)
т=-0
с описанием процедуры нахождения членов ряда (0.10), причем из теоремы 3 следует насколько частные суммы ряда (0.10) близки к соответствующему базисному решению (в зависимости от выбора области в пространстве (п, т)).
В то же время построение диагонализующего преобразования в переходных зонах Ес носит специальный характер. Здесь разностная задача по
19
переменной и трансформируется (см. Теорему 1.2.4) в дифференциальную задачу по новой переменной z := z(n1x), связанной с масштабом переходной зоны. Дальнейший анализ зависит от типа получаемой дифференциальной задачи. В главе 1 мы рассматриваем более детально лишь случаи, когда р = 2 и дифференциальная задача сводится к уравнению Айрн. В этом случае, рекуррентное соотношение (0.5) в переходных зонах имеет два базисных решения вида
<2(г,.т)А1(/г(.г,ж)) и <7(2:, х)В[(1г^,х)), (0.11)
где А1 и В1 - функции Айри, а процедура Теоремы 1.2.4 и свойства уравнения Айри позволяют найти явный вид членов рядов
со оо
в[г,х) = 7$ (*>«)» Н{г,х) = ^, (0.12)
т=0 т—0
которые мажорируются асимптотическими рядами (в зависимости от выбора области в пространстве (п,х)).
Наконец, основная задача требует согласования решений, построенных в различных областях пространства (п,х). Это оказывается возможным благодаря тому, что формальные ряды (0.10), представляющие базисные решения в Е, имеют смысл и в более широкой области: если в (0.9) заменить С на |.т|а для некоторого а > 0. Тем самым, в подобластях переходных зон Ес, граничащих с Е, справедливы оба представления базисных решений, поэтому существует функция, не зависящая от гг, но зависящие от х (ввиду одиород-
20
ности (0.8))
оо
(0.13)
т=0
умножение на которую одного из решений нс только выравнивает рост обоих решений, но и обеспечивает равенство последующих членов их асимптотических рядов. Успешное нахождение такой функции (в примерах применения рассматриваемого метода) является дополнительным контролем правильности найденных разложений решений (0.8) в различных областях (п, гг).
Затем в первой главе, описанный выше метод применяется к рекуррентным соотношениям некоторых классических ортогональных многочленов. Рассмотрены многочлены Эрмита (Теорема 1.2.5) и Мейкснера. Асимптотика многочленов Мейкснера является одним из основных результатов диссертации.
Многочлены Мейкснера {(?п(£)} ортогональны относительно дискретной меры
с параметрами а и /3, удовлетворяющими в > 0; 0 < сг < 1. Переобозначим параметры и сделаем замену переменной
а
(0.14)
В новых обозначениях имеем следующие рекуррентные соотношения для
21
многочленов Мейкснера.
(<3»+Л (ж-(с+1)п -еп(п+Ь)\ { <5„ \ ( Оо\ (Л ,п .
(<, ] Ч . о ] ■ у - у • (о15>
В диссертации, применением описанного выше общего метода, найдены асимптотики многочленов Мейкснера. Конкретно:
1) Получены в явном виде несколько членов асимптотического разложения (0.10) базисных решений П^аул) и П2(я,п) в области 5 - (0.9).
2) Система (0.15) имеет две переходных зоны. В них найдены (в явном виде) несколько членов асимптотических разложений С?1(^, т),Л\(г,х) и (*2(2, ж), х) (см. (0.12)) для базисных решений (0.11).
3) Затем, найдено разложение функции Ко(х) - нормировочного множителя решения П1 (я, п), обеспечивающего его полиномиальный рост, с соответствующими старшими коэффициентами.
4) Наконец, найдены (в явном виде) несколько членов асимптотических разложений К\(х) и К^(х) для функций (см. (0.13)), сшивающих решения в переходных зонах.
В результате, в этих терминах для многочленов Мейкснера получаются следующие асимптотические разложения.
Теорема 1.2.6 Для многочленов Мейкснера (определяемых (0.15)), справедливы следующие асимптотические разложения при фиксированном е>0 и 0^ 1т(т) < \х\^ :