Содержание
Введение...............................................................3
ГЛАВА 1. Использование краевых задач для нахождения акцессорных
параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца.............................21
§ 1Л. О сходимости последовательностей и семейств аналитических
функций...............................................................21
§ 1.2. Вывод дифференциальных уравнений для определения акцессорных
параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца...........................28
§1.3. Примеры.........................................................41
ГЛАВА 2. Приближенный метод решения внутренней смешанной обратной
краевой задачи по параметру л*........................................52
§ 2.1. Вывод дифференциальных уравнений для внутренней смешанной
обратной краевой задачи по параметру х................................52
§ 2.2. Пример.........................................................62
ГЛАВА 3. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой
задачи по параметру х.................................................68
§ 3.1. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на полигональной римановой поверхности с простой точкой
ветвления на бесконечности............................................68
§ 3.2. Уравнение Гахова для внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х на римановой поверхности с точкой ветвления на
бесконечности произвольного порядка...................................80
Список литературы.....................................................90
*
Введение
Диссертация посвящена исследованию смешанных обратных краевых задач для аналитических функций по параметру х.
Под обратными краевыми задачами понимаются задачи отыскания контура но некоторым величинам, заданным на нем. Обычная постановка таких задач заключается в том, что в искомой области ищется функция, принадлежащая заданному классу (аналитическая или являющаяся решением какого-либо заданного уравнения), причем на контуре независимых условий задается на единицу больше, чем их требуется для решения обычной (при заданной области) для данного класса функций краевой задачи. Обратные краевые задачи - научное направление, получившее широкое применение в задачах механики, сплошных сред и физики. К настоящему времени оно довольно хорошо разработано, особенно для аналитических функций и находит приложение в таких областях, как аэродинамика, гидродинамика, теория фильтрации, теория взрыва, электрохимическая размерная обработка металлов.
Развитие теории обратных краевых задач началось с работы Г. Г. Тума-шева [89], где дано точное и эффективное решение некоторых задач гидромеханики. М. Т. Нужин [70] дал общую постановку обратной краевой задачи и сформулировал ее впервые как математическую задачу для аналитических функций. С тех пор теория обратных краевых задач стала активно развиваться. Исследования теоретического и прикладного характера проводились в тесном взаимодействии. Некоторые из них описаны в монографиях [91], [90], [71], [79], обзорных статьях [1], [5] и др. Обратным краевым задачам посвящено большое количество работ казанских математиков и механиков.
Интересным классом являются внешние обратные краевые задачи, когда искомая область содержит бесконечно удаленную точку. Одной из основных обратных краевых задач для аналитических функций является внешняя обратная краевая задача по параметру 5 в постановке Ф. Д. Гахова [14]. Ф. Д. Гахов нашел уравнение для определения полюса искомой функции и доказал его разрешимость. Это уравнение стало называться его име-
3
нем. В дальнейшем оно исследовалось многими авторами. (Ж.А. Аксентьев; М.. И. Киндер, А. В. Киселев;,С. №.. Кудряшов,. О. Р. Насыров;.В. С. Ро-гожин, С; Б. Сагитова,. №.. Л. Шабалин и др.), которые изучали вопросы единственности решения этого уравнения, структуру множества, его корней и пр. В [75], [76] построены примеры функций, для которых уравнение* Гахова имеет несколько решений.. Работы [40], [41], [42] посвящены вопросу условий единственности внешней обратной краевой задачи. В [98] было, получено интегральное представление решения внешней обратной краевой задачи, и на его основе выведен аналог уравнения Гахова. В [3] выделены классы мероморфных функций, обеспечивающие единственность решения внешней обратной краевой задачи. При построении этих классов использован метод подчинения для функционалов. Дано сравнение с теоремами единственности в.обратных задачах теории логарифмического потенциала.. В [Г)]‘ построен пример, показывающий, что множество корней уравнения Гахова в двусвязной области может содержать континуум. В работе [37]; показано, что уравнение Гахова во внешней обратной краевой задачи по параметру я имеет конечное число решений. В [7] доказано, что точка сео тогда и только тогда удовлетворяет уравнению Гахова, когда она является стационарной точкой некоторой поверхности в Я3. На основании этого в работе [36] не только доказана разрешимость уравнения Гахова при наиболее слабых требованиях на начальные данные, но и установлено, что число его корней не меньше; чем порядок связности области
Обобщением обратных краевых задач [91], [14] являются смешанные обратные краевые задачи, которые являются важным классом краевых задач с неизвестной (свободной) границей. Как правило, в этих задачах ищутся область с частично неизвестной границей и аналитическая в этой области функция по заданным краевым условиям. На неизвестной части краевые значения неизвестной функции задаются через некоторый параметр, в качестве которого выбирается дуговая абсцисса 5, декартова координата х, полярный радиус или полярный угол.
Опишем некоторые работы, в которых исследовались смешанные обратные краевые задачи.. •
В своей работе [105] Б. Демченко решал смешанную краевую задачу для
гармонической функции, задавая граничные значения в зависимости от полярного угла единичного круга плоскости при конформном отображении его на искомую область. Смешанная обратная задача с граничными условиями в форме Демченко исследована в работе [23].
В [89)'рассматривается смешанная задача определения формы профиля по заданному распределению скорости. Профиль обтекается плоскопараллельным потоком жидкости в бесконечном канале с параллельными стенками.
М. И. Хайкин [94], [95] рассмотрел смешанную обратную краевую задачу в случае, когда задается область /Л*»> причем на неизвестном участке Ь2 заданной длины имеется граничное условие \dioldzl = /(«), в € [0,1] а известная дуга Ь\ задается одним из следующих способов: а) Ь\ задана полностью, концы ее фиксированы; Ь) Ь\ задана с точностью до подобия относительно некоторой точки хорды, соединяющей ее концы; с) Ь\ лежит на заданной кривой, уходящей в бесконечность, конец ее не фиксирован. Частными случаями описанной задачи являются задачи обтекания безграничным потоком невесомой жидкости профиля, часть границы которого задается, и фильтрационные задачи построения подземного контура, когда часть сIX) известна. М. И. Хайкин [94] получил теорему существовании решения внутренней смешанной обратной краевой задачи и применил эти результаты при исследовании разрешимости задач симметричного обтекания гладких препятствий в случае, когда на струях задается скорость в зависимости от дуговой абсциссы, а колебание функции на симметричной-половине препятствия меньше 7г. При том же ограничении колебания на известном участке границы Н. Б. Салимов [77], [78] доказал разрешимость ряда смешанных обратных краевых задач теории фильтрации.
Обратные и смешанные обратные краевые задачи могут быть поставлены для систем эллиптических уравнений. Для широкого класса задач такого тина, имеющих приложения в механике жидкости, В. Н. Монаховым [47] методами функционального анализа доказаны теоремы существования и единственности в предположении, что скорость нигде в нуль не обращается. Ряд результатов, относящихся к обратным и смешанным обратным задачам, содержится в книге [48].
В работе [72] получены.решения смешанных обратных краевых задач для некоторых частных случаев, относящихся к гидроаэромеханике и теории фильтрации.
В. Н. Монахов [49] поставил смешанную обратную краевую задачу по параметру б с полигональным известным участком границы и сформулировал теорему существования и единственности при единственном ограничении на полигон - стороны его не пересекаются, углы при вершинах отличны от 0 и 2тг, тем самым расширяя класс кривых, которому принадлежит задаваемый участок границы. Этот результат применяется в задачах струйного обтекания криволинейных препятствий: заданное препятствие заменяется вписанным в него полигоном; так видоизмененная задача сводится к упомян}'той выше смешанной краевой задаче, откуда делаются выводы о разрешимости исходной задачи (решение ее получается как предел решений в случае полигонов при неограниченном увеличении числа их сторон). Использовав полученные для этого случая результаты при помощи аппроксимации,
В. Н. Монахов исследовал разрешимость обратной смешанной краевой задачи с заданным произвольным спрямляемым участком границы.
А. М. Елизаровым [24] рассматриваются внешние смешанные обратные краевые задачи нахождения односвязной области, содержащей бесконечно удаленную точку, и регулярной или мероморфной функции, В работе [25] получен ряд теорем существования и единственности решений смешанных обратных краевых задач с использованием методов функционального анализа. В статье [26] рассматривается смешанная обратная краевая задача нахождения формы неизвестного замкнутого профиля, расположенного над криволинейным дном и обтекаемого установившимся потоком несжимаемой невесомой жидкости. В статье [28] рассматриваются внутренние смешанные обратные краевые задачи, в граничных условиях которых фигурируют только действительная и мнимая части искомой регулярной функции, причем часть условий задается в форме Демченко. В [30] рассматриваются внутренняя и внешняя смешанные обратные краевые задачи с граничными условиями из [94], когда в качестве параметра вместо дуговой абсциссы 6 используется г = \г\. В работе [31] рассматриваются внутренние и внешние смешанные обратные краевые задачи теории аналитических функций для
б
двусвязной области
Дадим постановку смешанной обратной краевой задачи по параметру х, которая является основным объектом исследования нашей диссертации.
Пусть — жорданова область на плоскости, ограниченная кривой Ь которая состоит из двух дуг Ь\ и ТА, причем Ь\ известна, а является искомой. Обозначим через 2* = х* 4- гу* и 2** = х** -Ь точки стыка дуг ТА, и ТА. Смешанная обратная краевая задача по параметру я состоит в определении области Иг и аналитической в ней функции ги = 10(2), которая конформно отображает 0~_ на жорданову область Д*, по следующим краевым условиям (рис. X).
1) Граница йи) состоит из двух ляпуновских дуг, пересекающихся иод ненулевыми углами, причем при отображении -ш = и){г) дуге Ь\ соответствует дуга Ь)0, а Ь\ — дуга Ь2и,.
2) Дуга Ь\ является графиком непрерывной функции у = д(х), х" < х < х**, при этом точкам вида х+{д(х) € £? соответствуют точки *р{х)+1ф(х) 6 Ь2Ю, х* < х < х*\ где <р(х) и 'ф(х) — непрерывно дифференцируемые функции.
Впервые смешанную обратную краевую задачу по параметру х поставил и исследовал В. Н. Монахов 149]. Основная его идея заключалась в замене кривой Ь\ близкой ломаной с вершинами в точках 21, 22,..., гп (21 = 2я*, 2п = 2*). В. Н. Монахов установил, что разрешимость задачи в случае, когда известная часть границы является ломаной, существенно зависит от
величины углов о?17г, ап7г, которые образует эта ломаная с лучами, исходящими вниз из ее концов. В,[49] детально исследован случай, когда величины этих углов меньше тт.
С. Р. Насыровым [55], [56] было замечено, что с использованием результатов В. Н. Монахова [49] можно доказать разрешимость задачи на полигональных римановых поверхностях, а также для.достаточно произвольных границ. В отличие от однолистного случая, где ищется область с частично неизвестной границей, при формулировке задачи был предложен принципиально новый подход: искать кривую на известной римановой поверхности /7, разбивающую Я на две части, одна из которых является искомой рима-* новой поверхностью. Кроме того, в [55], [56] были исправлены некоторые неточности в исследовании задачи В. Н. Монаховым, отмеченные в [4].
Исследование смешанной обратной краевой задачи по параметру х можно встретить в работах Р. Б. Салимова и Е. В. Стрежневой [81], [80], [82],
С. Р. Тлюстен [84], [85], [86], [87] и др.
В [58] была дана постановка задачи для расположенных над С полигональных римановых поверхностей с простыми точками ветвления, получено интегральное представление решения, зависящее от нескольких акцессорных параметров, доказана локальная едннствеиность решения в зависимости от этих параметров.
Актуальной является задача разработки приближенных методов решения смешанных обратных краевых задач. Одной из целей нашего исследования является разработка приближенного метода решения внешней смешанной обратной краевой задачи по параметру х методом движущегося разреза. Метод движущегося разреза применялся ранее П. П. Куфаревым [88] при нахождении акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля -Шварца.
Проблема определения констант (акцессорных параметров) <1, £2> •••, К в интеграле Кристоффеля - Шварца была поставлена работах Э. Кристоффеля [102] и Г. Шварца [109]. Существуют различные методы определения этих констант. Наиболее просто вопрос решается в тех случаях, когда формулу Кристоффеля - Шварца можно проинтегрировать в явном виде. Ряд примеров подобных решений приведен М. А. Лаврентьевым [44], [46].
8
- Київ+380960830922