Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса

Оглавление
Введение 4
1 Основные понятия, обозначения и факты об интерполяции и ортогонализации систем целочисленных сдвигов 15
1.1 11реобразование Фурье, формула Пуассона и тета-функция Якоби...................................................... 15
1.2 Интерполяция и дискретное преобразование Фурье .... 21
1.3 Фундаментальные сплайны и ортогонализация с сохранением структуры сдвигов..................................... 32
2 Константы Рисса и интерполяция 39
2.1 Константы Рисса для системы сдвигов функции Гаусса . . 39
2.2 Константы Рисса для системы сдвигов функции Лагранжа 41
2.3 О коэффициентах рядов, представляющих функцию Лагранжа, в зависимости от параметра а........................... 52
2.4 О приближенном нахождении коэффициентов рядов, представляющих функцию Лагранжа, при помощи дискретного преобразования Фурье....................................... 56
3 Ортогонализация 63
3.1 Ортонормализация для системы сдвигов функции Гаусса . 63
3.2 Поточечная асимптотика образа Фурье функции Лагранжа ио параметру о.......................................... 65
2
3.3 Асимптотика поведения функции Лагранжа в среднеквадратичной норме.......................................... 09
Заключение 74
Литература 75
3
Введение
Актуальность темы диссертации. В последнее время широко используются методы обработки данных, основанные на всплеск-преобразованиях. Термин ’’всплеск” появился з 1980-х, хотя первый всплеск был сконструирован А. Хааром еще в 1909 году (63]. Всплески позволяют анализировать функции, частотные характеристики которых изменяются во времени. Всплеск-анализ может быть охарактеризован как альтернатива классическому анализу Фурье [11]. Теория всплесков, так же как и анализ Фурье, имеет две важные части: непрерывное всплесковое преобразование и всплесковые ряды. Всплеск-ряды активно используются при сжатии данных, в том числе видео- и аудиоинформации, применяются в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе данных (22|.
Всплеск-системы получаются посредством кратных сжатий и равномерных сдвигов одной фиксированной функции. Системы равномерных сдвигов функций широко используются помимо теории всплесков в таких классических областях математики, как теория функций вещественного и комплексного переменного, теория ортогональных рядов; при изучении преобразования Фурье и других интегральных преобразований, в функциональном анализе. В качестве примеров можно указать базисные сплайны (|1/1|, (55]), дискретные ортогональные и биортогоиальные всплески ([22], (30]).
В последние годы большое распространение в прикладных задачах
4
получили системы целочисленных сдвигов функции Гаусса
(р(х) = ехр
2а2
которые будем обозначать следующим образом
4>k(x) = ехр
(х — к)2
, к eZ.
2(т2
В квантовой оптике ([24], [36], [61]) используются когерентные состояния, представляющие собой функции вида
с фиксированным параметром а.
В квантовой вычислительной химии ([62], [64]) произведения сдвигов функции Гаусса на многочлены невысоких степеней лежат в основе расчетов сложных молекул . Особенно популярной эта тематика стала после появления пакета прикладных программ "Gaussian”. Его основные авторы У. Кои и Д. Попл отмечены Нобелевской премией по химии за 1998 год.
В цикле работ В.Г. Мазьи, Г. Шмидта и других авторов ([65] - [68]) показано, что системы сдвигов функции Гаусса могут быть применены для аппроксимации различных потенциалов, а также для решения линейных и нелинейных граничных задач математической физики. Предельное поведение таких систем при стремлении параметра а к бесконечности описано в работах ([70], [72]). Различные аспекты интерполяции с помощью системы сдвигов функции Гаусса изучаются в работах ([57], [59]).
Семейства функций, используемые во всех перечисленных выше задачах, оказываются неортогональными. Актуальными являются следующие задачи: оценка устойчивости разложения но этим функциям; изучение констант Рисса для систем сдвигов функции Гаусса и отвечающей ей функции Лагранжа; ортогонализация с сохранением структуры сдвигов;
5
предельное поведение функции, являющейся результатом ортогонализа-ции целочисленных сдвигов функции Гаусса.
Цель работы. Изучение неортогональных систем целочисленных сдвигов функции Гаусса. Основные задачи работы состояли: в получении явных выражений для констант Рисса, в исследовании зависимости этих констант от параметра сг, в реализации процедуры ортогонализацип для системы сдвигов функции Гаусса, в вычислении коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.
Методика исследований. В работе используются методы теории функций, линейного функционального анализа, теории всплесков и теории специальных функций.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.
1. Получены явные выражения для констант Рисса в случае систем целочисленных сдвигов функции Гаусса и полученной при интерполяции функции Лагранжа.
2. Показано, что при стремлении значения параметра а к бесконечности отношение верхней и нижней констант Рисса для случая функции Лагранжа не стремится к единице, хотя система сдвигов переходит в пределе к ортонормированной системе.
3. Предложен способ приближенного вычисления коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.
4. Для функции Гаусса реализован процесс ортогонализацип с сохранением структуры сдвигов. Показано, что при стремлении значения параметра а к бесконечности полученная при ортогонализацип функция стремится в среднеквадратичной норме к функции отсчетов
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации теоретически обосновывают
б