Устойчивость некоторых классов операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве

Содержание
Введение 3
0 Предварительные сведения 18
0.1 Спектральная теория операторов.............................. 18
0.2 Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве ....................................................... 26
1 Устойчивость нестационарных систем 33
1.1 Постановка задачи........................................... 33
1.2 Существование и единственность обобщенного решения .... 35
1.3 Свойства обобщенного решения уравнения (1.2.6).............. 48
1.4 Исследование сильной устойчивости уравнения (1-1.4)......... 56
1.5 Достаточные условия сильной устойчивости краевой задачи
(1.1.1) - (1.1.3)............................................ 62
2 Устойчивость несамосопряженных систем 68
2.1 Постановка задачи........................................... 68
2.2 Существование и свойства решения задачи (2.1.6), (2.1.5) ... 70
2.3 Исследование дифференциального уравнения (2.1.1)............ 82
Литература 88
2
Введение
Настоящая работа посвящена вопросам устойчивости дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Неформально под устойчивостью подразумевается ограниченность всех решений уравнения на прямой (или на полупрямой) в различных пространствах. Впервые систематически изучать устойчивость (обыкновенных) дифференциальных уравнений и механических систем начал, по-видимому, А. М. Ляпунов. Ему принадлежит один из самых общих методов исследования - метод функций Ляпунова, широко применяемый также для изучения устойчивости дифференциальных уравнений в частных производных и, более общо, дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Однако для некоторых важных для приложений уравнений (в частности, для линейных гамильтоновых систем) этот метод неприменим. В работах М. Г. Крейна [22] и И. М. Гельфанда, В. Б. Лидско-го [б] для (конечномерных) линейных гамильтоновых систем был предложен новый метод исследования сильной устойчивости, основанный на использовании результатов теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой [3] (под сильной устойчивостью подразумевается устойчивость всех "близких” в смысле некоторой метрики гамильтоновых систем). Далее этот метод был расширен на линейные гамильтоновы системы в бесконечномерных пространствах с ограниченными операторными коэффициентами (см., например, [36]) и с неограниченными операторными коэффициентами (при некоторых достаточно ограничительных условиях, см. [10, 11, 12|). Устойчивости линейных операторно-дифференциальных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах посвящено много работ (см., например, [9] и приведенные там ссылки). Переход от ограниченных операторных коэффициентов к неограниченным значительно усложняет ситуацию. В первую очередь это связано с разрешимостью соответствующей задачи Коши. В случае ограниченных операторов корректная (в смысле Адамара) разрешимость устанавливается при некоторых необременительных ограничениях несложно - достаточно свести задачу к интегральному уравнению и использовать метод последовательных приближений. Разрешимость задачи Коши для неограниченных операторных коэффициентов изучалась многими математиками (см. [23] и ссылки, приведенные там). Наиболее полно изучен слу-
3
ВВЕДЕНИЕ
4
чай дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: после сведения к системе первого порядка \у'(£) = А\у(£) для корректной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы плотно определенный оператор А являлся генератором Со-полугруппы (теорема Э. Хилле и Р. С. Филлипса, см. Главу 0 и [37)). В случае переменных операторных коэффициентов дело обстоит сложнее. Один из наиболее общих результатов в этой области принадлежит Т. Като (см. |42) и теорему 0.2.2 из Главы 0).
Разрешимость и свойства решений дифференциальных уравнений с постоянным и коэффициентами
Здесь £ - время, и(Ь) и /(£) - вектор-функции со значениями в банаховом пространстве, Ак - линейные (вообще говоря, неограниченные) операторы. Если решать однородное уравнение методом Фурье (методом разделения переменных), т.е. в виде и(Ь) = ехр {г&)ф, где ( 6 Си ф - постоянный вектор, то приходим к задаче на собственные значения Ь((^)ф = 0. С оценками резольвенты оператор-функции Ь(\) связан метод решения, основанный на применении преобразования Лапласа. Для исследования устойчивости важно знать локализацию и структуру спектра а(Ь) (определение спектра оператор-функции см. в §0.1). Это следует из следующего соотношения
Таким образом, если существует собственное значение С € С_ из открытой нижней полуплоскости, то уравнение неустойчиво на полупрямой (существует растущее при t —> +оо решение exp(i£t)<p). Аналогично, если существует собственное значение С € С\Ж, то решение ехр(г(^Е)ф не ограниченно на всей прямой R. Построение спектральной теории полиномиальных операторных пучков началось с работы М. В. Келдыша [20] (см. также [19]) и за последние десятилетия она превратилась в самостоятельный раздел теории линейных операторов (см., например, монографии |7] и |28], статьи [21, 40,44] и др.). Отметим также, что в конечномерном случае исследование спектра сводится к изучению расположения корней многочлена, являющегося характеристическим определителем, и задача о локализации спектра пучка полностью решается теоремой Рауса-Гурвица (см. монографию [38]).
тесно связаны со спектральными свойствами оператор-функции
п
L(А) = £ АМ*.
eKt4>\\ = е- Im<‘ М.
ВВЕДЕНИЕ
Однако, несмотря на полученные к настоящему времени достаточно общие результаты, потребности механики и математической физики порождают новые классы операторно-дифференциальных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах, для которых имеющиеся результаты и схемы исследования не всегда применимы. В данной работе рассматриваются два таких уравнения. Они возникают, например, в задаче о малых поперечных колебаниях упругого стержня без внешнего и внутреннего трения и несущего поток идеальной жидкости [43] (этому посвящена Глава 1) и в задаче о малых поперечных колебаниях тонкой пластины в потоке газа [14, 15] (этому посвящена Глава 2).
Обзор литературы. Уравнение малых поперечных колебаний трубопровода в самой общей постановке впервые были выведены М.П.Пайдуссисом и
Н.Т.Иссидом в |43|. Задача об устойчивости колебаний в случае постоянной скорости жидкости рассматривалась затем во многих работах, причем как численными (см. [13, 43] и приведенные там ссылки), так и абстрактными методами функционального анализа (см. [13, 39, 8] и др.). Нестационарное уравнение исследовалось в работах [5, 39]. В частности, методом функций Ляпунова было установлено, что в случае шарнирных краевых условий при наличии внешнего или внутреннего трения в случае когда скорость имеет вид у(Ь) = г?о + £соз(агё) уравнение сильно устойчиво тогда и только тогда, когда ио < л. В отстутствие трения метод функций Ляпунова неприменим, т.к. спектр невозмущенной задачи чисто мнимый, а сама задача сводится к линейной гамильтоновой системе. Интересно, что наличие трения упрощает задачу. В работе [44] исследовалось более общее дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в гильбертовом пространстве и связанная с ним спектральная задача для квадратичного пучка. В частности, была установлена формула для индекса неустойчивости1. Спектральные свойства квадратичного пучка, соответствующего задаче о колебаниях (конечного и полубесконечного) стержня с трением, изучались также в работе [8], где была установлена базисностъ Расса собственных и присоединенных векторов, указана локализация спектра и доказана корректная разрешимость задачи Коши.
Линейное уравнение малых колебаний тонкой пластины в общей постановке было выведено в работе [14] (см. также [15]). Задача об устойчивости колебаний исследовалась затем (в основном численными методами) в работах [1, 2, 15, 16] в случае когда пластина есть прямоугольник, полоса или плоскость. Были найдены оценки критической скорости (при которой те-
1 Под индексом неустойчивости подразумевается размерность фактор-пространства всех решений по пространству ограниченных на полупрямой решений
ВВЕДЕНИЕ
6
ряется устойчивость механической системы) в случае когда вектор скорости параллелен одной из сторон или угол между ними достаточно мал. Частный случай изучался численными методами также в работах [32, 33, 34].
Апробация работы. Результаты настоящей работы рассказывались на следующих семинарах и конференциях:
— на семинаре ’'Несамосопряженные операторы" под руководством проф. А. Г. Костюченко и проф. А. А. Шпаликова (неоднократно)
— на семинаре "Операторные модели математической физики" под руководством проф. А. А. Шпаликова и доц. И. А. Шейпака
— на семинаре "Негармонический спектральный анализ" под руководством проф. А. М. Седледкого и проф. В. В. Власова
— на конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, МГУ, 2001 г.).
— на конференции "ААА62. Arbeitstagung Allgemeine Algebra" (Johannes Kepler Universität, Linz, Austria, 2001).
Основное результаты диссертации опубликованы в работах [45, 46], а также в [47, 48]. При этом некоторые доказательства подверглись переработке, что позволило получить более общие результаты, а также упростить выкладки.
Обзор результатов диссертации. Дадим краткий обзор результатов работы по главам.
Глава 0 носит вспомогательный характер. Она содержит необходимые для дальнейшего сведения из спектральной теории линейных операторов, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, а также результаты о разрешимости операторно-дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве.
В Главе 1 рассматривается операторно-дифференциальное уравнение второго порядка в гильбертовом пространстве, являющееся абстрактной моделью для многих задач механики. В §1.1 приводится одна из них: задача о малых поперечных колебаниях однородного упругого стержня без внешнего и внутреннего трения и несущего поток идеальной жидкости, и указывается ее сведение к абстрактному операторно-дифференциальному уравнению (1.1.4) в гильбертовом пространстве $) = ЬД0,1).
В §1.2 мы рассматриваем операторно-дифференциальное уравнение второго порядка несколько более общего вида, чем (1.1.4), а именно
(и' 4- Q{t)u)r 4- Q(t)u 4- Pqu 4- P(t)u = 0, t e [0. T\ (1)
ВВЕДЕНИЕ
7
при следующих предположениях:
А') Во - самосопряженный, положительно определенный оператор. Через 9)о обозначим шкалу гильбертовых пространств, построенную по оператору ; норму в ft# будем обозначать через || • Ц*. Таким образом,
в» = ъ (><?)•
В') P(t) - замкнутый, pj-ограниченный оператор при всех t € [0,Tj. Оператор P(t) может быть расширен до ограниченного оператора, из пространства 5эо в 5-і- Отображение t —» P(t) есть непрерывная функция со значениями в пространстве 23(Яь#о) и в ®(#0і#-і)-
і
С') Q(t) - замкнутый Р02-ограниченный оператор, *Q(i) - диссипативный оператор в пространстве при всех t Є (0,Т]. Оператор Q(t) может быть расширен до ограниченного оператора из пространствайо в -ft-i-Q(£) есть непрерывная функция ограниченной вариации на отрезке [0,Т] со значениями в <В(5щ.5э0) и в 93(#o»-6-i)j
где шкала пространств $)0 построена по оператору Pq (определение шкалы гильбертовых пространств см. в §0.1). При этом для исследования важен выбор пространства, в котором рассматривается уравнение. Если в качестве основного пространства выбрать 5э—і, то приходим к определению обобщенного решения (определение 1.2.2, стр. 36). Основным результатом о разрешимости задачи Коши для уравнения (1) является следующая
Теорема 1 (1.2.2). Пусть выполнены условия А') - С) и щ Є 9)щ € 9)о, s Є [0, 7’). Тогда существует единственное обобщенное решение u(t) уравнения (1) с условием
u(s) = и0, и\$) = щ (2)
и существуют действительные числа М, М > 0 и (3, /3, чт.о для всех 0 Є [0,1] при s < Т верпа оценка
|K(t) + Q(*M*)|lL + N*)lB<
М^М^-0)Р+е~т^){Ы\1г + ||„о||*) (3)
(решение непрерывно зависит от начальных данных).
При этом в пространстве 9)_\ х 9) существует оператор-функция U(t,$), 0 ^ 5 ^ t ^ Т удовлетворяющая следующим свойствам (см. доказательство теорем 1.2.1 и 1.2.2):