/
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.................................................... 4
Глава I. Наилучшее приближение аналитических функций
в весовом пространстве Бергмана.........................19
§1.1. Общие сведения и вспомогательные факты................19
1. Пространство Бергмана ВЧі1(0)............................19
§1.2. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических
функций в весовом пространстве Бергмана ВЧГ1............24
§1.3. О наилучшем приближении полиномами аналитических функций /(г) С Дг/г, структурные свойства которых определяются модулями непрерывности т-го порядка....................32
§1.4. О наилучшем полиномиальном приближении функций /(г) Є і?2і7, структурные свойства которых определяются обобщенными модулями непрерывности т-го порядка ...............36
§1.5. О некоторых обобщениях результатов о наилучшем полиномиальном приближении функций /(г) Є #2,7 структурные свойства которых определяются усредненными модулями
непрерывности Шт(/,і)вг., и Пт(/, *)....................40
§1.6. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве
Бергмана £2,7...........................................46
Глава II. Поперечники некоторых классов аналитических
функций в весовом пространстве Бергмана ВЯі7У 1 < д < оо 53 §2.1 Основные обозначения и определения. Классы функций.....53
1. Определение п поперечников ..............................53
2. Определение классов функций .............................56
§2.2. Верхние грани наилучших приближений классов Т{Ь) и
Ф) полиномами в пространстве В2)Т 58
§2.3. Точные значения п-поперечников некоторых классо)з функций 60 §2.4. Наилучшие линейные методы приближения и значения п-
поперсчников одного класса функций.....................71
Литература.................................................79
г
Введение
Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в круге функций и построению наилучших линейных методов приближения в весовых пространствах Бергмана. Хорошо известно, что в экстремальных задачах теории приближения функций важную роль играют точные неравенства, содержащие оценки величины наилучшего полиномиального приближения посредством усредненных значений модулей непрерывности высших порядков производных функций. Эти неравенства, с одной стороны, позволяют установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций, с другой стороны, для соответствующих классов функций дают оценку сверху поперечников.
Вычислению точных значений различных n-поперсчников классов функций, аналитических в круге, посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских n-поперечников в пространстве Харди, принадлежат В.М.Тихомирову [47] и Л.В.Тайкову [40]. В дальнейшем эта тематика нашла свое отражение в работах М.З.Двейрииа [16], Ю.А.Фаркова [50|, Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [1], С.Д.Фишера и М.И.Стесина [52], С.Д.Фишера и К.А.Миччели [51], А.Пинкуса [32], С.Б.Вакарчука [б], М.Ш.Шабозова [56-58], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [59], Г.А.Юсупова [77-79], М.Р.Лангаршоева [27] и многих других.
В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами в весовом пространстве Бергмана и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, гельфандовского, линейного и проекционного п-поперечин ков для различных компактных классов функций с ограниченными но норме пространстве производных и классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков в пространстве Д^, 1 < Q < °о, 7 = 7(I2I) > О-
4
Основной целью данной работы является:
1. Указать новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в круге функций и усредненными модулями непрерывности в весовом пространстве Бергмана 1 < д < ос.
2. Найти точное неравенство типа А.Н.Колмогорова для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной в пространстве Дг/у-
3. Найти точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных п-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности.
4. Найти наилучший линейный метод приближения, реализующий точное значение линейного п-поперечника для классов аналитических в круге \г\ < Я, В. > 1 функций с ограниченной по норме производной в пространстве Вя^) 1 < q < оо.
Основные результаты диссертации обсуждались на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), па международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С. М. Ни Кольского (Москва, МГУ, 17-19 мая 2010г.), на международной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-лстию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).
5
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34-36, 66, 72, 75]. В совместных работах [66, 72, 75) М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.
Приведем краткий обзор результатов, полученные в диссертационной работы.
В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и
вспомогательные факты, используемые в дальнейшем.
Будем рассматривать пространство Бергмана В9/у функций /(г)
аналитических в единичном круге |^г| < 1 с конечной нормой
/ \ 1 /я
Н/1к, = Ц 7(И) ' < °о, (1)
V м<1 )
где 7(|г|) - положительная суммируемая в круге |г| < 1 весовая функция. Очевидно, что норму (1) можно записать в виде
( 1 1 2?г
Н/1|в„, = I 2тг // Р'ГШ^ЧР'К) < оо, 1 < 9 < оо. (2)
Величину
= 5иР {И^т(/,: |/г| < *} =
/ 1 1 2тг
= 8ир| 9~/ / РТ(р)|Дт(/;Л«,Л)|ЧрЛ
где
о о
т
У<1
: |/г,| < Ь
(3)
а т(/;р,«,л) = Е(-1 )кСкт/(ре^+к»)
к=О
- разность 771-го порядка функции / (ре*г) но аргументу t с шагом к, назовем интегральным модулем непрерывности ттг-го порядка. Для любых г 6 N через /(г)(2г) = с1г//с1гг обозначим обычную производную, а символом /<г)м = дг/(рег1)/д1г, 0 < р < 1 обозначим производную г-го порядка по аргументу функции /(г), /о(г) = {/<г-1)}а, г € К, /'(г) = /(г) • гг.
Множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п обозначим через 'Рп. Величину
- Київ+380960830922