Оглавление
Введение 5
0.1 Специальная эргодическая теорема ......................... 7
0.2 Пример Иттаи Капа. Оценка хаусдорфовой размерности исключительного множества для косых произведений 10
0.3 Открытость множества сохраняющих край отображений, обладающих свойством перемежаемости аттракторов 15
0.4 О связи топологической энтропии и энтропийной размерности 18
1 Специальная эргодическая теорема для диффеоморфизмов Аносова на двумерном торе 20
1.1 Введение........................................... 20
1.2 Кодирование автоморфизма Аносова................... 23
1.3 Специальная эргодическая теорема для характеристических
функций марковских прямоугольников.................. 28
1.4 Доказательство Основной леммы...................... 29
1.5 Общий случай ............................................ 36
2
2 Оценка хаусдорфовой размерности множества непритягива-ющихся к аттрактору Милнора точек для отображений И. Кана 38
2.1 Инструментарий............................................. 42
2.2 Хаусдорфова размерность исключительных множества для
косых произведений.......................................... 44
2.3 Оценка хаусдорфовой размерности множества исключительных точек первого тина.......................................... 46
2.4 Оценка хаусдорфовой размерности множества исключительных точек второго типа.......................................... 48
2.5 Доказательство предложении 1............................... 55
3 С2 -устойчивые проявления перемежаемости аттракторов в классе отображений, сохраняющих край 59
3.1 Введение................................................... 59
3.2 Основной результат......................................... 62
3.3 Теорема о метрической плотности для косых произведений . 63
3.4 Вывод основной теоремы .................................... 66
3.5 Пример существования гладких косых произведений е требуемыми свойствами................................................ 71
3.6 Доказательство теоремы об усиленной метрической плотности 73
4 О связи топологической энтропии и энтропийной размерности 78
3
4.1 Введение...................................................... 78
4.2 Обозначении и определения..................................... 70
4.3 Основной результат............................................ 80
4.3.1 План доказательства теоремы и следствия ................ 81
4.4 Доказательство основного результата........................... 82
4.4.1 Достаточность...................................... 82
4.4.2 Необходимость.......................................... 87
4.4.3 Пример ................................................. 88
4.5 Доказательство гипотезы Жиса для гиперболических множеств 90
4.5.1 Подготовительные сведения из гиперболической теории 90
4.5.2 Применение критерия сходимости для гиперболического случая....................................... 92
4
Введение
В теории динамических систем одним из важных направлений является качественное описание динамики системы. Особую роль играют вопросы, связанные с «типичными» свойствами системы, в любом из определений понятия «типичности». Например, долгое время считалось, что в типичной гладкой динамической системе существует лишь конечное количество притягивающих неподвижных точек или периодических орбит. Том самым орбиты точек с близкими начальными условиями предположительно должны не слишком удаляться друг от друга. В 40-х годах, исследуя уравнение Ван дер Поля N4. Л. Картрайт и Дж. Б. Литтлвуд ([КЬ45]) привели пример дифференциального уравнения, для которого зависимость поведения от начальных условий была существенно нелинейна. Их пример был существенно упрощен Н. Ливингсоном в работе [Ь49], а затем в 60-х годах Смейл привел пример структурно-устойчивого отображения («Подкова Смейла», см. [Эт]), обладающего счетным количеством гиперболических периодических точек. Инвариантное множество для отображения подковы имеет структуру капторовского множества. В дальнейшем появились разнообразные (и, как оказалось, неэквивалентные) определения аттрактора динамической системы. Гипотеза Палиса ([РаОО]) предполагает, что в типичном случае все определения эквивалентны. Обратное утверждает гипотеза Рю-
эля ([Ки01]), хотя понятие «типичности» в каждой из гипотез свое. (Метрическая типичность для гипотезы Палиса и топологическая для гипотезы Рюэля).
Если перейти от рассмотрения аттракторов динамических систем к притягивающим бассейнам этих аттракторов - то есть множеству точек, стремящихся к аттрактору, то оможио отметить, что в «обычной» системе бассейны притяжения являются областями (причем, зачастую даже с кусочно гладкой границей). Однако в 1994 году Иттаи Кан ([К94]) в своей работе привел пример отображения кольца в себя, где бассейны притяжения двух компонент аттрактора метрически всюду плотны. Там же Каи анонсировал сохранение этого свойства для малых возмущений построенного отображения в классе гладких отображений, сохраняющих границу, но доказательства так и не опубликовал.
В прошедшем десятилетии, изучая так называемые «невидимые» аттракторы, Ю.С. Ильяшенко и А. Нсгут доказали усиление классической эргодической теоремы для случая удвоения окружности (результат впервые появился в [1КТ10], а впервые опубликован в |1К808]). А именно, было показано, что множество точек, чьи временные средние вдоль орбит «сильно» отличаются от пространственного среднего, имеет хаусдорфову размерность, меньшую 1. В главе 1 настоящей диссертации этот результат распространяется на случай линейных диффеоморфизмов Аносова на двумерном торе. В главах 2 и 3 специальная эргодическая теорема применяется для получения нового доказательства гипотезы Иттаи Кана, а также для оценки доли точек, не стремящихся к компонентам аттрактора в малой окрестности компоненты. Отметим, что гипотеза Иттаи Кана была доказа-
на Бонатти, Диасом и Виана в работе |BDV), однако предлагаемая техника работы с гёльдеровыми отображениями позволяет получать более сильные результаты.
Заметим, что в схожей ситуации хаусдорфову размерность размерность множества точек с сильным уклонением временных средних исследовали Б. М. Гуревич и А. А. Темпельман (см. [GT02]). Также отметим исследования Л. С. Янг (см. [Y90] и [Y03j) в области свойства динамических систем,, аналогичных теоремам большим уклонения в теории вероятностей. С этой точки зрения специальная эргодичеекая теорема представляет собой «предельный» вариант результатов Л. С. Янг.
Еще одним вопросом динамических систем является изучение «сложности» отображения. Одним из показателей может являться топологическая энтропия, впервые введенная в работе [АКМ]. В дальнейшем Кушииренко (см. [Kush]) показал ее конечность для гладких динамических систем на компактных многообразиях. В Главе 4 настоящей диссертации доказывается усиление теоремы Кушииренко для гиперболических систем, используя энтропийную размерность пространства.
0.1 Специальная эргодичеекая теорема
Рассмотрим непрерывное отображение F: М —» М замкнутого многообразия М с мерой [і в себя, причем мера fi — эргодичеекая инвариантная для F, а д Є Ь1(М,ц) — произвольная интегрируемая по мере /і функция. '
Временным средним функции g вдоль орбит отображения F называется предел д{р) = Ншп—оо дп(р), где дп{р) = £ ££=о0°^*(р)> если он существует,
- Київ+380960830922