Краевые задачи для параболических уравнений произвольного порядка в весовых пространствах Гёльдера

I
СОДЕРЖАНИЕ
Обозначения и основные определения.............................. 4
Введение....................................................... 11
Глава I. Гладкость параболических потенциалов
1. Фундаментальное решение ’’модельного” параболического уравнения.................................................. 23
2. Гладкость потенциала объемных масс с плотностью, распределенной в полупространстве.......................... 24
3. Потенциал объемных масс с плотностью, распределенной
в области............................................... 29
3.1. Вспомогательные оценки............................. 30
3.2. Гладкость потенциала объемных масс с плотностью, распределенной в области.................................32
4. Оценки старших производных потенциала объемных масс. Дополнительная гладкость объемного потенциала.............. 35
4.1. Функции Я п г...................................... 35
4.2. Интеграл ГДР).......................................39
4.3. Оценки производных потенциала объемных масс
в полу ограничен ной области.........................43
4.4. Потенциал объемных масс в области общего вида 52
5. Обобщенный параболический потенциал простого слоя. Формулировки теорем........................................ 58
6. Потенциал простого слоя в элементарной области.......... 60
7. Потенциал простого слоя в области общего вида........... 77
8. Гладкость потенциала Пуассона........................... 79
9. Задача Коши для ’’модельного” оператора................. 82
Глава II. Система граничных интегральных уравнений
10. Вводная часть; формулировка теоремы.....................84
И. Система интегральных уравнений в модельном случае 87
12. Система интегральных уравнений на элементарной
поверхности............................................ 93
12.1. Оператор К....................................... 94
12.2. Оператор Л'°......................................99
12.3. Операторы А1, А2.................................104
12.4. Оператор А3..................................... 117
12.5. Доказательство теоремы 10.1 в случае элементарной поверхности............................................ 120
9
13. Система интегральных уравнений на поверхности общего вида..................................................... 121
14. Краевые задачи для ”модельного” оператора............ 125
Глава III. Априорные оценки
15. Априорные оценки решений краевых задач; формулировки теорем................................................... 128
16. Вспомогательная лемма................................ 129
17. Интерполяционные неравенства для области............. 152
18. Интерполяционные неравенства для слоя................ 158
19. Доказательство теоремы 15.1 об априорных оценках 160
20. Априорные оценки решения задачи Коши................. 163
Глава IV. Краевые задачи. Задача Коши
21. Разрешимость краевых задач. Теорема единственности ... 168
22. Регулярность решений краевых задач................... 171
23. Разрешимость задачи Коши. Теорема единственности 180
24. Регулярность решения задачи Коши..................... 181
Литература................................................... 188
3
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
х = (а?1,хп) — точка пространства Pn (п > 1); |я| = (х\ 4- ... 4- ж^)1/2;
Р = (ж,£) — точка пространства Pn+l; |Р| = |гг| 4- \t\l^‘2m;
А*Р = (Аж,0), А,Р = (0, At); Р'= (x\t) = (xu..nxn~ut);
т, <7, a, us — фиксированные числа, причем га — натуральное, q = 2га/(2га — 1), 0 < а < 1, иs — as/m, s = 0, га — 1;
п
х ' у = xiVi — скалярное произведение в Рп; j=i
/ = (/ь...,/т) — мультинндекс; |/| = /] 4- ... 4- /„; а' = 4‘...сг'" (а € Я");
<9* = <9/<9t, <9,- = d/dxiy д = (<9ь ...,<9„) — ”пространственный” градиент, dij = д2/дх{дху
а(Р)а = Q>i(P)crl, о- £ Рп, (0.1)
|/|=2гл
— форма степени 2т с вещественными коэффициентами, зависящими от переменной Р;
( t~№m ехр{-с\х\(1 /р/2"1}, t>0 , л л
ре(Р;/?) = ^ Ы / е д„+1? реЯ с>0у
{ 0, t < 0,
Через С, Сь с и т.д. обозначаем положительные постоянные, не зависящие от Т и переменных Р, Q, А и т.д., конкретный вид которых для нас не важен.
Для любой функции (или вектор-функции) и переменной Р обозначаем:
Ари(Р) = u(P-f АР) — и{Р)\ Axii(P) = и(Р+АхР) — и(Р)] Atu(P) = = и(Р 4- AfP) — и(Р). Для любой функции и(Р\ Q) двух переменных
обозначаем u^(h(x),t;Q) = д1уи(у, £;<3)| .
p”+1 = {Р £ Pn+1 : t > 0} — полупространство в Рп+1;
Р" = {Р; £ Rn : t > 0} — полупространство в Р”;
D = {PePn+1:0<KT}, 0 < Т < -Ьоо, — слой в Pn+1;
£>' = {Р' £ Рп : 0 < t < Т}, 0 < Т < 4-оо, — слой в Р”.
Очевидно, D = Р"+1 и D1 = Р" при Т = 4-оо.
Для любого множества С С Rn+l GT = G Г) {t = г}, G(TltT7) = = Gfl{ri < t < т2}, где (71,72) — некоторый промежуток.
Для любой области G С Rn+l через Ck,Q(G) (к > 0 — целое) обозначаем [8, 93] пространства Гёльдера функций и : G -* R, непрерывных и ограниченных в С вместе с производными df&u, 2ms 4- |/| < /с, для которых конечно выражение (норма)
11«; cil*-" = Е suP |afa'i/(P)|+
2ms+\l\<k G
\Atdfd1 u(P)\
!m
+ 13 SUP
2me+|/|=A Gt\Az\^0
ЦллдЧпц
1 | Аж|° / ■
Под значениями и(Р), Р Е dG, любой функции г/, определенной в G, понимаем предельные значения этой функции "изнутри” G.
Через Сд’° (G) (Л > 0) обозначаем (ср. с [66]) пространство Гёльдера растущих, вообще говоря, по переменной t функций и : G -+ R, непре-рывных в G вместе с производными <9/3)1и, 2ms 4- |/| < для которых конечно выражение (норма)
ме*- Е т!^г)+
2т5+|/|<л* о ( ехр(Аг) J
+ УЗ Sup {______________1 ^(-^Я_______________1 +
o<.-2mH/|<2m-i оЛо \ \ At[<*-*~-l'l+*)/2">[exp(At) 4- ехр(А(t + At))] J +
+ £ SU|>
2ms+|/|=A* G,|Aar|^0 ( | A#|a exp(At) J
Заметим, что Cq,q(G) = Ch,a(G). Кроме того, рассматриваем подпространство
с№) = {«ЕС^:ф,0)=0}.
Через C%(G) (А > 0) обозначаем пространство функций и : (3 —> R, непрерывных в (7, для которых конечна величина
||м; G\\°x = sup{|w(P)| exp(-At)}.
Опишем нецилиндрическую область О (см. [58, 59]). Пусть 9 С і) — область с границей д£1 = Со О и Е, где По С Я" — область на гиперплоскости £ = 0, Пт С Л" — область на гиперплоскости £ = Т, если Т < 4-оо, и Пг = 0, если Т = 4-оо; Е — ’’боковая” граница П, являющаяся п-мерной поверхностью. Область П и поверхность Е могут быть как ограниченными, так и неограниченными (как по х> так и по £).
Сечение Ег = ЕП{£ = т} для любых 0 < г < Т является (п — 1)-мерной поверхностью, которая в каждой своей точке имеет (п — 1)-мерную касательную плоскость, лежащую в п-мерной плоскости £ = г. В каждой точке Р° = (х°,£°) поверхности Е существует вектор М(Р°), который является ортом внутренней (по отношению к П) нормали в точке Р° к поверхности Е/о, лежащей в плоскости £ = £°.
Пусть точка Р° = (.т0,£°) Є Е и {еДР0),..., еп(Р°), Сп+ДР0)} — ор-тонормированный базис в Лп+1 с началом в точке (.т°,£°), где еп(Р°) = = ^{Р°),0} и еп+і — орт положительного направления оси ОЬ. Систему координат {уі,..., уп, £} в этом базисе называем Л°-системой координат.
Для любой точки Р° Є Е и любого /л > 0 обозначим
В(Р°ф) = Є Лп_1х(0,Т) : |(г/',*-г°)| < »} (0.2)
(в Р°-координатах).
Следуя [58, 59], поверхность Е называем поверхностью класса Гёль-дера С ,а (к > 0), если существует //о, 0 < цо < 4-оо, такое, что каждая точка Р° Є Е имеет в Рп+1 шаровую окрестность 0(Р°) со свойством
Е П 0(Р°) = {Р Є V : (2/', і) Є В(Р°, й>), Уп = д(у', і; Р0)}
(в Р°-координатах), где функция #(•; Р°) : Р(Р0,^о) Я принадлежит
пространству и конечна величина
||Е||*'“= эир ||5(-;Р0);Я(Р0,/іо)||л''“.
Опишем пространства Гёльдера функций, заданных на поверхности Е ([59]). Пусть Е Є С*,а, к > 1. Для любой точки Р° Є Е рассматриваем ото б ражен і іе
^Р°):Я(Р°,мо)^ЕпО(Р0),
действующее по формуле (в Р°-системе координат)
у(у', Р°) = (у1і яОЛ *; я0), 0- * (о.з)
6
Пространством Гёльдсра Сд°(Е) (0 < I < к\ А > 0) называем пространство функций у? : Е —> Я таких, что
(УР° € Е) <роу(-\ Р°) е СГ(В(Р\110))
и конечна величина
||р;Е||Г =8ир||^0|;(.;Р0);В(Р0)А(о)||Г.
Линейное подпространство £ Сда(Е) : V? = 0 на Ео} обозначаем
СГ(Е).
Через Сд(Е) (Л > 0) обозначаем пространство функций непрерывных на Е, для которых конечна величина
|\<р; Е||5 = вир{|9(Р)| ехр(-Л0},
а его подпространство, состоящее из функций обращающихся в 0 на Е0, — через С? а(Е).
Введем весовые пространства Гёльдера функций, растущих, вообще говоря, при приближении к параболической границе области (ср. с [61; 63, с. 41; 72]. Пусть Н — Е П По — параболическая граница и Р € П. Обозначим
д = (*’т)’ (0-4)
— расстояние от точки Р до параболической границы Н области П. Пусть
$р,\ = тт(5р,^л)> А € П. (0-5)
Полагаем
КР)|,
||«;П||»>а = 8ир{[тт(<5].-“,1)]^^},
г. о1°'а — чип [ [т\п{5р:р+Ар,г)]\Ари(Р)\ 1
1 ’ “ п “рьм 1 |ДР|“[ехр(А*) + ехр(А(< + А«))] / ’
||«; П||“;“ = ||«; 0115,. + [«;П]°А;“.
7
Пространством Сд>а(П) (Сд^(П)) называем пространство функций и : И —> Я, непрерывных в 17, для которых ||и; 17||да < -foo (||u; 17||д® < < +оо.)
Для ограниченной но t области 17 рассматриваем также пространство (2^,a(Q) функций и : 17 —> Я, непрерывных в О, для которых
1«; nft“ =
= sup{[min(5p“°, 1)] |u(P)|}+sup{[min(5p,p+AP, 1)] |Др«(Р)|/|ДР|“} <+оо.
Заметим, что <С®,0Г(12) = Со'£(17).
Определим весовые пространства Гёльдера растущих, вообще говоря, по переменной t функций, старшие производные которых могут расти при приближении к параболической границе области. Обозначим
lknll\£" = 1|и;й||дт-1'0 + ||0,и;П||$£ + Е 1|Л*;П||&
|/|=2т
1и. п^т,а = сиг) ( 1шт(0Р'Р+ьр,1)] |А,#«(Р)| ]
,Л 0 \ | Af | (2т—111+or)/2m [ехр ( Ai ) -f ехр(А(£ + A t))] j ’
11«; nifcr = IK «llgr+ï V*; n)ST-
KHI
Пространством Сд'",а(17) (Cy”,(>(Q)) называем пространство функций и : П —» Я, непрерывных в П вместе с производными д1и, |/| < 2ni — 1, для которых конечна величина (норма) ||н;17||д™,а (\\и; 17||д™’а). Функции из класса C\™,(X(Q) обладают дополнительной гладкостью по t по сравнению с функциями из Сд ^,0(П).
Для ограниченной по ’’времени” области введем весовые пространства Гёльдера <F*,e(ft) и й£'а(й)> к € Аг (ср. с [61]). Функции из этих классов имеют растущие, вообще говоря, старшие производные вблизи параболической границы области. Для натуральных к полагаем
2me+|/|=/f
Пространством (Г*’°(17) (<^’°(17)) называем пространство функций
и : 17 —» Я, непрерывных в 17 вместе с производными д1д1и, 2тв |/| < < А* — 1, для которых конечна величина |и;17|£,а (|и; 17|*>а). Функции из класса (С^,а(17) обладают дополнительной гладкостью по £ по сравнению с функциями из <Га,а(17). Заметим, что при А = 2т Ф%т,0(&) =
= СЙ-(П), ^ш,а(^) = егг(П).
Пусть функция н определена в Я++1. Определим весовые пространства Гёльдера функций, растущих, вообще говоря, при приближении к плоскости £ — 0 (ср. с [16-18]) и при £ —> +оо. Обозначим
q(t, г)) = гшп(£, г]), £, г) > 0. (0.6)
Полагаем
Г... ДП+ШС. _ Кш(^„1)] |Ар»(Р)|
1 + |ДР|“[ехр(А<) + ехр(А(е + А*))]
11«; к+1\\°с = 11“; к+х,а + [«; < ■
Пространством Сд>Ц(Я”;И) *(С|д^(Я”+1)) называем пространство функций и : Я”+1 —> Я, непрерывных в Я£+1, для которых конечна величина
\\и;К+1\\1,а (11«; Р"+111а,“)-
В случае слоя Б рассматриваем также пространство (Г^,а(Б) функций, непрерывных в для которых
|«; = вир {[тт(<(1-а)/2т, 1)] |и(Р)|} +
+ вир {[тт^^д,, 1)] |Дри(Р)| |ДР|"а} < +оо.
А|ДР|*0 ;
Введем весовые пространства Гельдера функций, определенных в
Rl+] и имеющих растущие старшие производные при приближении к плоскости £ = 0 (ср. с [16-18]). Для натуральных к полагаем
11«; Д"+1ПЙ = Н«;Л++111£"1,0+ Е
2ms+|/|=A*
(д^и-Rn+l)ks-° = sup I [т;п(9у1л,. 1)] |ALffa‘«(P)|___________________________
{ t ’ i+ 'x'a R’Plw \ | дгI(*-2ms-l(|+«)/2m[exp(At) + exp(A(t + At))]
11«; ЯГ111Й = 11«: яГЧ 14“ + £ (0!д>щ 1 >4« •
1<к—2ш«—|/|<2т— 1
Пространством Сд£(Я"+1) (Сда(#”+1)) называем пространство функций и : #”+1 —» /?, непрерывных в Я”4"1 вместе с производными д%д1и, 2тпз + |/| < к — 1, для которых конечно выражение ||«5 Л”+1||д£
(11«; Я^+1||4а)- ФУНКЦИИ из класса ) обладают дополнитель-
ной гладкостью по I по сравнению с функциями из Сд£(#"+1).
В случае слоя Б определим весовые пространства€^'а(Б) и к е N. Для натуральных к полагаем
|М;Л|р=||«;Л||*-1'п+ Е I
2т5+|/|=А
7к,а
{%#щ £>}*'“ = зир ДД#0
Мй,!)] 1А 1д?д‘и(Р)\
|Д^|(А-2т«-|/|+а)/2т
|«; = |и; 2?|*-“ + Е Я}*-“.
1<Л—2т5—|/|<2т—1
I л ^
Пространством (Ра,а(Б) {(Ва' (Б)) называем пространство функций и : Б —> Я, непрерывных в вместе с производными д?д1и, 2т$ +1/| < < А: — 1, для которых |и;1)|*,а < +оо (|м;£>|^° < -Ьоо).
10
ВВЕДЕНИЕ
В области ПсЛ" х (0,Т),0 <Т < -Т<х>, рассматриваем линейное равномерно-параболическое уравнение произвольного порядка 2т
Ьи = дги + (-1 )та(Р)ди + £ 6,(Р)с>'и = ДР), (0.7)
|/|<2т-1
(где, см. обозначение (0.1), а(Р)ди = щ(Р)д1и).
|/|=2т
В настоящей работе изучаются краевые задачи для уравнения (0.7) в нецилиндрических областях с негладкими (по £), вообще говоря, ’’боковыми” границами. Эти области могут быть неограниченными (как по х, так и по £), а их ’’боковые” границы — некомпактными. Кроме того, рассматривается задача Коши для уравнения (0.7) в полупространстве. Целью работы является исследование разрешимости (в классическом смысле) этих задач в весовых пространствах Гёльдера при условии, что младшие коэффициенты и правая часть уравнения могут расти определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных в случае задачи Коши), а старшие коэффициенты удовлетворяют условию Гёльдера в каждой замкнутой подобласти рассматриваемой нецилиндрической области, причем соответствующие коэффициенты Гёльдера растут, вообще говоря, определенным образом при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных). В частности, старшие коэффициенты могут не удовлетворять условию Дини вблизи этой параболической границы (плоскости).
Разрешимость первой краевой задачи в пространстве Гёльдера С2,а(П), 0 < а < 1, н оценки решения для одномерного (п = 1) уравнения второго порядка в прямоугольнике получены С. Чилиберто [1]. В многомерном случае этот результат установлен А. Фридманом [2], который рассматривал нецилиндрические области с границей класса С2,сс. Теоремы существования решений в классе С2,а(£2) третьей краевой задачи (с конормальной производной) и задачи с косой производной доказаны Л.И. Камыниным и В.И. Масленниковой [3-7]. В.А. Солонников
[8] установил разрешимость краевых задач общего вида, удовлетворяющих условию Лопатинского, и получил оценки решений для широкого класса параболических систем произвольного порядка в пространствах СА',а(П), где число к не меньше, чем порядок системы. С.Д. Эйдельман [9-14] построил и изучил свойства фундаментальных матриц решений,
матриц Грнна для параболических систем и с их помощью получил разрешимость краевых задач и интегральные представления решений. Затем B.C. Белоносов [16, 17] рассмотрел краевые задачи для параболических систем порядка 2гп в ограниченных цилиндрических областях с гладкой границей класса Ск'а, к > 2т, при условии, что начальные функции принадлежат классу Сг,/?, где число г < к (в том числе} г меньше, чем порядок уравнении), и правые части уравнений могут расти определенным образом при приближении к плоскости начальных данных, доказал разрешимость таких задач и получил оценки решений в весовых пространствах Гёльдсра функций, старшие производные которых (порядка больше, чем г) не ограничены вблизи плоскости t = 0. Этот результат для неограниченной по х области и систем общего вида З'становлен В.А. Солонниковым и А.Г. Хачатряном [18].
Исследование разрешимости краевых задач в пространствах Гёль-дера в областях с негладкими ’'боковыми” границами было начато М. Жевре в работе [19], где для одномерного (п = 1) уравнения теплопроводности он изучил свойства тепловых потенциалов с негладкими кривыми-носителями (удовлетворяющими лишь условию Гёльдера с показателем > 1/2) и применил эти результаты к решению первой и второй краевых задач.
В 1971-1972 г.г. Л.И. Камынин [20-25] построил систематическую теорию гладкости параболических потенциалов для общего одномерного (n = 1) параболического уравнения 2-го порядка (т = 1) в различных классах функций, в том числе и в пространствах Гёльдера C1,Qr(Q). Как следствие, он получил разрешимость краевых задач для параболических уравнений 2-го порядка в плоских областях с криволинейными "боковыми” границами, удовлетворяющими только условию Жевре.
В 1973-1976 г.г. Б. А. Бадерко [26-31] ввела обобщенный параболический потенциал простого слоя для одномерного 2т-параболического уравнения (т >1), исследовала его свойства, а также гладкость других 2т-параболических потенциалов (при п = 1) и применила эти результаты для решения краевых задач для уравнения произвольного порядка 2т в областях на плоскости с негладкими, вообще говоря, "боковыми” границами. Результаты этих работ позже были использованы В.А. Тверитиновым [42-45] и Х.М. Семааном [46-49] для рассмотрения свойств потенциала простого слоя, порожденного фундаментальной матрицей решений одномерной параболической системы 2-го порядка и для решения краевых задач для этих систем в областях с негладкими "боковыми” границами.
12
В многомерном (п > 2) случае в 1985 г. Е.А. Бадерко [32] построила интегро-дифференциальный оператор, с помощью которого доказала разрешимость первой краевой задачи в пространстве С1,а(П) для параболического уравнения 2-го порядка в полуограниченной области специального вида с некомпактной п негладкой (по £) ’’боковой?’ границей. Затем, с помощью этого же оператора и разбиения единицы в наших работах [33-35] получена разрешимость в пространстве С1,а(Й) первой краевой задачи и задачи Бицадзе-Самарского (с граничным условием первого рода) для уравнения 2-го порядка в общем случае нецилиндрической области с компактной границей класса С1,0г. Кроме того, в наших работах [35-37] решена вторая краевая задача-и задача Бицадзе-Самарского с граничным условием второго рода для параболического уравнения 2-го порядка в области с границей класса С1,а.
Разрешимость задачи с косой производной в пространстве 6'1,а(12) для уравнения 2-го порядка установлена Е.А. Бадерко [38] с помощью потенциала простого слоя. Независимо Л.И. Камынин [39-41] получил этот результат с помощью потенциалов Паньи. Позднее, в 1997 г. Е.А. Бадерко [50] доказала, что решения первой краевой задачи и задачи с косой производной для однородного параболического уравнения 2-го порядка в области, неограниченной как по а;, так и по £, принадлежат классу Сд °(П) функций, растущих но t экспоненциальным образом при £ —» 4-оо. В 1998 г. Е.А. Бадерко [51] показала, что решение задачи с косой производной в области с негладкой ’’боковой” границей класса С1,а принадлежит пространству С2,а(12), если граничная-функция — из С1,ог(Е). Х.М. Семаан [52] получил аналогичный результат для одномерной параболической системы 2-го порядка с помощью метода работы [51].
В 1987-1992 г.г. Е.А. Бадерко [53-60] рассмотрела краевые задачи для 2ш-параболического уравнения с граничными операторами порядка не выше 2га—1, удовлетворяющими условию Лопатинского, п установила их однозначную разрешимость в пространстве С2т“1,а (12) П С2т,1(Й) для нецилиндрических областей, возможно, неограниченных по .т, с негладкой по £ и некомпактной ”боковой” границей класса С2т"1”г,а, г = тт(го, 2т — 2), ?-0 — минимальный порядок граничных операторов. Этот результат получен в предположении, что правая часть уравнения ограничена и локально гель дер ова, а коэффициенты уравнения ограничены и равномерно гёльдеровы в 12; Метод работ [53-59] состоит в том, что краевая задача сводится к системе граничных интегральных уравнений с помощью введенного Е.А. Бадерко векторного
13
потенциала простого слоя, порожденного фундаментальным решением уравнения (существование фундаментального решения уравнения во всем пространстве Лп+1 обеспечивается условиями на коэффициенты уравнения). Для доказательства разрешимости системы интегральных уравнении в [53-59] построен интегро-дифференциальный оператор:
Заметим, что в работах [19-45, 50, 53-59] поведение старших производных решения не исследовалось. Кроме того, от правой части / уравнения требовалось, чтобы она была ограничена в 12. В. наших.работах [95, 97, 98] доказано, что условие ограниченности / является завышенным для задач класса С2т-1'а(П) (га > 1), а именно, условие ограниченности можно заменить условием возможного роста / при приближении к параболической границе области. Кроме того, в наших работах [94, 96, 98-100] доказаны оценки для старших производных параболических потенциалов — объемного потенциала (при дополнительном условии на характер гёльдеровости /), потенциала Пуассона и потенциала простого слоя, из которых, как следствие, получены оценки старших производных решений краевых задач (и задачи Коши), характеризующие их возможный рост при приближении к параболической границе области (плоскости-носителю начальных данных). В [101] установлены некоторые дополнительные свойства гладкости потенциалов внутри области. Результаты этих работ содержатся в настоящей диссертации.
Подчеркнем, что во всех цитированных выше работах требовалось, чтобы коэффициенты уравнения (системы) принадлежали классу Гёльдера С0,а(12), то есть они должны быть ограничены и равномерно гёльдеровы в 12. Это условие (вместе с условием равномерной парабо-личности уравнения) обеспечивает существование фундаментального решения задачи Коши для уравнения (системы), что существенно использовалось в работах [19-59], так как решение разыскивалось в виде параболических потенциалов, порожденных фундаментальным решением уравнения (системы).
В 1980 г. Д. Гнлбарг и Л. Хёрмандер [61] доказали разрешимость задачи Дирихле в весовом пространстве Гёльдера <£^,а(12) для эллиптического уравнения 2-го порядка в ограниченной области класса С1,а при условии, что младшие коэффициенты могут расти определенным образом вблизи границы области и все коэффициенты лишь локально гёльдеровы с точным указанием характера гёльдеровости. Этот результат установлен с помощью промежуточной априорной оценки ша-удеровского типа для ограниченной области, доказанной в этой ра-
14
боте. Затем Г.М. Либерман [62, 63], используя метод работы [61], полупил аналогичный результат в случае параболического уравнения 2-го порядка для первой краевой задачи и задачи с косой производной в. ограниченной области. Отметим, что в [61-63] существенно использовалось условие ограниченности области, а также принцип максимума для-уравнения 2-го порядка в ограниченной области.
В наших работах [102, 103] рассмотрены первая краевая задача-, задача с косой производной и задача Коши для параболического уравнения второго порядка с такими же условиями на коэффициенты уравнения, что и в [61-63], но в неограниченной области (как по х, так и по к) с ” боковой” границей, которая может быть некомпактной. Неограниченность области не позволила нам воспользоваться методом работ [61-63]. Кроме того, существенное ослабление условий на старшие коэффициенты уравнения означает, в частности, что старшие коэффициенты уравнения могут не удовлетворять условию Дини вблизи параболической границы области (или плоскости-носителя начальных данных). Этот факт не позволяет, вообще говоря, строить фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (0.7) (см. [64]) и, следовательно, пользоваться методом работ [19-59].
В наших работах [102, 103] мы доказали априорные оценки решений первой краевой задачи, задачи с косой производной и задачи Коши с помощью предложенного нами метода вывода априорных оценок как в ограниченных, так и в неограниченных областях и использовали этот результат для доказательства однозначной разрешимости указанных задач в весовых пространствах Гёльдера Сд£(£2). Поскольку в доказательстве мы не использовали принцип максимума, то с помощью этого же метода мы получили затем однозначную разрешимость в весовых пространствах С\'^а{кХ) краевых задач и задачи Коши и для уравнения высокого порядка в [104-106]. Результаты этих работ изложены в настоящей диссертации.
В диссертации построена шкала гладкости решений краевых задач в весовых пространствах Гёльдера €а,а($1) н <£**’а(П), к > 2т. Кроме того, нами построена шкала гладкости решения задачи Коши в пространствах с£$(17++1) и С£;°(7С|.+1), к > 2т (см. [106-108]).
Диссертация состоит из четырех глав. В первых двух главах рассматривается параболическое уравнение порядка 2т, содержащее только старшие производные с постоянными коэффициентами (будем называть его ” модельным” уравнением), а в последних двух главах — общее параболическое уравнение порядка 2т с переменными коэффициентами.
Первая глава посвящена исследованию гладкости в весовом пространстве Гёльдера Сд™’а(П), т > 1, параболических потенциалов, порожденных фундаментальным решением ”модельного” уравнения. Мы рассматриваем объемный потенциал, обобщенный параболический потенциал простого слоя, введенный Е.А. Бадерко в [55, 59], и потенциал Пуассона.
Хорошо известен [85 14] результат о принадлежности гёльдеровско-му классу с С,2т,а(Т?п х [0,Т]), 0 < Т < +оо, потенциала, объемных масс с плотностью, принадлежащей С0,а(£)), В = В71 х [О;Т]. В.Н. Шевелева [66, 67] в случае уравнения 2-го порядка рассмотрела объемный потенциал с плотностью, распределенной в полупространстве 1 и принадлежащей Сд(7?”+1), Л > 0; (в частности, непрерывной в Я++1) и показана, что потенциал принадлежит классу Гёльдера Сд,а(/?”+1) функций, растущих по £ экспоненциальным образом.
Однако использование объемного потенциала с плотностью, распределенной в слое, не всегда возможно. Причиной тому может быть нецелесообразность или невозможность продолжения коэффициентов или правой части уравнения из $2 в В. Такая ситуация встречается, например, в нелинейных задачах (см. работы В. Погожельского [68], А. Пискорека [69], А. Божымовски [70], П. Ольшевски [71]). В работах Е.А. Волкова [72] и Е.Г. Гусейнова [73] рассматривается задача Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью, неограниченной, вообще говоря, вблизи границы области; для доказательства существования решения и исследования его свойств в этих работах используется ньютонов потенциал с плотностью, распределенной в области.
Свойства объемных потенциалов для параболического уравнения второго порядка с ограниченной плотностью, распределенной в области, изучались в работах А. Фридмана [74] и Д.В. Сивакова [75].
Мы рассматриваем потенциал объемных масс с плотностью /, распределенной в нецилиндрической области, а также в полупространстве •К++1, предполагав!, что плотность потенциала может расти определенным образом при приближении к параболической границе области (или плоскости-носителю начальных данных), и устанавливаем, что по-тенциал принадлежит классу Гёльдера С\т~1,а (П) (или С,дт“1,а(/?4+1)), т > 1. Как уже отмечалось выше, это показывает, что условие ограниченности правой части уравнения вблизи параболической границы области является завышенным для задач класса С2ш“1,а(П).
Кроме того, при дополнительных условиях на характер локальной гёльдеровостн / (при этом / по-прежнему может расти вблизи гра-
16
ницы, так же, как и коэффициент Гёльдера), устанавливаются оценки старших производных потенциала объемных масс, характеризующие их возможный рост при приближении к параболической границе области (или плоскости-носителю начальных данных). Эти результаты используются в дальнейшем во всех других главах при решении краевых задач и задачи Коши с неограниченной правой частью уравнения.
Далее мы рассматриваем обобщенный параболический потенциал простого слоя, введенный Е.А. Бадерко [55, 59]. Гладкость этого потенциала в пространстве Гёльдера С2ш-1,а(£2) получена в [55, 59] в*слу-чае ограниченной по>’'времени” (Т < фоо) нецилиндрической области с негладкой (по £), вообще говоря, ”боковой” границей, которая может быть некомпактной. При Т = -|-оо методом работ [55, 59] гладкость потенциала простого слоя в пространстве экспоненциально растущих по £ функций Сд*а(П), Л > 0, установлена В.Н. Шевелевой [66, 67] для уравнения 2-го порядка и Х.М. Семааном [46, 48] — для одномерной по х параболической системы 2-го порядка (подробная библиография о потенциале простого слоя содержится в докторской диссертации Е.А. Бадерко [59]). Мы исследуем гладкость обобщенного потенциала простого слоя в классе Гёльдера С\ГП’"1,ог(П), Л > 0, растущих по £ функций в бесконечной по ” времени” области с помощью метода работ [55,59].
Затем мы доказываем оценки для старших производных обобщенного потенциала простого слоя и их приращений. Полученные оценки, в частности, показывают, что эти производные могут расти к бесконечности определенным образом при приближении к ’’боковой”' границе области; из них также следует характер локальной гёльдеровости указанных производных. Кроме того, мы устанавливаем оценки для приращений по £ младших производных потенциала простого слоя, характеризующие их поведение внутри области. Оценки для старших производных потенциала простого слоя в случае одномерной по х системы параболических уравнений 2-го порядка доказаны в [48, 76] с помощью метода нашей работы [94]. Свойства старших производных потенциала простого слоя и потенциала объемных масс для уравнения 2-го порядка частично изучались в [77] в случае ограниченной цилиндрической области.
Оценки, полученные в этой главе для обобщенного потенциала простого слоя, используются во всех других главах при решении краевых задач.
Наконец, мы рассматриваем потенциал Пуассона для ’’модельного” уравнения порядка 2т и исследуем его гладкость в весовом простран-