3.3 Интегральные уравнения Вольтерра............ 75
3.4 Интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра ........................................... 83
Литература 88
2
Введение
Диссертация посвящена применению теории а-накрыва-ющих отображений в метрических пространствах к исследованию локальной разрешимости дифференциальных, функционально-дифференциальных, интегральных уравнений и управляемых систем. В частности, рассматриваются
• управляемая система вида
х = /(і,х,?і), а;(г0) = гго, д(Ъ,х,и) Є V, и Є V, где х - фазовая переменная, и - управление;
• задача Коши для интегро-дифференциалыюго уравнения
• операторные уравнения Вольтерра в метрических функциональных пространствах.
В перечисленных задачах считаем заданными функции /, д, /С, множества (/, V, П, вектор Хо и число £о-
Рассмотренные и многие другие прикладные задачи анализа и теории дифференциальных уравнений сводятся к решению уравнений вида
г
*о
±(г) є П, 2г(г0) = ^о;
• интегральное уравнение вида
Ф(ж) = у
3
с неизвестным х или уравнений более общего вида
Ф(ж) = Ф(:с).
Здесь .Р, Ф : X —> У - заданные отображения, и для многих задач пространства X, У являются лишь метрическими.
Если X и У — линейные нормированные пространства, то при исследовании вопроса разрешимости этих уравнений часто применяется теорема об обратной функции. Также нередко используется классический принцип сжимающих отображений. Особенно его применение обосновано в случае, когда соответствующие отображения не являются гладкими, или, более того, пространство X = У метрическое. Если X и У разные метрические пространства, используются более общие принципы существования точек совпадения двух отображений, как правило, основанные на понятии накрывания отображений.
Дадим определение понятия а-накрывающего отображения. Пусть X, У - метрические пространства с метриками рх и ру соответственно, заданы числа а > О, Я > 0, множество Ж С У и точка Хо 6 X. Обозначим через Вх(х,г) замкнутый шар в X с центром в точке х радиуса г > 0, положим II = Вх(хо, В). Пусть задано отображение Г : X —* У Будем говорить, что отображение Р является а-накрывающим, если для любых х 6 X, г > 0 выполнено включение
Ву(Р(х), ат) С Р(Вх(х,г)).
Если же для любого шара Вх(х,г) С В выполнено включение
то будем говорить, что отображение Р является а-накрывающим относительно шара и и множества IV.
Перейдем к краткому литературному обзору по теории а-1 накрывающих отображений.
4
Основные свойства накрывающих отображений в случае, когда У - линейное пространство, были изучены A.A. Милютиным в 1980 году в работе [15]. В случае, когда У - метрическое пространство, свойства и приложения а-иакрывающих отображений приведены в статье [4] от 2007 года A.B. Арутюновым. Понятия локального а-накрывания и а-накрывания относительно множеств, которые также применяются в этой диссертации, были введены и изучены в [5], [32), [39].
Существует ряд задач, при изучении которых используется понятие а-накрынающего отображения. Типичным применением онакрывающих отображений является задача о точках совпадения отображений. Сформулируем её.
Пусть заданы отображения Ф, Ф : X —> У. Задача заключается в нахождении условий разрешимости уравнения
Ф(л;) = Ф(х)
с некоторой априорной оценкой.
Важно отметить, что частным случаем задачи о точках совпадения отображений (когда X — У и отображение Ф является тождественным) является задача о существовании неподвижной точки, а хорошо известный принцип сжимающих отображений представляет собой следствие общих теорем о точках совпадения.
Классическим примером теоремы о точках совпадения отображений, сформулированной в терминах а-накрывания, является теорема 1 из [4|. Эта теорема гласит, что если пространство X полно, отображение Ф является а-накрывающим и непрерывным, а Ф удовлетворяет условию Липшица с константой ß < а, то для любого Xq Е X существует х Е X такое, что
Ф(ж) = Ф(я) и Рх{х,х0) <—Цтру'ОР^.РХхо)).
а — ß
5
В предположении а-накрываемости Ф относительно множеств эта задача, была решена в [32] (см. теорему 1).
Важную роль играют исследования устойчивости точек совпадения при малых возмущениях отображений Ф и Ф. В работе [6] были получены общие условия, гарантирующие устойчивость точек совпадения при указанных возмущениях.
Аналогичная проблема о точках совпадения возникает для многозначных отображений Ф, Ф : X =$ У. В этом случае задача заключается в нахождении такого х € X, что
Ф(я) П Ф(х) ^ 0.
Эта задача в терминах а-накрывающих многозначных отображений также была решена в [4], а для локально а-иакрываю-щих многозначных отображений - в [32]. Кроме того, в работе [б] доказана теорема, об (о: — е)-накрываемости равномерного предела многозначных а-накрывающих отображений.
Еще одной задачей теории накрывающих отображений является задача о липшицевых возмущениях а-накрывающих отображений. Существуют различные постановки этой задачи. Так, например, в [15] эта проблема сформулирована следующим образом. Пусть пространство У линейно, дано а-накры-вающее отображение Ф : X —* У и 0-липшицево отображение Ф. Спрашивайся, при каких условиях отображение Ф 4- Ф является накрывающим? Достаточные условия накрываемости Ф 4- Ф были доказаны в [15] в теореме 1.4. Эта теорема гласит, что если пространство X полно, Ф непрерывно и а > 0, то Ф 4- Ф является (а — /3)-накрывающим. Обобщение этой теоремы на случай многозначных отображений имеется в [22].
Другая постановка задачи о липшицевых возмущениях а-накрывающих отображений была рассмотрена в [5] в теореме
2. Пусть дано непрерывное отображение Т : X х X —> У. Относительно него предполагается, что для любого Х2 € X отображение Т(-,гс2) является а-накрывающим, для любого
6
x\ G X отображение T(xi, •) удовлетворяет условию Липшица с константой (3. Тогда теорема 2 из (5| гласит, что если а > /?, то отображение х »—> Т(х,х) является (а — /?)-накрывающим. В этой же работе было введено и изучено понятие условно а-накрывающих отображений и выделено множество тех у 6 У, для которых уравнение Т(х,х) = у имеет решение. Отметим, что понятие условной накрываемости впервые было введено в [39], где для него использовался термин "restrictive metric regularity".
Среди работ, посвященных задачам о точках совпадения и о лишпицевых возмущениях накрывающих отображений, отметим также статьи [22], [30], [31], [34], [35], [38], [42], в которых рассматриваются эти и смежные проблемы.
Важнейшей проблемой теории а-иакрывающих отображений является получение критериев накрываемости. Известно, что если X, Y - банаховы пространства, а отображение F : X —> У строго дифференцируемо в точке хо, то F является а-накрывающим в окрестности точки хо тогда и только тогда, когда точка хо нормальна, т.е. когда линейный оператор — (хо) является сюръсктивным. Этот факт был получен в [40] (см. теорему 1.57).
Для случая, когда отображение F недифференцируемо в точке х0, также известны некоторые условия накрываемости. Так, например, если производная Кларка dFc{xо) лигтшицс-вого отображения F : IRr‘ —» JRn не содержит невырожденных матриц, то F является а-накрывающим в окрестности хо- Этот факт является непосредственным следствием теоремы 7.1.1 из [23]. Следует отметить, что эти условия накрываемости не являются необходимыми. Необходимые условия накрываемости были получены В.Ш. Мордуховичем в [25] (см. теорему 5.2).
Завершая обсуждение публикаций но теории накрывающих отображений, еще раз отметим работу [5], являющуюся первой
7
- Київ+380960830922