Содержание
Введение ............................................................. 4
Общая характеристика работы........................................... 7
Глава 1. Случай броуновского движения со сносом.......................10
1.1. Обзор известных результатов для броуновского движения и
броуновского движения со сносом...............................10
1.2. Постановка задач об оптимальной остановке....................17
1.3. Условно-экстремальный критерий для момента максимума ... 19
1.4. Условно-экстремальный критерий для момента последнего нуля 25
1.5. Абсолютный критерий .........................................27
Глава 2. Обобщение теоремы Леви о совпадении нар процессов но распределению...................................................30
2.1. Введение.....................................................30
2.2. Основной результат...........................................31
2.3. Процессы Леви с отражением в нуле............................37
Глава 3. Случай процесса Леви.........................................43
3.1. Постановка задач об оптимальной остановке для момента максимума ............................................................43
3.2. Общий вид решения............................................44
3.3. Схема решения задач при помощи задачи Стефана................49
3.4. Пример: комбинация броуновского движения со сносом и пуас-
соновского процесса...........................................52
3.5. Схема решения задач методом Монте-Карло......................60
3.6. О задаче, связанной с моментом последнего нуля...............62
2
Литература
Приложение
Введение
В стохастическом анализе широко известна так называемая «задача о разборчивой невесте» (известная также под рядом других названий, в частности, задача о выборе наилучшего объекта, см. [19]). Эта задача в различных постановках рассматривалась значительным числом авторов, в т. ч. в работах [4, 5, 7, 12, 13, 31, 32, 44, 45, 48, 49, 52].
Сформулируем задачу, следуя [19, гл.2, §3]. Имеется п объектов, занумерованных числами 1, ..., п. причем объект с меньшим номером классифицируется «лучше» объекта с большим номером. Предполагается, что объекты поступают к нам в моменты времени 1, ..., п в случайном порядке (все п\ перестановок равновероятны), причем в результате сравнения двух из них становится ясно, какой из них лучше, хотя их истинные номера остаются неизвестными. В каждый момент времени нужно принять решение: либо отвергнуть объект (и далее к нему вернуться уже нельзя), либо принять объект (и процесс выбора прекращается). Задача состоит в том, чтобы с максимальной вероятностью выбрать объект с номером 1.
Оптимальной стратегией в этой задаче оказывается следующая. Надо просмотреть и пропустить первые 7п* — 1 объектов, а затем продолжать осмотр до момента г*, когда впервые появится объект, лучший, чем все предыдущие. При большом тг, т* ~ п/е, а искомая вероятность приблизительно равна 1/е ~ 0.368. Этот результат интуитивно удивителен, потому что, казалось бы, искомая вероятность должна стремиться к нулю с ростом количества объектов.
Несмотря на то, что такие оптимизационные задачи в дискретном времени являются достаточно хорошо изученными, случай непрерывного времени начал исследоваться совсем недавно. Отличительной чертой подобных задач является то, что для принятия оптимального решения требуется хорошо оце-
ннвать будущее поведение наблюдаемого процесса по полученным данным. Искомы]! случайный момент 0 является непредсказуемым, т.е. несогласованным с естественной фильтрацией процесса Т. Задача заключается в построении оценки этого момента, т.е. согласованного с фильтрацией момента остановки г, который был бы оптимален в некотором смысле. В связи с тем, что процесс фг — Т{0 < £} является несогласованным с имеющейся фильтрацией, естественным образом возникает опциональная проекция этого процесса (см. подробнее [34]), процесс 7гг = Х{0 < г | Т'г}. определенный для любого конечного (с вероятностью 1) случайного момента т. Такшм образом, искомая задача сводится к задаче об оптимальной остановке процесса апостериорной вероятности 7г*, равно как и близкая к ней задача о разладке (см., например, [10]). Принципиальным отличием класса рассматриваемых задач от задачи о разладке является то, что в рассматриваемой задаче в момент 0 не происходит смена характеристик процесса.
Целыо настоящей работы является исследование некоторых задач такого характера для случая бесконечного горизонта. В то время как в случае конечного горизонта почти все задачи сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода и не позволяют получить явного решения, оказывается, что в случае бесконечного горизонта значительная часть подобных задач позволяет получить решение в явном виде.
Структура настоящей работы состоит в следующем. В первой главе приводится обзор существующих результатов, дается определение некоторых используемых далее понятий, и задача рассматривается для процесса броуновского движения со сносом. Для решения этой задачи широко исполызуется обобщение известной теоремы Леви о распределении пары процессов, полученное в работе [47] для процесса броуновского движения со сносом. Во второй главе эта теорема обобщается для случая процесса Леви с конечной мерой. В третьей главе мы используем этот результат для описания общего
подхода к решению подобной оптимизационной задачи для процесса Леви с конечной мерой и демонстрируем этот подход в ситуации, когда наблюдаемый процесс представ;!яет собой комбинацию броуновского движения со сносом и пуассоновского процесса. В приложении мы приводим алгоритм численного моделирования методом Монте-Карло, который позволяет получить приближенное решение.
Автор глубоко признателен своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
С
- Київ+380960830922